1.7简单几何体的再认识教学内容

《认识几何体》大班数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：让幼儿能够识别和命名四种常见的几何体（正方体、长方体、圆柱体、球体），并了解它们的特点。

2. 过程与方法：通过观察、触摸、比较等方法，培养幼儿的观察能力和空间想象力。

3. 情感态度与价值观：激发幼儿对数学和几何体的兴趣，培养他们的逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 正方体：介绍正方体的特征，如六个面都是正方形，十二条边等。

2. 长方体：介绍长方体的特征，如六个面都是长方形，十二条边等。

3. 圆柱体：介绍圆柱体的特征，如两个底面都是圆，一条高等。

4. 球体：介绍球体的特征，如一个圆形底面，无边等。

三、教学准备：1. 教具：正方体、长方体、圆柱体、球体模型各一个。

2. 学具：每个幼儿发放一个几何体模型，以便触摸和观察。

四、教学过程：1. 导入：教师向幼儿展示四种几何体模型，引导幼儿观察并提问：“你们看到了什么？它们有什么特点？”2. 讲解：教师分别讲解正方体、长方体、圆柱体、球体的特征，让幼儿理解和记忆。

3. 实践：幼儿分组进行实践活动，触摸和比较不同几何体的特点，巩固所学知识。

4. 总结：教师引导幼儿总结四种几何体的特点，并鼓励幼儿用自己的语言表达。

五、作业设计：1. 家庭作业：让幼儿在家中找到生活中的几何体，并拍摄照片，第二天分享给同学和老师。

2. 课后拓展：鼓励幼儿发挥想象力，用几何体进行创意拼图或搭建活动。

六、教学评价：1. 课堂参与度：观察幼儿在课堂上的参与程度，是否积极回答问题和参与实践活动。

2. 作业完成情况：检查幼儿的家庭作业，了解他们对于几何体知识的掌握程度。

3. 课后拓展活动：观察幼儿在课后拓展活动中的表现，是否能够灵活运用所学知识。

七、教学策略：1. 直观展示：通过展示实物几何体模型，让幼儿直观地了解几何体的形状和特征。

2. 互动提问：教师通过提问引导幼儿思考，激发他们的学习兴趣和探究欲望。

3. 小组合作：通过小组实践活动，培养幼儿的合作意识和团队精神。

第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)一、知识梳理1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台 体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r ＝32a (a 为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝a2(a 为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r ＝22a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)．(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)．二、教材衍化1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________．解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， 所以r 2＝4，所以r ＝2. 答案：2 cm 2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.答案：1∶47 一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积；(2)考虑不周忽视分类讨论；(3)几何体的截面性质理解有误；(4)混淆球的表面积公式和体积公式．1．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为 3 m．故该四棱锥的体积V＝1 3×2×1×3＝2(m3)．答案：22．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________．解析：因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.答案：12π4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________． 解析：设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR 3＝323π.答案：323π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )A ．4＋4 2B ．4＋43C ．12D ．8＋42(2)(2020·四川泸州一诊)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．(5＋2)πB ．(4＋2)πC ．(5＋22)πD ．(3＋2)π【解析】 (1)连接A 1B .因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B＝30°.又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝22，BC ＝ 2.又AB ⊥BC ，则AB ＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42，故选A.(2)因为在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，所以将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB ＝1，高为BC －AD ＝2－1＝1的圆锥，所以该几何体的表面积S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.故选A.【答案】 (1)A (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 1．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．答案：2 600π2．已知一几何体的三视图如图所示，它的主视图与左视图相同，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S＝1 2×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16.答案：12π＋16空间几何体的体积(多维探究)角度一直接利用公式求体积(2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )A．13.25立方丈B．26.5立方丈C．53立方丈D．106立方丈【解析】 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.【答案】 B角度二 割补法求体积《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】 如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，可将原几何体切割成三棱柱EHG ­FNM ，四棱锥E ­ADHG 和四棱锥F ­MBCN ，易知三棱柱的体积为12×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为13×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.故选B.【答案】 B角度三 等体积法求体积(2020·贵州部分重点中学联考)如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1­AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18【解析】 设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1­AEF＝V F ­A 1AE .又V F ­A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD ­A 1B 1C 1D 1，所以V ABCD ­A 1B 1C 1D 1＝6V A 1­AEF ＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.【答案】 A(1)处理体积问题的思路①“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；②“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；③“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法．(2)求空间几何体的体积的常用方法①公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；②割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；③等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．1．(2020·江西上饶二模)已知下图为某几何体的三视图，则其体积为( )A ．π＋23B ．π＋13C ．π＋43D ．π＋34解析：选C.几何体为半圆柱与四棱锥的组合体(如图)，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面为边长为2的正方形，高为1，故几何体的体积V ＝12×π×12×2＋13×22×1＝π＋43.故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O ­EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V四棱锥O ­EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8球与空间几何体的接、切问题(多维探究) 角度一 外接球(1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π4(2)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】 (1)设圆柱的底面圆半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】 (1)B (2)36π角度二 内切球(1)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，表面积为S 1，球O 的体积为V 2，表面积为S 2，则V 1V 2的值是__________，S 1S 2＝________. (2)已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为________．【解析】 (1)设圆柱内切球的半径为R ，则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R ，高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.S 1S 2＝2πR ·2R ＋2πR 24πR 2＝32. (2)正四面体的表面积为S 1＝4×34×a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【答案】 (1)32 32 (2)63π解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：1.(2020·四川成都一诊)如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，BC ＝2，AF ＝FG ＝BG ＝1.现分别沿EF ，GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π C.163π D ．83π 解析：选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为23× 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝33.因为三棱柱的高为BC ＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＋12＝233，所以三棱柱外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π3.故选C.2．(2020·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)在底面是边长为2的正方形的四棱锥P ­ABCD 中，点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为2.若四棱锥P ­ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则r R＝( ) A.23B ．25 C.12D ．13解析：选B.如图，取E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接EF ，PE ，PF .由题意知，P ­ABCD 为正四棱锥，底面边长为2.因为BC ∥AD ，所以∠PBC 即为异面直线PB 与AD 所成的角．因为∠PBC 的正切值为2，所以四棱锥的斜高为2，所以△PEF 为等边三角形，则正四棱锥P ­ABCD 的内切球的半径r 即为△PEF 的内切圆的半径，为33. 设O 为正四棱锥外接球的球心，连接OA ，AH .由题可得AH ＝2，PH ＝ 3.在Rt △OHA 中，R 2＝(2)2＋(3－R )2，解得R ＝536， 所以r R ＝25. 确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一 由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A．16π B．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C.【答案】C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A. 2 B．6 2C.112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D 两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1 212＋12＋22＝62.故选B.【答案】B方法三由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________．【解析】如图，M为底面△BCD的中心，易知AM⊥MD，DM＝1，AM＝ 3.在Rt△DOM中，OD2＝OM2＋MD2，即OD2＝(3－OD)2＋1，解得OD＝23 3，故球O的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎪⎫2332＝163π.【答案】163π[基础题组练]1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πSD ．233πS 解析：选A.由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是S π，故侧面展开图的边长为2π·S π＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A. 2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( ) A ．5B ．5C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径R ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πRl ＝20π.设球的半径为r ，则4πr 2＝20π，所以r ＝5，故选B.3．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( )A.12B ．1 C.32D ．3 解析：选B.由主视图可得如图的四棱锥P ­ABCD ，其中平面ABCD ⊥平面PCD .由主视图和俯视图可知AD ＝1，CD ＝2，P 到平面ABCD 的距离为32. 所以四棱锥P ­ABCD 的体积为V ＝13×S 长方形ABCD ×h ＝13×1×2×32＝1.故选B.4．(2020·河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5π3B ．4π3 C.π3D ．2π3 解析：选D.几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图，由题意可知几何体的体积为：12×12·π×2－13×12×12·π×2＝2π3.故选D. 5．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，D 1B 与DC 所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．42π解析：选A.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为DC ∥AB ，所以相交直线D 1B 与AB 所成的角是异面直线D 1B 与DC 所成的角．连接AD 1，由AB ⊥平面ADD 1A 1，得AB ⊥AD 1，所以在Rt △ABD 1中，∠ABD 1就是D 1B 与DC 所成的角，即∠ABD 1＝60°，又AB ＝2，AB ＝BD 1cos 60°，所以BD 1＝AB cos 60°＝4，设长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1外接球的半径为R ，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得4R 2＝D 1B 2＝16，则R ＝2，所以长方体外接球的表面积是4πR 2＝16π.故选A.6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．解析：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图，由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2， 取正方形的中心O ，AD 的中点E ，连接PO ，OE ，PE ，可知PO 为正四棱锥的高，△PEO 为直角三角形，则正四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的侧面积S ＝4×12×2×5＝4 5. 答案：457.已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．解析：设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面半径是r 2，高为h 2， 所以V 圆锥SO ＝13πr 2h ，V 圆柱PO ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h 2＝πr 2h 8，所以V 圆柱PO V 圆锥SO ＝38. 答案：388．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．解析：如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE ，因为△ABC 是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．因为AB ＝BC ＝23，所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝ 2.所以S 表＝3×12×23×2＋33＝36＋3 3. 因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝13×33×1＝ 3. 设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r ＝3336＋33＝2－1. 答案：2－19．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段的中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.10.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC 平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC＝32x ，GB ＝GD ＝x 2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥E ­ACD 的体积V 三棱锥E ­ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ­ACD 的侧面积为3＋2 5.[综合题组练])1.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A.3π4 B ．2π C.3π2D ．9π4解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A 1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C.2．(2020·江西萍乡一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.236 B ．72C.76D ．4解析：选A.由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB 1­DCC 1，挖去一个三棱锥E ­FCG 所形成的，故所求几何体的体积为12×(2×2)×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝236. 故选A.3．(2020·福建厦门外国语学校模拟)已知等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝2，点D 是斜边AB 上一点(不同于点A ，B )．沿线段CD 折起形成一个三棱锥A ­CDB ，则三棱锥A ­CDB 体积的最大值是( )A ．1B ．12C.13D ．16解析：选D.设AD ＝x ，将△ACD 折起使得平面ACD ⊥平面BCD .在△ACD 中，由面积公式得12CD ·h 1＝12AD ·1(h 1为点A 到直线CD 的距离)，则h 1＝x1＋（x －1）2.由题易知h 1为点A 到平面BCD 的距离，故三棱锥A ­CDB 体积为V ＝13S △BCD ·h 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD ·1·h 1＝16·2x －x 2x 2－2x ＋2，x ∈(0，2)．令t ＝x 2－2x ＋2，则t ∈[1，2)，故V ＝16·2－t 2t ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －t .由于2t －t 是减函数，故当t ＝1时，V取得最大值为16×(2－1)＝16.故选D.4．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．183C ．24 3D ．543解析：选B.如图，E 是AC 的中点，M 是△ABC 的重心，O 为球心，连接BE ，OM ，OD ，BO .因为S △ABC ＝34AB 2＝93，所以AB ＝6，BM ＝23BE＝23AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ，所以在Rt △OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝2，所以当D ，O ，M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时，三棱锥D ­ABC 的体积取得最大值，且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝13×93×6＝18 3.故选B. 5.如图所示，已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1­ABC 1的体积为________．解析：三棱锥B 1­ABC 1的体积等于三棱锥A ­B 1BC 1的体积，三棱锥A ­B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.答案：3126．已知半球O 的半径r ＝2，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内接于半球O ，其中底面ABC 在半球O 的大圆面内，点A 1，B 1，C 1在半球O 的球面上．若正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面积为63，则其侧棱的长是________．解析：依题意O 是正三角形ABC 的中心，设AB ＝a ，分析计算易得0<a <23，AO ＝33a ，在Rt △AOA 1中，A ′O ＝r ＝2，则AA 1＝r 2－AO 2＝4－a 23，所以正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面积S ＝3a ·AA 1＝3a4－a 23＝3－a 43＋4a 2＝63，整理得a 4－12a 2＋36＝0，解得a 2＝6，即a ＝6，此时侧棱AA 1＝ 2.答案：27.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 边的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．解析：当CQ ＝1时，Q 与C 1重合．如图，取A 1D 1，AD 的中点分别为F ，G .连接AF ，AP ，PC 1，C 1F ，PG ，D 1G ，AC 1，PF .因为F 为A 1D 1的中点，P 为BC 的中点，G 为AD 的中点， 所以AF ＝FC 1＝AP ＝PC 1＝52，PG 綊CD ，AF 綊D 1G .由题意易知CD 綊C 1D 1，所以PG 綊C 1D 1，所以四边形C 1D 1GP 为平行四边形， 所以PC 1綊D 1G ，所以PC 1綊AF ， 所以A ，P ，C 1，F 四点共面， 所以四边形APC 1F 为菱形．因为AC 1＝3，PF ＝2，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面S 为菱形APC 1F ，所以其面积为12AC 1·PF ＝12×3×2＝62.答案：628．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π。

§7简单几何体的再认识7．1 柱、锥、台的侧面展开与面积学习目标核心素养1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来．2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．(重点)3．掌握简单组合体侧面积和表面积的计算．(难点)1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，提升直观想象素养．2．通过对简单几何体侧面积的计算，培养数学运算素养.1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝2πrl r为底面半径l为侧面母线长圆锥S圆锥侧＝πrl r为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝ch c为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧＝12ch′c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′c ′为上底面周长c 为下底面周长 h ′为斜高，即侧面 等腰梯形的高思考1：怎样计算柱、锥、台的表面积？提示：柱、锥、台的表面积S 表等于该几何体的侧面积S 侧与底面积S 底的和，即S 表＝S 侧＋S 底．思考2：求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶4D ．4∶1 B [S 1＝2π·1·2＝4π，S 2＝2π·2·1＝4π，∴S 1＝S 2.]2．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是( )A ．2B ．2.5C ．5D ．10C [S侧＝π(r 1＋r 2)l ＝2(πr 21＋πr 22)，∴l ＝2(12＋32)1＋3＝5.] 3．已知正三棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的体积为________． 339 [∵正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5， ∴底面的正三角形的面积为：S ＝12×6×62－⎝⎛⎭⎫622＝93，故底面的正三角形高为33，其外接圆半径为23，∴三棱锥的高为h ＝52－(23)2＝13，∴体积为V ＝13×93×13＝339.]4．若一个正六棱柱的底面边长为a ，侧面对角线的长为2a ，则它的表面积为________． 93a 2[正六棱柱的底面边长为a ，所以正六棱柱的底面面积为S 底＝33a 22，又侧面对角线的长为2a ，所以侧棱长为3a ，则该正六棱柱的表面积为S 表＝2S 底＋S 侧＝2×33a 22＋6a ×3a ＝93a 2.]圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．[解] 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋(16－4)2＝13(cm)，∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2)．1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键．2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积．[跟进训练]1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πSA [设底面半径为r ，则S ＝πr 2，则r ＝Sπ，所以底面周长为2πr ＝2πSπ，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr ＝2Sπ·π， ∴S 侧＝2πr ·l ＝(2πr )2＝4π2·r 2＝4π2⎝⎛⎭⎫S π2＝4πS .]直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积【例2】 正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[思路探究] 在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积．[解] 设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′.因为S 侧＝2S 底，所以12×3a ×h ′＝34a 2×2，所以a ＝3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2，所以32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2，所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6， 所以S 底＝34a 2＝34×62＝93， 所以S 侧＝2S 底＝183， 则S 表＝S 侧＋S 底＝27 3.1．正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单．2．多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和．对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解．[跟进训练]2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817D ．80C[由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为：S＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.]组合体的表面积【例3】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．[思路探究]该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可．[解]如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，AB＝(2a－a)tan 60°＝3a，DC＝2a－acos 60°＝2a.又DD′＝DC＝2a，∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·3a＋π·(2a)2＋π·a·2a＝(9＋43)πa2.求组合体的表面积的解题策略：(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响.(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.[跟进训练]3．如图所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．[解]过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB ＝5，底面半径DC ＝AC ·BC AB ＝125，故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845π.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)． 1．思考辨析(1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等．( ) (2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形． (3)空间几何体的侧面积即是表面积． ( )(4)圆台的侧面展开图是一个扇环． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 D [正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.]3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A ．3π B ．33π C ．6πD ．9πA [根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.]4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 32R [设底面半径是r ，则2πr ＝πR ， ∴r ＝R2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2＝32R .]。

§7简单几何体的再认识7．1柱、锥、台的侧面展开与面积知识点一侧面积[填一填]1．侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积(1)圆柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边长为母线长，另一边长为圆柱底面圆的周长．则圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrl，其中r为圆柱的底面半径，l为圆柱的母线长．(2)圆锥的侧面展开图是扇形，如上图②所示，此扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，则圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl，其中r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长．(3)圆台的侧面展开图是一个扇环，如上图③所示，则圆台的侧面积S圆台侧＝π(r1＋r2)l，其中r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为圆台的母线长．[答一答]1．求圆柱、圆锥、圆台的侧面积的关键是什么？提示：求圆柱、圆锥、圆台的侧面积，关键是在它们的轴截面中求底面半径及母线长． 知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积[填一填](1)直棱柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边是直棱柱的侧棱(也是高)，另一边是直棱柱的底面周长，则直棱柱的侧面积S 直棱柱侧＝ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 为直棱柱的高．(2)正棱锥的侧面展开图是由全等的等腰三角形拼接成的，如上图②所示，则正棱锥的侧面积S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 为正棱锥的底面周长，h ′为斜高，即为侧面等腰三角形底边上的高．(3)正棱台的侧面展开图是由全等的等腰梯形拼接成的，如上图③所示，则正棱台的侧面积S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′，其中c ′，c 分别为正棱台的上、下底面周长，h ′为斜高，即侧面等腰梯形的高．[答一答]2．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积有何关系？ 提示：这三种几何体侧面积之间的关系3．如何求简单多面体的侧面积？提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁．(2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下底面之间的关系．1．在掌握柱体、锥体、台体侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的组合体的表面积，能够将其分解成柱体、锥体、台体，再进一步转化为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．3．棱锥中平行于底面的截面的性质：在棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系： S 小锥底S 大锥底＝S 小锥全S 大锥全＝S 小锥侧S 大锥侧＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 思维拓展：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积时，会大大简化求解过程．在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．类型一柱体的侧面积与表面积【例1】用一张4 cm×8 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的全面积．【思路探究】圆柱的侧面展开图为矩形，圆柱的母线及底面周长为侧面展开图的宽和长，利用这些关系，我们可以在圆柱的侧面积和基本量之间转化．【解】由于卷的方法不同，故有两种情况：(1)如右图(1)，以矩形中8 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，∴OA＝r1＝2π，此时两底面的面积之和为8π，S全＝⎝⎛⎭⎫32＋8π(cm2)．(2)如上图(2)，以矩形中4 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，∴OB＝r2＝4π，此时两底面的面积之和为32π，S全＝⎝⎛⎭⎫32＋32π(cm2)．规律方法圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决圆柱和直棱柱的侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积的计算公式即可．对于计算表面积的问题，在侧面积的基础上加上两个底面积即可．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是4014.解析：依题意，知直棱柱底面的一条对角线长为152－52＝102，另一条对角线长为72－52＝24＝2 6.又菱形的对角线互相垂直平分，故底面边长为(52)2＋(6)2＝56＝214，故S侧＝4×214×5＝4014.类型二锥体的侧面积与表面积【例2】 正四棱锥底面边长为4 cm ，高和斜高的夹角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积．【解】 正棱锥的高PO 、斜高PE 、底面边心距OE 组成Rt △POE . ∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝OE sin30°＝4 cm.因此S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．规律方法 本题的关键是解正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的Rt △POE .已知正三棱锥的侧棱长等于10 cm ，侧面积等于144 cm 2，如图，求棱锥的底面边长和高．解：如图，设正三棱锥S -ABC 底面边长为2a ，SO 为棱锥高，斜高SD ，在Rt △SAD 中，SA ＝10，AD ＝a ， ∴SD ＝102－a 2，由S 正三棱锥侧＝3·12SD ·AB ，即144＝3a 100－a 2得a ＝6或a ＝8，∴AB ＝12或AB ＝16， 此时SO ＝SD 2－OD 2＝213或2333，∴正三棱锥的底面边长为12 cm ，高为213 cm或底面边长为16 cm ，高为2333 cm.类型三 台体的侧面积与表面积【例3】 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的全面积．【思路探究】 依据侧面积计算公式，需求出上、下底面的半径． 【解】如图所示的是圆台轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin60°＝43(cm)，AH ＝A 1A ·cos60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.①设A 1B 与AB 1的交点为M ，则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1.同理OM ＝OA ＝r 2. ∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1)．∴S 全＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π (cm 2)．规律方法 圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面中，为方便起见，旋转体的证明和计算有时不必画立体图形，画出它的轴截面即可．若圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的表面积为(C) A．81πB．100πC．168πD．169π解析：先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长l＝h2＋(r2－r1)2＝(4r1)2＋(3r1)2＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S侧＝π(r2＋r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S侧＋πr21＋πr22＝100π＋4π＋64π＝168π.类型四三视图与表面积【例4】如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A．23B．4 3C．4 D．8【思路探究】解题关键是通过三视图还原为几何体的直观图．【解析】由三视图和已知条件知8个侧面是全等的等腰三角形，且底边和斜高均为1.故表面积为12×1×1×8＝4.【答案】 C如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长C ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋(23)2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋Ch ＋12Cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.故选C.——多维探究系列—— 有关几何体的表面积中的最值问题【例5】 已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？【精解详析】 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，设所求圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S 圆柱侧＝2πr ·x ，∵r R ＝H －x H ，∴r ＝R －R H x . ∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)因为S圆柱侧的表达式中x 2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值，此时圆柱的高是x ＝－2πR －2×2πR H ＝H 2>0，且x ＝H2<H ，所以当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．如图所示，三棱锥P －ABC 的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M 在棱PB 上移动，动点N 在棱PC 上移动，求AM ＋MN ＋NA 的最小值．解：三棱锥P －ABC 的展开图如图所示，则AM ＋MN ＋NA ＝AN ＋MN ＋A 1M ，又∵AN ＋MN ＋A 1M ≥AA 1，∴当A ，M ，N 三点共线时，取到最小值． 在图中，∵∠A 1PB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝40°，∴∠AP A 1＝120°.在△AP A 1中，AA 1＝3， ∴AM ＋MN ＋NA 的最小值为 3.一、选择题1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为( D ) A ．4 B.34C ．2 3D. 3解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为34，所以此三棱锥的表面积为4×34＝ 3. 2．若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( C ) A.2倍 B ．3倍 C ．2倍D ．5倍解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2.所以S 侧S 底＝2. 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：设底面圆半径为r ，母线即高为h ， ∴h ＝2πr ，∴S 全S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.二、填空题4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是92.解析：本题考查了三视图及正四棱柱的表面积．该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是：S＝2×12×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋42＋(5－2)2)×4＝92.5．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是2N2＋2Mh2.解析：设长方体的长和宽分别为a，b，则有a·b＝M，a2＋b2·h＝N，2(a＋b)h＝2(a＋b)2·h＝2N2h2＋2M·h＝2N2＋2Mh2.三、解答题6．如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．解：旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，因为△ABC为边长为8的正三角形，所以BD＝4，AD＝43，△EBH中，∠B＝60°，EB＝4，BH＝HD＝DG＝2，EH＝23，圆柱底面半径HD＝2，高EH＝23，圆锥底面半径BD＝4，高为AD＝4 3.S圆锥＝πr2＋πRl＝π·BD2＋π·BD·AB＝16π＋32π＝48π，S圆柱侧＝π·HG·EH＝83π，所以几何体的表面积为：S ＝48π＋83π.V 圆锥＝13π·42·43＝6433， V 圆柱＝π·22·23＝83π，所求几何体积为V ＝V 圆锥－V 圆柱＝6433π－83π＝4033π.。

《认识几何体》大班数学教案一、教学目标：1. 让学生通过观察、触摸、比较等方法，认识和感知不同几何体的特征。

2. 培养学生的空间观念，提高学生的观察力和思维能力。

3. 培养学生合作学习的精神，增强团队意识。

二、教学内容：1. 认识正方体、长方体、圆柱体、球体等基本几何体。

2. 了解几何体的特征，如：正方体的六个面都是正方形，长方体的六个面都是长方形等。

3. 学会用简单的语言描述几何体的特征。

三、教学重点与难点：重点：让学生认识和感知不同几何体的特征。

难点：用简单的语言描述几何体的特征。

四、教学准备：1. 准备各种几何体的模型或图片，如正方体、长方体、圆柱体、球体等。

2. 准备一个几何体分类盒，里面装有各种几何体模型。

3. 准备黑板、粉笔等教学用品。

五、教学过程：1. 导入：邀请学生分享他们已经知道的关于几何体的知识，教师简要介绍今天要学习的内容。

2. 认识几何体：教师展示各种几何体的模型或图片，引导学生观察和触摸，感受几何体的形状和特征。

3. 学习几何体的特征：教师引导学生通过观察、比较和触摸等方法，发现正方体、长方体、圆柱体、球体等几何体的特征，并用简单的语言进行描述。

4. 实践操作：学生分组进行实践活动，用几何体模型进行组合和创作，培养学生的空间观念和动手能力。

六、教学延伸：1. 家庭作业：让学生回家后，与家长一起找出生活中的几何体，并用照片或画图的方式记录下来，下周分享给同学们。

2. 课后反思：教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到教学目标，学生是否掌握了所学知识，并做好教学笔记。

七、教学评价：1. 评价学生的学习成果，看学生是否能正确识别各种几何体，并用简单的语言描述它们的特征。

2. 评价学生的参与程度，看学生是否能积极参与课堂讨论和实践活动。

3. 评价学生的团队协作能力，看学生在实践活动是否能与团队成员良好配合。

八、教学建议：1. 对于空间观念较弱的学生，可以多给他们一些实践操作的机会，让他们通过触摸和组合几何体，加深对几何体的认识。