2019-2020学年重庆八中高一上学期期末数学试题(解析版)

重庆市八中2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}*|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U A C B =( )A. {}1B. ()1,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】因为{}*|4U x N x =∈≤,即{}1,2,3,4U =集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B = 根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B ==故选:C【点睛】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题. 2.下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A. ||y x =- B. y x = C. 1y x -= D. 3y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;对于C,1y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误;对于D,3y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确. 综上可知,D 为正确选项. 故选:D【点睛】本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题. 3.已知tan 2,tan 5αβ==,则tan()αβ+=( )A. 79B.711 C. 79-D. 711-【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβαββ++=-⋅因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得()257tan 1259αβ++==--⨯故选:C【点睛】本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题. 4.设2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,则( ) A. a b c >> B. c b a >> C. c a b >> D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知22log 0.2log 10a =<=0.203310b -<<== 0.20221c =>=所以c b a >> 故选:B【点睛】本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题. 5.在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,若(,)BP BA BC R λμλμ=+∈,则λμ=( )A. 116B.118 C. 14D. 12【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解.【详解】在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点 由平面向量的线性加法运算,可知()111222BP BD BA BC ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦()14BA BC =+ 1144BA BC =+ 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈ 所以11,44λμ== 则116λμ= 故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题. 6.函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 7.函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (2,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】函数()2()ln 32f x x x =-+所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或1x <由复合函数“同增异减”的性质,可知函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为2x > 即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间 故选:C【点睛】本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题. 8.若直线6x π=是函数()cos(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴,则ϕ=( )A. 6π-B. 3π-C. 23π-D. 56π-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ϕ=+的对称轴,结合6x π=及0πϕ-<<即可求得ϕ的值.【详解】函数()cos(2)f x x ϕ=+由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ϕπ+=∈ 而6x π=为其一条对称轴,所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈解得,3k k Z πϕπ=-+∈因为0πϕ-<< 所以当0k =时,解得3πϕ=-故选:B【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题. 9.已知函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2,则(1)(2)(2020)f f f ++=( )A. -2B. 0C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得(1)(2)(2020)f f f ++的值.【详解】函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭由周期公式2T πω=,代入可得263T ππ==则(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++()()()2112110=++-+-+-+=而202033664=⨯+ 所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++而(1)2sin 1236f ππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭(2)2sin 2136f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3136f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭(4)2sin 4236f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-= 即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=故选:B【点睛】本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题.10.已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是( ) A.()1,2B. (2,)+∞C. (0,1)(1,2]⋃D. [2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论01a <<和1a >两种情况.结合函数的值域为[4,)+∞,即可求得a 的取值范围. 【详解】实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥（舍去2a ≤-）综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 故选:D【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题. 11.若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )B. C. 59-D.59【答案】B 【解析】 【分析】将2sin cos 3αα+=平方后化简,结合3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】因为2sin cos 3αα+=,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9αααα++=,即52sin cos 9αα=-则sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=>,3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos20α<由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29ααα==-根据同角三角函数关系式可得cos 29α===- 故选:B【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题. 12.已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等教育文档 可修改 欢迎下载式,解不等即可求得m 的取值范围. 【详解】函数|1|2()21x f x ex x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+-所以()f x 的图像关于1x =对称由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -<变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+< 因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得113m << 即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡相应位置 13.设向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行,则实数λ=___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设()22a b a b λμ-=+,即可求得λ的值. 【详解】因为向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行 由平面向量共线基本定理可设()22a b a b λμ-=+则根据向量数乘运算可得22μλμ=⎧⎨-=⎩解得4λ=- 故答案为:4-教育文档 可修改 欢迎下载【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题. 14.计算:23348log 4log 9-⨯=___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得23348log 4log 9-⨯()233333log 92log 4log 4=-⨯422=-=故答案为:2【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题.15.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =--=,可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数.【详解】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如下图所示:令1()()103g x f x x =--= 可得1()13f x x =+. 画出()113h x x =+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点 所以1()()13g x f x x =--共有6个零点 故答案为:6【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.16.将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位,得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的取值范围是___________. 【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =的解析式.根据()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围. 【详解】由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-⎪=⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,且()g x 过原点 于是6232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得302ω<≤,即30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为: 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三.解答题:本大题共6小题,共70分､请在答题卡相应作答,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设α为第二象限角,sin α. (1)求tan α的值;(2)求222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)12-(2)43-【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值.（2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据（1）中的结论,代入即可求解.【详解】（1）由于,,sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=于是cos α= 所以sin 1tan cos 2ααα==- （2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭222sin 22sin cos ααα=+224sin cos 2sin cos αααα=+24tan 2tan 1αα=+ 由（1）可知1tan 2α=-所以22144tan 422tan 131212αα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.18.已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3.(1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a =(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值. （2）先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性.【详解】（1）由于1a >,所以()1xf x a =+在定义域内单调递增, 于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -= 即213a -= 又1a >,解得2a =（2）证明:()()()22xxF x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,则()()()12122211121122222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+- ()121212212122122221222x x x x x x x x x x +-⎛⎫=-+=-+ ⎪⋅⎝⎭由于12x x <,所以12220x x -<,211102x x ++>于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x < 所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数【点睛】本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.19.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若8253f απαπ⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3sin 10α+= 【解析】 【分析】（1）由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式,即可求得ϕ的值,即可求得函数()f x 的解析式;（2）将2α代入解析式,即可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,利用正弦的和角公式变形即可求得sin α的值.【详解】（1）由函数图象可知2A =,44T π=,即T π=, 所以22Tπω==,从而函数()2sin(2)f x x ϕ=+ 将,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 解析式得232k ππϕπ+=+,26k πϕπ=+,又||2ϕπ<,故6π=ϕ 所以函数解析式()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为82sin 265f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,从而7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭,即3sin 10α+=. 【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.20.已知函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π （2）最大值为0；最小值为12- 【解析】 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量x 的取值范围为,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭21cos sin 22x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =-1sin 2cos 2444x x =--1sin 2234x π⎛⎫=--⎪⎝⎭ 所以由周期公式可知222T πππω=== 即最小正周期为π （2）因为,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知sin 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦所以11sin 223424x π⎡⎤⎛⎫----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 即函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【点睛】本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.21.已知函数44()log 2x xmf x +=为偶函数. (1)求m 的值;(2)若()4()log 2xf x a a ≥⋅-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)170,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值;（2）根据不等式恒成立,分离参数a 可得()211221x x x a +≤+-,并构造函数()()211221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围.【详解】（1）44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2x xmf x +=为偶函数 所以()()f x f x =-代入可得4444log log 22x x x x m m--++= 即4422x x x xm m --++=,化简可得()2222x x x xm --=-- ∴1m =（2）由题得()4441log log 22x xxa a +≥⋅-恒成立, 即4122x x xa a +≥⋅-恒成立, 所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()211221x x x y g x +==+-,令21(35)xt t =+<≤则2()1123213t y h t t t t t==+=+-++-,由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512h t h == ∴1712a ≤又()210xa ->在(]1,2x ∈上恒成立 所以0a >,于是a 的取值范围是170,12⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题. 22.设函数()cos 2sin f x x a x a =++.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; (2)设函数()x ϕ的定义域为I ,若0x I ∈,且()1x ϕ=,则称0x 为函数()y x ϕ=的“壹点”,已知()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点”,求实数a 的取值范围.【答案】(1)117,28⎤⎥⎣⎦(2)01a << 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. （2）根据题意,将函数化为2()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++当1a =时,2()2sin sin 2y f x x x ==-++,令sin 0t x t ⎛=<≤ ⎝⎭则2()22y g t t t ==-++所以函数()g t 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,42⎛ ⎝⎭上单调递减∴min 3122y g ⎛⎫==⎪⎝⎭,max 11748y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为117,28⎤⎥⎣⎦ （2）由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,令2()2sin sin y g x x a x a ==-++,则()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2y h t t at a ==-++.(i )若()h t 在()1,1-上有两个非零 ,则2(1)0(1)0801114(0)0h h a a a a h -<⎧⎪<⎪⎪∆=+⇒<<⎨⎪-<<⎪⎪≠⎩(ii )若()h t 的两个零点为0,1,则012a a =⎧⎪⎨=⎪⎩,无解,故舍去;(iii )若()h t 的两个零点为0,-1,则012a a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,无解,故舍去.综上:01a <<【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.。

2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x >0}，N ={x|x 2−4≥0}，则M ∪N =( )A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞)2. f(x)=√x +4+1x 2−4的定义域为( )A. [−4,+∞)B. {x|x ≥−4且x ≠±2}C. {x|x ≥−4且x ≠2}D. {x|x ≥2}3. 已知f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 27)=( )A. 7B. 74C. 72D. 784. 若函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，f(2)=0，则f(3−x)>0的解集是( )A. (−2,2)B. (−∞,1)∪(5,+∞)C. (1,5)D. (−∞,−2)∪(2,+∞) 5. 函数f(x)=√x −1+√3−x 的最大值是( )A. 2B. 3C. √2D. √36. 已知函数ℎ(x)为奇函数，且当x >0时，ℎ(x)=x 2+1x ，则ℎ(−1)等于 ( )A. −2B. 0C. 1D. 27. 已知a =(13)3，b =313，c =log 133，则( ) A. a <b <c B. c <b <a C. c <a <b D. b <c <a 8. 已知函数g(x)=f(3x)+x 为偶函数，且f(−9)=4，则f(9)=( )A. −4B. 4C. −2D. 29. 若函数f(x)=x 3−x −1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下那么方程x 3−x −1=0的一个近似根(精确度为0，1)为( )A. 1.2B. 1.3125C. 1.4375D. 1.2510. 幂函数y =f(x)的图像过点(8,2√2)，则幂函数y =f(x)的图像是( )A. B. C. D.11.log214=()A. −2B. −12C. 12D. 212.已知a>2，函数f(x)={log a(x+1)+x−2,x>0x+4−(1a)x+1 x≤0，若函数f(x)有两个零点x1，x2，则()A. ∃a>2，x1−x2=0B. ∃a>2，x1−x2=1C. ∀a>2，|x1−x2|=2D. ∀a>2，|x1−x2|=3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={a−3,2a−1}，且3∈A，实数a=______．14.计算：lg25+2lg2+823=______．15.函数f(x)=(12)x2+2x的单调递增区间是______．16.已知函数f(x)=x2+ax+7+ax+1，a∈R.若对于任意的x∈N∗，f(x)≥4恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|3<2x−1<19}，求：(1)A∪B(2)(∁R A)∩B．18.求函数f(x)=(4−3a)x2−2x+a在区间[0,1]上的最大值．19.已知定义域为R的函数f(x)=3x−a3x+1+b是奇函数．(1)求a,b的值；(2)若f(x)在R上是增函数，求不等式f(2x)+f(x−1)<0的解集．20.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．21.已知a∈R，函数f(x)={1−1x, x>0(a−1)x+1, x≤ 0．(1)求f(1)的值；(2)证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(3)求函数f(x)的零点．22.已知函数f(x)=1．4x+1(1)若函数g(x)=f(x)+a是奇函数，求实数a的值；(2)若关于x的方程f(2x2−2tx)+f(−x2−3+2t)=1在区间(0,2)上有解，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合M ，N ，再利用并集定义求解． 【解答】解：∵集合M ={x|x >0}， N ={x|x 2−4≥0}={x|x ≥2或x ≤−2}，∴M ∪N ={x|x ≤−2或x >0}=(−∞,−2]∪(0，+∞)． 故选：A ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查了二次根式的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题． 根据二次根式的性质及分母不为0，从而求出x 的范围． 【解答】解：由题意得：{x +4≥0x 2−4≠0，解得：x ≥−4，且x ≠±2， 故选：B ．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题． 先判断与1的大小关系，再代入相应区间的解析式，求出函数值即可．【解答】 解：由于，则， 又由，则，又由，则．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属基础题．关键是利用函数的奇偶性与单调性分析函数的符号，把f(3−x)>0转化为|3−x|>2，从而得解．【解答】解：因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，所以f(x)在[0,+∞)上是增函数，因为f(3−x)=f(|3−x|)，f(2)=0，由已知得f(3−x)=f(|3−x|)>f(2)，所以|3−x|>2，解得x>5或x<1．故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查求函数的最值，属于基础题．将已知函数平方，可得到一个二次函数，根据二次函数的性质即可得到原函数的最值．【解答】解：函数的定义域为[1,3]，f2(x)=2+2√(x−1)(3−x)=2+2√−x2+4x−3，由二次函数的性质可得当x=2时f2(x)取得最大值，最大值为4，所以f(x)的最大值为2．故选A．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，属于基础题．由奇函数定义得，ℎ(−1)=−ℎ(1)，根据x>0的解析式，求出ℎ(1)，从而得到ℎ(−1)【解答】，解：因为x>0时，h(x)=x 2+1x所以h(1)=1+1=2．又h(x)为奇函数，所以h(−1)=−h(1)=−2．故选A．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，为基础题．利用指数函数与对数函数的性质求解即可．【解答】解：由指数函数的性质可得)3∈(0,1)，a=(13b=313>30=1，由对数函数的性质可得，所以c<a<b．故选C．8.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题，难度较小．由g(x)为偶函数，得g(3)=g(−3)=f(−9)+(−3)=1，从而得解．【解答】解：由题意，因为g(x)为偶函数，且f(−9)=4，所以g(3)=g(−3)=f(−9)+(−3)=1．所以g(3)=f(9)+3=1，解得f(9)=−2．故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．由二分法的定义进行判断，根据其原理--零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项．【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.25,1.375)中，观察四个选项，与其最接近的是B．故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．先利用已知条件求出函数y=f(x)的解析式，再由解析式确定f(x)的图像【解答】解：设f(x)=xα，根据题意有2√2=8α，，则α=12即f(x)=x12，结合选项可知C正确．11.答案：A解析：【分析】本题考查对数运算，属于基础题．【解答】解：log214=log22−2=−2log22=−2．故选A．12.答案：D解析：解：当x>0时，y=log a(x+1)+x−2，令y=0，则有log a(x+1)=3−(x+1)，不妨设其根为x1；当x≤0时，y=x+4−(1a )x+1，令y=0，则有(1a)x+1=3+(x+1)，即a−(x+1)=3−[−(x+1)]，不妨设其根为x2，则有(x1+1)+[−(x2+1)]=3，即：x1−x2=3；同理，若x>0时的零点为x2，x≤0时的零点为x1，则有x2−x1=3，因而答案为D．故选：D．【分析】通过当x>0时，不妨设其根为x1；当x≤0时，不妨设其根为x2，推出x1−x2=3；转化求出结果即可．本题考查函数的零点的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．13.答案：2或6解析：解：∵A={a−3,2a−1}，且3∈A；∴a−3=3时，a=6，A={3,11}，满足条件；2a−1=3时，a=2，A={−1,3}，满足条件；∴a=2或6．故答案为：2或6．根据3∈A，及A={a−3,2a−1}，从而得出a−3=3，或2a−1=3，解出a，并求出集合A，验证是否满足3∈A即可．考查列举法的定义，以及元素与集合的关系，集合元素的互异性．14.答案：6解析：解：原式=lg(25×22)+23×23=2+4=6． 故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：(−∞,−1)解析： 【分析】本题主要考查了复合函数的单调区间，以及指数函数及其性质，属于基础题． 根据复合函数的单调性，同增异减，得到答案． 【解答】解：设u =x 2+2x ，在(−∞,−1)上为减函数，在(−1,+∞)为增函数， 因为函数y =(12)u 是减函数， 所以函数f(x)=(12)x2+2x的单调递增区间(−∞,−1)，故答案为(−∞,−1)．16.答案：[13,+∞)解析：解：∵函数f (x)=x 2+ax+7+ax+1，且f (x)≥4，对于任意的x ∈N ∗恒成立 即a ≥−x 2−4x+3x+1=−(x+1)2−6(x+1)+8x+1=−[(x +1)+8x+1]+6令g(x)=−[(x +1)+8x+1]+6，则g(x)≤6−4√2，当且仅当x =2√2−1时g(x)取最大值 又∵x ∈N ∗，∴当x =2时，g(x)取最大值13 故a ≥13即a 的取值范围是[13,+∞) 故答案为：[13,+∞) 根据已知中函数f (x)=x 2+ax+7+ax+1，a ∈R.若对于任意的x ∈N ∗，f (x)≥4恒成立，我们可将其转化为a ≥−[(x +1)+8x+1]+6恒成立，进而将其转化为a ≥g(x)max =−[(x +1)+8x+1]+6，解不等式可得a 的取值范围．本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．17.答案：解：B ={x|3<2x −1<19}={x|2<x <10}，(1)集合A ={x|3≤x ≤7}，B ={x|2<x <10}，∴A ∪B ={x|2<x <10}；(2)∁R A ={x|x <3或x >7}，B ={x|2<x <10}，∴(∁R A)∩B ={x|2<x <3或7<x <10}．解析：化简集合B ，根据交集、并集和补集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18.答案：当a >23时，f(x)max =a ；当a ≤23时，f(x)max =2−2a解析：①当4−3a =0，即a =43时，f(x)=−2x +43在[0,1]上为减函数，∴f(x)max =f(0)=a =43②当a >43时，4−3a <0，函数f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x =14−3a <0，则函数f(x)在区间[0,1]上为减函数，∴f(x)max =f(0)=a.③当a <43时，4−3a >0，函数f(x)的图像开口向上，对称轴为直线x =14−3a >0当0<14−3a ≤12，即a ≤23时，f(x)max =f(1)=2−2a ；当14−3a >12，即23<a <43时，f(x)max =f(0)=a 。

绝密★启用前重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．π-B ．πC ．2πD ．4π2．若命题p :2,210x R x x ∃∈++≤，则命题p 的否定为（ ） A ．2,210x R x x ∃∉++> B ．2,210x R x x ∃∈++< C ．2,210x R x x ∀∉++>D ．2,210x R x x ∀∈++>3．在0~360范围内，与70-终边相同的角是（ ） A ．70B ．110C ．150D ．2904．下列函数定义域与值域相同的是（ ） A ．3x y = B ．12log y x =C ．3y x =D ．tan y x =5．已知cos167m ︒=，则tan193︒=（ ）AB ．mC ．m- D ．6．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，3()8f x x =-，则(){}20x f x ->=（ ）A ．{2x x <-或4}x >B ．{0x x <或4}x >C ．{0x x <或6}x >D ．{2x x <-或2}x >7．函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示.将()f x 图象上所有的点向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）A ．cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 4y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．1cos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1sin 24y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭8．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融､政务服务､供应链､版权和专利､能源､物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）(参考数据lg 20.3010≈，lg30.4771≈)A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒二、多选题9．下列各式的值小于1的是（ ） A ．tan15 B ．4sin15cos15 C ．22cos 22.51-D ．2tan 22.51tan 22.5-10．下列关于函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭说法正确的是（ ） A ．周期为π B ．增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．图像关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D ．图象关于直线23x π=对称后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分別为a 和(0)b a b <<，其全程的平均速度为v ，则下列选项正确的是（ ）A ．a v <<B ．v =C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 12．对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意的k ，()f x 的最大值为1 B ．当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素 C ．当3k =时，()f x 在0,2内只有一个零点D ．当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2，则(16)f =____________． 14．已知3cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.15．在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为___________.16．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，223παβ+=，tan tan 32αβ+=，则αβ-=___________.四、解答题17．已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}24B x x =<. （1）当2m =时，求AB ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为43(,)55P -．（1）求cos πα⎛⎫+⎪ 和sin 2α的值；（2）求3sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值．19．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.（1）下列几个模拟函数：①2y ax bx =+；②y kx b =+；③log a y x b =+；④x y a b =+（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）.用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由； （2）若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2L ，人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5L ，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A 饮料的销售量最多是多少. 20．已知函数()33x x f x a -=-⋅为奇函数. （1）求a 的值并判断()f x 的单调性； （2）若()813f x ->，求x 的取值范围. 21．设0a >，()0,1x ∈，函数2()log ()f x x a =+，21()log (3)2g x x a =+. （1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若()()f x g x <，求a 的取值范围.22．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

绝密★启用前2019-2020学年(上)期末学业质量调研抽测高一数学试卷（分数：150分时间：120分钟）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.函数的图象大致为A. B.C. D.3.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. 8 D. 45.已知，，，，P为外接圆上的一动点，且的最大值是A. B. C. D.6.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称7.九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步”请问乙．走的步数是A. B. C. D.8.已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是A. B.C. D.9.已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.10.定义在R上的函数满足：，且当时，，则函数的零点个数是A. 5B. 6C. 7D. 811.已知圆的圆心为C，点P是直线l：上的点，若该圆上存在点Q使得，则实数m的取值范围为A. B.C. D.12.不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作已知，给出下列结论：是偶函数；是周期函数，且最小值周期为；的单调递减区间为；的值域为．其中正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题13.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为若直线上存在一点P使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．14.如图，在平面四边形ABCD中，，，若，则的值为______．15.若，，且，则使得取得最小值的实数______．16.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得，沿山坡前进50m到达B处，又测得，根据以上数据可得______．三、解答题17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．求角A的大小；若，求的面积．18.已知等比数列的各项均为正数，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设证明：为等差数列，并求的前n项和．19.如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边，斜边，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．20.如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，，．求证：平面BCD；求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小；求点E到平面ACD的距离．21.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表．其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于9米的弧田．Ⅰ计算弧田的实际面积；Ⅱ按照九章算术中的弧田面积的经验公式计算所得结果与中计算的弧田实际面积相差多少平方米？结果保留两位小数22.已知四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且，平面BEF．Ⅰ求实数的值；Ⅱ求三棱锥的体积．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次不等式的求解及指数不等式的求解，同时考查集合的补集，属于基础题．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得．【解答】解：因为，，则．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题．先求出函数的定义域，再分别讨论，时函数的范围，由此判断函数的图象即可．【解答】解：函数的定义域为：，排除选项A．当时，函数，选项C不满足题意．当时，函数，选项D不正确，故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．将a，b化为同底数的幂，利用指数函数的单调性判定大小，a，c利用中间值2，结合指数、对数函数的性质比较大小，然后利用不等式的基本性质可知道a，b，c的大小关系．【解答】解：由对数函数是单调增函数，，，指数函数是单调增函数，，，即，．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，底面是直角三角形，高为2，利用棱锥体积公式即可计算．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，如图：底面是边长为2的正方形的一半，高为2，该几何体的体积．故选B．5.【答案】B【解析】【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为，求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则外接圆的方程为，设P的坐标为，过点B作BD垂直x轴，，，，，，，，，，，，，，其中，，当时，有最大值，最大值为，故选：B．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答．【解答】解：将的图象向右平移个单位，得，则为偶函数，在上单调递增，故A正确，的最大值为1，对称轴为，，即，，当，图象关于对称，故B错误，由，，函数单调递增，，，在上不是单调函数，故C错误，函数的周期，不关于点对称，故D错误．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，画出图象是解题的关键，属于基础题．设甲、乙相遇经过的时间为x，由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出x，即可求出答案．【解答】解：设甲、乙相遇经过的时间为x，如图：则，，，，，即，解得或舍去，，故选：C．8.【答案】B【解析】解：根据题意，定义在R上的函数满足，则有，则函数是周期为6的周期函数，又由为偶函数，则函数关于直线对称，则，，，又由在内单调递减，则，则有；故选：B．根据题意，由分析可得，则可得函数是周期为6的周期函数，由为偶函数，则函数关于直线对称，则有，，，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：因为命题p对任意，总有，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“”不能推出“”；但是“”能推出“”所以：“”是“”的必要不充分条件，故q是假命题；所以为真命题；故选：D．由命题p，找到x的范围是，判断p为真命题．而q：“”是“”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．10.【答案】A【解析】解：定义在R上的函数满足：，且当时，，当时，，当时，，当时，，在坐标系中画出两个函数与的图象如图：由图象可知两图象有5个交点，故函数有5个零点，故选A．求出函数的解析式，利用函数的图象以及函数值判断即可．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时．圆上存在点Q使得，圆心到直线的距离，，故选：D．由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时，利用圆上存在点Q使得，可得圆心到直线的距离，进而得出答案．本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：对于，，，显然，不是偶函数，故错误；对于，，而，，即不是周期为的函数，故错误；对于，当时，，令，则在区间单调递增，且，又在上单调递减，在单调递减，故正确；对于，，取不到值cos1，且的最大值为1．故错误．故选：B．通过计算特殊值验证判断，；利用符合函数的单调性判断，根据的范围和余弦函数的性质判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的图象，是中档题．13.【答案】【解析】解：的方程为，故圆心为，半径．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有，圆心到直线的距离小于或等于，即，解得，可得，故答案为：由题意可得圆心为，半径；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB 为正方形，圆心到直线的距离小于或等于，即，由此求得k的范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．14.【答案】【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设，则，，．∽，，，，，．故答案为：．过D作，则∽，利用相似比表示出x，y即可得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15.【答案】【解析】解：，，且，，那么：，当且仅当时即取等号．联立，解得：．故答案为：．构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，，，在中，由正弦定理得：，，在中，，，，由正弦定理，，，．故答案为：．先在中用正弦定理求得BD，再在中用正弦定理求得，然后根据可求得．本题考查了正弦定理以及诱导公式，属中档题．17.【答案】解：，，，，由余弦定理得，可得，又，．根据正弦定理得，又，．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用余弦定理即可得出．根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出．18.【答案】Ⅰ解：设等比数列的公比为q，依题意，，，，，两式相除得，解得，舍去，，数列的通项公式为；Ⅱ证明：由Ⅰ得，，数列是首项为1，公差为的等差数列，．【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键，属于中档题．Ⅰ利用等比数列的通项公式即可得出；Ⅱ利用Ⅰ的结论和对数的运算法则进行化简，再计算是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．19.【答案】解：由题意，，，中，，，中，由余弦定理可得；由题意，，．中，中，由正弦定理可得，，，，【解析】由题意，，，中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；中，由正弦定理可得，可将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】解：连接OC，，，，，，，在中，由题设知，，，，，即，，，平面BCD；取AC中点F，连接OF、OE、E中E、F分别为BC、AC中点，且中分别为中点且异面直线AB与CD所成角等于或其补角又OF是斜边上的中线等腰中；解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，，0，，，0，，．，，异面直线AB与CD所成角的大小为．解：设平面ACD的法向量为y，则，令，得1，是平面ACD的一个法向量．又，点E到平面ACD的距离．【解析】如图所示，要证平面BCD，只需证，即可，用运算的方式来证明结论．法一：取AC中点F，连接，由中位线定理可得，所以或其补角是异面直线AB与CD所成角，然后在中求解．法二：以O为原点，OB为x 轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题．21.【答案】解：扇形半径，扇形面积等于弧田面积圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得弦矢矢按照弧田面积经验公式计算结果比实际少平方米．【解析】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得弦矢矢，从而可求误差．22.【答案】解：Ⅰ连接AC，设，则平面平面，平面EFB，，，，，解得．Ⅱ，，，又，，，，，平面ABCD，所以．【解析】Ⅰ连接AC，设，推导出，从而，由此能求出．Ⅱ由，能求出三棱锥的体积．本题考查实数值的求法，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。

重庆八中高一(上)期末数学模拟卷(三)一､选择题:1.若角α的终边经过点()23m ﹣，，且3tan 3α=-，则m =（ ） A. ﹣2 B. 3-C.3 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到3tan 323α==--，计算得到答案. 【详解】3tan 223m α===-故选：D【点睛】本题考查了三角函数定义，属于简单题. 2.已知集合(](),14,P =-∞+∞,{}1,2,3,4Q =,则()RP Q =( ).A. {}1,4B. {}2,3C. {}2,3,4D.{}14x x <≤【答案】C 【解析】 【分析】 先求出RP ，即可求出()R P Q .【详解】解：因为集合(](),14,P =-∞+∞,{}1,2,3,4Q =，所以{}=14RP x x <≤，所以(){}2,3,4RP Q =.故选：C.【点睛】本题考查补集、交集的求法，考查集合运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.函数()af x x b =+，不论a 为何值()f x 的图象均过点()0m ,，则实数b 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数y ax =的图象过定点()1,1,可得()f x 的图象过点()1,1b +,从而可得结果.【详解】因为不论a 为何值幂函数y ax =的图象均过点()1,1,不论a 为何值()f x 的图象均过点()1,1b +, 又因为不论a 为何值()f x 的图象均过点(),0m ， 所以1m =且10b +=，即1b =-，故选A.【点睛】本题主要考查幂函函数的几何性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.4.已知函数()112x f x b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且函数图像不经过第一象限，则b 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. (],2-∞-D.(),2-∞-【答案】C【解析】 【分析】利用指数函数的图像即可求解．【详解】函数()112x f x b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为减函数，且图像不经过第一象限, ()020f b ∴=+≤,即2b ≤-,故选 C.【点睛】本题考查指数函数图像的应用，需熟记指数函数的大致图像． 5.已知函数()()x f x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭,1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心,B ､C 是该图象上相邻的最高点和最低点,若4BC =,则()f x 的解析式为( ).A. ()412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()5412f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()26x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据4BC =，利用勾股定理可求得ω值，再利用1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心，求出φ即可. 【详解】解：因为B ､C 是该图象上相邻的最高点和最低点，4BC =，由勾股定理可得：(22242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即221216πω+=，求得2πω=.又因为1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心，可知1,23k k Z πφπ⋅+=∈ ，解得6πφ=-.所以()f x 的解析式为()26x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦函数型函数的图象与性质，属于中档题.6.O 为ABC ∆所在平面内的一点，满足0OA OB OC ++=，若OA AB BC λμ=+，则（ ）A. 13λ=-，23μ=-B. 23λ=-，13μ=- C. 13λ=，23μ= D. 23λ=，13μ=【答案】B 【解析】 【分析】将AB 、BC 用OA 、OB 、OC 表示，然后对比0OA OB OC ++=，可得出关于λ、μ的方程组，解出即可.【详解】由OA AB BC λμ=+，得()()OA OB OA OC OB λμ=-+-， 即()()10OA OB OC λμλμ++--=，又0OA OB OC ++=，则1λμμλμ+=-⎧⎨-=-⎩，解得23λ=-，13μ=-，故选B.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，在解题时要选择合适的基底，结合已知条件列出有关参数的方程组，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A. c a b <<B. c b a <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．8.设函数()2251x x f x x -+=-在区间[]2,9上的最大值和最小值分别为M ､m ,则m M +=( ).A.272B. 13C.252D. 12【答案】C 【解析】 【分析】把函数解析式化为()()()22142541111f x x x x x x x x -+-+===-+---,令1x t -=,则()[]4,1,8t t ty f x ==+∈,根据对勾函数性质可求出最小值和最大值.【详解】解：()()()22142541111f x x x x x x x x -+-+===-+---； 因为[]2,9x ∈，所以[]11,8x -∈， 令1x t -=，则[]1,8t ∈； 因为()[]4,1,8t t ty f x ==+∈， 根据对勾函数性质可知当2t =时，函数有最小值为4； 当8t =时，函数有最大值为172. 所以252m M +=. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的变形分离常数法，及利用导数在闭区间求最值的问题，属于中档题.9.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比12m =的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18︒,=( ).A. 4 1C. 21【答案】C 【解析】 【分析】把2sin18m =︒中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.【详解】解：由题可知12sin182m ︒==， 所以24sin18m =︒.= 2sin182cos18cos54︒•︒=︒2sin 36cos54︒=︒2=.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．10.已知函数()f x 是R 上的奇函数,且对任意x ∈R 有()1f x +是偶函数,且()11f -=,则()()20202021f f +=( ).A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得()()()2f x f x f x +=-=-，进而可得()()()42f x f x f x +=-+=，即可得()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()()20202021f f +的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()1f x +是偶函数，则()()11f x f x -+=+，变形可得()()2f x f x +=-.又由()f x 是R 上的奇函数，则()()()2f x f x f x +=-=-，变形可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是周期为4得周期函数. 因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，则()()()20200505400f f f =+⨯==；()()()()202115054111f f f f =+⨯==--=-.故()()202020211f f +=-. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题． 11.在锐角ABC 中,3B π=,则cos cos A C +的取值范围是( ).A. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ⎤⎥⎝⎦C. 12⎛ ⎝⎭D. []1,1-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出A+C 的度数，用A 表示出C ，代入所求式子利用两角和与差的正余弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可． 【详解】解：因为3B π=，所以23A C π+=. 所以2cos cos cos cos 3A C A A π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =-+1cos 22A A =+ sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为在锐角ABC 中23A C π+=， 所以,62A ππ<<2363A πππ<+<所以3sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭. 即3,12cos cos A C ⎛⎤ ⎝∈ +⎥⎦.故选：B.【点睛】本题考查了两角和与差的正余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键.12.已知函数2()log 1f x x =-，且关于x 的方程2[()]()20f x af x b ++=有6个不同的实数解，若最小的实数解为-1，则+a b 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1【答案】B 【解析】试题分析：作出函数2()log 1f x x =-的图象，∵方程2[()]()20f x af x b ++=有个不同的实数解，∴如图所示，令，方程2[()]()20f x af x b ++=转化为：，则方程有一零根和一正根，又∵最小的实数解为，由，∴方程：的两根是和，由韦达定理得：，，∴，故选B.考点：函数与方程的综合应用.【方法点晴】本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了方程的根与函数零点的关系．作出函数2()log 1f x x =-的图象，令，方程2[()]()20f x af x b ++=转化为：，再方程2[()]()20f x af x b ++=有个不同的实数解，可知方程有一零根和一正根，又因为最小的实数解为，所以从而得到方程：的两根是和，最后由韦达定理求得得：，进而求得．二､填空题:13.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么||a b +=__________． 3【解析】分析：由a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，求出数量积，先将a b +平方，再开平方即可的结果. 详解：∵()222||2cos ,a b a ba b a b a b +=+=++⋅⋅1112112=++⨯⨯⨯3=3点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）.14.已知定义在[]1,1-上的偶函数()f x 在[]0,1上为减函数,且()()132f x f x ->-,则实数x 的取值范围为__________. 【答案】41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据题意可求出抽象函数x 的取值范围，再根据()f x 为偶函数，由()()132f x f x ->-可得()()132f x f x ->-，再根据()f x 在[]0,1上为减函数可得出132x x -<-，解出x 的范围，即可得出答案.【详解】解：由题意可知1111321x x -≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得12x ≤≤ .因为()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且[]0,1上为减函数， 则()f x 在[]0,1上为减函数，由()()132f x f x ->-，得()()132f x f x ->-， 所以132x x -<-， 所以()()22132x x -<-，整理得：231080x x -+> ，解得：43x < 或2x > . 所以413x ≤<. 故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查偶函数的性质，函数的单调性，不等式求解.15.()()()()21sin ,10,{12,,0x x x f x f f a a e x π--<=+=≥＜函数若则的所有可能值为_________________.【答案】12与- 【解析】 【分析】由题意可得f （1）=e 1﹣1=1，从而化简可得f （a ）=1；再分类讨论求a 的所有可能值． 【详解】∵f（1）=e 1﹣1=1， ∴f（a ）=1；①当a ≥0时，a=1；②当﹣1＜a ＜0时，sin （π•a 2）=1， 即a=﹣2； 综上：a的所有可能值12-．故答案为12-【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 16.在ABC 中,已知tansin 2A BC +=,给出以下四个论断: ①tan tan A B =,②1sin sin A B <+≤22sin cos 1A B +=,④222cos cos sin A B C +=,其中正确的是__________.【答案】②④ 【解析】 【分析】已知式子变形可得2A B π+=，逐个选项判定即可.【详解】解：因为tan sin 2A BC += 所以sin22sin cos 22cos 2A B A B A B A B +++=+ 整理得()cos 0A B += . 所以2A B π+=.①中：因为2A B π+=，所以tan A 不一定等于tan B ，故①不正确；②中：因为sin sin sin cos 4A B A A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭又因为3444A πππ<+<，所以sin 124A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以1sin sin A B <+≤故②正确；③中：22222sin cos sin si n 12n si A B A A A ==+=+，不一定成立，故③不正确； ④中：2222cos cos cos sin 1A A B A +==+,22sin si 1n 2C π==,所以222cos cos sin A B C +=.故④正确.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，命题的真假的判断，属基础题. 三､解答题:17.已知函数()()2cos sin x f x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)当,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()y f x =的值域. 【答案】(1) 最小正周期为π;(2) 2⎡⎤⎣⎦.【解析】 【分析】(1) 利用两角和差公式和二倍角公式对()f x 进行化简，再根据2T πω=计算出函数()f x 的最小正周期；(2) 由x 的范围求23x π+的范围，进而求出2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围即可． 【详解】解：(1)因为()()2cos sin x f x x x =22cos sin x x x =+sin 22x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以22T ππ== . 所以()f x 最小正周期为π. (2) 因为,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以42,3123x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 故()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了两角和与差的正余弦函数公式、二倍角公式、最小正周期，求值域问题，熟练掌握公式是解本题的关键. 18.已知幂函数213()(322)mf x m m x +=--+在(0,)+∞上为增函数．（1）求()f x 解析式；（2）若函数2()()(21)1g x f x a x a =-++-在区间(),21a a -上单调递减，求实数a 的取值范围．【答案】(1)2()f x x = ,(2) (312⎤⎥⎦，【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义和单调性求解即可； （2）根据二次函数的性质求解．【详解】（1）由题意23221m m --+=，解得1m =-或13m =，又130m +>，∴13m =，∴2()f x x =．（2）由（1）22()(21)1g x x a x a =-++-，()g x 在(,21)a a -上递减，则2121212a a a a ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，解得312a <≤．∴a 的范围是3(1,]2．【点睛】本题考查幂函数的概念，考查二次函数的性质．掌握幂函数定义是解题基础．二次函数的单调性与对称轴有关，利用对称轴与所给区间关系可得结论．19.已知()sin 2αβ-=()11cos 214αβ-=-,042ππβα<<<<.(1)求()cos 2αβ-值; (2)求αβ+的值. 【答案】(1)17; (2)3π . 【解析】 【分析】(1)根据同角三角函数关系，先求出2αβ-的范围，进而求出()cos 2αβ-值; (2)利用两角和差的余弦公式进行求解即可. 【详解】解：(1)因为042ππβα<<<<，所以022022ππββ<<<-<，-，则242ππαβ-<-<，由()sin 20αβ-=>得022παβ<-<，所以()1cos 72αβ===-. (2)由()11cos 214αβ-=-以及24παβπ<-<，得()sin 2αβ-=， 所以()()()cos cos 22αβαβαβ⎡⎤+=---⎣⎦()()()()cos 2cos 2sin 2sin 2αβαβαβαβ=--+--11111472=-⨯= ， 又因为344ππαβ<+<， 所以3παβ+=.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．难度不大. 20.已知函数()2sin cos 4f x a x x a =-+-,[]0,x π∈.(1)求()f x 的最大值()g a ;(2)若方程()f x a =在[]0,π上有解,求a 的取值范围.【答案】(1) ()4,1=3,1a g a a a ≥-⎧⎨-<-⎩;(2) 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】(1)利用三角函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得()f x 的最大值()g a ;(2)由题意可得2sin 32sin x a x +=-，令[]sin 0,1t x =∈则232t a t+=-，显然函数a 在[]0,1t ∈上单调递增，由此可得a的范围.【详解】解：(1)因为函数()222sin cos 4sin 324a a a a f x x x x a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭因为[]0,x π∈，所以[]sin 0,1∈x ， 当122a -≤，即1a ≥-时，则sin 1x =时，()f x 取得最大值()4g a =； 当122a ->，即1a <-时，则sin 0x =时，()f x 取得最大值()3g a a =-；综上所述()4,1=3,1a g a a a ≥-⎧⎨-<-⎩.(2)因为[]0,x π∈，所以[]sin 0,1∈x 因为方程()f x a =在[]0,π上有解，所以22sin 3024a a x a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭在[]0,π上有解， 即2sin sin 320x a x a ++-= 整理得()2sin 32sin x a x +=-，所以2sin 32sin x a x+=-.令[]sin 0,1t x =∈则232t a t+=-，显然函数a 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当0t =时，32a =； 当1t =时，4a =.故a 的取值范围是3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的值域，二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21.已知函数()2log 11a f x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭(0a >且1a ≠). (1)判断函数()f x 的奇偶性并说明理由;(2)是否存在实数a ,使得当()f x 的定义域为[],m n 时,值域为[]1log ,1log a a n m ++?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)存在；(0,3∈-a . 【解析】 【分析】 (1)由2101->+x ，可求出()f x 的定义域，利用定义法能求出()f x 在定义域上为奇函数;(2)把()f x 的定义域为[],m n 时,值域为[]1log ,1log a a n m ++转化为()f x 在()1,+∞单调递减，进一步得到11x ax x -=+在()1,+∞上有两个互异实根；令()()211g x ax a x =+-+，转化为关于a 的不等式组求解. 【详解】(1) 由2101->+x ，可得1x <-或1x >， 所以()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞；因为()21log 1log 11a a x f x x x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 且()()111log log log 111a a a x x x f x f x x x x --+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-=-⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；所以()f x 在定义域上为奇函数.(2)假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时,值域为[]1log ,1log a a n m ++；由0m n << ，又log 1log 1a a n m +<+，log log a a n m <， 所以01a << . 又因为()2log 11a f x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭， 所以()f x 在()1,+∞单调递减， 所以()f x 在(),m n 单调递减，所以1()log 1log 11()log 1log 1a a a a m f m m m n f n n n ⎧-⎛⎫==+ ⎪⎪+⎪⎝⎭⎨-⎛⎫⎪==+ ⎪⎪+⎝⎭⎩，故m ，n 是方程1log 1log 1a a x x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的两个实数根， 即11x ax x -=+在()1,+∞上有两个互异实根； 于是问题转化为关于x 的方程()2110ax a x +-+= 在()1,+∞上有两个不同的实数根，令()()211g x ax a x =+-+，()2140a a ∆=-->，则有()11210a a g -⎧->⎪⎨⎪>⎩，解得03a <<-故存在实数(0,3∈-a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++.【点睛】本题考查函数的定义域及奇偶性的判断，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 22.函数()()()2cos x x x f ωϕωϕ=+-+sin 34x πωϕ⎛⎫⋅++- ⎪⎝⎭0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭同时满足下列两个条件:①()f x 图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形②1,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心. (1)当[]0,2x ∈时,求函数()f x 的单调递增区间; (2)设()sin sin 42xx g m x =++,若对任意1x R ∈,总是存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12f x g x ≥,求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)52m ≤-.【解析】 【分析】(1)利用两角和与差的余弦公式和二倍角公式化简函数()f x ，根据题内两条件求出函数()f x 的表达式，进而求出函数的单调递增区间；(2)对任意1x R ∈,总是存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12f x g x ≥,可知()()12min min f x g x ≥，求由此能求出m 的取值范围. 【详解】解：(1)由题意可得()()()()()221sin cos 224f x x x x x ωϕωϕωϕωϕ=+-++-+-()()21sin 24x x ωϕωϕ=+-+()()12sin 24x x ωϕωϕ=+-+()()11cos 2sin 2222x x ωϕωϕ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭()()11cos 2sin 2222x x ωϕωϕ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ()1cos 226x πωϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 因为()f x 图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形， 所以()f x 的最小正周期为242T πω==，解得4πω=. 又因为1,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以111cos 2062466f ππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得8πϕ=. 所以()15cos 2212f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为[]0,2x ∈，所以5517,2121212x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以当17,152212x ππππ⎡+∈⎤⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，故当7,26x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数单调递增.所以函数()f x 的单调递增区间为7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)因为对任意1x R ∈,总是存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12f x g x ≥， 所以()()12min min f x g x ≥. 因为()15cos 2212f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以 ()min 12f x =-， 因为()sin sin 42xx g m x =++=()sin s n 2i 22x x m ++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令sin 2x t =，[]1,2t ∈，则()2g x t t m =++，所以()()min 12g x g m ==+ 所以122m -≥+ ，解得52m ≤-.【点睛】本小题主要考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力，属于常考题，属于中档题.。

2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有-项是符合题目要求的.1．已知集合{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<，则(M N = )A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x <<2．函数1()3f x x =+的定义域为( ) A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]3．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，若f （a ）12=，则实数a 的值为( )A ．1-BC ．1-D ．1或4．设()f x 是定义城为R 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则( ) A ．(2)f f ->（1）f >（3） B ．(2)f f ->（3）f >（1） C ．f （1）(2)f f >->（3） D ．f （3）f >（1）(2)f >-5．函数()f x x =，则( ) A ．函数的最小值是0．无最大值 B ．函数的最大值是1，无最小值 C ．函数的最小值是0，最大值为1D ．函数无最大值，也无最小值6．若()f x 为奇函数，当0x >时，2()f x x x =-+，则当0x <时，()(f x = ) A ．2x x --B ．2x x -C ．2x x +D ．2x x -+7．设120.6a =，130.6b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．若函数3()()g x f x x =+是偶函数且(1)2f -=，则f （1）(= ) A ．0B ．1C ．2D ．39．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1)为( ) A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.510．幂函数()()f x x R αα=∈的图象过点(8,4)，则幂函数()f x 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为1m 的星的亮度为1E ，星等为2m 的星的亮度为2E ．已知太阳的星等是26.7-，小熊座λ星的星等是6.55，则太阳与小熊座λ星的亮度的比值为( ) A ．13.3B ．13.310C ．13.3lnD ．13.3lg12．己知函数()|(1)|(01)x f x lg x a a =--<<有两个零点1x ，2x ，则有( ) A ．121x x <B ．1212x x x x <+C ．1212x x x x =+D ．1212xx x x >+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．已知集合{|20}A x x a =+>，若1A ∉，则实数a 的取值范围是 ． 14．计算42log2= ．15．函数y =的增区间是 ．16．已知函数27()()1x ax f x a R x ++=∈+．若对于任意的(0x ∈，)()3f x +∞…恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合{|14}A x x =剟，3{|log 1}B x x =>，全集为R ．（Ⅰ）()R AB ð，（Ⅱ）已知集合{|1}M x x a =<<，若M A M =，M ≠∅，求实数a 的取值范围．18．已知二次函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且(0)0f =，且()f x 的最大值为1． （Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）求()f x 在区间[0，](0)a a >上的最大值．19．已知函数2()4xx f x a =+在R 上总有()()f x f x -=成立．（Ⅰ）求a 的值，（Ⅱ）求()f x 在[1，2]上的值域．20．已知函数2()21()f x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x >，（Ⅱ）若方程()0f x =有两个不相等实根1x ，2x ，且12214x x x x +<，求实数a 的取值范围．21．已知函数212,(0,1)2()(),[1,)x mx x f x m R m x x x ⎧+-∈⎪⎪=∈⎨⎪+∈+∞⎪⎩（Ⅰ）当2m =时，判断()f x 的零点个数并说明理由：（Ⅱ）若()f x 在区间(0,)+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．22．已知函数222()log ()(0a f x x a a =->且1)a ≠． （Ⅰ）当2a =时，解不等式f （3）(3)f x <-，（Ⅱ）关于x 的方程(2)log (2)x x a f at =-有解，求实数t 的取值范围．2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有-项是符合题目要求的.1．已知集合{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<，则(M N = )A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x <<【解答】解：集合{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<， 则{|43}MN x x =-<<．故选：A ．2．函数1()3f x x =+的定义域为( ) A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]【解答】解：由题意1030x x -⎧⎨+≠⎩…，解得1x …且3x ≠-，故选：D ．3．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，若f （a ）12=，则实数a 的值为( )A ．1-BC ．1-D ．1或【解答】解：当0x >时，21log 2x =，x ∴= 当0x …时，122x =，1x ∴=-．则实数a 的值为：1- 故选：C ．4．设()f x 是定义城为R 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则( ) A ．(2)f f ->（1）f >（3） B ．(2)f f ->（3）f >（1） C ．f （1）(2)f f >->（3）D ．f （3）f >（1）(2)f >-【解答】解：根据题意，()f x 是定义城为R 的偶函数，则(2)f f -=（2）， 又由()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，则f （1）f >（2）f >（3），则有f （1）(2)f f >->（3）， 故选：C ．5．函数()f x x =，则( ) A ．函数的最小值是0．无最大值 B ．函数的最大值是1，无最小值 C ．函数的最小值是0，最大值为1D ．函数无最大值，也无最小值【解答】解：函数()f x x =，1()2x …，令t =，(0)t …，则221t x =-， ∴21122x t =+， 那么()f x 转化为22111()(1)222g t t t t =-+=-，可知()g t 的最小值为0，没有最大值， 故选：A ．6．若()f x 为奇函数，当0x >时，2()f x x x =-+，则当0x <时，()(f x = ) A ．2x x --B ．2x x -C ．2x x +D ．2x x -+【解答】解：当0x <时，0x ->，则 由当0x >时，2()f x x x =-+， 即有2()f x x x -=--，又()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 则有2()f x x x =+，(0)x >． 故选：C ．7．设120.6a =，130.6b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解答】解：00.61<<，∴指数函数0.6x y =在(,)-∞+∞单调递减，11023>>，1132006061∴<<<， 01a b ∴<<<，21>，∴对数函数2log y x =在(0,)+∞单调递增，0.61<，22log 0.6log 10∴<=， 0c ∴<， c a b ∴<<，故选：B ．8．若函数3()()g x f x x =+是偶函数且(1)2f -=，则f （1）(= ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：若函数3()()g x f x x =+是偶函数， 则()()g x g x -=， 即33()()f x x f x x --=+， 则(1)1f f --=（1）1+， 得21f -=（1）1+， 得f （1）0=， 故选：A ．9．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1)为( ) A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.4065,1.438)中，观察四个选项，与其最接近的是C ， 故选：C ．10．幂函数()()f x x R αα=∈的图象过点(8,4)，则幂函数()f x 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：幂函数()()f x x R αα=∈的图象过点(8,4)， 48α∴=，解得23α=，21233()()f x x x ∴==，由幂函数的图象可知C 正确， 故选：C ．11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为1m 的星的亮度为1E ，星等为2m 的星的亮度为2E ．已知太阳的星等是26.7-，小熊座λ星的星等是6.55，则太阳与小熊座λ星的亮度的比值为( ) A ．13.3B ．13.310C ．13.3lnD ．13.3lg【解答】解：设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 6.55m =， 1256.5526.72Elg E ∴+=，1213.3E lg E ∴=， ∴13.31210E E = 故选：B ．12．己知函数()|(1)|(01)x f x lg x a a =--<<有两个零点1x ，2x ，则有( ) A ．121x x <B ．1212x x x x <+C ．1212x x x x =+D ．1212x x x x >+【解答】解：因为函数()f x 有两个零点，故方程|(1)|(01)x lg x a a -=<<有两个解1x ，212()x x x <．设函数()|(1)|g x lg x =-，函数()x h x a =，则()|(1)|g x lg x =-与()x h x a =的图象有两个交点， 由图象知，1202x x <<<，所以11(1)x lg x a --=，22(1)x lg x a -=，因为01a <<，所以12x x a a >，得12(1)(1)lg x lg x -->-，12(1)(1)0lg x x --<，即12(1)(1)1x x --<，整理得，1212x x x x <+． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．已知集合{|20}A x x a =+>，若1A ∉，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]- ． 【解答】解：由题意可得 集合A 的解集为{|}2a x x >-，又1A ∉， 由此解得12a-…，解得2a -…，故答案为：(-∞，2]-． 14．计算42log2= 16 ．【解答】解：42log42216==．故答案为：16．15．函数y =的增区间是 1[1,]2- ．【解答】解：令22192()24t x x x =-++=--+，由0t …可得12t -剟，函数u =[1-，1]2，减区间是1[2，2]，2u y =在R 上单调递增，∴函数y =[1-，1]2，故答案为：[1-，1]2．16．已知函数27()()1x ax f x a R x ++=∈+．若对于任意的(0x ∈，)()3f x +∞…恒成立，则a 的取值范围是 [1-，)+∞ ．【解答】解：根据题意及0x >，则由()3f x …，得2733x ax x +++…， 整理得4()3a x x-++…，由函数4()y x x=-+的最大值为4-，得[1a ∈-，)+∞．故答案为：[1-，)+∞．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合{|14}A x x =剟，3{|log 1}B x x =>，全集为R ． （Ⅰ）()R AB ð，（Ⅱ）已知集合{|1}M x x a =<<，若M A M =，M ≠∅，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）{|14}A x x =剟，{|3}B x x =>， {|3}R B x x ∴=…ð，(){|13}R AB x x =剟ð；（Ⅱ）M A M =，M A ∴⊆，且M ≠∅，{|1}M x x a =<<， 14a ∴<…，∴实数a 的取值范围为(1，4]．18．已知二次函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且(0)0f =，且()f x 的最大值为1． （Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）求()f x 在区间[0，](0)a a >上的最大值．【解答】解（1）由已知设2()(1)1(0)f x m x a =-+<，又(0)10f m =+=，则1m =-，2()2f x x x ∴=-+；（2）由题知：()f x 的对称轴为1x = ①当01a <<时，2()()2max f x f a a a ==-+；②当1a …时，()max f x f =（1）1=． 19．已知函数2()4xx f x a =+在R 上总有()()f x f x -=成立．（Ⅰ）求a 的值，（Ⅱ）求()f x 在[1，2]上的值域． 【解答】解（1）()()f x f x -=恒成立，即2222414444141x x x xx x xx xx a a a a a --=⇒=⇒+=+++++， 1a ∴=；（2）令2x t =，则24t 剟， 则11y t t=+，1h t t =+在[2t ∈，4]上为增函数，∴1517[,]24t t +∈，故所求值域为42[,]175．20．已知函数2()21()f x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x >，（Ⅱ）若方程()0f x =有两个不相等实根1x ，2x ，且12214x x x x +<，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题及1a =，得2230x x +->，解得1x >或3x <-，则不等式()4f x >的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞．（2）由方程2210x ax ++=有两个不相等实根1x ，2x ，则△2440a =->，即21a >，得122x x a +=-，121x x =，因为12214x x x x +<，得2212124x x x x +<， 化简得22124x x +<，即21212()24x x x x +-<，代入得232a <． 综上，2312a <<，则实数a的取值范围6(1)(1,)-．21．已知函数212,(0,1)2()(),[1,)x mx x f x m R m x x x ⎧+-∈⎪⎪=∈⎨⎪+∈+∞⎪⎩（Ⅰ）当2m =时，判断()f x 的零点个数并说明理由： （Ⅱ）若()f x 在区间(0,)+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．【解答】解（Ⅰ）当2m =时，214,(0,1)2()2,[1,)x x x f x x x x ⎧+-∈⎪⎪=⎨⎪+∈+∞⎪⎩， 2219()4(2)22f x x x x =+-=+-，故当01x <<，在(0,1)上单增，且1(0)02f =-<，9(1)02f =>． 由零点存在性定理，21()42f x x x =+-在(0,1)上有一个零点． 当1x >时，()0f x >．综上，()f x 有一个零点．（Ⅱ）由()f x 在区间(0,)+∞上为增函数，0001,1212m m m m m m ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪++⎩或或…… 解得102m 剟． 22．已知函数222()log ()(0a f x x a a =->且1)a ≠．（Ⅰ）当2a =时，解不等式f （3）(3)f x <-， （Ⅱ）关于x 的方程(2)log (2)x x a f at =-有解，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，()f x 是偶函数，在(2,)+∞上单增，由f （3）(3)f x <-，得f （3）(|3|)f x <-进而3|3|x <-，得6x >或0x <，所以不等式的解集为(-∞，0)(6⋃，)+∞；（2）因为关于x 的方程(2)log (2)x x a f at =-有解， 所以22(4)(2)x x a a log a log at -=-，化简得22log (4)log (2)x x a a a at -=-，得2224(2)4020x x x x a at a at ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，因为224(2)x x a at -=-，则22(1)22x t a at +=， 所以0t >，因为0a ≠，所以22(1)222x t a t at +=>， 解得2212t t +>，即01t <<．。

重庆市第八中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为（ ）A ．{}3,0x y ==B ．(){}3,0C ．{}3,0D ．{}0,32．点C 在线段AB 上，且23AC CB =若AB BC λ=，则λ=（ ） A ．23B ．23-C ．53D ．53-3．()sin 2019-=（ ）A ．sin39B ．sin39-C ．cos39D ．cos39-4．已知函数2()22f x x x =-+的定义域和值域均为()[1,1]b b >，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．若()()sin cos 0θθ-⋅-<，则θ在第（ ）象限. A ．一、二B ．二、三C ．一、三D ．二、四6．把函数sin3y x =的图象向左平移6π，可以得到的函数为（ ） A ．sin(3)6y x π=+ B ．sin(3)6y x π=-C ．cos3y x =D ．cos(3)6y x π=+7．函数11()11f x n x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,58．若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．4πB ．2π C ．34π D ．π9．函数()()log 10,1a y ax a a =->≠在定义域[]1,2上为增函数，则a 的范围（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．1[0,]2D ．1(0,)210．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.52(log 0.2),(2),(4)a g b g c g ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<11．下列函数中,既没有对称中心，也没有对称轴的有（ ）①51x y x -=+②3sin 4cos y x x =-③1)y =④21xy =- A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．设正实数a,b 均不为1且log a 2>log b 2，则关于二次函数f(x)=(x −a)(x −b)+(x −b)(x −1)+(x −1)(x −a)，下列说法中不正确的是（ ） A ．三点(1,f(1)),(a,f(a)),(b,f(b))中有两个点在第一象限 B ．函数f(x)有两个不相等的零点 C ．f(a+b+13)≤f(a)+f(b)+f(1)3D ．若a >b ,则f(0)>f(2)二、填空题13．已知幂函数y x α=的图象过点(14,2)，则α=________. 14．计算:4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+=________. 15．设3sin(),452ππαα+=<,则cos2=α________. 16．已知OPQ 是半径为1，圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的接矩形，则2AB AD +的最大值为________.三、解答题17．设集合{}2320A x x x =-+<，集合2}{0|21x a B x x -=>+.(1)若a =求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-. (1)求()3f π的值；(2)若1(0,),sin()263ππαα∈-=求()f α的值. 19．已知函数3()31x x mf x -=+是定义在实数集R 上奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若x 满足不等式45240x x -⋅+≤，求此时()f x 的值域.20．已知定义在R 上的函数()()2sin 0,0,0()x A f x ωϕωϕπ=+>><<,()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π,且()012f π=.（1）求()f x 的解析式； （2）若2()4sin 20,(0,)62f x x x m x ππ--++≥∈恒成立，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()2log f x mx n =+的图象经过点()(),1,04,2P Q .(1)求函数()y f x =的表达式；(2)如图所示，在函数()f x 的图象上有三点()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++,其中2a ≥，求ABC ∆面积S 的最大值.22．设两实数,a b 不相等且均不为0.若函数()y f x =在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11[,]b a，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知函数()222,[2,0)2,[0,2]x x x g x x x x ⎧+∈-=⎨-+∈⎩.（1）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（2）若函数()g x 在定义域[]22-,内所有“倒域区间”的图象作为函数()y h x =的图象，是否存在实数m ，使得()y h x =与22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩恰好有2个公共点?若存在，求出m 的取值范围：若不存在，请说明理由.参考答案1．B 【分析】解方程组,可得方程组的解,再表示成集合即可. 【详解】因为方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程可得30x y =⎧⎨=⎩表示成集合形式为(){}3,0故选:B 【点睛】本题考查了方程解的集合表示形式,注意要写成点坐标,属于基础题. 2．D 【分析】根据点C 在线段AB 上,且23AC CB =,可得C 与AB 的位置关系,进而根据AB BC λ=即可得λ的值. 【详解】因为点C 在线段AB 上,且23AC CB =所以A 、B 、C 的位置关系如下图所示：因为AB BC λ=则53AB BC =- 所以53λ=-故选：D 【点睛】本题考查了向量的数乘运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题。

重庆八中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={x|x ≤9,x ∈N +}，集合A ={1,2，3}，B ={3,4，5，6}，则∁U (A ∪B)=( )A. {3}B. {7,8}C. {7,8，9}D. {1,2，3，4，5，6}2. 下列函数中既是奇函数又在区间，[−1,1]上单调递减的是( )A. y =sinxB. y =−|x +1|C. y =ln 2−x 2+xD. y =12(2x +2−x ) 3. 若tanα=13,tan(α+β)=12，则tanβ=( )A. 17B. 16C. 57D. 56 4. 设a =log 0.70.8，，则( ) A. b >a >0 B. a >0>b C. a >b >0 D. b >0>a5. 在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ，则λμ的值是( )A. 14B. 12C. 2D. 46. 函数f(x)=xsinx 的图象大致是( )A. B.C. D.7. 若函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A. [43,3]B. [43,2]C. [43,2)D. [43,+∞)8.函数f(x)=cos(2x+π6)的一条对称轴为()A. π6B. 5π12C. 2π3D. −2π39.函数f(x)=sin(x+π12)+sin(x+5π12)最大值是()A. 2B. 32C. √3D. 2√310.已知函数，，若对任意x1∈[2,+∞)，总存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是()A. B. C. D. [1,32]∪[74,2]11.已知cosα=35，α∈(−π2,0)，则sin2α的值为()A. −1225B. −2425C. 1225D. 242512.已知函数f(x)=e x−e−x，若，则实数m的取值范围是()A. (1,2)B. (1,32) C. (0,1) D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(3,2)，b⃗ =(2,−1)，若λa⃗+b⃗ 与a⃗+λb⃗ 平行，则λ=______ ．14.计算：lg25+2lg2+823=______．15.已知定义在R上的偶函数y=f(x)，当x≥0时，f(x)=lg(x2−3x+3)，则f(x)在R上的零点个数为________．16.设函数y=sinωx(ω>0)在区间[−π5,π3]上是增函数，则ω的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知sinα=√55，且α是第一象限角(Ⅰ)求cosα的值(Ⅱ)求tan(π+α)cos(π−α)−sin(π2+α)的值．18.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象过点(−2,4)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m+5)<f(3m+3)，求m的取值范围．19.设函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)当−π12⩽α⩽5π12时，求f(a)的取值范围．20. 已知函数f (x )=−√2sin (2x +π4)+6sinxcosx −2cos 2x +1,x ∈R(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值．21. 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于∀x ∈R ，都有f(−x)=f(x)成立．(1)若x ≥0时，f(x)=(12)x ，求不等式f(x)>14的解集；(2)若f(x +1)是偶函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，求f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．22. 已知函数f(x)=2asin (2x −π3)+b 的定义域为[0,π2]，函数的最大值为1，最小值为−5，求a和b 的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：全集U={x|x≤9,x∈N+}={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={1,2，3}，B={3,4，5，6}，A∪B={1,2，3，4，5，6}；∴∁U(A∪B)={7,8，9}．故选：C．化简全集U，根据并集与补集的定义，写出运算结果即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：y=sinx是奇函数，但是，[−1,1]上单调增函数．y=−|x+1|不是奇函数，对于y=ln2−x2+x ，因为f(−x)=ln2+x2−x=−ln2−x2+x=−f(x)，所以y=ln2−x2+x是奇函数，y=ln2−x2+x=ln(42+x−1)在[−1,1]上单调减函数，y=12(2x+2−x)是偶函数，[−1,1]上单调递增．故选：C．判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．3.答案：A解析：tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1−tan(α+β)tanα=12−131+12×13=17．4.答案：B解析：本题考查对数的比较大小问题，属于基本题型．根据对数函数的单调性可知a，b的大小．解：因为0.7<1， 函数在定义域上单调递减， 所以．因为1.1>1， 函数在定义域上单调递增， 所以， 所以a >0>b ．故选B ． 5.答案：B解析：本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出λ，μ的值即可得出答案．解：∵D 为AB 中点，E 为CD 中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ +14a ⃗ ，∴λ=14，μ=12，∴λμ=12． 故选：B ．6.答案：A解析：解：函数f(x)=xsinx 满足f(−x)=−xsin(−x)=xsinx =f(x)，函数的偶函数，排除B 、C ， 因为x ∈(π,2π)时，sinx <0，此时f(x)<0，所以排除D ，故选：A ．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力． 7.答案：C解析：本题主要考查合函数的单调性.解题时需结合二次函数的单调性，注意定义域． 解：设，−1<x <5，因为函数f(x)=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增， 所以3m −2≥−1且m +2≤5，且根据复合函数的单调性，可得：{3m −2≥23m −2<m +2． ∴43≤m <2 故选C ．8.答案：B解析：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．解：对于函数y =cos(2x +π6)，令2x +π6=kπ，求得x =12kπ−π12，k ∈Z ，故当k =1时，它的图象的一条对称轴方程为x =5π12．故选：B ． 9.答案：C解析：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力，利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可，解：函数．故选C10.答案：C解析：本题考查求函数值域，以及存在性问题，恒成立问题求参数的取值范围，难度较大．解：函数，，当x∈[2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数，值域为[1,+∞);，当x≥0时，g(x)∈[2−a,2+a]；当x<0时，g(x)∈[2a,+∞)，由题意得2a<1或{2+a≥2a2−a≤1，所以a应满足．故选C．11.答案：B解析：解：∵cosα=35，α∈(−π2,0)，∴sinα=−√1−cos2α=−45．∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用.首先利用函数的奇偶性和单调性的定义，判断函数f(x)的奇偶性和单调性，得到，解不等式，得到答案．解：因为f(−x)=e−x−e x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，且单调递增，所以，即，得，所以0<m<2．故选D．13.答案：±1解析：解：∵a⃗=(3,2)，b⃗ =(2,−1)∴λa⃗+b⃗ =(3λ+2,2λ−1)，a⃗+λb⃗ =(3+2λ,2−λ)∵λa⃗+b⃗ //a⃗+λb⃗∴(3λ+2)(2−λ)=(2λ−1)(3+2λ)解得λ=±1故答案为：±1利用向量的运算法则求出两个向量的坐标，再利用向量共线的充要条件列出方程，解方程得值．本题考查向量的坐标形式的运算法则、向量平行的坐标形式的充要条件．14.答案：6解析：解：原式=lg(25×22)+23×23=2+4=6．故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：4解析：本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．利用函数是偶函数求出xx≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．解：当x ≥0时，f(x)=lg(x 2−3x +3)，函数的零点由：lg(x 2−3x +3)=0，即x 2−3x +3=1，解得x =1或x =2．因为函数是定义在R 上的偶函数y =f(x)，所以函数的零点个数为：4个．故答案为4．16.答案：(0,32]解析：本题考查正弦函数的性质，结合正弦函数的性质得[−π5ω,π3ω]⊆[−π2,π2]，可得结果．解：∵x ∈[−π5,π3]，∴ωx ∈[−π5ω,π3ω]；因为函数y =sinωx(ω>0)在区间[−π5,π3]上是增函数，所以[−π5ω,π3ω]⊆[−π2,π2]，则{−π5ω≥−π2π3ω≤π2, 即{ω≤52ω≤32，又ω>0， 所以ω的取值范围为(0,32]．故答案为(0,32]．17.答案：解：(Ⅰ)sinα=√55，且α是第一象限角 cosα=√1−sin 2α=2√55 (Ⅱ)tanαcos(π−α)−sin(π2+α)=−tanαcosα−cosα=−sinα−cosα=−√55−2√55=−3√55．解析：(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系式直接求cosα的值(Ⅱ)通过弦切互化以及诱导公式直接求tan(π+α)cos(π−α)−sin(π2+α)的值即可．本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力． 18.答案：解：由题意可得f(−2)=a −2=4，其中a >0且a ≠1，解得a =12，所以f (x )=(12)x ; (2)由(1)可知f(x)在R 上是减函数，因为f(2m+5)<f(3m+3)，所以2m+5>3m+3，解得m<2，所以m的取值范围为(−∞,2)．解析：本题考查了函数的单调性，指数函数，属于基础题．(1)直接代入点即可得出f(x)解析式；(2)根据函数的单调性计算即可．19.答案：解：(1)由题图知A=√3，又因为3T4=7π12−(−π6)=3π4，ω>0，所以T=π=2πω，即ω=2，所以f(x)=√3sin(2x+φ)，将点(7π12,−√3)代入，得2×7π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，所以φ=π3+2kπ(k∈Z)，又−π2<φ<π2，所以φ=π3，所以f(x)=√3sin(2x+π3)；(2)当α∈[−π12,5π12]时，2α+π3∈[−π6,7π6]，所以sin(2α+π3)∈[−12,1]，即f(α)的取值范围为[−√32,√3]．解析：本题主要考查由函数的图象求函数解析式的方法，考查函数y=Asin(ωx+φ)、正弦函数的图象和性质．(1)由图象知A、周期T，利用周期公式可求ω，由点(7π12,−√3)在函数图象上，结合范围−π2<φ<π2，可求φ，从而解得函数解析式；(2)由α∈[−π12,5π12]，可求2α+π3∈[−π6,7π6]，利用正弦函数的图象和性质，即可求得f(α)的取值范围．20.答案：解：(1)∵函数，∴它的最小正周期为2π2=π．(2)因为x∈[0,π2]上，2x−π4∈[−π4,3π4]，故当2x−π4=−π4时，f(x)取最小值−2，当2x−π4=π2时，f(x)取最大值2√2，故函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2√2，最小值为−2．解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)最小正周期．(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．21.答案：解：由题意：函数f(x)的定义域为R，且对于∀x∈R，都有f(−x)=f(x)成立．∴f(x)是偶函数．(1)当x≥0时，f(x)=(12)x，那么：x <0时，则−x >0，f(−x)=(12)−x ， ∵f(−x)=f(x)，故得x <0时，f(x)=(12)−x ，∴f(x)在定义域为R 上的解析式f(x)=(12)|x|，不等式f(x)>14转化为：(12)|x|>(12)2，∴|x|<2，解得：−2<x <2，∴不等式f(x)>14的解集为{x|−2<x <2}．(2)由f(x +1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．即f(x +1)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ， ∵x ∈[2015,2016]上，那么：x −2015∈[0,1]上；∴f(x)=2x−2015；故得f(x)在区间[2015,2016]上的解析式f(x)=2x−2015；解析：(1)由题意求出f(x)在定义域为R 上的解析式，再求解f(x)>14的解集；(2)由f(x +1)是偶函数，可得f(x)是周期为1的函数．当x ∈[0,1]时，f(x)=2x ，可以得出f(x)在区间[2015,2016]上的解析式．本题考查了函数的奇偶性的运用和周期函数解析式的求法．属于基础题． 22.答案：解：由题意可得a ≠0，因为0≤x ≤π2，所以−π3≤2x −π3≤2π3，所以−√32≤sin (2x −π3)≤1． 若a >0，则{2a +b =1−√3a +b =−5, 解得{a =12−6√3b =−23+12√3； 若a <0，则{2a +b =−5−√3a +b =1, 解得{a =−12+6√3b =19−12√3；综上知{a =12−6√3b =−23+12√3或{a =−12+6√3b =19−12√3．解析：本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值，属于基础题．由x 的取值范围，求出2x −π3的取值范围，从而求出sin(2x −π3)的取值范围；讨论a >0、a <0时，函数f(x)的最值问题，从而求出a 和b 的值．。