西南大学2018年秋季网教作业0772中学代数研究

高等代数专题研究〞是中央播送电视大学数学与应用数学专业本科的一门必修课程。

该课程是针对中央播送电视大学数学与应用数学专业的学生开设的。

它将已学过的代数知识〔数的本质认识，数的开展历史，不等式、多项式理论、因式分解、初等排列组合和多项式的求根等〕直接用到中学数学的教学与研究中。

本门课程的主要任务是,一方面使学生加深对代数学的理解，另一方面使学生从高等数学和高等代数的观点出发，对初等数学进展深化的研究，并可以建立起初等数学的严格的科学体系，有利于更好地进展初等数学的教学。

Ⅰ.关于课程考核说明与施行要求1.“高等代数专题研究〞是中央播送电视大学本科开放教育数学与应用数学专业学生必修的一门专业根底课程。

通过本课程的学习，使学生掌握代数学的根本概念和根本原理，进一步进步抽象思维和逻辑推理的才能。

课程的结业考核合格水准应到达高等学校该专业本科教育的要求。

本考核说明是以本课程的教学大纲和指定的参考教材?高等代数专题研究?(王仁发主编中央播送电视大学出版社出版)为根据制定的。

2.考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解、理解和知道；有关方法、公式和法那么等的要求从高到低为纯熟掌握，掌握和会。

3.本课程的结业考核实行形成性考核和期末考试相结合的方式。

结业考核成绩总分值100分，其中形成性考核成绩占20%,期末考试成绩占80%。

结业考核成绩满60分为合格。

4．关于形成性考核的说明形成性考核由平时作业成绩构成，根据教学进度，及时完成作业。

作业的内容和要求以及评定请参考播送电视大学“高等代数专题研究课程教学设计方案〞终结性考试实行全国统一考试，根据本课程考核说明，由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间。

考试的组织施行和试卷的评定，由有关的各省、自治区和直辖市完成。

(1)终结性考试的内容和要求以本考核说明为准，要求考核根本概念、根本原理和根本运算。

命题覆盖面可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当。

第３９卷第６期２０２１年１１月贵州师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｌ．３９．Ｎｏ．６Ｎｏｖ．２０２１引用格式：赵仁杰．关于不定方程３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）［Ｊ］．贵州师范大学学报（自然科学版），２０２１，３９（６）：３２ ３５．［ＺＨＡＯＲＪ．Ｏｎｔｈｅｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ），２０２１，３９（６）：３２ ３５．］关于不定方程３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）赵仁杰（西南大学数学与统计学院，重庆　４００７１５）摘要：运用递归序列和平方剩余的方法，证明了不定方程３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）仅有正整数解（ｘ，ｙ）＝（１３，７）。

关键词：不定方程；整数解；平方剩余；递归序列中图分类号：Ｏ１５６．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—５５７０（２０２１）０６－００３２－０４ＤＯＩ：１０．１６６１４／ｊ．ｇｚｎｕｊ．ｚｒｂ．２０２１．０６．００７ＯｎｔｈｅＤｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）ＺＨＡＯＲｅｎｊｉｅ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４００７１５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｉｔｈｔｈｅｐｒｉｍａｒｙｍｅｔｈｏｄｓｏｆｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓａｎｄｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｍａｉｎｄｅｒｓ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅＤｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ３ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝２６ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）ｈａｓａｕｎｉｑｕｅｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ（ｘ，ｙ）＝（１３，７）．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｍａｉｎｄｅｒ；ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅｓｅｑｕｅｎｃｅ 不定方程也称为丢番图方程，在数论研究中占有重要的地位。

数学与应用数学（免费师范）专业培养方案一、专业简介本专业主要培养优秀的数学教师与研究人才。

毕业生多数在各省市有相当影响的中学任教，成长为区域教学骨干或者教育管理干部，部分在大学、科研院所工作，培育出一批知名教授和管理人才。

本专业师资雄厚，知名教授长期从事一线教学，重视培养学生数学修养，强化教师素质修炼和技能训练。

由国家级教学名师引领，是教育部特色专业，有数学一级学科博士学位授权点及博士后科研流动站，是全国最早招收数学教育方向博士的单位之一，与重点中学建有稳定的教育实践合作，与基础教育名师有长期合作。

本专业在全国尤其在西部享有盛誉，其教育改革与人才培养成果被评为第六届高等教育国家级教学成果奖一等奖。

社会对优秀数学教师及数学应用人才的需求在任何时代都长盛不衰，本专业就业率一直名列学校前列。

大批杰出校友不仅为优秀人才的创新实践能力培养提供了支持，也为学生就业带来了机遇与优势，就业前景乐观。

二、培养目标及培养要求培养目标：培养具有社会责任感、深厚人文底蕴、扎实专业知识，富有创新精神和实践能力的高素质人才。

（1）掌握数学科学的基本理论与方法，具有较高的科学素养和较强的创新意识，能够运用数学知识，借助计算机解决实际问题。

（2）掌握现代教育的基本理论与技能，能够综合运用所学的数学、数学教育以及其他领域知识思考、理解中小学数学教育实践，能够胜任基础教育数学教师工作。

培养要求：（1）具有良好的思想品德、社会公德和职业道德。

（2）受到严格的数学思维训练，具有较扎实的数学基础。

（3）具有应用数学知识建立数学模型、解决实际问题的初步能力。

（4）掌握基本的教育理论和教学方法，具有基本的教育管理能力、教育教学研究能力。

（5）了解数学及其相关学科发展的新成果、新动态，具有较宽的知识面和一定的人文社会科学素养。

（6）熟练掌握常用的数学软件，能够使用信息技术辅助数学教育。

（7）有较强的数学语言表达能力，具有一定的数学教育论文科研能力。

近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。

本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。

如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。

教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。

每节配有3—5题常规练习作业。

每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。

整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。

本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。

教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。

主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。

2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。

3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。

4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。

5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。

[0511]《义务教育数学新课程的理念与创新》第1次[论述题]西南大学网络教育课程"数学新课程的理念与创新”（0511）第1次作业（2010-09-24―11-10）1. 试就你自己在教学中的切身体会谈谈传统数学教学方法与新课改之后的教学方法之间的关系。

2. 你是否认为数学课程中重视"双基”是必要的，也是重要的？3. 教师恰当的提问非常重要,谈谈你怎样设计具有启发价值的课堂提问。

4. 你认为是否每节数学课都必须合作学习或小组讨论?参考答案：西南大学网络教育课程"数学新课程的理念与创新”（0511）第1次作业（2010-09-24―11-10）1. 试就你自己在教学中的切身体会谈谈传统数学教学方法与新课改之后的教学方法之间的关系。

提示：1.3 节对我国数学教育传统状况进行了概括和分析分析。

我国数学传统教育方式的优势：（1）重视数学理论，重视基础知识的掌握；（2）计算常规技能熟练；（3）我国设立的各级教研机构，指导和规范教师的教学和教学研究活动，从整体上保证了我国数学教育有一个较高的水平。

同时也存在若干缺陷和不足（1）课程的单一性。

无论是课程设置、内容目标还是评价方式都较为单一。

（2）忽视数学课程的教育价值。

（3）忽视对数学本质的认识和理解，存在过度形式化倾向。

（4）教研活动缺乏活力。

2.3节讨论了新课程的教学观: 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》要求："数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教师应该激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

”《普通高中数学课程标准（实验）》要求：一方面保持我国重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。

1、高中代数课程的基本主线是（ ）.方程 . 不等式.函数.数列2、用复数的棣莫弗公式，可以推导（ ）.三角函数的n 倍角公式. 一元二次方程的求根公式 .点到直线的距离公式3、不定方程求解的算理依据是（ ）. B. 孙子定理 . 辗转相除法. 单因子构件法 .拉格朗日插值法4、 在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（ ）. 形式推导 . 直观理解.恒等变换5、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（ ）. 连续性 . 完备性 .稠密性.可数性6、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为（）.方程和函数.古典代数和近代代数.数列和算法.抽象代数和近世代7、下列说法，哪个是正确的（）.复数集是一个有序域.复数可以比较大小.复数可以排序8、下列哪个说法是错误的（）.用尺规作图可以三等分角.用尺规作图可以二等分角.用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线.用尺规作图可以画出根号5的数9、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有（）.完备性.稠密性.可数性.连续性10、三角形的余弦定理同（）有内在联系.二维柯西不等式.二维排序不等式 .二维均值不等式11、下列说法，哪一个是错误的（ ）.有理数集是可数的 .实数集是可数的.自然数集是可数的12、两个集合A 和B 的笛卡尔积的子集，被称为（ ）. F. 关系. 对偶. 序偶 .结构13、高中教材“函数”的定义采用的是（ ）. 函数“对应说”；. 函数“变量说”； .函数“关系说”14、用（ ）方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。

. 拉格朗日插值公式. 数列的母函数.高阶数列的求和递推公式15、不定方程求解的算理依据是（ ）. 孙子定理.单因子构件法.辗转相除法.拉格朗日插值法16、点到直线的距离公式，可以用（）推出.C. 加权平均不等式. D. 柯西不等式.均值不等式.排序不等式17、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（）.正弦定理.孙子定理.代数基本定理.韦达定理判断题18、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。

20世纪中国中学数学课堂教学发展的历史阶段及其特点于波（西南大学基础教育研究中心，重庆北碚，400715）摘要：20世纪，我国中学数学教学从私塾个别授课形式发展为具有中国特色的班级教学，经历三个发展阶段,即现代教学体系形成阶段(1902～1949年)、发展阶段（1950～1976年）和创新阶段（1977～2000年），其间的变革特点和历程，对于我们今天所进的中学数学教学改革有着重要的历史借鉴意义和作用。

关健词：20世纪中学数学课堂教学阶段特点我国早在明朝时期的国子监就出现了班级授课制的萌芽，但我国近代的中小学班级授课制的建立较西方晚300余年。

我国内地中学最早采用西方国家的班级授课是在1844年的宁波女校。

其后外国传教士在中国开始创办的教会学校都实行班级授课，但普遍在中学堂实行班级授课则是在《钦定学堂章程》（壬寅学制）和《奏定学堂章程》（癸卯学制）颁布实施时开始的。

在20世纪的一百年中，我国中学数学教学经历了现代教学体制的形成、发展和创新3个发展阶段。

一、我国中学数学现代教学体系形成阶段（1902～1949年）这一阶段是引进西方数学教育，我国中学数学现代教学体系初步形成阶段。

在这个阶段发生了对中学数学教学有重要影响两个的教育事件。

一件是1902年和1904年分别颁布了《钦定学堂章程》和《奏定学堂章程》，将书院改为学堂，中学数学按班级授课，数学课堂教学在全国成为普遍的教学组织形式。

一件是1922年颁布了“壬戌学制”，同年年底颁布了《学校系统改革令》，将学堂改为学校，中学数学现代教学开始形成。

因此，可将第一阶段分为两个时期：1902～1922年，我国中学数学课堂教学初建时期，在这一时期我国的教育从古代科举选仕制度急速地向西方近现代教育体制转变；1923—1949年，我国数学课堂教学的形成时期，在这一时期，我国中学教育进入现代教育的体系。

初建时期，我国中学学制四年，尚未建立全国统一数学教学的规范，各学堂自定教学的基本规范，没有统一的教学要求。

1：[填空题]我国小学数学教育，清末民初学＿＿＿＿，"五四”以后学＿＿＿＿，解放后学＿＿＿＿。

参考答案：日本欧美苏联2：[填空题]我国近代教育史上第一个由中央政府正式颁布并在全国实行的学制是1904年1月由清朝政府颁布的《奏定学堂章程》，又称＿＿＿＿学制。

上海"中国图书公司”翻译日本算术教科书，从此＿＿＿＿的名称才开始使用。

＿＿＿＿＿＿等人编辑的一套小学《最新教科书》，包括《最新算学教科书》，成为我国第一部自编的小学正式算术课本。

参考答案：癸卯教科书张元济3：[填空题]1862年，清政府创办了第一个新学堂――＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，1866年设立了天文算学馆。

1876年公布了"＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”，形成了统一的课程设置与章程。

参考答案：京师同文馆八年课程计划4：[填空题]1606年秋，由利玛窦口译，徐光启执笔，合译完欧几里得的《＿＿＿＿＿＿＿＿》前6卷。

参考答案：几何原本5：[填空题]明朝是我国古代数学发展的衰落期，但对小学数学教育来说，＿＿＿＿＿＿＿＿的普及和＿＿＿＿的引入，彻底打破了筹算作为主要运算手段在我国古代数学学习中长达2000多年的"统治”地位，成为小学数学教学的主要内容。

参考答案：珠算算法笔算6：[填空题]我国古代数学家取得了辉煌成就，其中刘徽的＿＿＿＿、杨辉的＿＿＿＿、秦九韶的＿＿＿＿，祖冲之的＿＿＿＿屹立于世界数坛。

参考答案：割圆术杨辉三角大衍求一术以及高次方程求解圆周率计算7：[填空题]公元606年，隋炀帝开始设置进士科，这是＿＿＿＿的开始。

隋＿＿＿＿＿＿（后改名为国子监）是隋王朝中央开设的专科学校。

这在世界数学教育史上是值得一提的创举。

参考答案：科举国子寺8：[填空题]两汉时代的《九章算术》总结了我国＿＿＿＿前的全部数学成就，涉及＿＿＿＿等多方面的知识，特别是首先完整叙述＿＿＿＿＿＿的运算，令人惊叹。

参考答案：公元算术、代数、几何分数四则运算、正负数运算等9：[单选题]《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》颁布于（）年，并迅速进行实验推广。

重庆市西南大学附属中学2024-2025学年七年级上学期期10月数学定时作业一、单选题1．下面四个数中，最小的数是（）A ．0B ．1C ．3-D ．2-2．在数227，15-，π3.14-，0.4，0.333 ，3.1415926中，有理数有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．若a 与3互为相反数，则2a +的值等于（）A ．1±B ．1-C ．5D ．14．如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论中正确的是（）A ．0a b +<B ．0a b -+<C ．0a b -<D ．0a b -->5．下列说法正确的是（）A ．有理数的绝对值一定是正数B ．有理数a 一定比a -大C ．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数D ．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身6．如果0|31|x y -++＝，那么x y +等于（）A ．4-B ．4C ．2D ．2-7．计算()()()()()123456202120222023-++-++-++⋯+-++-的值等于（）A ．1012-B ．1011-C ．1012D ．10138．若0ab >，则a b aba b ab++的值为（）A ．1-或3B ．1或3-C ．1或1-D ．1或39．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D10．我们把不超过有理数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作，又把[]x x -称为x 的小数部分，记作{}x ，则有[]{}x x x =+．如：[]1.31=，{}1.30.3=，[]{}1.3 1.3 1.3=+．下列说法中正确的有（）个①[]2.82=；②[]5.35-=-；③若12x <<，且{}0.4x =，则 1.4x =或 1.4x =-；④方程[]{}413x x x +=+的解为0.25x =或 2.75x =．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．57-的相反数为，绝对值是．12．比较大小：34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭56--（填“>”、“=”、“<”号）．13．计算：111323⎛⎫-+=⎪⎝⎭．14．比153-大而比335小的所有整数的和等于．15．已知a ，b 互为相反数，且0a ≠，c ，d 互为倒数，在数轴上表示x 的点到与表示1的点距离3个单位长度，则2023()22024a b x cd +++的值为．16．当27x x -+-取最小值时，x 的取值范围是，最小值为．三、解答题17．计算：(1)()()()()26141618++-+-++；(2)()114.110.1724⎛⎫⎛⎫+++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)29399499959999+++；(4)117981751451220153012⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．已知六个有理数：52，0，4-，12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，32-，4-，解答下列问题：(1)互为相反数的一组数是______；(2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上；(3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接．19．把下列各数分别填入相应的大括号里：31-.，3.14159，3-，31+，0.5-，0.618，π2-，227-，0，0.2020-， 1.56-．正有理数集合｛｝；负有理数集合｛｝；整数集合｛｝．20．若有理数x ，y ，满足7x =，5y =，且()x y x y +=-+，求x y -的值．21．中秋节前，月饼销量大幅度增加，某月饼加工厂为了满足市场需求，计划每天生产1500盒月饼，由于各种原因，实际每天的产量与原计划相比有出入，超过计划量记为正，不足计划量记为负、下表是某一周的生产情况．（单位：盒）星期一二三四五六日超过或不足（盒）300+150-100+100-150+200+100-(1)星期________生产了1700盒月饼；(2)该加工厂这一周实际生产月饼超过或不足多少盒？这一周实际生产月饼多少盒？(3)已知该月饼加工厂实行计件工资制，每生产一盒月饼可获得5元．若按天计算，超额完成任务，超出部分每盒再加3元；若未完成任务，不足部分每盒扣2元，那么该月饼加工厂这一周的工资总额是多少元？22．数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料：计等：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解：原式5231(5)(9)17(3)6342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦5231[(5)(9)(3)17]6342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭114=-．上述这种方法叫做拆项法；请仿照上面的方法计算：(1)315113248462⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)235120242023202220213462⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．23．数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上数x 到原点的距为为4，x 可能在原点左边4个单位，此时x 的值为______，x 也可能在原点右边4个单位，此时x 的值为______．(2)x 与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若32x -=，则x =______．(3)当x 是______时，代数式527x x -+-=．(4)当35x x +--取最大值时，x 的取值范围是______，最大值为______．(5)若点A 表示的数1-，点B 与点A 的距离是5，且点B 在点A 的右测，动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，1PQ =？（请写出必要的求解过程）。

西南大学网络与继续教育学院数学与应用数学（数学教育）专业毕业论文（设计）写作细则及论文题目毕业论文（设计）是本科教学计划的一个重要组成部分，是实现专业培养目标的重要环节，是培养学生创新思维、提高学生实践能力的有效途径，是学生综合运用所学专业知识解决学术和实际问题的重要方式，是全面反映学生素质和能力的重要标志。

（一）毕业论文（设计）是本科教学计划中独立设置的一门必修课程。

其主要教学要求是培养学生综合运用专业基本理论、基本知识、基本技能的能力，培养学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生运用专业知识及科学方法获取信息和处理信息的能力，培养学生开展调查研究、处理实验数据、利用文献和书面表达等方面的综合能力，培养学生理论联系实际的工作作风和严肃认真的科学态度。

（二）毕业论文是以分析、论述、建模、推理、计算等为主的表达形式，毕业设计是以设计图纸和设计说明书为主的表达形式，学生可以根据专业特点和题目需要进行研究和表达。

毕业论文要求立论正确，结构合理，条例清楚，内容完整，资料详实，文字通顺，引文规范，正文文字数一般应在5000至10000字。

毕业设计需提供相关图纸和说明书。

（三）毕业论文（设计）写作要求与格式规范完整的毕业论文（设计）应包括封面、摘要、目录、正文、参考文献、附录、致谢等部分，并按前后顺序排列。

1、封面按要求填写封面所有内容，其中学习中心编号为学号第4至第6位。

2、摘要摘要是对论文的内容不加注释和评论的简短陈述，是文章内容的高度概括，主要包括研究的内容、目的、方法、成果、结论及其意义，一般为300～500字。

摘要一般不列举例证，不描述研究过程，不做自我评价。

论文摘要后另起一行注明本文的关键词，关键词是供检索用的主题词条，应采用能够覆盖论文内容的通用专业术语，符合学科分类，一般为3～5个，按照词条的外延层次从大到小排列。

3、目录独立成页，包括摘要，正文中的一级、二级标题，参考文献、附录、致谢等项目所在的页码。

重庆市第十八中学2024-2025学年九年级上学期入学数学定时作业试题一、单选题1．下列方程，属于一元二次方程的是（ ）A ．21x xy -=B ．2230x x -+=C ．211x x+= D ．()21x x += 2．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．掷一次骰子，向上一面的点数是6B ．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月C ．射击运动员射击一次，命中靶心D ．打开电视，正在播放《大国工匠》3x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥ B ．1x ≠ C ．1x > D ．0x ≥4．下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3BC ．3，4，5D ．0.3，0.4，0.55)1的运算结果应在（ ）A ．1到2之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间 6．如图，将ABC V 绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC △．若点,,A DE 在同一条直线上，30ACB ∠=︒，则ADC ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒7．下列命题是真命题的是（ ）A ．两条对角线相等的四边形是矩形B ．有一个角为直角的平行四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．顺次连接四边形各边的中点所构成的四边形是平行四边形8．甲、乙两人相约从张庄到李庄，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到李庄后立即停车等甲．甲、乙两人之间的距离y （单位：km ）与甲行驶的时间x （单位：h ）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲骑自行车的速度为10km/hB ．乙开车的速度为50km /hC ．当甲行驶的时间为1.25h 时，乙追上了甲D ．乙从张庄到李庄所用的时间为1.25h9．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别为边BC 和AB 上的点且CE BF =，连接EF ，过点E 作EG BC ⊥交AC 于点G ，点H 为边AD 上的点，连接GH 且EF GH =，若FEB a ∠=，则AHG ∠的度数（ ）A ．2aB ．90a ︒+C ．1802a ︒-D ．45a ︒+10)0x ≥，将这两个二次根式进行如下操作：1M ，差记为1N ；第二次操作：将1M 与1N 的和记为2M ，差记为2N ；第三次操作：将2M 与2N 的和记为3M ，差记为3;N ⋅⋅⋅；以此类推．下列说法：①当1x =时，246830N N N N +++=；②12M =③221212n n n M N ++⋅=（n 为自然数）．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．已知点A （a ,1）与点B （-3,b ）关于原点对称，则a -b 的值为．12．若一组数据1，3，a ，2，5的平均数是3，则这组数据的方差是．13．如图，一次函数9234y x =+的图象与y =kx +b k ≠0 的图象相交于点()2,P n -，则关于x ，y 的方程组3942y x y kx b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩的解是．14．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，1OA AB ==，120OAB ∠=︒，将A O B V 绕点O 旋转，使点B 落在x 轴上，则此时点A 的坐标为．15．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 、F 分别是线段AB BC 、上的动点，连接DE DF 、，若60EDF ∠=︒，2AB =，则图中阴影部分的面积是．16．在矩形ABCD 中，3AB =，BC =E 在BC 边上，连接DE ，将DEC V 沿DE 翻折，得到DEC '△，C E '交AD 于点F ，连接AC '．若点F 为AD 的中点，则ADC 'V 的面积为．17．若关于x 的一次函数()23=-+y k x 的图象不经过第三象限，且关于x 的不等式组91321x x x k +⎧+≥⎪⎨⎪>+⎩的解集为3x ≥，则符合条件的所有整数k 的值之积是． 18．一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数n '．把n '放在n 的后面组成第一个四位数，把n 放在n '的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为()F n ，例如：23n =时，32n '=，()23323223238111F -==-．对于两位正整数s 与t ，其中10s a b =+，10t x y =+（19b a ≤<≤，1x ≤，9y ≤，且a b x y 、、、为整数）．若()F s 能被7整除，则a b-的值为，在此条件下，若()()81F s ky kF t +=，其中k 为整数，则此时s 与t 乘积的最大值为．三、解答题19．计算题：(1)()()()113m m m m +-+-； (2)2234411x x x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭． 20．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB AD <，完成下列作图和填空．(1)利用尺规作图作线段BD 的垂直平分线分别交线段BC BD AD 、、于点E 、O 、F ，连接、DE BF （要求保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：四边形BEDF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴①__________．∵EF 是BD 的垂直平分线，∴②__________．在DOF V和BOE △中， __________FDO OBE OB OD∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩③， ∴()DOF BOE ASA V V ≌．∴④__________．∴四边形BEDF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．∵EF BD ⊥，∴平行四边形BEDF 是菱形（⑤__________）．21．为了全面了解中学生防溺水知识掌握情况，对某校七、八年级学生进行了一次防溺水知识测评问卷调查，并从该校七八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），进行整理、描述和分析（成绩得分均为整数并用x 表示，共分成四组：A ．90100x ≤≤；B ．8090x ≤<；C ．7080x ≤<；D ．6070x ≤<）．下面给出部分信息：七年级20名学生测评成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100八年级20名学生的测评成绩分布如扇形图所示，其中在B 组的数据是：84，86，84，82，88，84，86，88，84七、八年级抽取的学生测评成绩统计表八年级抽取的学生测评成绩扇形统计图根据以上信息，回答下列问题：(1)直接写出：a =__________，b =__________，m =__________；(2)根据以上数据，你认为哪个年级的学生防溺水知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)若该校七年级有700人，八年级有600人参与测试，请你结合数据，估计七、八年级中防溺水知识掌握情况成绩在90分及以上的学生共有多少人？22．某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A 地分别往北偏东60︒方向和东南方向各修一步道，从A 地的正东方向（水域对面）的C 地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B 、D 两地，若测得1000CD =米． 2.45≈≈）(1)求A 、C 两地之间距离．（结果精确到1米）(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A 地跑步到C 地，小华决定选择A D C →→路线，小明决定选择A B C →→路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C 地？23．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，动点P 以每秒1个单位长度的速度沿折线A →B →C 运动，当点P 运动到点C 时停止运动．设运动时间为x 秒，PB 的长度为y ．(1)请直接写出y 关于x 的函数表达式并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出3y ≤时自变量x 的取值范围．24．又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年1月第一周购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知1千克赣南脐橙的进价比1千克奉节脐橙的进价多4元，购买20千克赣南脐橙的价格与购买30千克奉节脐橙的价格相同．(1)今年1月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？(2)今年1月第一周，水果超市老板以14元每千克售出奉节脐橙140千克，24元每千克售出赣南脐橙120千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基础上下降0.1m 元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周奉节脐橙的销量比第一周增加了4m 千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了0.5m 千克，最终该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利2280元，求m 的值．25．如图1，已知一次函数图象1t 分别与x ，y 轴交于点()30A ，，()02B ，两点．(1)求该一次函数解析式；(2)点P 是正比例函数13y x =图象与该一次函数图象1l 的交点，x 轴上有一动点Q ，求P Q Q B +的最小值及此时点Q 的坐标；(3)在（2）的条件下，将一次函数图象1l 沿y 轴翻折，点P 对应点为1P ，M 是y 轴上一点，点N 是正比例函数13y x =图象上一点，当以1P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标．26．在ABCD Y 中，点E 是对角线AC 上一点．(1)如图1，90DAC ∠=︒，将A D E V 沿DE 翻折，使得A 点的对应点F 落在CD 上，若3AD =，4AC =，求EF 的长；(2)如图2，=45ADC ∠︒，AD AC =，点G 是DE 的中点，AF DE ⊥交CD 于F 点，I 是AC 上一点，连接FI ，延长FI 交DE 的延长线于点J ，若2,J DAG AG EJ ∠=∠=，求证：2AF FI IJ +=；(3)如图3，=45ADC ∠︒，AD AC =，延长DE 至M 点使AM AD =，DAM ∠的角平分线交DE 于点N ，交MC 延长线于点G ，取CD 中点F ，连接GF ，FM ，当E 在直线AC 上运动时，直接写出FM FG的最大值．。

第1篇摘要：随着新课程改革的不断深入，探究式学习作为一种有效的教学策略，在初中数学教学中得到了广泛的应用。

本文通过对探究式学习在初中数学教学中的应用进行探讨，分析其在提高学生数学素养、培养学生创新思维和解决问题能力等方面的积极作用，并提出相应的实施策略。

关键词：初中数学；探究式学习；教学策略；创新能力一、引言初中数学教学是学生数学素养形成和发展的关键时期，传统的教学模式已经无法满足现代教育的发展需求。

探究式学习作为一种以学生为中心的教学策略，强调学生在主动探究、合作交流、反思总结的过程中，提高数学素养和创新能力。

本文旨在探讨探究式学习在初中数学教学中的应用，为提高初中数学教学质量提供参考。

二、探究式学习在初中数学教学中的应用1. 提高学生数学素养探究式学习强调学生在主动探究、合作交流的过程中，通过发现问题、分析问题、解决问题，从而提高数学素养。

在初中数学教学中，教师可以引导学生从以下几个方面开展探究式学习：（1）培养学生的观察能力：通过观察数学现象，引导学生发现数学规律，提高学生的观察能力。

（2）培养学生的思维能力：通过探究数学问题，引导学生运用逻辑推理、归纳总结等方法，提高学生的思维能力。

（3）培养学生的创新意识：鼓励学生提出不同观点，培养学生的创新意识。

2. 培养学生创新思维探究式学习强调学生在主动探究、合作交流的过程中，不断发现问题、解决问题，从而培养学生的创新思维。

在初中数学教学中，教师可以从以下几个方面实施探究式学习：（1）创设情境，激发学生兴趣：通过创设与生活实际相关的数学情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

（2）鼓励学生质疑，培养学生的批判性思维：鼓励学生在探究过程中提出问题，培养学生的批判性思维。

（3）开展小组合作，培养学生的团队协作能力：通过小组合作，培养学生的团队协作能力，提高学生的创新思维。

3. 培养学生解决问题能力探究式学习强调学生在主动探究、合作交流的过程中，通过分析问题、解决问题，提高学生的解决问题能力。

第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。

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“深度学习”视角下的初中数学单元作业设计摘要：近年来，深度学习作为人工智能领域的重要分支，逐渐渗透到各个领域，其中包括教育领域，本文基于深度学习的视角，探讨了如何设计初中数学单元作业，通过结合深度学习和数学教学的理念，旨在提高学生的学习兴趣、发展他们的创造力和问题解决能力。

关键词：深度学习；初中数学；单元作业设计深度学习通过模拟人脑神经网络的工作方式，能够从大量数据中自动学习并获取知识，深度学习的思维方式强调以问题为导向的学习，注重学生的主动探索和发现[1]。

本文的目的是在初中数学教学中，基于深度学习的视角设计作业，以激发学生的学习兴趣和积极性，培养他们的创造力和问题解决能力。

一、深度学习在初中数学教学中的应用价值深度学习在初中数学教学中具有重要的应用作用和意义[2]，首先深度学习可以通过对学生学习数据的分析和建模，实现个性化教学，通过对学生的学习情况进行实时跟踪和评估，根据每个学生的学习特点和进度，为其提供相应的学习内容和难度，实现因材施教，这样可以更好地满足学生的学习需求，提高学习效果。

其次，深度学习可以通过数据挖掘和模式识别的技术，帮助学生更好地理解和巩固数学知识点，通过分析学生的学习行为和答题情况，可以识别出学生可能存在的困惑和错误理解，并根据学生的具体情况给予针对性的指导和提示，帮助学生纠正错误、加深理解。

另外，深度学习在数学教学中可以辅助解决复杂问题，并培养学生的问题解决能力和创新思维，通过引入深度学习技术，可以将复杂的问题分解成多个简单的子问题，并通过合理的组合和推理，最终找到解决方案，这样能够培养学生的逻辑思维、推理能力和解决问题的策略。

二、“深度学习”视角下的初中数学单元作业设计原则1.知识渐进性原则深度学习中的神经网络通常通过层级结构来处理信息，逐步提取和学习复杂的特征，同样，在数学单元作业设计中，可以将知识进行渐进性的布置，让学生从基础概念开始逐步深入，并逐渐解决更加复杂的问题[3]。

㊀㊀㊀㊀㊀基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的高中数学教学模式研究基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的高中数学教学模式研究Һ娄㊀伟㊀（中山市龙山中学，广东㊀中山㊀５２８４７１）㊀㊀ʌ摘要ɔＧｅｏＧｅｂｒａ软件具有几何㊁代数㊁统计等功能，它能够揭示数学本质，激发学生的学习兴趣，帮助学生快速掌握抽象的数学概念．基于此，文章在介绍ＧｅｏＧｅｂｒａ软件使用方法的基础上，探讨将其运用到高中数学教学中的应用模式，并列举了详细的应用案例，以更加直观的方式引导学生学习数学，以期提高教学效果．ʌ关键词ɔＧｅｏＧｅｂｒａ软件；高中数学；教学模式引㊀言将信息技术和数学整合，借助先进的信息技术让学生快速掌握数学知识点，有利于提高教师的教学效率．目前，很多高中教师借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行教学，ＧｅｏＧｅｂｒａ软件不仅具备了几何画板所有的功能，而且在操作上会更加简单一些，只需输入命令作图㊁计算，就能够实现代数方程㊁几何图形的同步变化，除此之外，该软件具有几何画板没有的功能，如微积分㊁统计等．一㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的应用优势ＧｅｏＧｅｂｒａ是一个动态的几何软件，能够画点㊁线㊁多边形等，还可以处理代数问题，其操作简便，功能多样化，能够依据教学知识类型提供多种操作区域．例如，代数功能区主要为函数与方程相关知识点的讲解而准备㊁几何功能区主要为平面几何㊁立体几何㊁函数图像绘制而准备的，该软件可以在课堂上直观地呈现出动态化演示的过程，从而节省时间，提高教学效率；ＧｅｏＧｅｂｒａ软件还是资源共享平台，软件中有自己的资源库，其中有丰富的教学案例，可以免费下载使用；ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的灵活性比较强，可以将复杂的问题简单化，帮助学生更加直观地体会数学概念的本质．二㊁基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的高中数学教学模式高中数学教学模式具有多样化特征，将ＧｅｏＧｅｂｒａ软件应用于高中数学教学当中能够有效提升教学效果，下文主要从两种教学模式切入，探讨其与ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的融合应用．（一）小组合作教学模式在ＧｅｏＧｅｂｒａ软件和高中数学课堂教学的结合下，教师可以采取小组合作教学模式，有效发挥出学生的主观能动性，组织学生展开高效学习．新课改背景下，对于学生探究㊁实践能力的培养较为重视．小组合作教学模式和ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的结合，能够有效培养学生的数形结合思想，提高学生的数学核心素养．在此模式下，教师先根据学生的学习特点等分组，接着根据教学内容布置任务，以ＧｅｏＧｅｂｒａ软件㊁教师语言作为学生交流媒介，展开探究式教学．在具体教学过程中，教师需要做好引导工作，鼓励学生积极参与，并给学生不断试错的机会，让学生敢于表达出对问题的看法和提出疑问．在学生交流过程中，教师还要及时发现学生面临的问题，并将学生遇到的问题整理起来，待学生讨论结束之后，邀请小组代表进行阐述，在所有小组全部汇报完毕之后，教师将学生的答案整合在一块，借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件演示，帮助学生解答共性问题．（二）启发式教学模式高中数学教师可以利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件展开启发式教学，挖掘数学知识的内涵，加深学生对数学知识的理解，培养学生自主思考的能力．教师在教学开展之前先准备好ＧｅｏＧｅｂｒａ课件，让学生对即将学习的内容有初步的了解．以往的传统课堂，学生学习存在自主性不足，缺乏实践操作，反馈不够及时，无法形成自己的思考方式等问题，因此对于部分重难点内容的理解比较困难．在应用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件展开启发式教学时，学生应借助该软件自主学习课件内容，教师只需抛出问题，观察学生在课堂上的探索情况以及反应，适当进行指导，让学生能够针对问题举一反三．完成这一阶段学习之后，学生对知识的了解程度加深，减少了学习期间的困惑感，从而能够精准抓住问题进行针对性的分析．三㊁基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的高中数学教学模式应用举例基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的高中数学教学模式可以灵活应用在多个数学模块的教学中，辅助教师对一些抽象数学概念进行讲解，帮助学生理解知识点．（一）应用于函数教学函数概念是学生进入高中阶段以后较早接触的㊀㊀㊀㊀㊀一个难点知识，教师在这一概念的教学中很难直观地进行讲解．因此教师可以采用情境教学模式，通过借助现代化教学手段，让学生动态地获取图像的同时，能够对函数图像有更深的了解，更方便对函数性质进行研究．在三角函数的教学中，由于学生在理解相关概念上存在难度，教师可以借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件，以图像的形式将三角函数概念㊁性质等表达出来，降低知识点的理解难度，从而让原本抽象化的内容以学生容易理解的形式呈现出来．以函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）为例，解析式中各个参数与函数图像的关系一直是学生较难理解的一个知识点，在传统教学中教师引导学生使用五点法制作函数图像，利用列表相关点坐标之间的关系，帮助学生进行分析，得出各个参数对函数图像的影响，整个过程无法动态化呈现出来，学生也似懂非懂．而通过借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件辅助教学，教师可以直观地㊁动态化地将作图过程呈现出来，学生也可以对函数性质进行直观分析．教师实际操作时，先在绘图区域单击右键，选择绘图区，并在参数设置的对话框中选择ｘ轴标签页，间距为π２．接着，在工具栏中选择参数工具，在绘图区建三个滑杆按钮，分别设为Ａ，ω，φ并设置好各自的变化范围，输入指令函数[Ａ∗ｓｉｎ（ωｘ＋φ），－φω，６．２８３１９－φω]，就可以获得函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）在一个周期闭区间长度上的图像．在完成图形绘制之后，教师拖动ω和φ滑杆按钮，将ω的值变为１，将φ的值变为０，之后再拖动Ａ滑杆按钮，改变其值，并让学生观察图像变化，追踪特殊点（图中为Ｐ点）的坐标进行分析，引导学生总结其与函数ｙ＝ｓｉｎｘ图像的关系以及发现振幅变换的规律．之后学生自主实践探索，固定Ａ的值，只将ω和φ的值改变一个，并进行观察和分析，进一步理解了周期变换和相位变换的规律，最终突破这一教学难点（如图１）．图１（二）应用于几何教学几何分为立体几何和平面解析几何两个部分．立体几何是高中数学中比较重要的内容，部分学生由于空间想象能力较低，很难真正掌握这部分知识．平面截正方体截面的问题是立体几何中一个经典问题，针对这个问题教师可以借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件，在３Ｄ绘图区创建出正方体，通过调整滑动条能够立体化的展示截面的变化过程，然后引导学生对其进行旋转，从不同的视角去观察，学生实际操作中可以探索出当截面为长方形㊁三角形㊁梯形㊁六边形等图形时所需要的条件．而在平面解析几何中，曲线中变量的关系，方程和曲线的关系，都具有较强的抽象性，学生理解起来比较难，通过图形变化能够让学生更好地理解．ＧｅｏＧｅｂｒａ软件可以绘制不同形式的方程曲线，并且可以动态化跟踪对象，将其轨迹显现出来，还可以拖动对象观察图像变化情况，研究多个曲线的位置关系．在解决圆锥曲线定点和定值等问题时，教师可以结合情境和启发式教学模式，使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件将圆锥曲线图形绘制出来，然后借助该软件的轨迹追踪功能引导学生进行观察，之后验算和讲解，这样可以帮助学生加深知识点的记忆和理解．学生通过利用该软件学习圆锥曲线，能够触类旁通，扩展题型，对圆锥曲线试题设计的准确性进行验证．例如，已知过点Ｅ（５，０）作斜率不为０的直线与椭圆ｘ２９＋ｙ２４＝１相交于Ａ，Ｂ两点，点Ａ关于ｘ轴对称的点为Ｃ，证明直线ＢＣ过定点．教师可以通过ＧｅｏＧｅｂｒａ软件演示这个问题，画出椭圆图形后，使用 滑动条 创设变量ｋ和ｔ，取ｘ轴上的点Ｅ（ｔ，０），然后作出过Ｅ点的直线ｙ＝ｋ（ｘ－ｔ），按要求得到直线ＢＣ．利用追踪功能显示直线ＢＣ的轨迹，控制变量ｔ＝５，拖动滑动条ｋ发现直线ＢＣ恒过一个ｘ轴上的定点（如图２）．接下来，如果我们改变ｔ的值，发现在ｔ变化过程中直线ＢＣ始终过ｘ轴上的定点，进一步得到当缩小ｔ的值使得Ｅ在椭圆内部时，直线ＢＣ过的定点在椭圆的外部（如图３）．图２㊀㊀㊀㊀㊀图３（三）应用于概率统计教学由于概率统计知识的特殊性及思维的随机性，导致学生在传统教学模式下不易理解抽象的概念，并且缺乏实践过程，形成不了自主的思维．而利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件可以将抽象的概率统计模型具象化呈现，依靠图形㊁动态演示等视觉信号，对数学对象进行有意义的包装，实现直观的可视化教学．相比传统的文字符号教学，学习者更容易在较短时间内获取更多有效信息，认识概率统计模型本质特征，掌握知识也不仅仅停留在机械式的公式计算层面．例如用概率估计π的近似值时，教师可以用ＧｅｏＧｅｂｒａ模拟实验步骤，先画出边长为１的正方形并作正方形的内切圆，然后创设滑动条ｎ和ｊ（区间为１到１０００，增量为１０），依次输入指令：序列（随机内点（ｐｏｌｙ１），ｉ，１，ｎ），最前元素［１１，ｊ］，ｋｅｅｐｉｆ［是否在区域内［ｐ，ｃ］，ｐ，１２］，去除［１２，１３］，最后将圆内的点变成红色，便模拟了撒豆实验．接下来再用指令长度［１３］得到圆内豆子数，从而算出豆子落在圆内的概率．实验效果如图４所示．另外在统计学正态分布的教学中，学生对于正态密度函数ｆ（ｘ）＝１２πσｅ理解困难，不懂得其中各参数间的关系．教师可以用ＧｅｏＧｅｂｒａ画出正态曲线（图５），并利用其中滑动条功能概念对应的变量值μ和σ，引导学生进行观察，当固定其中一个值，改变另一个值时，对应的正态曲线有什么特征？通过动态演示和分组讨论后，学生可以探究出μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，达成教学目标．图４图５结㊀语ＧｅｏＧｅｂｒａ软件将代数㊁几何融合为一体，具有作图㊁测量㊁轨迹追踪㊁动态变化等功能，相比其他信息技术有很大的优势．因此，高中数学教师在教学中应该充分发挥其价值作用，合理设置情境教案，帮助学生进行自主学习与探究，让学生更加深入地理解抽象的数学知识点，培养学生的数学思维能力及创新能力．ʌ参考文献ɔ［１］李钰．ＧｅｏＧｅｂｒａ在高中数学新教材中的应用研究［Ｄ］．大连：辽宁师范大学，２０２０．［２］陈超．利用ＧｅｏＧｅｂｒａ辅助高中数学教学研究［Ｄ］．武汉华中师范大学，２０１７．［３］周李晓．ＧｅｏＧｅｂｒａ与高中数学教学深度融合的案例研究［Ｊ］．理科考试研究，２０２２，２９（２１）：２５－２６．［４］张玉婷．基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件培养数学核心素养的高中函数教学研究［Ｄ］．重庆：西南大学，２０２１．［５］莫宗迪．基于ＧｅｏＧｅｂｒａ的高中数学探究活动的实践研究［Ｊ］．中国多媒体与网络教学学报（下旬刊），２０２１（０１）：５８－６２．［６］朱亮卫．基于ＧｅｏＧｅｂｒａ的高中数学探究式教学研究［Ｄ］．汉中：陕西理工大学，２０２０．［７］项俊．ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的应用探究［Ｊ］．上海中学数学，２０１９（４）：２５－２７．［８］张志勇．高中数学可视化教学：原则㊁途径与策略 基于ＧｅｏＧｅｂｒａ平台［Ｊ］．数学通报，２０１８，５７（７）：２１－２４，２８．［９］吴鑫泉．基于递进式问题链的探究活动设计 ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的合理使用促成深度学习［Ｊ］．高中数学教与学，２０２２（１４）：１４－１７．［１０］刘杰．ＧｅｏＧｅｂｒａ在高中数学教学中的应用举例［Ｊ］．中学数学研究（华南师范大学版），２０２２（１０）：５３，１－２．［１１］于纹露．ＧｅｏＧｅｂｒａ辅助高中数学概率统计教学研究［Ｄ］．洛阳：洛阳师范学院，２０２２．。

作者： 骆玉凤[1];于波[2]
作者机构： [1]西南大学教育学部,重庆400715 [2]西南大学教师教育学院,重庆400715出版物刊名： 现代中小学教育
页码： 91-94页
年卷期： 2017年 第10期
主题词： 小学数学 数与代数 教学内容 中国 加拿大
摘要：为了实现中国和加拿大在＂数与代数＂教学内容的优势互补,本文将中加两国小学＂数与代数＂教学内容比较分析。

研究发现：在教学内容安排方面,中加两国数学课程标准＂数与代数＂知识体系的涵盖范围大致相同,加拿大教学内容组织方式更偏向于螺旋式;加拿大教师对教学内容的选择与组织有较大的自主权,中国教学内容的难度要总体大于加拿大;在教学内容呈现方式方面,加拿大倾向于通过数学模型教学,中国更善于创设问题情境教学。

借鉴加拿大＂数与代数＂教学内容安排与呈现方式,为我国教师的数学教学提供可参考的建议。