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全称量词与存在量词

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课 题：全称量词与存在量词
学习目标:1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容
重点难点:理解全称量词与存在量词的意义.
知识链接:德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77，：77=53+17+7”，同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是还需要证明。

这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。

200多年来我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥。

它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题. 新课导学：
探究任务一：
在我们的日常生活中，我们常常遇到这样的命题:
（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；
（2）对任意实数x ，都有02≥x ；
（3）存在有理数x ，使022=-x .
问题1：上述命题中有那些关键的量词?
1.全称量词与存在量词：
全称量词定义： ；
表示形式： ；
符号表示：____________________________________________；
读作：________________________________________________.
存在量词定义：________________________________________；
表示形式:_____________________________________________；
符号表示：_____________________________________________；
读作：___________________________________________________.
如：“对任意实数x ，都有02≥x ”可表示为 ；
“存在有理数x ，使022=-x ” 可表示为 .
2. 全称命题与存在性命题
全称命题定义： ,一般形式 ；
存在性命题定义： ，一般形式 .
二、精讲点拨：
例1.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并找出其中的量词.
（1）任意实数的平方都是正数__________\__________；
（2）0乘以任何数都等于0______________\____________；
（3）任何一个实数都有相反数___________\______________；
（4）⊿ABC 的内角中有小于600的角___________\___________；
（5）有人既能写小说，也能搞发明创造____________\__________；
问题2：如何判定一个存在性命题，全称命题的真假？
例2.判断下列命题的真假：
（1）x x R x >∈∃2, ； （2）x x R x >∈∀2,；
（3）08,2=-∈∃x Q x ； （4）02,2>+∈∀x R x ；
（5）01,2>++∈∀x x R x ； （6）01,2>+-∈∃x x R x .
总结：存在性命题)(,x p M x ∈∃为真，只要在给定的集合M 中找出一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则为假；全称命题)(,x p M x ∈∀为真，必须对给定的集合的每一个元素x , )(x p 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假.
三、合作探究：
1.下列全称命题中，真命题的是___________.
A ．末位是偶数的整数总能被2整除；
B ．角平分线上的点到这个角两边距离相等；
C ．正三棱锥的任意两个面所成的二面角相等.
2.下列存在性命题中，真命题的是____________.
A ．0,≤∈∃x R x
B ．至少有一个整数，它既不是质数也不是合数
C ．x ∃是无理数，2x 是无理数
D ．x ∃是无理数，2x 是有理数
3.下列全称命题中真命题的个数是 .
①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面所成的二面角相等.
4.下列存在命题中假命题的个数是 .
①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形.
5.下列存在命题中真命题的个数是 .
①0x R,x ≤∈∃；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃.
四、迁移应用：
1.下列全称命题中假命题的个数是 .
①2x+1是整数（x ∈R ）；②对所有的x ∈R ，x>3；③对任意一个x ∈z ，2x 2+1为奇数.
2.下列命题为存在命题的是 .
A.偶函数的图象关于y 轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
3.命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是 .
A.原函数与反函数的图象关于y=-x 对称
B.原函数不与反函数的图象关于y=x 对称
C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称
D.存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称
4.命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是______________.
5.命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________.
6.把下列命题改成含有量词的命题：
（1）余弦定理
（2）正弦定理
7.用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：
（1）实数的平方大于等于0；
（2）存在一对实数，使0332>++y x 成立；
（3）勾股定理.
8.写出下列命题的否定：
（1）所有自然数的平方是正数；
（2）任何实数x 都是方程5x -12＝0的根；
（3）对于任意实数x ，存在实数y ，使0>+y x ；
（4）有些质数是奇数.
反思：
小结：。

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全称量词、存在量词 课件

全称量词、存在量词 课件


1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( ) (2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在 性”.( ) (3)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量 词.( )
【解析】(1)“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词,故 说法是错误的. (2)结合全称量词和存在量词的含义知,这种说法是正确的. (3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词,但其意义具备 “任意性”或“存在性”,这类命题也是全称命题或特称命题, 如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的. 答案:(1)× (2)√ (3)×
①所有的x∈M,有p(x)成立 表 ②对一切x∈M,有p(x)成立 述
③对每一个x∈M,有p(x)成立 方
④任选一个x∈M,有p(x)成立 法
⑤凡x∈M,都有p(x)成立
①存在x0∈M,使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M,使p(x0)成立 ③对有些x0∈M,使p(x0)成立 ④对某个x0∈M,使p(x0)成立 ⑤有一个x0∈M,使p(x0)成立
【即时练】 下列命题是全称命题的个数是( ) ①任何实数都有平方根; ②所有的素数都是奇数; ③有的等差数列是等比数列; ④三角形的内角和是180°. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选D.命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“每 一个三角形的内角和都是180°,”故有三个全称命题.
类型一 全称命题与特称命题的判定
2
一个实数α0,使tanα0无意义”是真命题. (2)不是命题. (3)含有全称量词,所以该命题是全称命题.又任何一个圆的圆心 到切线的距离都等于半径,所以,全称命题“所有圆的圆心到其 切线的距离都等于半径”是真命题.
全称量词与存在量词

全称量词与存在量词

在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题： （1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护； （2）对任意实数x，都有x2≥0； （3）存在有理数x，使x2－2＝0; 对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识.
全称量词的含义和表示
含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，则不是命题。如 果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，则可以使它们成为 一个命题，我们把这样的短语称为量词。
(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题. (5)真命题;(6)真命题;(7)真命题;(8)假命题
3.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量 词命题的形式,并判断它们的真假: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数; (3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根.
思考2：你还能列举一些常见的全称量词吗？ “一切”，“每一个”，“全体”等
定义:含有全称量词的命题叫做全称量词命题.
思考3：如“对所有的x∈R，x＞3”，“对任意一个x∈Z， 2x＋1是整数”等，你能列举一个全称量词命题的实例吗？
思考4：将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)等表示,变量x的取值范
思考1:下列各组语句是命题吗？两者有什么关系?
（1）x＞3；
对所有的x∈R，x＞3.
（2）2x＋1是整数；
对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
（3）方程x2＋2x＋a＝0有实根；任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.
定义：短语“所有的”“任意一个”
“任给”等,在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示,
(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;真命题 (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;真命题 (3)存在一个三角形不是中心对称图形;真命题 (4)存在一个一元二次方程没有实数根;真命题
全称量词与存在量词 课件

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2．存在量词 特称命题
(1)短语“ 存在一个 ”、“至少有一个”在逻辑中通常
叫做存在量词，用符号∃表示，含有存在量词的命题叫做
特称命题 ．
(2) 常 见 的 存 在 量 词 有 ： “ 存 在 一 个 ” “ 至 少 有 一
个”“有些”“有一个”“某个”“有的”．
(3)特称命题的形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，
[例2] 给出下列四个命题： ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1； ③∃x0∈Z，x<1； ④∃x0∈Q，x＝3. 其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填 上)．
[答案] ①③ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①四个命题中有两个全称命题，两个特称命题； ②要求判断命题的真假．解答本题首先正确理解命题 的含义，再采用举反例等方法给予判断． [解析] ①由于∀x∈R，都有x2≥0， 因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立． 所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
(1)有一个实数α，tanα无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (4)圆内接四边形，其对角互补； (5)对数函数都是单调函数．
[分析] → 判断真假
判断含有量词类型 → 判断命题类型
[解析] (1)特称命题．α＝π2时，tanα 不存在，所 以，特称命题“有一个实数 α，tanα 无意义”是真命题．
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3，而它们都不是有理 数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．
新高考数学复习考点知识讲义课件3---全称量词与存在量词

新高考数学复习考点知识讲义课件3---全称量词与存在量词


解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时， g(x)min＝g(2)＝14－m，由题意得 f(x)min≥g(x)min， 即 0≥14－m，所以 m≥14.
引申探究 本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则 实数m的取值范围是__12_，__＋__∞__ _.
D选项中当x1＝0时，结论不成立.
题型二 含有一个量词的命题的否定
1.已知命题p：“∃x0∈R，ex0 －x0－1≤0”，则綈p为 A.∃x0∈R，ex0－x0－1≥0 B.∃x0∈R，ex0－x0－1>0
√C.∀x∈R，ex－x－1>0
D.∀x∈R，ex－x－1≥0
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系， 可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
思维升华
对全称命题、特称命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词， 再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定.
题型三 根据命题的真假命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2 －a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为_(_－__∞__，__－__2_]_.
跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是 A.∀x∈R,2x－1>0
√B.∀x∈N*，(x－1)2>0
C.∃x0∈R，lg x0<1 D.∃x0∈R，tan x0＝2
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号， 故B不正确； 易知A，C，D正确，故选B.
1
(2)已知函数f(x)＝x2 ，则
跟踪训练2 (1)由命题“∃x0∈R， x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数 m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝__1__.