讲稿5-不等概抽样

通常的做法：牺牲“简单”来提高抽样效率。
（1）将总体单元按规模分层，对较大单元的层抽样比高一些，特大层的 抽样比甚至可以100%，而较小单元的层抽样比低一些。
（2）采用不等概抽样来减少抽样方差，即赋予每个单元与其规模成比例 的入样概率，然后在估计中采用不同的权数来进行弥补。
分层抽样：抽样选择概率小的单位会有较 高的权数。
n
N
Wi yi n
yi
又如，对于霍维茨——汤普森估计量
YˆHT
yi
i
在入选概率与规模成比例条件下，
的性质为
i
i
nZi
则
YˆHT
n
yi nZ i
1 n
n
yi Zi
YˆHH
πPS抽样的实施
n=2条件下严格的πPS抽样
布鲁尔方法 德宾方法
n >2条件下严格的πPS抽样
inijninn???1?????ininiihtywyy??????iiw?1?n固定条件下的包含概率第i单位入样概率第ij单位都入样概率21kin1in1inikkikiik2iiiyyy1?kkininikiikkihtyyyv???????????????????????????????????????sskkkii2is2iiyy2y1?iikikkiihtyv?????????kkiiik2sksk?kkiiiiikikkihtyyyv??????????????2?jjiinijijjinhtyyy????????????hty?是y的无偏估计i1ji?hty?是?htyv的无偏估计hhy?ppshty?ps其他公式在某种程度上可用这两个公式表现
2拉希里方法
不需要累计，两次随机数决定抽中的单位。 第一次：1-N之间的随机数i 第二次： 1-maxM之间的随机数m 如果Mi> m,第i个单位被抽中

——Sampling with Probability Proportional to Size
总体单元 Yi 规模测度 Mi 0. 在抽取样本单元时，各单元被抽取的概率正比于Mi .
有放回PPS 抽样是常见的一种不等概率抽样方案。每次抽取，第i
单 元Yi 被 抽 中 的 概 率p i
正
比
于
M
响，只有 Mi m时它才入样，因此第 i 个单元入样的概率与
Mi的大小成正比，此时 Zi Mi M0
二、估 值 法
PPS抽样法的估值法的理论依据
定理3.1.1 在有放回PPS抽样下，
是总体总数Y
N
Yi
Yˆ PPS
的无偏估计.
பைடு நூலகம்
1 n
n
i 1
yi pi
i 1
( pi为第i个样本单元yi时的抽取概率，而不是总体中第i单元对应的抽取概率.)
i j ij
j
) yi
yj
,
v2 ( YˆHT
)
Nn
( i
j
ij
i1 ji
ij
) (
yi
i
yj
j
)2 .
注：两估计量均有可能取负值，通过模拟比较，v2较稳定且
较少取负值。
§3.3 Rao-Hartley-Cochran随机分群抽样
拉奥-哈特利-科克伦（1962）
设总体个体单元总数N nM k( 0 k n ) 1. 将总体随机分成n个群 其中k个群有M 1个个体单元，n k个群有M个个体单元； 2. 在每一个群中，以正比于规模测度的概率抽取一个单元 作为样本单元。
估计的均方偏差为：
V(Yˆ PPS
)

59.04 .
这一估计旳均方偏差旳估计为
v( YˆPPS
)
1
n
(
n( n 1 ) i1
yi pi
YˆPPS
)2
4.93
2、Hansen-Hurwitz （汉森—赫维茨）估计量
若 y1 , y2 , , yn 是按 Zi为入样概率旳多项抽样而得旳样 本数据，它们相应旳 Zi值自然记为 z1 , z2 , , zn ，则对总
例如，要了解上海地域钢铁企业旳景气情况，总体有上钢一厂、三 厂、五厂……等等，再加上宝钢。因为宝钢规模极大，它是否景气对整 个上海地域钢铁工业起着至关主要旳作用。而在抽样中将它与其他规模 较小旳单位处于同等地位就会既不公正又使抽样推断成果有较大可能发 生大旳偏差。
§3.1 PPS 抽 样
Байду номын сангаас
PPS抽样：抽取概率正比于规模测度。
第三章 不等概抽样
简朴随机抽样旳特点：总体中每个个体被抽中入样旳概率都相同。对
于各单元所处地位几乎 “平等” 旳总体，这种抽样原则既公正又以便 。
不等概率抽样：但在许多社会经济活动中并非全部单元地位相同。
使得“大”单元入样概率大，“小”单元入样概率小，这里旳“大”、 “小”与我们所关心旳调查指标有着亲密旳关系。
n ( yi
z i 1
i
yHH )2
§3.2 不等概 PS 抽样
有放回不等概率抽样：从实施上还是从估计计算以及精度估计都显得
十分以便。但一种单元被抽中两次以上总会使样本旳代表性打折扣，从 而引起抽样误差旳增长。 实际调查工作者一般倾向于使用不放回形式。
问题：最简朴旳不放回不等概率抽样方式自然会想到逐一抽样这在第
N

4、不等概抽样的优点和条件 、
• 优点：主要是大大提高估计精度，减少抽样误差。 • 条件：必须要有说明每个单元的规模大小的辅助 变量来确定每个单元的入样规模。这在抽样及推 算中是必须的。有时比较容易获得。比如，管理 部门在车船登记时，车船名和载重吨位是同时登 记的，因此，载重吨位作为辅助变量，计算入样 概率。
% 以Zi=Mi / M0的概率被抽取。因此样本均值 yHH 的期望
就相当于新盒子的均值：
ˆ E(YHH
)=
Y 1 Y Y {M 1 1 + M 2 2 + L + M N N } M0 Z1 Z2 ZN
= Y1 + Y2 + L + YN
=Y
ˆ 因此， YHH 恰为 Y 的无偏估计。
由于n次抽取是独立进行的（放回抽样的特点），根
N
Y 1 N = ∑Zi ( i −Y)2 n i=1 Zi
ˆ 据概率论的基本知识，YHH 的方差就等于新盒子的方差的
1/n倍，即：
n ˆ ) = 1 Var( yi ) = 1 ⋅ 1 Var(YHH 2 ∑
N
n
i=1
zi
n M0
∑Mi (
i=1
Y i −Y)2 Zi
Y 因为 ∑Z (Z −Y) 为新盒子的方差，利用数理统计基本知识，
i 2 i=1 i i
1 Mi = ⋅ * N M
(Hansen-Hurwitz)估计量 3、汉森—赫维茨 (Hansen-Hurwitz)估计量 汉森—
若y1,y2,…,yn 是按Zi 为入样概率的多项抽样而得的样本 数据，它们相应的Zi 值自然地记为小写的z1,z2,…,zn,则对 总体总和，Hansen-Hurwitz给出了如下估计量：