平面基本力系

第二章平面基本力系平面汇交力系和平面力偶系是两种最简单、最基本的力系，是研究一切复杂力系的基础。

本章研究平面基本力系的合成与平衡问题。

§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法1. 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面力系中，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，共点力系是汇交力系的特殊情形。

设某刚体受一平面汇交力系作用，如图2.1a所示。

根据力的可传性定理，可将各力沿其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系，如图2.1b所示。

图为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，逐步两两合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力F R。

用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较繁琐。

用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。

任取一点a为起点，先作力三角形求出F1与F2的合力F R1，再作力三角形合成F R1与F3得F R2，最后合成F R2与F4得合力F R，如图2.1c所示。

多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae称为力多边形的封闭边。

封闭边矢量ae 即表示此汇交力系的合力F R，合力的作用线仍通过原汇交点A，如图2.1b 中的F R。

以上求汇交力系合力的方法，称为力多边形法则。

若任意改变各分力矢的作图顺序，可得到形状不同的力多边形，但其合力矢的大小、指向均不变，如图2.1d所示。

结论：平面汇交力系可合成为一合力，合力的大小、方向由各分力矢的矢量和所决定，合力的作用线通过汇交点。

即有∑==+++=n i i n R FF F F F 121（2.1） 2. 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系的作用效果可以用其合力来代替，所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零，即 0F F n 1i i R ==∑=（2.2）从几何角度看，汇交力系平衡时力多边形中最后一力的终点应与第一力的起点重合，此时力多边形自行封闭。

所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的力多边形自行封闭。

这就是平面汇交力系平衡的几何条件。

用几何法求解平面汇交力系平衡问题举例如下。

例2.1 支架的横梁AB 与斜杆CD 彼此以铰链联接，并以铰链联接在铅直墙壁上，如图2.2a 所示。

已知AD=DB ；杆DC 与水平线成45°角，载荷F =10kN ，作用于B 处。

设梁和杆的自重忽略不计，求铰链A 处的约束反力和杆DC 所受的力。

解：选取横梁AB 为研究对象。

横梁在B 处受载荷F 作用。

结构中DC 为二力杆，它对横梁D 处的约束反力为F D ，其作用线平行于DC 。

铰链A 处的约束反力为F A ，其作用线可根据三力平衡汇交定理确定，即通过另两个力的交点E ，如图2.2b 所示。

图杆AB 处于平衡状态，根据平面汇交力系平衡的几何条件，作用在AB 上的三个力应构成一个自行封闭的力三角形。

先按照一定比例画出力矢ab 代表F ，再由点b 作直线平行于F D ，由点a 作直线平行于F A ，这两直线相交于点c ，如图2.2c 所示。

由力三角形abc 即可确定出F D 和F A 。

在力三角形中，线段ac 和bc 的长度分别表示力F A 和F D 的大小，量出它们的长度，按比例换算可得：F A =22.4kN ；F D =28.3kN 。

或者通过三角函数关系求得F A 、F D 的大小。

根据作用与反作用关系，作用于杆DC 上的力F'D 与F D 互为反作用力。

由此可知，杆DC 受压力作用，压力大小为F D =28.3kN 。

由上例可以看出，用几何法求解平面汇交力系的合成与平衡问题简单明了，对于三力平衡问题还可用三角函数关系求出其精确解。

而对于多力平衡问题，用几何法难以求出其精确解，累积误差较大；对空间问题，更是难以作出力多边形。

所以，在实际应用中多用解析法求解平面汇交力系的合成与平衡问题。

§2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法1. 力的投影及其求法若已知力F 的大小为F ，它与x 、y 轴的夹角分别为α、β，则F 在x 、y 轴上的投影分别为 ⎩⎨⎧==ααsin cos F F F F y x(2.3)由上式可以看出，力在坐标轴上的投影是代数量。

当力F 与坐标轴平行（或重合）时，力在坐标轴上投影的绝对值等于力的大小，力的指向与坐标轴正向一致时，投影为正，反之为负；当力与坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影为零。

力在坐标轴上的投影与力的大小和方向有关，而与力作用点或作用线的位置无关。

若已知力F 在直角坐标轴上的投影F x 、F y ，可以求出力F 的大小和方向为⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x F F F F F αtg 22（2.4）式中α为力与x 轴的夹角。

必须指出，投影和分力是两个不同的概念。

分力是矢量，投影是代数量；分力与作用点的位置有关，而投影与作用点的位置无关；它们与原力的关系分别遵循不同的规则，只有在直角坐标系中，分力的大小才与在同一坐标轴上投影的绝对值相等。

2. 合力投影定理设刚体受F 1，F 2两个汇交力的作用，用力的平行四边形法则可求出其合力F R ，如图2.4a 所示。

在其作用面内任取直角坐标系O xy ，并将力F 1，F 2及F R 分别向x 轴投影，根据合矢量投影定理可得 ⎩⎨⎧+=+=y y y R x x x R F F F F F F 2121若刚体受F 1，F 2，…，F n 构成的汇交力系的作用，由汇交力系的合成结果有∑=+++=i n 21F F F F F R将上式分别向两个坐标轴上投影，可得图2.3 图2.4⎪⎩⎪⎨⎧=+++==+++=∑∑iy ny y y Ry ix nx x x Rx F F F F F F F F F F 2121（2.5）上式说明，合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。

既然合力投影与分力投影之间的关系对于任意轴都成立，那么，在应用合力投影定理时，应注意坐标轴的选择，尽可能使运算简便。

也就是说，选择投影轴时，应使尽可能多的力与投影轴垂直或平行。

3. 平面汇交力系合成的解析法根据合力投影定理，分别求出合力在x 、y 轴的投影F Rx 和F Ry ，由投影与分力的关系可确定出合力沿x 、y 轴方向的分力分别为F Rx 、F Ry ，由图2.5可知，合力F R 的大小为 ∑∑+=+=2222)()(iy ix Ry Rx R F F F F F（2.6） 合力的方向可由合力矢与x 轴的夹角α决定 ∑∑==ixiyRx RyF F F F αtg （2.7）4. 平面汇交力系的平衡方程由上一节可知，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力为零。

由式（2.6）可得0)()(22=+∑∑iy ix F F欲使上式成立，必须同时满足⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑00iy ix FF（2.8）即刚体在平面汇交力系作用下处于平衡状态时，各力在两个坐标轴上投 图2.5影的代数和同时为零。

这就是平面汇交力系平衡的解析条件，式（2.8）称为平面汇交力系的平衡方程。

平面汇交力系有两个独立的平衡方程，能求解而且只能求解两个未知量，它们可以是力的大小，也可以是力的方位，但一般不以力的指向作为未知量，在力的指向不能预先判明时，可先任意假定，根据平衡方程进行计算，若求出的力为正值，则表示所假定的指向与实际方向一致；若求出的力为负值，则表示力的假定方向与实际指向相反。

例2.2 水平托架支承重量为W 小型化工容器，如图2.6a 所示。

已知托架AD 长为l ，角度 45=α，又D 、B 、C 各处均为光滑铰链连接。

试求托架D 、B 处的约束反力。

解：（1）取研究对象 为了求托架D 、B 两处的约束反力，将容器与托架一起取作研究对象，如图2.6b 所示。

（2）画出受力图 由于杆BC 为二力杆，它对托架的约束反力F B 沿C 、B 两点的连线方向，与W 的作用线交于O 点，根据三力平衡汇交定理，D 处的约束反力F D 必通过O 点。

作出受力图如图2.6b 所示。

由几何关系很容易得到52cos ;51sin ;21cos sin ====ϕϕαα（3）列平衡方程 三力作用线汇交于O 点，建立直角坐标系D xy 。

根据平衡条件有⎩⎨⎧=-+-=∑=+-=∑0sin sin ,00cos cos ,0W F F F F F F B D y B D x αϕαϕ（4）解方程组 求解以上方程组，并考虑到几何关系可得图2.6 ⎪⎩⎪⎨⎧==WF W F D B 522例2.3 图2.7a 所示的压榨机构中，杆AB 和BC 的长度相等，自重忽略不计。

A 、B 、C 处均为光滑铰链连接。

已知活塞D 上受到油缸内的总压力为F =3kN ，h =200mm ，l =1500mm 。

试求压块C 对工件与地面的压力，以及杆AB 所受的压力。

解：分析 根据作用与反作用关系，压块对工件的压力与工件对压块的约束反力F Cx 等值、反向。

已知油缸的总压力作用在活塞上，因此要分别研究活塞杆DB 和压块C ，才能解决问题。

（1）选择活塞杆DB 为研究对象 设二力杆AB 、BC 均受压力。

活塞杆的受力如图2.7b 所示。

按图示坐标系列出平衡方程如下⎩⎨⎧=-+=∑=-=∑0sin sin ,00cos cos ,0F F F F F F F BC BA y BC BA x αααα解得： kN 35.11sin 2===αF F F BC BA（2）再选压块C 为研究对象 其受力如图2.7c 所示。

由二力杆BC 的平衡可知BC CB F F =。

按图示坐标系列平衡方程如下 ⎩⎨⎧=+-=∑=+-=∑0sin ,00cos ,0Cy CB y CB Cx x F F F F F F αα图解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======kN kN ctg 5.12sin 25.1122cos F F F h Fl F F F CB Cy CB Cx ααα压块C 对工件和地面的压力与F Cx 、F Cy 等值、反向。

所以，压块对工件和地面的压力分别为11.25kN 、1.5kN ，杆AB 所受压力为11.35 kN 。

例2.4 如图2.8a 所示，重为W =20kN 的物体，用钢丝绳挂在支架上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上，杆AB 与BC 铰接，并用铰链A 、C 与墙连接。

如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦与滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。

解：（1）取研究对象 由于忽略各杆的自重，AB 、BC 两杆均为二力杆。

假设杆AB 承 受拉力，杆BC 承受压力，如图2.8b 所示。

为了求这两个未知力，可通过求两杆对滑轮的约束反力来求解。

因此，选择滑轮B 为研究对象。

（2）画受力图 滑轮受到钢丝绳的拉力F 1和F 2（F 1=F 2=W ）。