第5章 不等概率抽样解析

x 与辅助标志 y 在绝对数上有高的正相关关系的
助标志。 既然确定每个个体被抽中的概率和不等概 率抽样的效果都与辅助标志有关, 那么正确选择辅 助标志就至关重要。 总的原则就是要选择与调查标 志正相关关系最密切、 最接近呈等比例变化且具备 全面资料的标志作为辅助标志。 例如, 若要由以乡为 个体的样本来估计全县的粮食总产量, 那么可供选 择的、 衡量乡大小的辅助标志就有村庄数、 人口数和 耕地面积等, 这时该选择哪一个呢? 考虑到与粮食总 产量的关系, 在正常情况下以乡的耕地面积作为辅 助标志来确定各乡被抽中的概率恐怕是最合适的, 因为粮食总产量直接取决于播种面积 ( 亩产水平相 当的情况下) , 其正相关关系高于村庄数和人口数等 因素。 这就告诉我们, 在不等概率抽样以前, 要先对 调查标志与有关辅助标志之间的关系进行必要的分 析研究。 此外, 如果条件允可, 那么以调查标志本身 的近期资料为依据来确定个体被抽中的概率也十分 有效, 甚至优于其他相关标志。 这也是一个很重要的 原则。
即为真实的总体总量 X T , 即:
Nn
δT jZ j = N 2X 2
n 1 n xi 2 ・0 p i n pi n 1 n xi n =N E 2 ・0 p i n pi N n xi = Nn 2 E ( t i) ・0 E (p i) pi
n
n
的理由。 三、 应用不等概率抽样要注意的问题
1 n xi - XT ) 2 2 n pi 2 1 n xi (2 - nX T ) E n pi n xi 1 E 2 ( - X T ) 2+ 0 pi n2 N x 1 i 2 ( - X T ) 2 E ( t i) pi n2 1 N xi 2 ( - X T ) 2p i n pi

第二章习题2.1判断下列抽样方法是否是等概的：（1）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，若r=0或r>64则舍弃重抽。

（2）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，r 处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽中64.（3）总体20000~21000，从1~1000中产生随机数r 。

然后用r+19999作为被抽选的数。

解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽取样本。

第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的。

第三，当用样本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。

因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，故不是等概的。

（2）不是等概的【原因】（3）是等概的。

2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值y 的定义和性质有哪些不同？2.3为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行，现得到其日用电平均值=y 9.5（千瓦时），=2s 206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。

如果希望相对误差限不超过10%，则样本量至少应为多少？解：由已知可得，N=50000，n=300，5.9y =，2062=s1706366666206*300500003001500001)()ˆ(222=-=-==s nf N y N v YV 19.413081706366666(==）y v 该市居民用电量的95%置信区间为[])(y [2y V z N α±=[475000±1.96*41308.19]即为（394035.95，555964.05） 由相对误差公式y)(v u 2y α≤10%可得%10*5.9206*n50000n 1*96.1≤- 即n ≥862欲使相对误差限不超过10%，则样本量至少应为8622.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。

1.5
4
13.7
5
7.8
6
15
7
10
8
3.6
9
6
10

M0
1.1 ＝738
Mi 100
6 145
15 137
78 150 100
36 60 11 738
Mi 100
累计 6
151 166 303 381 531 631 667 727 738
代码 1~6
7~151 152~166 167~303 304~381 382~531 532~631 632~667 668~727 728~738
YˆHH M0
2
=30434161880
s YˆHH v YˆHH 174454
r

t
s YˆHH YˆHH
1.96 174118 757087
6.20
510
n
Yˆ M y HH
0
i

3676 30
10926 38.23
10926 38.23
1024 13.70


510 6.2


765404（百元）
n m i1 i
v YˆHH

M
2 0
n n 1
n yi i1 mi
YˆHH
2


M
2 0
n n 1
n i 1

yi mi
YˆHH M0
2

可以证明
E(YˆHH ) Y E v(YˆHH ) V (YˆHH )
例5.2

不等概率抽样的辩证思维
1.定义
如果总体中每个个体被选入样本的概率是不相等的，则称这种随机抽样的方式为不等概率抽样。

2.优点
这中不等概率抽样能提高抽样精度，减少样本不均衡造成的抽样误差。

使用个体之间差异较大的场所。

3.实现
将总体中每个个体赋予不同的权重，权重大的个体被抽到的概率大，权重小的个体被抽到的概率小。

4.有放回抽样
例：
4.1代码法
代码法是最直接的一种方法，也是最容易想到的一种方法，即分别复制增加每种样本的个数，使得每种样本的个数之比，等于入样概率之比。

每次抽样前，先在整数1,2,3,…M0里面随机等可能的选取一个整数，设为m,若代码m属于第j个单元拥有的代码数，则第j个单元入样。

整个过程重复n次，得到n个单元入样（当然存在重复的可能性）构成样本。

4.2Lahiri法
当N非常大时，累积的M0也将很大，给代码法的实施带来很多不方便，Lahiri提出下列方法：
令：
每次抽取1～N中一个随机整数i，及1～M*内一个随机整数m，如果Mi>m，则第i个单元入样；否则按前面步骤重抽。