一种矩形网格自动剖分及加密算法
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式中 9; 为单元总数。应力计算相对误差的定义为：
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（ %# ）
式中 !4 +! +
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9# ） ,（ 9# ） (/% ’’（
% 8 ! : !
若计算误差以 $ 表示， 给 定 的 误 差 用 $<=> 表 示 ， 则计算退 出的条件为：
$"$<=>
（ %! ）
宽划分单元格， 当内部域面积大于整个单位域面积的二分之一 时， 将整个单位域划为内部单位域， 否则划分为外部单位域。 划分方法基于以下假设：当网格划分得足够小得时候， 给 定单位域内曲线面积可近似认为等于由边界上两点连接成的 直线而构成得梯形面积。 如图 % 由曲线构成的阴影区可近似认 为与直线构成的阴影区相等。
面。 如果有， 则选其作为新的坐标轴， 其一个端点作为新的坐标 原点。进行坐标变换。根据坐标平移公式和坐标旋转公式可推 出三维坐标平移旋转公式为：
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网格自动加密算法
在网格自动剖分完成后， 可进行网格加密。首先应计算判
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网格剖分即是将二维曲线所围成的目标域划分成足够小
的多边形单元或将三维曲面所围成的目标域剖分成足够小的 多面体。 在每个单元内所有的点都可以近似认为具有完全相同 的媒质参数。 网格自动生成器即是根据给定的网格宽度对目标
基金项目： 教育部优秀青年骨干教师项目资助（ 教技司 <!"""=&Y 号）
一种矩形网格自动剖分及加密算法
沈殊璇 薄亚明 （ 江南大学通信与控制工程学院， 无锡 !%A"#& ）
摘 要 利用差分算子分列式进行高效预处理， 需要对目标域进行矩形网格剖分。 而常用的有限元网格自动生成器难以
满足需要。文章吸取了逐点比较法的思想， 设计了一种新的算法， 可以实现矩形网格的均匀和非均匀剖分以及网格的自 动加密， 并大大简化剖分时的运算量和需要记录的数据量。 关键词 矩形网格 网格加密 逐点比较法 网格自动生成器 文献标识码 ( 中图分类号 E6#"%
的矩形网格自动剖分器对圆的均匀网格剖分结果。
有限元自动网格剖分
矩形网格自动剖分
1
结论
从以上网格剖分结果可看出， 有限元网格剖分器是严格按
照目标域边界进行网格划分， 精度高， 更适合于有限元算法器。 而改进的逐点比较法具有规则网格形状， 大大减少了需记录的 数据量和计算量， 更适合于有限差分法算法器。但由于其对边 界进行了近似处理， 因此精度不高。 为了提高精度， 可通过减小 网格的单位域面积， 进行快速收敛 D@KLH 的方法 .&/来解决。 笔者根据该算法设计实现了对矩形网格剖分自动生成器，
假设误差在各个单元之间平均分布， 则上式为
! % !
（ %5 ）
图%
图!
5 ! "$<=>’ !#&! ( +4 <=> !4 # . 9;
定义： 式中 4 <=> 为单元误差最大容许值，
（ %7 ）
如图 ! 所示， 对单元区域 * 中：
* %+ % （ + ,+ ） 4,-./! ! % !
如果：
（ 式中， %） !， #， $ 是变换前的点坐标， !， #， $ 是变换后点的坐 标， %， ’， ) 是旋转轴的单位轴向矢量， ! 是旋转角， "! ， "# ， "$ 是 平移量。
定需要进行网格加密的区域， 然后再运用改进逐点比较法的思 想进行再次划分。 判定需要加密区域 单元误差定义为：
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文章编号 %""!BC##%B（ !""# ） %&B""D%B"#
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（ %& ）
为加密准则， 若 ’. ?% 该单元应加密。 （ #）
* %+ % * !
则：
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网格加密 对由任意曲线构成的封闭区域加密或对具有复杂形状的
边界进行加密， 按以下步骤进行加密： （ 5） （ 对需要加密的区域的边界曲线以折线进行逼近； %） （ 利用改进的逐点比较法对单位网格内的折线边界再次 !） （ 7） 进行剖分； （ 加密网格后， 根据加密条件再次进行判断， 若满足要 #） 求， 停止加密， 否则， 继续在区域内进行加密， 直至满足要求为止。 （ &）
5 ! + !4 #
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! ! 67 8 ! : # 9;
（ %% ）
式中 6 为第 . 个单元的面积。整个计算区域误差为：
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#$!
运用逐点比较法对边界进行离散
离散的基本思路是从线段的起始点开始， 根据给定单位域
计算机工程与应用 !""#$%&
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划分， 以提高计算结果的精度。
由（ （ 得： 7） 8）
#
剖分原理
在计算目标域边界结点时， 首先应根据目标域形状进行坐
% ,-./! ） 3（ 6 % ,-./# ! !
于是当 * %6 % * 时
（ 9）
标变换，尽可能地将坐标转换到与目标域边界曲线重合的地 方。因为与坐标轴重合的边不必逐点进行离散， 这样可以大大 降低运算的工作量。 在计算边界结点坐标时吸取了逐点比较法 的计算思想， 对单位域判定的方式进行了简化和改进。逐点比 较法的具体思想见参考文献 ’#(。以下仅对改进之处进行说明。
%
简介
随着各种 ’() 软件在工程中的广泛应用，开发网格自动
域进行划分， 将各网格结点值记录下来供后续算法器使用。 常用有限元网格剖分算法是根据有限元算法的需要， 严格 按照目标域边界将二维目标域划分成四边形或三角形， 将三维 目标域划分成四面体或六面体单元域。 因此需要记录大量的结 点数据， 不仅包括每个结点的坐标值 ! ， "， # 而且包 括 结 点 边 界 位移等相关参数。 而且常常因为网格形状不够理想而需要光顺 处理。 利用差分算子分裂式可以进行高效的预处理， 更适合于大 规模计算， 但需要进行矩形网格剖分。这样只需要记录边界结 点 的 坐 标 值 和 相 关 网 格 宽 度 变 化 量 !$%&’! ， !$%&’" ， !$%&’# 。 其 余结点可根据边界结点和相关网格宽度变化值计算得出。 这样 可以大大减少需要记录得结点数量和相关数据， 同时可以保证 生成良好的网格形状。 矩形网格自动剖分问题主要可分为均匀剖分和非均匀剖 分两种， 其中非均匀剖分又主要分为渐密剖分和渐疏剖分。对 则渐密 矩形网格， 设 !$%&’! ， !$%&’" ， !$%&’# 为单元宽度变化量， 剖 分 可 描 述 为 !$%&’! ， !$%&’" ， !$%&’# >" ； 渐 疏 剖 分 可 描 述 为 而均匀剖分可视为非均匀剖分的一种 !$%&’! ， !$%&’" ， !$%&’# ?" ； 特殊形式， 描述为 !$%&’!(!$%&’"(!$%&’# @" 。因此整个问题可以 描述为如何根据给定变化的 !$%&’! ， !$%&’" ， !$%&’# 进行网格 剖 分 。 这 样 矩 形 网 格 剖 分 可 简 化 为 根 据 给 定 变 化 的 !$%&’! ，
生成器不仅仅是前置处理中的关键步骤， 而且将直接影响到算 法器的计算效率和结果的精度， 因而成为目前研究和分析的热 点课题。 目前绝大多数的网格剖分算法都是为有限元算法器而 设计的： )*+,-.,/ 算 法 只 能 生 成 三 角 形 网 格 单 元 ； 01*.21*3145+ 方法生成的是三角形、 四边形共存的网格单元； 而 6,71.8! 方 法、 模 板 法 #、 但网格形 9::;1.8 算 法 等 能 生 成 的 四 边 形 单 元 ， 状往往不够理想， 需要进行光顺处理 <%=。 利用有限差分法构造算法器， 同时利用差分算子进行高效 的预处理， 能够节省内存空间， 加快运算速度， 但要求有矩形的 常用的网格剖分算法难以满足需要， 因此需要设计 网格形状 <!=。 专用的矩形网格生成器。因此笔者吸取了逐点比较法的思想， 对其进行改进， 提出了一种新的矩形网格划分算法。该算法不 仅能满足差分法对网格形状的要求， 减少了需要记录的网格结 点数量和剖分时的运算量，而且能够自动对目标域进行分析， 对结构复杂的区域进行网格加密剖分。 该文主要介绍了该矩形 网格剖分及加密算法。
