学高中数学立体几何初步简单几何体的再认识柱锥台的侧面展开与面积教师用书教案北师大版必修

第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积[核心必知]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图的形状侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧＝2πrl圆锥扇形S圆锥侧＝πrl圆台扇环S圆台侧＝π(r1＋r2)l其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下底面半径．2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c·h正棱锥S正棱锥侧＝12c·h′正棱台S正棱台侧＝12(c＋c′)·h′其中c′，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h′表示斜高．[问题思考]1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c′＝c，可以得到柱体的侧面积公式，令c′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S 柱侧＝ch ′c ＝c ′,S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′――→c ′＝0S 锥侧＝12ch ′.3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．讲一讲1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π，即r ＝2，∴S 底＝4π，S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π，即r ＝3，∴S 底＝9π，∴S 全＝S侧＋2S 底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．∵O 1为PO 2的中点，∴PO 1PO 2＝P A PB ＝O 1A O 2B ＝12， ∴P A ＝AB ，O 2B ＝2O 1A .∵S 圆锥侧＝12×2π·O 1A ·P A ，S 圆台侧＝12×2π·(O 1A ＋O 2B )·AB ，∴S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·P A (O 1A ＋O 2B )·AB ＝13.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和． 2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．练一练1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20(cm)， 同理可得SB ＝40(cm)， 所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.讲一讲2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm 和18 cm ，腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，设垂足为E ，由点D 向BC 作垂线，设垂足为F ，易知BE ＝CF .∵BE ＋EF ＋FC ＝2BF －AD ＝BC ，∴BF ＝BC ＋AD 2＝18＋82＝13.∴BE ＝BF －AD ＝13－8＝5.又AB ＝13，∴AE ＝12.∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(18＋8)×12＝156(cm 2)．故其侧面积为156×5＝780(cm 2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．练一练2．已知正三棱锥V -ABC 的主视图，俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13， ∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V -ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).讲一讲3．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r ， 则r R ＝H －x H ，∴ r ＝R －R H x ， ∴S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)∵S 圆柱侧是关于x 的二次函数，∴当x ＝－2πR 2×(－2πR H )＝H2时，S 圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．练一练3．已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S ＝S 底＋S 柱侧＋S 圆锥侧＝π×(3)2＋2π×3×6＋π×3×3 ＝(3＋62＋33)π(cm 2)．如图所示，圆柱OO ′的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，点P 为母线B ′B 的中点，∠AOB ＝23π，试求一蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A 、P 两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA ′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP .在Rt △ABP 中，AB ＝23π×2＝43π(cm)，PB ＝2(cm)，∴AP ＝AB 2＋BP 2＝234π2＋9(cm)． 故蚂蚁爬的最短路程为234π2＋9 cm.1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶4D ．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积 S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π， ∴S 1∶S 2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：选C 设圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r ，R ， 则l ＝12(r ＋R )．又32π＝π(r ＋R )l ＝2πl 2， ∴l 2＝16， ∴l ＝4.3．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析：选B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示．由题中所给条件，可求得S △ABD ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝S △BCD ＝12×4×5＝10，AC ＝BC ＝41，AB ＝25，可求得△ABC 中AB 边上的高为41－5＝6，所以S △ABC ＝12×6×25＝6 5.综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABC ＝30＋6 5.4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 解析：设底面半径是r ，则2πr ＝πR ， ∴r ＝R 2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2＝32R .答案：32R 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S ＝34×22×2＋2×1×3＝6＋2 3. 答案：6＋2 36.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形．求该几何体的表面积S .解：由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1， 所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形， 所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2) ＝6＋2 3.一、选择题1．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n 倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n倍解析：选A 由S 侧＝π(r ′＋r )l .当r ，r ′缩小1n 倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．12 B ．36 C ．24 D ．48解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4， S 侧＝4×12×6×4＝48.3．长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( ) A ．44 B ．88 C ．64 D ．48解析：选B 设长，宽，高分别为3x,2x ，x ，则对角线长为9x 2＋4x 2＋x 2＝14x ＝214，∴x ＝2.∴表面积S ＝2(6x 2＋3x 2＋2x 2)＝88.4．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS解析：选A 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2， ∴R ＝S π， 则圆柱的母线长l ＝2πR ＝2S π. S 侧面积＝(2πR )2＝4π2R 2＝4π2×Sπ＝4πS .5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.二、填空题6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴有102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴S 圆台侧＝π(r ＋4r )×10＝100π. 答案：100π7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________． 解析：由条件可知，四面体的斜高为32， 所以其表面积为S 表＝4×12×1×32＝ 3.答案： 38．如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为________．解析：此直三棱柱的底面是边长为a 的正三角形，该三角形的高为32a .左视图是一矩形，一边为32a ，另一边为2a ，故左视图的面积为32a ×2a ＝3a 2. 答案：3a 2 三、解答题9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg ，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m ，π取3.14，结果精确到0.01 kg)解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形．圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m 2)； 四棱柱的一个底面积为32＝9(m 2)；四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2)． 所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m 2)， 需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)， 答：共需油漆约22.87 kg.10．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．解：(1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°， CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )． 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin 45°＝12(b －a )，∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝⎣⎡⎦⎤22(b －a )2＋⎣⎡⎦⎤12(b －a )2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)．(2)∵S 上底＋S 下底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b. 第2课时 柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式几何体 公式 说明 柱体V 柱体＝Sh S 为柱体的底面积 h 为柱体的高 锥体V 锥体＝13ShS 为锥体的底面积 h 为锥体的高 台体V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上，S 下分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高[问题思考]仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？ 提示：(1)底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是：V 圆柱＝πr 2h . (2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆锥＝13πr 2h .(3)如果圆台上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．讲一讲1．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点C 到AB 的距离为3 cm ，侧面ABB 1A 1的面积为8 cm 2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C 到AB 的距离为d ，侧面ABB 1A 1的面积为S 1，则△ABC 的面积S ＝12|AB |d .∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S |AA 1| ＝12|AB |d |AA 1|＝12|AB |·|AA 1|d ＝12S 1 d ＝12(cm 3)． 法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1.可以看成以A 1ABB 1为底面的四棱柱D 1DCC 1-A 1ABB 1.则ABB 1A 1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D 1DCC 1-A 1ABB 1的体积V ＝24(cm 3)， 则直三棱柱的体积为12(cm 3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．练一练1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ②由①得r ＝ππa ， 由②得πrh ＝2a 2， ∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.讲一讲2.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝3tan 30°＝1. 可得PH ＝P A 2－AH 2＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面． ①求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ②利用“等积性”可求“点到面的距离”． 练一练2．已知三角形ABC 的边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r ＝125.∴V 锥＝13·AB ·πr 2＝13×5×π×⎝⎛⎭⎫1252＝485π.讲一讲3．圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC ＝BD 2－(OD －AB )2 ＝102－(6－4)2＝46(cm)， 所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．练一练3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm 和12 cm ，侧面积为180 cm 2，求棱台的体积． 解：如图，分别过正四棱台的底面中心O 1，O 作O 1E 1⊥B 1C 1，OE ⊥BC ，垂足分别为E 1，E ，则E 1E 为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm 2， 所以12×4×(6＋12)|E 1E |＝180，解得|E 1E |＝5.在直角梯形O 1OEE 1中，O 1E 1＝3，OE ＝6，E 1E ＝5，解得O 1O ＝4.所以正四棱台的体积为V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm 3)．如图所示，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C -A ′DD ′，求棱锥C -A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a ， ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝16abc .则剩余部分的体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc .故V 三棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.[尝试用另外一种方法解题]法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′-BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ，因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .故余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是( ) A ．486 B ．64 C ．16 D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，解得a ＝4，则正方体的体积是a 3＝64.2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 3．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积等于3.答案：35．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________． 解析：设圆台的上底面半径为r ， 则(3r )2＋(4r )2＝100，解之得r ＝2.∴S 上＝πr 2＝4π，S 下＝π(4r )2＝16πr 2＝64π， h ＝4r ＝8.∴V ＝13(4π＋64π＋16π)×8＝224π.答案：224π6．已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积．解：如图，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′、O 分别为上、下底面的中心，D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝12(20＋30)·DD ′·3＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下得，75DD ′＝3253(cm 2)，所以DD ′＝1333(cm)． 在直角梯形O ′ODD ′中，OD ＝5 3 cm ，O ′D ′＝1033 cm ，O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝ ⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，即棱台的高h ＝4 3 cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S ＋S ′＋SS ′)＝433·⎝⎛⎭⎫34·302＋34·202＋34·20·30 ＝1 900(cm 3)．一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955C ．355πD ．355解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82－32＝55， ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝355π.2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56解析：选D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为13×⎝⎛⎭⎫124＝148，故剩下的凸多面体的体积为1－8×148＝56. 3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6 解析：选C 设如图所示的Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π(32)2×2＝12π.V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3. 二、填空题6．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr 2(a ＋b )2.答案：πr 2(a ＋b )27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h ，则h ＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h ，圆柱体的底面半径是a 2，高为h ，依题意得π3h 2·h ＝π·(a 2)2·h ，解得h ＝32a . 答案：32a 8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ， S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ，V S -ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝8 0003cm 3. 答案：8 0003 cm 3三、解答题9．如图所示，是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm 的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)，所以有方程60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6(cm)．答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.10．若E ，F 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A -BEFC 的体积．解：如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A -BEFC 的高与四棱锥A -B 1EFC 1的高相等， ∴V A -BEFC ＝VA -B 1EFC 1＝12VA -BB 1C 1C . 又VA -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC -A 1B 1C 1＝m ，∴VA -A 1B 1C 1＝m3，∴VA -BB 1C 1C ＝VABC -A 1B 1C 1－VA -A 1B 1C 1＝23m ，∴V A -BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A -BEFC 的体积是m3. 第3课时 球[核心必知]1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2. 2．球的体积公式：V 球＝43πR 3.[问题思考]用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d . 在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2， 即R 2＝r 2＋d 2.讲一讲1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ， 连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离．由于OA ＝OB ＝OC ＝R ， 则O 1是△ABC 的外心．设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ， 则O 1在CM 上．设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2， O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x . 解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R .由勾股定理，得⎝⎛⎭⎫R 22＋⎝⎛⎭⎫9242＝R 2.解得R ＝362.故S 球面＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．练一练1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O 1， 则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径， OA 为球的半径．∵48π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝48. 在Rt △AO 1O 中，OA 2＝O 1O 2＋O 1A 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎫12R 2＋48，∴R ＝8(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)，V 球＝43πR 3＝20483π(cm 3).讲一讲2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． [尝试解答]如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r 3－r ＝12， ∴r ＝33cm ， V 球＝43π(33)3＝4327π(cm 3)，即球的体积等于4327π cm 3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．练一练2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC ′＝6，AC ＝2·6＝23， 设球的半径为R ，则R 2＝OC 2＋CC ′2＝(3)2＋(6)2＝9， ∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝43πR 3＝36π.一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD ＝x ，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.[错因]本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．[正解](1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，设球半径为R，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上可知，球的表面积是2 500π cm2.1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()A．2倍 B. 2 倍C．2 2 倍D．3 2 倍解析：选C球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍．2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1解析：选A 设两球的半径分别为R 1，R 2. ∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 22＝1∶9.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：选C 设球的半径为R ，则2R ＝33＋42＋52＝5 2. ∴S 球＝4πR 2＝π·(2R )2＝50π.4．(福州高一检测)已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝323，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r cm ，则有8πr 2＋3×43πr 3＝πr 2×6r ，由此解得r ＝4.答案：46．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24 (m 2)． (2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8 (m 3)．一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.323π B.8π3 C ．82π D.823π解析：选D 所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12＋12＝2，球的体积为 43πR 3＝823π. 2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶22∶3 3 D ．1∶4∶7解析：选C ∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，即r 21∶r 22∶r 23＝1∶2∶3.∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3， ∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 解析：选B 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝712a ， ∴S ＝4πR 2＝4π×7a 212＝7π3a 2. 5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R －2) cm(其中R 为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2) cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3，选择A.二、填空题6．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________ cm 3.解析：如图所示，。

第1课时 柱、锥、台的侧面展开与面积[核心必知]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体 侧面展开图的形状侧面积公式圆柱 矩形 S 圆柱侧＝2πrl 圆锥 扇形 S 圆锥侧＝πrl 圆台扇环S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l其中r 为底面半径，l 为侧面母线长，r 1，r 2分别为圆台的上，下底面半径． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体 侧面积公式直棱柱 S 直棱柱侧＝c ·h 正棱锥S 正棱锥侧＝12c ·h ′ 正棱台S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)·h ′其中c ′，c 分别表示上，下底面周长，h 表示高，h ′表示斜高．[问题思考]1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c ′＝c ，可以得到柱体的侧面积公式，令c ′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S 柱侧＝ch ′c ＝c ′,S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′――→c ′＝0S 锥侧＝12ch ′.3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．讲一讲1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π，即r ＝2，∴S 底＝4π，S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π，即r ＝3，∴S 底＝9π，∴S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．∵O 1为PO 2的中点，∴PO 1PO 2＝PA PB ＝O 1A O 2B ＝12， ∴PA ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . ∵S 圆锥侧＝12×2π·O 1A ·PA ，S 圆台侧＝12×2π·(O 1A ＋O 2B )·AB ，∴S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·PA O 1A ＋O 2B ·AB ＝13.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和． 2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．练一练1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20(cm)， 同理可得SB ＝40(cm)， 所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.讲一讲2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm 和18 cm ，腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，设垂足为E ，由点D 向BC 作垂线，设垂足为F ，易知BE ＝CF .∵BE ＋EF ＋FC ＝2BF －AD ＝BC ， ∴BF ＝BC ＋AD 2＝18＋82＝13.∴BE ＝BF －AD ＝13－8＝5.又AB ＝13，∴AE ＝12.∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(18＋8)×12＝156(cm 2)．故其侧面积为156×5＝780(cm 2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．练一练2．已知正三棱锥V ­ABC 的主视图，俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝23，取BC 的中点D ，连接VD ，则VD ＝VB 2－BD 2＝42－32＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33， ∴三棱锥V ­ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).讲一讲3．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r ， 则r R ＝H －x H ，∴ r ＝R －RHx ，∴S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H·x 2. (2)∵S 圆柱侧是关于x 的二次函数，∴当x ＝－2πR 2×－2πR H＝H 2时，S 圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．练一练3．已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S ＝S 底＋S 柱侧＋S 圆锥侧＝π×(3)2＋2π×3×6＋π×3×3 ＝(3＋62＋33)π(cm 2)．如图所示，圆柱OO ′的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，点P 为母线B ′B 的中点，∠AOB ＝23π，试求一蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A 、P 两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA ′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP .在Rt △ABP 中，AB ＝23π×2＝43π(cm)，PB ＝2(cm)，∴AP ＝AB 2＋BP 2＝23 4π2＋9(cm)．故蚂蚁爬的最短路程为234π2＋9 cm.1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶4D ．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π， ∴S 1∶S 2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：选C 设圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r ，R ， 则l ＝12(r ＋R )．又32π＝π(r ＋R )l ＝2πl 2， ∴l 2＝16， ∴l ＝4.3．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5解析：选B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示．由题中所给条件，可求得S △ABD ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝S △BCD ＝12×4×5＝10，AC ＝BC ＝41，AB ＝25，可求得△ABC 中AB 边上的高为41－5＝6，所以S △ABC ＝12×6×25＝6 5.综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABC ＝30＋6 5.4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 解析：设底面半径是r ，则2πr ＝πR ，∴r ＝R 2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2＝32R .答案：32R 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S ＝34×22×2＋2×1×3＝6＋2 3. 答案：6＋2 36.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形．求该几何体的表面积S .解：由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形， 所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2) ＝6＋2 3.一、选择题1．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n倍解析：选A 由S 侧＝π(r ′＋r )l .当r ，r ′缩小1n倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．12 B ．36 C ．24 D ．48解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.3．长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( ) A ．44 B ．88 C ．64 D ．48解析：选B 设长，宽，高分别为3x,2x ，x ，则对角线长为9x 2＋4x 2＋x 2＝14x ＝214，∴x ＝2.∴表面积S ＝2(6x 2＋3x 2＋2x 2)＝88.4．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πSC ．πS D.233πS解析：选A 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2， ∴R ＝Sπ，则圆柱的母线长l ＝2πR ＝2S π.S 侧面积＝(2πR )2＝4π2R 2＝4π2×Sπ＝4πS .5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.二、填空题6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴有102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴S 圆台侧＝π(r ＋4r )×10＝100π. 答案：100π7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．解析：由条件可知，四面体的斜高为32， 所以其表面积为S 表＝4×12×1×32＝ 3.答案： 38．如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为________．解析：此直三棱柱的底面是边长为a 的正三角形，该三角形的高为32a .左视图是一矩形，一边为32a ，另一边为2a ，故左视图的面积为32a ×2a ＝3a 2. 答案：3a 2三、解答题9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg ，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m ，π取3.14，结果精确到0.01 kg)解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形．圆锥的表面积为πr 2＋πrl ＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m 2)； 四棱柱的一个底面积为32＝9(m 2)； 四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2)． 所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m 2)， 需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)， 答：共需油漆约22.87 kg.10．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．解：(1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )． 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin 45°＝12(b －a )，∴斜高C 1F ＝C 1E 2＋EF 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22b －a 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12b －a 2＝32(b －a )． ∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)．(2)∵S 上底＋S 下底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22a ＋b.又EF ＝b －a2，h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b. 第2课时 柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式几何体 公式 说明柱体V 柱体＝ShS 为柱体的底面积h 为柱体的高锥体V 锥体＝13ShS 为锥体的底面积 h 为锥体的高 台体V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上，S 下分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高[问题思考]仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？ 提示：(1)底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是：V 圆柱＝πr 2h . (2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆锥＝13πr 2h .(3)如果圆台上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆台＝13πh (r2＋rr ′＋r ′2)．讲一讲1．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点C 到AB 的距离为3 cm ，侧面ABB 1A 1的面积为8 cm 2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C 到AB 的距离为d ，侧面ABB 1A 1的面积为S 1，则△ABC 的面积S ＝12|AB |d .∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S |AA 1|＝12|AB |d |AA 1|＝12|AB |·|AA 1|d ＝12S 1 d ＝12(cm 3)． 法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1.可以看成以A 1ABB 1为底面的四棱柱D 1DCC 1­A 1ABB 1.则ABB 1A 1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D 1DCC 1­A 1ABB 1的体积V ＝24(cm 3)， 则直三棱柱的体积为12(cm 3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．练一练1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ②由①得r ＝ππa ， 由②得πrh ＝2a 2， ∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.讲一讲2.如图，已知四棱锥P ­ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P ­ABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝3tan 30°＝1. 可得PH ＝PA 2－AH 2＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面． ①求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ②利用“等积性”可求“点到面的距离”． 练一练2．已知三角形ABC 的边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r ＝125.∴V 锥＝13·AB ·πr 2＝13×5×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝485π.讲一讲3．圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC ＝BD 2－OD －AB 2＝102－6－42＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．练一练3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm 和12 cm ，侧面积为180 cm 2，求棱台的体积． 解：如图，分别过正四棱台的底面中心O 1，O 作O 1E 1⊥B 1C 1，OE ⊥BC ，垂足分别为E 1，E ，则E 1E 为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm 2，所以12×4×(6＋12)|E 1E |＝180，解得|E 1E |＝5.在直角梯形O 1OEE 1中，O 1E 1＝3，OE ＝6，E 1E ＝5，解得O 1O ＝4.所以正四棱台的体积为V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm 3)．如图所示，在长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C ­A ′DD ′，求棱锥C ­A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a ， ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝16abc .则剩余部分的体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc .故V 三棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.[尝试用另外一种方法解题]法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′­BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ，因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .故余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，解得a ＝4，则正方体的体积是a 3＝64. 2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.3．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积等于3.答案：35．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________． 解析：设圆台的上底面半径为r ， 则(3r )2＋(4r )2＝100，解之得r ＝2.∴S 上＝πr 2＝4π，S 下＝π(4r )2＝16πr 2＝64π，h ＝4r ＝8.∴V ＝13(4π＋64π＋16π)×8＝224π.答案：224π6．已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积．解：如图，在三棱台ABC ­A ′B ′C ′中，O ′、O 分别为上、下底面的中心，D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝12(20＋30)·DD ′·3＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下得，75DD ′＝3253(cm 2)，所以DD ′＝1333(cm)． 在直角梯形O ′ODD ′中，OD ＝5 3 cm ，O ′D ′＝1033cm ，O ′O ＝D ′D 2－OD －O ′D ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，即棱台的高h ＝4 3 cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S ＋S ′＋SS ′)＝433·⎝ ⎛⎭⎪⎫34·302＋34·202＋34·20·30 ＝1 900(cm 3)．一、选择题1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82－32＝55， ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝355π.2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56解析：选D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝148，故剩下的凸多面体的体积为1－8×148＝56.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A ．1∶2∶ 3B ．6∶23∶ 3C ．6∶23∶3D ．3∶23∶6 解析：选C 设如图所示的Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝32，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13π(3)2×1＝π，V 2＝13π×12×3＝33π，V 3＝13π(32)2×2＝12π. V 1∶V 2∶V 3＝1∶33∶12＝6∶23∶3. 二、填空题6．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝πr2a ＋b2.答案：πr 2a ＋b27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h ，则h ＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h ，圆柱体的底面半径是a 2，高为h ，依题意得π3h 2·h＝π·(a 2)2·h ，解得h ＝32a .答案：32a 8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ，S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ，V S ­ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝8 0003cm 3. 答案：8 0003 cm 3三、解答题9．如图所示，是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm 的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×20＝60π(cm 3)，设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)，所以有方程60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6(cm)．答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.10．若E ，F 是三棱柱ABC ­A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A ­BEFC 的体积．解：如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A ­BEFC 的高与四棱锥A ­B 1EFC 1的高相等， ∴V A ­BEFC ＝VA ­B 1EFC 1＝12VA ­BB 1C 1C .又VA ­A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC ­A 1B 1C 1＝m ，∴VA ­A 1B 1C 1＝m3，∴VA ­BB 1C 1C ＝VABC ­A 1B 1C 1－VA ­A 1B 1C 1＝23m ，∴V A ­BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A ­BEFC 的体积是m3.第3课时 球[核心必知]1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2. 2．球的体积公式：V 球＝43πR 3.[问题思考]用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d . 在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2， 即R 2＝r 2＋d 2.讲一讲1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ， 连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离．由于OA ＝OB ＝OC ＝R ， 则O 1是△ABC 的外心．设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ， 则O 1在CM 上．设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x .又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x . 解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R .由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9242＝R 2.解得R ＝362.故S 球面＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．练一练1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O 1， 则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径，OA 为球的半径．∵48π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝48. 在Rt △AO 1O 中，OA 2＝O 1O 2＋O 1A 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＋48，∴R ＝8(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)，V 球＝43πR 3＝20483π(cm 3).讲一讲2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． [尝试解答]如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， ∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CDAC.设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r3－r ＝12， ∴r ＝33cm ， V 球＝43π(33)3＝4327π(cm 3)， 即球的体积等于4327π cm 3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．练一练2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC ′＝6，AC ＝2·6＝23，设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝(3)2＋(6)2＝9，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝43πR3＝36π.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD＝x，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.[错因] 本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．[正解] (1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，设球半径为R，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上可知，球的表面积是2 500π cm 2.1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大( ) A ．2倍 B. 2 倍 C ．2 2 倍 D ．3 2 倍解析：选C 球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3＝22倍． 2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1解析：选A 设两球的半径分别为R 1，R 2. ∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 22＝1∶9.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：选C 设球的半径为R ，则2R ＝33＋42＋52＝5 2. ∴S 球＝4πR 2＝π·(2R )2＝50π.4．(福州高一检测)已知正四棱锥O ­ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝323，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S＝4πR 2＝24π.答案：24π5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为r cm ，则有8πr 2＋3×43πr 3＝πr 2×6r ，由此解得r ＝4.答案：46．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24 (m 2)．(2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8 (m 3)．一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.323π B.8π3C ．82π D.823π解析：选D 所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12＋12＝2，球的体积为 43πR 3＝823π. 2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶22∶3 3 D ．1∶4∶7解析：选C ∵三个球的表面积之比是1∶2∶3， 即r 21∶r 22∶r 23＝1∶2∶3.∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3， ∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝22＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2解析：选B 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝712a ， ∴S ＝4πR 2＝4π×7a 212＝7π3a 2.5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3cm 3解析：选 A 解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R －2) cm(其中R 为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2) cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3，选择A.二、填空题6．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________ cm 3.解析：如图所示，由已知：O 1A ＝3，OO 1＝4，从而R ＝OA ＝5. ∴V 球＝4π3×53＝500π3 (cm 3)．答案：500π37．一个底面直径是32 cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm ，则这个球的表面积是________．解析：球的体积等于以16 cm 为底面半径，高为9 cm 的圆柱的体积，设球的半径为R ，所以43πR 3＝π·162·9，。

《柱锥台的侧面展开与面积》教学设计教材分析:教材基于学生已有的对空间几何体侧面展开的知识基础，通过提供直观形象的侧面展开图，给出柱、锥、台的侧面积公式，体现了空间问题平面化的思想.教学目标：【知识与能力目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法；2.会用柱、锥、台体和球的表面积公式求简单几何体的表面积.【过程与方法】1.通过手工拆展与多媒体展示了解柱、锥、台的侧面展开图，推导出柱、锥、台表面积计算公式，能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.2.建立空间概念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃.【情感态度与价值观】通过相关学习，感受不同几何体侧面积公式之间的联系，体会空间问题平面化的思想.教学重难点：【教学重点】柱体、锥体、台体的侧面积与表面积.【教学难点】几何体的侧面积、表面积推导，不同几何体的侧面积公式之间的联系.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：我们今天一起来研究几何体的表面积问题，那我们先从最熟悉的集合体入手.问题1：正方体和长方体的表面积是什么呢？以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?问题2：圆柱的侧面展开图是什么呢？如何展开呢？问题3：求圆柱的表面积的关键是求出什么呢？二、新课探究：1.圆柱表面积设圆柱的底面半径为r ，母线长为l .（侧面展开图为矩形）⑴ 侧面积：=2S rl π侧⑵ 表面积：2=2+2S rl r ππ表推导思路：圆柱侧面展开图为矩形，长为底面圆周长，宽为母线，所以=22S r l rl ππ⋅=侧.2.圆锥的表面积设圆锥底面半径为r ，母线长为l .（侧面展开图为扇形）⑴侧面积：=S rl π侧⑵表面积：2=+S rl r ππ表推导思路：扇形面积为1=2S lR 扇，l 为弧长，R 为扇形半径，圆锥侧面展开为扇形， 底面圆周长即为扇形弧长，圆锥母线即为扇形半径，所以1=22S r l rl ππ⋅⋅=侧. 问题4：联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r',r ,母线长为l ,你能计算出它的表面积吗?3.圆台的表面积设圆台上下底面半径分别为12r r 、，母线长为l .（侧面展开图为扇环，大扇形减小扇形）⑴侧面积：()12=S r r l π+侧⑵表面积：()221212=S r r l r r πππ+++表 推导思路：还原圆锥，由截面可知SOB ∽'SO A 设SA=x ，则12r x r x l ，可得121rl xr r ，212212212112112222S r (l x )r x r l r x r xr l (r r )xr l rl (r r )lππππππππππ=⨯+-⨯=+-=+-=+=+扇环设计意图：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．要把握立体问题平面化.化归思想的渗透.多面体表面积为各个面的面积相加.即展开图的面积.关键点找出侧面积.4.直棱柱（展开侧面为矩形）C 为底面多边形周长.侧面积：=S ch 直棱柱侧5.正棱锥侧C 为底面多边形周长，'h 为斜高.侧面积： 1=2'S ch 正棱锥侧6.正棱台侧 'c ，c 为上下底面多边形周长，'h 为斜高.侧面积： ()1=2''S c c h +正棱锥侧思考：柱、锥、台之间侧面积、表面积间的关系.三、知识应用： 题型一 计算柱、锥、台的面积问题例1. (1) 已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体S-ABC ,求它的表面积.解：各面均为等边三角形，边长为a ，则223=43S a a ⋅=表(2) 已知圆柱的底面半径为2cm ，母线为3 cm ，求这个圆柱的表面积.解：22=2+22232220S rl r πππππ=⨯⨯+⨯=表2cm (3) 已知圆锥的表面积为a 2m ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥底面的直径.解：设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=,得2l r =，而22S r r r a ππ=+⋅=，3a r π=,则直径为23233a a πππ=． 【设计意图】 通过题目的练习更加好的理解记忆公式并使用，每次的公式并不死记硬背，自己心里想着图形，暗自推导一遍，增加理解，并可以更灵活的应用.题型二 三视图中的柱锥台的表面积问题例2.⑴ 若一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积.解：侧视图中的宽度为俯视图正三角形的高长度则正三角形边长为4，则23244238324S =⨯⨯+⨯⨯=+. ⑵ 一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积.解：由三视图可知，几何体为圆柱.2222212138S r rl πππππ=+=⨯+⨯⨯= 【设计意图】高考中将三视图和表面积体积问题经常合一考查，所以这一类问题是重点.题型三 计算柱、锥、台的面积问题实际问题例3.⑴ 一个圆柱形的锅炉，底面直径1d cm =,高23h .cm =.求锅炉的表面积(保留2位有效数字）.解：22211222232288822S rl r ...cm πππππ⎛⎫=+=⨯⨯+=≈ ⎪⎝⎭俯视图左（侧）视图主（正）视图23⑵ 一个圆台形花盆盆口直径为20cm ，盆底直径15cm ，底部渗水圆孔直径为1.5cm ，盆壁长15cm .为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果精确到1毫升）？解：由圆台的侧面积公式，得花盆的表面积则图油漆用量为499910100100999-⨯⨯⨯=毫升.【设计意图】解决涉及到实际生活中的问题. 教学反思：本节课设计是一个比较典型的“探究式教学”案例，给学生足够的时间推导公式，知道公式的由来，是本节课最重要的部分.。

《柱、锥、台的侧面展开与面积》
本课是北师大版普通高中数学必修二第一章第七节的内容。

在之前的基础上,通过圆柱、圆锥、圆台以及棱柱、棱台的侧面展开图
,深入学习这些简单几何体的侧面积求法。

将柱、锥、台侧面积计算公式综合统一起来认识,加强联系和对比,会利用公式进行计算。

【知识与能力目标】
了解柱、锥、台的侧面展开图；了解柱、锥、台的表面积的计算公式，会求一些简单几 何体的表面积。

【过程与方法目标】
在教学过程中培养“空间问题向平面转化”的数学思想。

【情感态度价值观目标】
通过学习柱、锥、台体，提升空间思维的能力，同时使学生意识到数学来源于生活。

【教学重点】
柱、锥、台的表面积公式的推导方法；加强空间与平面图形相互转化的思想方法的应用。

【教学难点】
柱、锥、台体的表面积公式的应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分
在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道下面几何体的展开图与表面积的关系吗？
二、研探新知，建构概念
1、电子白板投影出上面实例。

2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

S。

§１简单几何体１．１简单旋转体１．２简单多面体学习目标核心素养１．了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．２．掌握简单几何体的分类．３．理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念．（重点、难点）４．理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念．（重点、难点）１．通过了解柱、锥、台、球的结构特征培养直观想象素养．２．通过理解柱、锥、台及球的相关概念提升数学抽象素养.１．两个平面平行及直线与平面垂直的概念（１）两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的．（２）直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直．２．简单的旋转体（１）定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．（２）球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：名称定义图形表示相关概念球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段；球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段圆柱、圆锥、圆台分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台高：在旋转轴上这条边的长度；底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置，都叫作侧面的母线（２）过旋转体的轴的截面叫作轴截面，那么圆锥的轴截面是什么图形？（３）圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？（４）球能否由圆面旋转而成？提示：（１）圆柱的母线有无数条；它们之间相互平行．（２）等腰三角形．（３）一定．由于圆台可认为是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交．（４）能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周所形成的旋转体即为球．３．简单的多面体（１）简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．（２）棱柱、棱锥、棱台的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形表示棱柱AC′或棱柱ABCDE­A′B′C′D′E′棱锥S­AC或棱锥S­ABCDE棱台AC′或棱台ABCD­A′B′C′D′结构特征两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等侧面平行四边形三角形梯形底面平行且全等的多边形多边形平行且边数相等的多边形思考２：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？提示：不是．如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱．１．下列几何体中是旋转体的是（）１圆柱；２六棱锥；３正方体；４球体；５四面体．Ａ．１５Ｂ．１Ｃ．３４Ｄ．１４[答案] D２．长方体相对的两个侧面的位置关系是（）Ａ．平行Ｂ．相交Ｃ．平行或相交Ｄ．无法确定A[根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选Ａ．]３．下列说法正确的是（）Ａ．直线绕定直线旋转形成柱面Ｂ．半圆面绕定直线旋转形成球体Ｃ．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱Ｄ．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的D[直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选Ｄ．]４．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．１有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；２所有的棱长都相等；３棱柱中至少有２个面的形状完全相同；４相邻两个面的交线叫作侧棱．１３[由棱柱的概念知１３正确．２４错误．]旋转体的结构特征（１）以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；（２）以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；（３）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；（４）圆面绕它的任一直径所在直线旋转一周形成的几何体是球．Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个B[（１）应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故（１）错；（２）以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故（２）错；（３）用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故（３）错；（４）正确．]１．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．２．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．错误!１．下列说法正确的是________．１一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；２圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；３在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．２[１错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．２正确．３错．应为球面．]多面体的结构特征１用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；２棱柱的侧面一定是平行四边形；３棱锥的侧面只能是三角形；４由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；５棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．２３４[１错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；２正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形；３正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；４正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；５错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法：（１）举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．（２）直接法：棱柱棱锥棱台定底面两个互相平行的面，即为底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱平行相交于一点延长后相交于一点错误!２．给出下列几个结论：１棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；２多面体至少有四个面；３棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个A[１正确；对于２，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以２是正确的；对于３，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以３是正确的．]空间几何体的表面展开与折叠１．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？提示：１为五棱柱；２为五棱锥；３为三棱台．２．若知道空间几何体表面上两点，如何求两点间最短的表面距离？提示：在几何体的表面上求两点间的最短表面距离问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理．３．六棱锥P­ABCDEF的底面是边长为１m的正六边形，侧棱长为２m，M为PA的中点，从D 点拉一条绳子，沿锥体侧面（不经过底面）到达M点．分组讨论，在什么情况下，绳子最短？提示：制作这样一个六棱锥观察实验，不难发现，当去掉底面，沿侧棱PA剪开，铺平后，两点D，M之间的距离即为最短绳长．【例３】如图所示，有一个底面半径为１，高为２的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？[思路探究] 将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最短求解．[解] 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝２π×１＝２π.又AB＝A′B′＝２，∴AB′＝错误!＝错误!＝２错误!，即蚂蚁爬行的最短距离为２错误!.将例３中的圆柱体变为长方体如图所示，长方体ABCD­A１B１C１D１中，AB＝３，BC＝２，BB１＝１，求沿着长方体的表面从A到C１的最短距离．[解] 将长方体相邻两个面展开，比较三个展开图，图１中AC１＝错误!，图２中AC１＝３错误!，图３中AC１＝２错误!，∴从A到C１的最短距离为３错误!.在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理.１．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．２．棱柱、棱锥定义的关注点（１）棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：１有两个平面（底面）互相平行；２其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行．（２）棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：１有一个面（底面）是多边形；２其余各面（侧面）是有一个公共顶点的三角形．３．球面、球体的区别和联系区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体，包括球面及所围的空间部分１．思考辨析（１）直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．（）（２）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．（）（３）棱柱的侧面都是平行四边形．（）（４）棱锥的侧面都是三角形．（）[解析] （１）×，若绕直角三角形斜边旋转得到的是两个同底圆锥．（２）×，两个截面与圆柱底面不平行时就不是圆柱．[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√１在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；２圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；３在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；４圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．１３Ｄ．２４D[依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，２４正确，１３错误．]３．下面几何体的截面一定是圆面的是（）Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．球Ｄ．圆台C[无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面．]４．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是错误!，则圆锥的高与母线的长分别为________．错误!，２[设正三角形的边长为a，则错误!a２＝错误!，∴a＝２．由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为错误!a＝错误!，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为２．]５．如图所示为长方体ABCD­A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．[解] 截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′­CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′­DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．。

§7简单几何体的再认识7．1柱、锥、台的侧面展开与面积知识点一侧面积[填一填]1．侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积(1)圆柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边长为母线长，另一边长为圆柱底面圆的周长．则圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrl，其中r为圆柱的底面半径，l为圆柱的母线长．(2)圆锥的侧面展开图是扇形，如上图②所示，此扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，则圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl，其中r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长．(3)圆台的侧面展开图是一个扇环，如上图③所示，则圆台的侧面积S圆台侧＝π(r1＋r2)l，其中r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为圆台的母线长．[答一答]1．求圆柱、圆锥、圆台的侧面积的关键是什么？提示：求圆柱、圆锥、圆台的侧面积，关键是在它们的轴截面中求底面半径及母线长．知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积[填一填](1)直棱柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边是直棱柱的侧棱(也是高)，另一边是直棱柱的底面周长，则直棱柱的侧面积S 直棱柱侧＝ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 为直棱柱的高．(2)正棱锥的侧面展开图是由全等的等腰三角形拼接成的，如上图②所示，则正棱锥的侧面积S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 为正棱锥的底面周长，h ′为斜高，即为侧面等腰三角形底边上的高．(3)正棱台的侧面展开图是由全等的等腰梯形拼接成的，如上图③所示，则正棱台的侧面积S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′，其中c ′，c 分别为正棱台的上、下底面周长，h ′为斜高，即侧面等腰梯形的高．[答一答]2．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积有何关系？ 提示：这三种几何体侧面积之间的关系3．如何求简单多面体的侧面积？提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁．(2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下底面之间的关系．1．在掌握柱体、锥体、台体侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的组合体的表面积，能够将其分解成柱体、锥体、台体，再进一步转化为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．3．棱锥中平行于底面的截面的性质：在棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系： S 小锥底S 大锥底＝S 小锥全S 大锥全＝S 小锥侧S 大锥侧＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 思维拓展：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积时，会大大简化求解过程．在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．类型一 柱体的侧面积与表面积【例1】 用一张4 cm ×8 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的全面积． 【思路探究】 圆柱的侧面展开图为矩形，圆柱的母线及底面周长为侧面展开图的宽和长，利用这些关系，我们可以在圆柱的侧面积和基本量之间转化．【解】 由于卷的方法不同，故有两种情况：(1)如右图(1)，以矩形中8 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，∴OA＝r1＝2π，此时两底面的面积之和为8π，S全＝⎝⎛⎭⎫32＋8π(cm2)．(2)如上图(2)，以矩形中4 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，∴OB＝r2＝4π，此时两底面的面积之和为32π，S全＝⎝⎛⎭⎫32＋32π(cm2)．规律方法圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决圆柱和直棱柱的侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积的计算公式即可．对于计算表面积的问题，在侧面积的基础上加上两个底面积即可．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是4014.解析：依题意，知直棱柱底面的一条对角线长为152－52＝102，另一条对角线长为72－52＝24＝2 6.又菱形的对角线互相垂直平分，故底面边长为(52)2＋(6)2＝56＝214，故S侧＝4×214×5＝4014.类型二锥体的侧面积与表面积【例2】正四棱锥底面边长为4 cm，高和斜高的夹角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积．【解】正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，∴PE ＝OEsin30°＝4 cm.因此S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．规律方法 本题的关键是解正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的Rt △POE .已知正三棱锥的侧棱长等于10 cm ，侧面积等于144 cm 2，如图，求棱锥的底面边长和高．解：如图，设正三棱锥S -ABC 底面边长为2a ，SO 为棱锥高，斜高SD ，在Rt △SAD 中，SA ＝10，AD ＝a ， ∴SD ＝102－a 2， 由S 正三棱锥侧＝3·12SD ·AB ，即144＝3a 100－a 2得a ＝6或a ＝8，∴AB ＝12或AB ＝16， 此时SO ＝SD 2－OD 2＝213或2333，∴正三棱锥的底面边长为12 cm ，高为213 cm 或底面边长为16 cm ，高为2333 cm.类型三 台体的侧面积与表面积【例3】 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的全面积．【思路探究】 依据侧面积计算公式，需求出上、下底面的半径． 【解】如图所示的是圆台轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O ＝A1H＝A1A·sin60°＝43(cm)，AH＝A1A·cos60°＝4(cm)，即r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1)．∴S全＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π (cm2)．规律方法圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面中，为方便起见，旋转体的证明和计算有时不必画立体图形，画出它的轴截面即可．若圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的表面积为(C) A．81πB．100πC．168πD．169π解析：先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长l＝h2＋(r2－r1)2＝(4r1)2＋(3r1)2＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S侧＝π(r2＋r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr21＋πr22＝100π＋4π＋64π＝168π.类型四三视图与表面积【例4】 如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A ．23B ．4 3C ．4D ．8【思路探究】 解题关键是通过三视图还原为几何体的直观图．【解析】 由三视图和已知条件知8个侧面是全等的等腰三角形，且底边和斜高均为1.故表面积为12×1×1×8＝4.【答案】 C如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长C ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋(23)2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋Ch ＋12Cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.故选C.——多维探究系列—— 有关几何体的表面积中的最值问题【例5】 已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？【精解详析】 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，设所求圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S 圆柱侧＝2πr ·x ，∵r R ＝H －x H ，∴r ＝R －RH x . ∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H·x 2.(2)因为S 圆柱侧的表达式中x 2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值，此时圆柱的高是x ＝－2πR －2×2πR H ＝H 2>0，且x ＝H2<H ，所以当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．如图所示，三棱锥P －ABC 的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M 在棱PB 上移动，动点N 在棱PC 上移动，求AM ＋MN ＋NA 的最小值．解：三棱锥P －ABC 的展开图如图所示，则AM ＋MN ＋NA ＝AN ＋MN ＋A 1M ，又∵AN ＋MN ＋A 1M ≥AA 1，∴当A ，M ，N 三点共线时，取到最小值． 在图中，∵∠A 1PB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝40°， ∴∠AP A 1＝120°.在△AP A 1中，AA 1＝3， ∴AM ＋MN ＋NA 的最小值为 3.一、选择题1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为( D ) A ．4 B.34C ．2 3D. 3解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为34，所以此三棱锥的表面积为4×34＝ 3. 2．若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( C ) A.2倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．5倍解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2.所以S 侧S 底＝2.3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：设底面圆半径为r ，母线即高为h ，∴h ＝2πr ，∴S 全S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.二、填空题4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是92.解析：本题考查了三视图及正四棱柱的表面积．该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是：S ＝2×12×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋42＋(5－2)2)×4＝92.5．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是2N 2＋2Mh 2.解析：设长方体的长和宽分别为a ，b ， 则有a ·b ＝M ，a 2＋b 2·h ＝N ， 2(a ＋b )h ＝2(a ＋b )2·h ＝2N 2h 2＋2M ·h ＝2N 2＋2Mh 2. 三、解答题6．如图所示，在边长为8的正三角形ABC 中，E ，F 依次是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将△ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．解：旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，因为△ABC 为边长为8的正三角形，所以BD ＝4，AD ＝43，△EBH 中，∠B ＝60°，EB ＝4，BH ＝HD ＝DG ＝2，EH ＝23，圆柱底面半径HD ＝2，高EH ＝23，圆锥底面半径BD ＝4，高为AD ＝4 3. S 圆锥＝πr 2＋πRl ＝π·BD 2＋π·BD ·AB ＝16π＋32π＝48π，S 圆柱侧＝π·HG ·EH ＝83π，所以几何体的表面积为：S ＝48π＋83π. V 圆锥＝13π·42·43＝6433，晨鸟教育Earlybird V 圆柱＝π·22·23＝83π， 所求几何体积为V ＝V 圆锥－V 圆柱＝6433π－83π＝4033π.。