07-绝对值与一元一次方程专项训练(含答案)经典

人教版七年级数学上册《一元一次方程》练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知数轴上的点 A ，B 对应的数分别是 x ，y ，且 ()21002000x y ++-=∣∣，点 P 为数轴上从原点出发的一个动点，速度为 30 单位长度/秒．(1)求点A ，B 两点在数轴上对应的数，及A ，B 之间的距离． (2)若点A 向右运动，速度为 10 单位长度/秒，点B 向左运动，速度为 20 单位长度/秒，点A ，B 和 P 三点同时开始运动，点 P 先向右运动，遇到点 B 后立即掉后向左运动，遇到点A 再立即掉头向右运动，如此往返，当 A ，B 两点相距 30 个单位长度时，点 P 立即停止运动，求此时点P 移动的路程为多少个单位长度？(3)若点 A ，B ,P 三个点都向右运动，点 A ，B 的速度分别为 10 单位长度/秒，20 单位长度/秒，点 M ，N 分别是AP ，OB 的中点，设运动的时间为 t （0t 10<<），在运动过程中①OA PB MN - 的值不变；② OA PBMN+ 的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．2．已知数轴上的点 A ，B 对应的数分别是 x ，y ，且 ()21002000x y ++-=，点 P 为数轴上从原点出发的一个动点，速度为 30 单位长度/秒．(1)求点A ，B 两点在数轴上对应的数，及 A ，B 之间的距离．(2)若点 A 向右运动，速度为 10 单位长度/秒，点 B 向左运动，速度为 20 单位长度/秒，点 A ，B 和 P 三点同时开始运动，点 P 先向右运动，遇到点 B 后立即掉后向左运动，遇到点 A 再立即掉头向右运动，如此往返，当 A ，B 两点相距 30 个单位长度时，点 P 立即停止运动，求此时点 P 移动的路程为多少个单位长度？(3)若点 A ，B ，P 三个点都向右运动，点 A ，B 的速度分别为 10 单位长度/秒，20 单位/秒，点 M ，N 分别是AP ，OB 的中点，设运动的时间为 ()010t t <<，请证明在运动过程中OA PB MN + 的值不变，并求出OA PBMN+值． 3．在数轴上，点A B 、分别表示数a b 、，且6100a b ++-=，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点M 始终为线段AP 的中点，设点P 运动的时间为x 秒．则:()1在点P 运动过程中，用含x 的式子表示点P 在数轴上所表示的数．()2当2PB AM =时，点P 在数轴上对应的数是什么?()3设点N 始终为线段BP 的中点，某同学发现，当点P 运动到点B 右侧时，线段MN 长度始终不变．请你判断该同学的说法是否正确，并加以证明．4．我们可以将任意三位数表示为abc =（其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）．显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”．（1）写出任意三对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和； （2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除． 5．已知关于x 的方程2233x x +=+的两个解是1223,3x x ==； 又已知关于x 的方程2244x x +=+的两个解是1224,4x x ==； 又已知关于x 的方程2255x x +=+的两个解是1225,5x x ==；⋯小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是122,x c x c==；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于x 的方程221111x x+=+的两个解是1x = 和2x = ；(2)已知关于x 的方程2212111x x +=+-，则x 的两个解是多少？ 6．如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…都是“妙数”． （1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为 ．（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除．（3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A ，且m 大于自然数A 百位上的数字，否存在一个一位自然数n ，使得自然数（9A+n ）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，满足16120a b -++=．动点P 从点A 出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒．(1)写出数轴上点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ；(2)若点P 从A 点出发向左运动，点Q 为AP 的中点，在点P 到达点B 之前，求证BA BPBQ+为定值；(3)现有动点M ，若点M 从点B 以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点P 出发，当点P 到达原点O 后M 立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求：当3OP OM =时，则P 点运动时间t 的值为 ．8．【阅读理解】点A 、B 在数轴上对应的数分别是a ，b ，且()2280a b ++-=．A 、B 两点的中点表示的数为2a b+；当b a >时，A 、B 两点间的距离为AB b a =-． （1）求AB 的长．（2）点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程282x x +=-的解，在数轴上是否存在点P ，使图1 图2(1)a可以用含e的代数式表示为____________；(2)若42++=时，求出图2中c所表示的日期；a e i(3)在这个月的日历中，求证：e f h i+++的值能被4整除．参考答案：1．【答案】(1)点A，B 两点在数轴上对应的数分别为-100，200，A，B 之间的距离为300(2)点 P 移动的路程为270或330个单位长度 (3)②正确2OA PBMN+= 2．【答案】（1）解：()21002000x y ++-=1000x ∴+= 2000y -=解得100x =- 200y =即点A ，B 两点在数轴上对应的数分别为-100，200，A ，B 之间的距离为300； （2）解： 设点P 运动时间为x 秒时，A ，B 两点相距30个单位长度． 由题意得102030030x x +=- 102030030x x +=+ 解得：9x =，或11x = 则此时点P 移动的路程为309270⨯=，或 3011330⨯=即P 走的路程为 270 或 330；（3）解：运动t 秒后A ，P ，B 三点所表示的数为10010t -+ 30t 20020t +010t <<20010PB t ∴=- 10010OA t =- 301001020100PA t t t =+-=+ 20020OB t =+M ，N 分别是AP ，OB 的中点∴N 表示的数为10010t +，M 表示的数为2050t -15010MN t ∴=-30020OA PB t +=- 2OA PBMN+∴=． 3．【答案】（1）62x -+；（2）P 点在数轴上表示的数为2；（3）正确，MN 的长度不变，为定值84．【答案】解：（1）根据题意得：234与432，345与543，567与765均是一对姊妹数； 设这对“姊妹数”的一个三位数的十位数为b ，则个位数为（b -1），百位数为（b +1），其中位“妙数”，再将四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可；（3）设三位“妙数”的个位为z ，可知A=1000m+111z+210，继而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n ﹣z ，由﹣8≤n﹣z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位数一定是8，且该数为5位数，若存在则该数为88888，从而得出1000(91)88000{9088m z n z ++=+-=，即9m+z=87、n ﹣z=﹣2，由m ＞z+2知z ＜m ﹣2，而z=87﹣9m ＜m ﹣2，解之可得m ＞8.9，即可得m 值，进一步即可得答案． 7．【答案】（1）解：∵16120a b -++= ∴160-=a 120b += ∴16a = 12b =-∴点A 表示的数是16，点B 表示的数是12-． 故答案为：16；-12．（2）证明：∵点A 表示的数是16，点B 表示的数是12- ∴161228AB （） 12OB = 16OA =∵动点P 从点A 出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t 秒 ∴4AP t = 284BP AB AP t =-=- ∵点Q 为AP 的中点 ∴114222AQ AP t t ==⨯= ∴282BQ AB AQ t =-=-在点P 到达点B 之前，即0＜t ＜7时282845642282282BA BP t tBQ t t++--===-- ∴BA BPBQ+为定值． （3）∵点M 从点B 以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点P 出发，运动时间为()1643125t t解得：2011t=当点M在原点O的右侧，点512OM t=-16OP=()1643512t t解得：5219t=当点P到达原点O时，运动时间为这时点M在原点O的右侧，22)3(82t 解得：2125t=1212 45t t+=+=②当点M在原点∴228OM t =- 24OP t = ∵3OP OM = ∴22)43(28t t解得：212t =∴1241216t t t =+=+= (秒)综上所述，当3OP OM =时，则P 点运动时间t 的值为2011秒或5219秒或325秒或16秒．故答案为：2011秒或5219秒或325秒或16秒．8．【答案】（1）解：22(8)0a b ++-=∴2,8a b =-= ∴10AB =（2）解：282x x +=-∴10x =-∴点C 表示的数为10-设点P 对应的数为y ，由题可知，点P 不可能位于点A 的左侧，所以 ①当点P 在点B 右侧∴(8)[(2)](10)y y y -+--=-- ∴16y =②当点P 在A B 、之间 ∴(8)[(2)](10)y y y -+--=-- ∴0y =综上所述，点P 对应的数为16或0（3）证明：设运动时间为t ，则点E 对应的数是t ，点M 对应的数是28t -- 点N 对应的数是85t +P 是ME 的中点又Q）解：2,=-a c=+6,e c ia42c++=614）解：1,=+f e+=++i e ee+能被4整除4(4)∴e f i+++能被410．【答案】（1）证明：设则其“添彩数”与“减压数”分别为：第 11 页 共 11 页 =110a+11b=11（10a+b ）∴对任意一个两位正整数M ，其“添彩数”与“减压数”之和能被11整除．（2）设N 的十位数字为x ，个位数字为y则其“添彩数”与“减压数”分别为：100x+10y+6；10x+y-6∴100()18106106x y f N x y +++-=≤∵10x+y -6>0∴整理得40457x y +≥∵x 为1-9的整数，y 为0-9的整数∴x 值只能为1，此时，解得174y ≥，则y 的可能值为5,6,7,8,9, 则N 的可能值为15,16,17,18,19∵()f N 为整数∴只有N=17时，176(117)161=f =为整数 ∴N 的值为17．。

七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的．9．绝对值与方程解读标绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有：1．最简绝对值方程形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与．2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．问题解决例1 方程的解是________．试一试原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解．例2 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系为（）．A．B．．D．试一试从方程有解的条入手．例3 解下列方程：（1）；（2）；（3）．试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．例 4 如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，其对应的数为．（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？试一试由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程．例讨论关于的方程的解的情况．分析与解与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：（1）当时，原方程有两解；（2）当时，原方程有无数解；（3）当时，原方程无解．数学冲浪知识技能广场1．若是方程的解，则_______；又若当时，则方程的解是_____．2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．3．如果，那么的值为________．4．已知关于的方程的解满足，则的值为（）．A．或B．或．或D．或．若，则等于（）．A．或B．或．或D．或6．方程的解的个数为（）A．个B．个．无数个D．不确定7．解下列方程（1）；（2）；（3）；（4）．8．求关于的方程的所有解的和．9．解方程．10．已知、、、都是整数，且，则_______．11．若、都满足条，且，则的取值范围是_______．12．满足方程的所有的和为________．13．若关于的方程有三个整数解，则的值为（）A．B．．D．14．方程的整数解的个数有（）A．B．．D．1．若是方程的解，则等于（）A．B．．D．16．解下列方程（1）；（2）．17．当满足什么条时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足．（l）求线段的长；（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．19．已知，求的最大值和最小值．微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方．可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在的方格中填入个不同的数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则．（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．例1 如图①，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条还与其他的数相关．故为充分运用已知条，需引入不同的字母表示数（如图②）．例2 如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．试一试如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手．整体核算法整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．例3 如图①，、、、、、、、、分别代表，，，，，，，，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？分析与解设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：，故．先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，，由此可以求得图②．对照图①与图②中各数的位置，可看到．当然也可以有另一解法．将含、含、含、含、含与含的个小圆内个数求和，可得：，即，所以．练一练1．将到这个自然数填入图中的个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的个数的和是_______．2．请构造“幻角”，将这个整数填入图中的小三角形内（和已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于．3．请将，，，，，，，，，这个数分别填入图中方阵的个空格，使行、列、条对角线上的个数的和都是．4．如图，、、、、、均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求的值．．如图是一个的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值．6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列个数：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值．7．幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中行、列以及条对角线上的点数之和都等于，是一种“ 阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从阶到阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用，，，…，构造阶幻方的方法是：先将，，，…，依次排成图③，然后以外四角对换，即与对换，与对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的阶幻方．8．把数字，，，…，分别填入图中的个圈内，要求三角形和三角形的每条边上三个圈内数字之和都等于．（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．微探究商品的利润商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．（1）；（2）利润=售价-进价；（3）售价=进价+利润=进价×（利润率）．例1 一家商店将某商品按成本价提高后，标价为元，又以折出售，则售出这商品可获利润_______元．试一试从求出成本价切入．例 2 某商店出售某种商品每可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利元，则提价后的利润率为（）．A．B．．D．试一试利用获利不变建立方程．例 3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原增加了，为了赚钱，开发商把售价提高了倍，利润率比原增加了，求开发商原的利润率．试一试因售价=成本×（利润率），故还需设出成本．例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于元，则不予优惠；（2）若一次购物满元，但不超过元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款元与元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解第一次付款元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．情形l 当元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为元，又，其中元为购物元打九折付的钱，元为购物打八折付的钱，（元）．因此，元所购物品的原价为（元），于是购买小明花（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付（元）．情形2 当元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为（元）．仿情形1的讨论，购（元）物品一次性付款应为（元）．练一练1．某商品的进价为元，售价为元，则该商品的利润率可表示为_______．2．某商店老板将一进价为元的商品先提价，再打八折卖出，则卖出这商品所获利润为_______元．3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共带省元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠．4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为________．．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每按原销售价的八折销售，售价为元，则这款羊毛衫每的原销售价为_______元．6．甲用元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）．A．盈亏平衡B．盈利元．盈利元D．亏损元7．年爆发的世界金融危机，是自世纪年代以世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（）．A．B．．D．8．某商店出售某种商品每可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利元，则提价后的利润率为（）．A．B．．D．9．某种商品的进价为元，出售标价为元，后由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（）．A．新B．折．折D．折10．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过元，则不予折扣；②如一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过元，则其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）．A．元B．元．元D．元11．某商场用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：类别价格型型进价（元/盏）标价（元/盏）（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若型台灯按标价的九折出售，型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？12．某公司销售、、三种产品，在去年的销售中，高新产品的销售金额占总销售金额的．由于受国际金融危机的影响，今年、两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品的销售金额应比去年增加多少？13．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过元的不给优惠，超过元而不超过元时，按该次购物全额折优惠，超过元的其中元仍按折优惠，超过部分按折优惠．小美两次购物分别用了元和元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？微探究多变的行程问题行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离．2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离．例1 （1）在公路上，汽车、、分别以、、的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇小时后又与相遇，则甲、乙两站相距_____ ．（2）小王沿街匀速行走，他发现每隔从背后驶过一辆路公交车；每隔迎面驶一辆路公交车．假设每辆路公交车行驶速度相同，而且路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_______ ．试一试对于（2），“背后驶过与迎面驶”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距．例 2 （1）一艘轮船从港到港顺水航行，需小时，从港到港逆水需小时，若在静水条下，从港到港需（）小时．A．B．．D．（2）甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边（）．A．上B．上．上D．上试一试对于（2），设正方形边长为，甲的速度为，相遇时甲行的路程为，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把用的代数式表示．例 3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了圈，此时它们行驶了多少分钟？试一试当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比．例4 甲、乙二人分别从、两地同时出发，在距离地千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，又在距地千米处相遇，求、两地相距多少千米？解法一第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是、两地相距的路程，即当甲、乙合走完、间的全部路程时，乙走了千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为（千米）．考虑到乙从地走到后又返回了千米，所以、两地间的距离为（千米）．解法二甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例．到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．设全程为，易得到下列方程，解得，（舍去），所以、两地相距千米．解法三设全程为千米，甲、乙两人速度分别为，．则，①÷②得，解得或（舍去）．乘车方案例老师带着两名学生到离学校千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为千米／时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为千米／时，学生步行的速度为千米／时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过个小时．分析若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键．解要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人．乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如图，设老师带甲乘摩托车行驶了千米，用了小时，比乙多行了（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了（小时）．乙遇到老师时，已经步行了（千米），离博物馆还有（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有，解得．即甲先乘摩托车千米，用时小时，再步行千米，用时小时，共计小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过个小时．另解：设乙先步行的时间为小时，步行的路程为，则（千米），此时老师带甲走的路程为（千米），老师返回接乙走的路程为．故有，解得，甲乘车的时间为（小时），故甲从学校到博物馆共用（小时）．练一练1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_______．2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小时．3．甲、乙两列客车的长分别为和，它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______．4．甲、乙分别自、两地同时相向步行，小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／时，当甲到达地后立刻按原路向地返行，当乙到达地后也立刻按原路向地返行．甲、乙两人在第一次相遇后小时分又再次相遇，则、两地的距离是_______千米．．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从到，甲需要分钟，乙需要分钟．如果乙比甲早出发分钟，则甲出发后经______分钟可以追上乙．6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有米，丙距终点还有米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有______米．7．小李骑自行车从地到地，小明骑自行车从地到地，两人都匀速前进．已知两人在上午时同时出发，到上午时，两人还相距千米，到中午时，两人又相距千米，求、两地间的路程．8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟出发，上高速公路途经舟跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了小时；返回时平均速度提高了千米／时，比去时少用了半小时回到舟．（1）求舟与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称舟跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度千米千米过桥费元元据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟到嘉兴所花的高速公路通行费为元，求轿车的高速公路里程费．9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千米／时，骑车人的速度为千米／时，如果有一列火车从他们背后开过，它通过行人用了秒，通过骑车人用了秒．问这列火车的车身长为多少米？10．如图，甲、乙两人分别在、两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了分钟，再继续向地行走．甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇．已知甲每分钟行走米，乙每分钟行走米，则和两地相距多少米？11．某单位有人要到千米外的某地参观，因为步行时速只有千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人名、时速千米的大客车．于是早晨时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图．12．、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．分钟后，追上；又过了分钟，追上．问再过多少分钟，追上?&#819;9．绝对值与方程问题解决例1 由，得或，所以或．经检验知时，方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为．例2 A ，，，由题意得，，，从而，．例3 （1）或．原方程化为或，即或．（2）当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．综上知原方程的解为，，．（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为．例4 （1）；（2）存在，或（3）或数学冲浪1．；或2．或；；或3．4．A ．D 6．7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或．8．，，，得，，，，故．9．当，原方程无解；当时，原方程有两解：或；当时，原方程化为，此时原方程有四解：；当时，原方程化为，此时原方程有三解：或或；当时，原方程有两解：．10．或，又、都是整数，得，，．当，则，即矛盾；若，令，满足题意；若，令，满足题意．11．12．13．14．B 由数轴知，且为偶数1．D16．（1）或可以得到；（2）．17．由绝对值几何意义知：当时，方程有一解；当时，方程有无穷多个解，当或时，方程无解．18．（1），，；（2）存在点，点对应的数为或；（3），为常数．19．，同理，，得．当且仅当，，时，上面各式等号成立．又，由得①+②③，，因此，的最大值为，最小值为．从三阶幻方谈起（微探究）例l 由已知条得：，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即，，得．例 2 与的最小值是，所以，即．而为整数，且是不同于，，，，，，，的正整数，故．练一练1．，，；，，设中间的圆圈中的数是，同一直线上的个数的和是，则，．2．如图3．如图：4．由条得：，，．上述三式相加有，故．．如图，由及，得，，从而（注：这个幻方是可以完成的，如第行为，，；第行为，，；第行为，，）．6．这个数的积为，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为，得，，，、、、分别为、、、中的某个数，推得．。

1.（2021七上·民勤期末）某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，一个螺栓配两个螺帽，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？2.（2020七上·罗湖期末）一列匀速前进的火车，通过列车隧道.（1）如果通过一个长300米的隧道AB，从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如图1），又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长度；图一（2）如果火车以相同的速度通过了另一个隧道CD，从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到达隧道出口（如图2），其间共用20秒时间，求这个隧道CD的长.图二3.（2020七上·南海期末）两个圆柱体容器如图所示,容器1的半径是4cm，高是20cm；容器2的半径是6cm, 高是8cm，我们先在容器2中倒满水，然后将里面的水全部倒入容器1中,问：倒完以后，容器1中的水面离容器口有多少厘米？4.（2019·北京模拟）现在，某商场进行元旦促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？5.若一个角的余角与这个角的补角之比是2：7，求这个角的邻补角．6.（2021七上·大名期中）一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地相对开出，3小时后在距离中点48千米处相遇，已知慢车速度是快车的57，求甲、乙两地相距多少千米？7.（2021七上·大名期中）实验学校组织秋游，如果用45座的客车若干辆，则15人没有座位；如果用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有多少名？8.（2021七上·哈尔滨月考）某果蔬基地现有草莓18吨，若在市场上直接销售鲜草莓，每吨可获利润500元；若对草莓进行粗加工，每吨可获利润1200元；若对草莓进行精加工，每吨可获利润2000元．该工厂的生产能力是如果对草莓进行粗加工，每天可加工3吨；精加工，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不能同时进行；受气候限制，这批草莓必须在8天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种方案。

答案与评分标准一、解答题（共18小题，满分150分）1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）|a+b|=|a|+|b|；（2）|ab|=|a||b|；（3）|a﹣b|=|b﹣a|；（4）若|a|=b，则a=b；（5）若|a|＜|b|，则a＜b；（6）若a＞b，则|a|＞|b|．考点：绝对值；不等式的性质。

分析：根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析．解答：解：（1）错误．当a，b同号或其中一个为0时成立．（2）正确．（3）正确．（4）错误．当a≥0时成立．（5）错误．当b＞0时成立．（6）错误．当a+b＞0时成立．点评：本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质．2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|．考点：整式的加减；数轴；绝对值。

分析：解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号．解答：解：由数轴可知：a＞b＞0＞c，|a|＞|c|，则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0．∴|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|=﹣（b﹣a）+（a+c）﹣2[﹣（c﹣b）]=﹣b+a+a+c+2c﹣2b=2a﹣3b+3c．点评：在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数．3、已知x＜﹣3，化简：|3+|2﹣|1+x|||．考点：绝对值。

专题：计算题。

分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解答：解：∵x＜﹣3，∵1+x＜0，3+x＜0，∴原式=|3+|2+（1+x）||，=|3+|3+x||，=|3﹣（3+x）|，=|﹣x|，=﹣x．点评：本题考查了绝对值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号．考点：绝对值。

专题：计算题；分类讨论。

专题26 含绝对值的一元一次方程1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：|3|2x -=．解：当30x -时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =．所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法求解方程：|37|80x --=，则得到的解为 5x =或13x =- ． 【解答】解：|37|80x --=，378x ∴-=或378x -=-，解得5x =或13x =-， 故答案为：5x =或13x =-． 2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程|3|2x -=．解：当30x -时，3x ，方程化为32x -=，解得5x =（符合题意）；当30x -<时，3x <，方程化为(3)2x --=，解得1x =（符合题意）．∴方程|3|2x -=的解为5x =或1x =．（1）方程|4|3x x -=的解为 1x = ；（2）方程|3||2|3x x x --+=的解为 ．【解答】解：（1）当40x -时，即4x 时，方程化为43x x -=，解得2x =-，因为4x ，所以2x =-不合题意；当40x -<时，即4x <时，方程化为(4)3x x --=，解得1x =，因为4x <，所以1x =符合题意；所以方程的解为1x =．（2）当2x -时，原方程化为：323x x x -++=，解得53x =， 因为2x -， 所以53x =不符合题意； 当23x -<时，原方程化为：3(2)3x x x --+=， 解得15x =， 因为23x -<， 所以15x =符合题意； 当3x >时，原方程化为：3(2)3x x x --+=， 解得53x =-， 因为3x >， 所以53x =-不符合题意； 故方程的解为15x =． 3．某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．例如解绝对值方程：|2|1x =．解：分类讨论：当0x 时，原方程可化为21x =，它的解是12x =． 当0x <时，原方程可化为21x -=，它的标是12x =-． ∴原方程的解为12x =或12x =-． （1）依例题的解法，方程1||32x =的解是 6x =或6x =- ． （2）在尝试解绝对值方程|2|3x -=时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；（3）在尝试解绝对值方程|3|5x -=时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，||a b -表示数a ，b 在数轴上对应的两点A 、B 之间的距离，则|3|5x -=表示数x 与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ；（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x 的方程|2||1|(0)x x m m -+-=>；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．【解答】解：（1）当0x 时，原方程可化为132x =，它的解是6x =， 当0x <时，原方程可化为132x -=，它的解是6x =-， ∴原方程的解为6x =或6x =-，故答案为：6x =或6x =-；（2）当2x 时，原方程可化为23x -=，它的解是5x =，当2x <时，原方程可化为23x -+=，它的解是1x =-，∴原方程的解为5x =或1x =-，故答案为：5x =或1x =-；（3）数轴上与3的点距离是5的点分别是8或2-，∴方程的解是8x =或2x =-，故答案为：8x =或2x =-；（4）当2x 时，21x x m -+-=，解得32m x +=； 当12x <<时，21x x m -+-=，可得1m =；当1x 时，21x x m -+-=，解得32m x -=； ∴当1m =时，方程有无数解；当01m <<时，方程无解；当1m >时，32m x +=或32m x -=． 4．【我阅读】解方程：|5|2x +=．解：当50x +时，原方程可化为：52x +=，解得3x =-；当50x +<时，原方程可化为：52x +=-，解得7x =-．所以原方程的解是3x =-或7x =-．【我会解】解方程：|32|50x --=．【解答】解：当320x -时，原方程可化为：3250x --=， 解得73x =； 当320x -<时，原方程可化为：3250x -+-=，解得1x =-． 所以原方程的解是73x =或1x =．5．[现场学习]定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：||2x =，|21|3x -=，1||22x x --=，⋯都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由||2x =，可得2x =或2x =-．[例]解方程：|21|3x -=．我们只要把21x -看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得213x -=或21x -= 3- ．解这两个一元一次方程，得2x =或1x =-；经检验可知，原方程的解是2x =或1x =-．[解决问题] 解方程：1||22x x --=． 解：根据绝对值的意义，得12x -= 或12x -= ， 解这两个一元一次方程，得x = 或x = ，经检验可知，原方程的解是 ．[学以致用]解方程：|21||56|x x +=-．【解答】解：[解决问题]1||22x x --=， 根据绝对值的意义，得122x x --=或122x x ---=， ∴122x x -=+或122x x -=--， 解这两个一元一次方程，得5x =-或1x =-，经检验可知，原方程的解是1x =-；故答案为：2x +，2x --，5-，1-，1x =-；[学以致用]|21||56|x x +=-，根据绝对值的意义，得2156x x +=-或2156x x +=-+，解这两个一元一次方程，得73x =或57x =， 经检验可知，原方程的解是73x =或57x =． 6．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程2||3x x +=．解：当0x 时，方程可化为：23331x x x x +===，符合题意．当0x <时，方程可化为：2333x x x x -=-==-，符合题意．所以原方程的解为：1x =或3x =-．仿照上面解法，解方程：3|1|7x x +-=．【解答】解：当1x 时，3(1)7x x +-=， 解得52x =； 当1x <时，3(1)7x x --=，解得2x =-；∴原方程的解为：52x =或2x =-． 7．阅读下题和解题过程：化简|2|12(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：①当20x -时，即2x 时，原式21243x x x =-+-+=-+；②当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：（1）|3|5x -=；（2）2(|2|1)3x x +-=+．【解答】解：（1）①当30x -时，即3x ，35x -=，解得：8x =；②当30x -<，即3x <，35x -+=，解得：2x =-；∴方程|3|5x -=的解为8x =或2-；（2）①当20x +时，即2x -，2(21)3x x +-=+，解得：1x =；②当20x +<，即2x <-，2(21)3x x ---=+，解得：3x =-；∴方程2(|2|1)3x x +-=+的解为1x =或3-．8．阅读下列问题：例．解方程|2|5x =．解：当20x ，即0x 时，25x =，52x ∴=； 当20x <，即0x <时，25x -=，52x ∴=-． ∴方程|2|5x =的解为52x =或52x =． 请你参照例题的解法，求方程21||13x -=的解． 【解答】解：当210x -时，即12x， 2113x -=， 2x ∴=；当210x -<时，即12x <， 2113x -=-， 1x ∴=-；∴方程21||13x -=的解为1x =-或2x =． 9．阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，则A 、B 两点的距离可用式子||a b -表示．例如：5和2-的距离可用|5(2)|--或|25|--来表示．【知识应用】我们解方程|5|2x -=时，可用把|5|x -看作一个点x 到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点(P P 表示的数为)x 与5的距离为2，所以该方程的解为7x =或3x =．所以，方程|5|2x +=的解为 3x =-或7x =- ．（直接写答案，不需过程）【知识拓展】我们在解方程|5||2|7x x -++=时，可以设A 表示数5，B 表示数2-，P 表示数x ，该方程可以看作在数轴上找一点P 使得7PA PB +=，因为7AB =，所以由图可知，P 在线段AB 上都可，所以该方程有无数解，x 的取值范围是25x -．类似的，方程|4||6|10x x ++-=的解 （填“唯一”或“不唯一” )，x 的取值是 ．( “唯一”填x 的值，“不唯一”填x 的取值范围）；【拓展应用】解方程|4||6|14x x ++-=．【解答】解：【知识应用】|5||(5)|x x +=--，|5|x ∴+可以看成是数轴上点A 所表示的数x 与5-的距离， 52x ∴+=或52x +=-，解得：3x =-或7x =-，故答案为：3x =-或7x =-；【知识拓展】设A 表示数4-，B 表示数6，P 表示数x ， ∴方程|4||6|10x x ++-=可以看作在数轴上找一点P 使得10PA PB +=， ∴点P 必在线段AB 上，∴该方程的解不唯一，x 的取值范围是46x -，故答案为：不唯一，46x -，【拓展应用】|4||6|14x x ++-=，设A 表示数4-，B 表示数6，P 表示数x ，①当点P 位于线段AB 上时，|4||6|4610x x x x ++-=++-=（不合题意，舍去）， ②当点P 位于A 点左侧时，|4||6|462214x x x x x ++-=---+=-+=，解得：6x =-，③当点P 位于B 点右侧时，|4||6|462214x x x x x ++-=++-=-=，解得：8x =，综上，6x =-或8x =．10．先阅读下列解题过程，然后回答问题．解方程：|4|3x +=．解：当40x +时，原方程可化为43x +=，解得1x =-； 当40x +<时，原方程可化为43x +=-，解得7x =-． ∴原方程的解是1x -或7x =-．根据上面的解题过程，解方程：|33|60x --=．【解答】解：当330x -时，原方程可化为3360x --=，解得3x =； 当330x -<时，原方程可化为(33)60x ---=，解得1x =-． 所以原方程的解是3x =或1x =-．11．阅读下面的解题过程：解方程：|5|2x =．解：（1）当50x 时，原方程可化为一元一次方程52x =，解得25x =； （2）当50x <时，原方程可化为一元一次方程52x -=，解得25x =-． 请同学们仿照上面例题的解法，解方程3|1|210x --=．【解答】解：（1）当10x -时，原方程可化为一元一次方程3(1)210x --=，解得5x =；（2）当10x -<时，原方程可化为一元一次方程3(1)210x ---=，解得3x =-．12．（1）阅读下列材料并填空．例：解方程|2||3|5x x +++=解：①当3x <-时，20x +<，30x +<，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=--所以原方程可化为 （1） 5=解得x =②当32x -<-时，20x +<，30x +，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x --++=15=所以此时原方程无解③当2x -时，20x +，30x +>，所以|2|x += ，|3|x +=所以原方程可化为 5=解得x =（2）用上面的解题方法解方程：|1||2|6x x x +--=-．【解答】解：（1）①当3x <-时，20x +<，30x +<， 所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=--所以原方程可化为：235x x ----=解得：5x =-②当32x -<-时，20x +<，30x +，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x --++=15=所以此时原方程无解③当2x -时，20x +，30x +>，所以|2|2x x +=+，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x +++=解得0x =故答案为：23x x ----，5-，2x +，3x +，23x x +++，0（2）令10x +=，20x -=时，1x ∴=-或2x =．当1x <-时，10x ∴+<，20x -<，|1|1x x ∴+=--，|2|2x x -=-+，1(2)6x x x ∴----+=-3x ∴=（不符合题意，所以无解）当12x -<时，|1|1x x ∴+=+，|2|2x x -=-+，126x x x ∴++-=-5x ∴=-（不符合题意，所以无解）当2x 时，|1|1x x ∴+=+，|2|2x x -=-，126x x x ∴+-+=-9x ∴=．综上所述，x 的解为：9x =．13．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3|1x = 解：①当30x 时，原方程可化为一元一次方程为31x =，它的解是13x =②当30x <时，原方程可化为一元一次方程为31x -=，它的解是13x =-． （1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|3|513x -+=（2）探究：当b 为何值时，方程|2|1x b -=+①无解；②只有一个解；③有两个解．【解答】（1）解：当30x -时，原方程可化为一元一次方程为2(3)513x -+=，方程的解是7x =；②当30x -<时，原方程可化为一元一次方程为2(3)513x -+=，方程的解是1x =-；所以方程的解是7x =或1x =-；（2）解：|2|0x -，∴当10b +<，即1b <-时，方程无解；当10b +=，即1b =-时，方程只有一个解；当10b +>，即1b >-时，方程有两个解．14．先阅读，后解题：符号|2|-表示2-的绝对值为2，|2|+表示2+的绝对值为2，如果||2x =那么2x =或2x =-． 若解方程|1|2x -=，可将绝对值符号内的1x -看成一个整体，则可得12x -=或12x -=-，分别解方程可得3x =或1x =-，利用上面的知识，解方程：|21|70x --=．【解答】解：移项得，|21|7x -=，根据绝对值的意义，得217x -=或217x -=-，解得4x =或3x =-．15．定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．如||2x =，|21|3x -=，1||12x x --=，⋯，都是含有绝对值的方程．含有绝对值的方程的解题思路是将含有绝对值的方程转化为不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由||2x =，可得2x =或2x =-．[例]解方程：|21|3x -=．解析：我们只要把21x -看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得213x -=或21x -= 3- ．解这两个一元一次方程，得2x =或1x =-．检验：（1）当2x =时，原方程的左边|21||221|3x =-=⨯-=，右边3=，因为左边=右边，所以2x =是原方程的解．（2）当1x =-时，原方程的左边|21||2(1)1|3x =-=⨯--=．右边3=，因为左边=右边，所以1x =-是原方程的解．综合（1）（2）可知，原方程的解是2x =或1x =-． 【解决问题】解方程：1||12x x --=． 【解答】解：1||12x x --=， 1||12x x -∴=+， ∴112x x -=+或112x x -=--， 解得3x =-或13x =-， 检验：当3x =-时，原方程的左边131||||3522x x ---=-=+=，右边≠右边，因为左边=右边，所以3x =-不是原方程的解， （2）当13x =-时，原方程的左边11113||||1223x x ---=-=+=．右边1=，因为左边=右边，所以13x =-是原方程的解， ∴原方程的解是13x =-．16．阅读所给材料，解决问题：分类讨论思想是求解带绝对值的方程的常用方法，例如，解方程|2|3x -=时，我们需要讨论2x -的正负性，当20x -时，原方程可化为23x -=，解得5x =；当20x -<时，原方程可化为(2)3x --=，即23x -=，解得1x -，所以原绝对值方程的解为5x =，或1x =-．（1）求解方程|1|52x x +-=； （2）若关于x 的方程|3|123x m +-=-+只有1个解，求方程的解及m 的值．【解答】解：（1）|1|52x x +-=， 当1x 时 原方程可化为152x x +-=； 解得4x =， 当1x <时，原方程可化为程152x x +-=； 解得8x =-， ∴原方程的解为8x =-或4x =；（2）|3|123x m +-=-+，当3x -时，原方程可化为3123x m +-=-+，解得12x m =-，当3x <-时，原方程可化为3123x m ---=-+，解得27x m =-，方程只有一个解，当123m -<-时，2m >，则273m ->-，此时方程无解；当273m --时，2m ，则123m --，此时方程有一个解，2m ∴=，方程的解为3x =-．17．阅读理解：在解形如3|2||2|4x x -=-+这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分2x <和2x 两种情况讨论：当2x <时，原方程可化为3(2)(2)4x x --=--+，解得：0x =，符合2x <． 当2x 时，原方程可化为3(2)(2)4x x -=-+，解得：4x =，符合2x ． ∴原方程的解为：0x =或4x =．解题回顾：本题中，2为(2)x -的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了2x <和2x 两部分，所以分2x <和2x 两种情况讨论．尝试应用：（1）仿照上面方法解方程：|3|83|3|x x -+=-．迁移拓展：（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：|3|3|2|9x x x --+=-． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？)【解答】解：（1）分两种情况：当3x <时，原方程可化为：383(3)x x -+=-，解得：1x =-，符合3x <， 当3x 时，原方程可化为：383(3)x x -+=-，解得：7x =，符合3x ， ∴原方程的解为：1x =-或7x =；（2）分三种情况讨论：当2x <-时，原方程可化为：33(2)9x x x -++=-，解得：18x =-，符合2x <-， 当23x -<时，原方程可化为：33(2)9x x x --+=-，解得：65x =，符合23x -<， 当3x 时，原方程可化为：33(2)9x x x --+=-，解得：0x =，不符合3x ， ∴原方程的解为：18x =-或65x =．。

思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 ·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．一般有以下两种解法：1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）.典题精练 ·类型一 几何解法1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2.例2：已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.图11－S－1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：(1)|x－3|＝3；(2)|4x＋2|＝8；(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.类型二代数解法2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．例1：解方程|2x－1|＝3.我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝2是原方程的解．(2)当x ＝－1时，原方程的左边＝|2x －1|＝|2×(－1)－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝－1是原方程的解．综上可知，原方程的解是x ＝2或x ＝－1.例2：解方程x ＋2|x|＝3.解：当x ≥0时，方程可化为x ＋2x ＝3，解得x ＝1，符合题意；当x ＜0时，方程可化为x －2x ＝3，解得x ＝－3，符合题意．所以原方程的解为x ＝1或x ＝－3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x ＋3|x －1|＝7；(2)|x －12|－x ＝1.详解详析1．解：(1)由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的距离为3的点对应的数为0和6，即x ＝0或x ＝6.(2)由题意，得在数轴上与数－2对应的点之间的距离为8的点对应的数为6或－10，即4x ＝6或4x ＝－10，所以x ＝32或x ＝－52.(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数－4对应的点之间的距离之和为9的点对应的数，即为x 的值．在数轴上，数3和－4对应的点的距离为7，满足方程的x 在数轴上的对应点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x ＝4；同理，若x 对应的点在－4的左边，可得x ＝－5.故原方程的解是x ＝4或x ＝－5.2．解：(1)当x ＜1时，方程可化为x ＋3(1－x)＝7，即3－2x ＝7，解得x ＝－2，符合题意；当x ≥1时，方程可化为x ＋3(x －1)＝7，即4x －3＝7，解得x ＝52，符合题意．所以原方程的解为x ＝－2或x ＝52.(2)原方程可变形为|x －12|＝x ＋1，根据绝对值的意义，得x －12＝1＋x 或x －12＝－(1＋x)，解得x ＝－3或x ＝－13，经检验：x ＝－3不是原方程的解，x ＝－13是原方程的解．所以原方程的解是x ＝－13.。

第八讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题)思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ； (天津市竞赛题)思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如e d c b ax =+++的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如d cx b ax +=+的方程求解．【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431=-++x x 的整数解有（ ）．A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x │-1)= ||5x +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.4.关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C. 23D.不存在 6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m 的值是( ). A.10或25 B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题) 8.若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002=-x 的解分别是1x 、2x ，则21x x +=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213=++--x x x 的解是______． （希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x 、y 、z 满足0<xy ，0>yz ，并且3=x ，2=y ，21=+z ，则z y x ++=______． (北京市迎春杯竞赛题)4．已知13+=x x ，则=++20092)94864(x x ________． （广东省竞赛题）5．方程133=+-x x 的解是_________． （山东省竞赛题）6．满足方程123422-=--x x 的所有解的和为______． (新加坡竞赛题)7．若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程a x x =-++11有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0≥aB ．0>aC ．1≥aD ．2≥a （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、b 0(≠a ，)1≠a ，有a ⊕b =a a b a -+220042003，已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）。

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、•12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,• 由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

人教版（五四制）2019-2020七年级数学上册第十一章一元一次方程的解法专项训练题2（附答案）1．解方程（组）：（1）()()31651x x -=+- （2） 2312{ 3417x y x y +=+= 2．解方程：（1）2（x ﹣1）+1=0（2）4（2x ﹣1）﹣3（5x+1）=14（3）x ﹣=1﹣（4）3．解方程：（1）2x+1＝8－5x ； （2）． 4．解下列一元一次方程：（1）（2） 5．解方程：(1)7y ＋6＝－9y; (2)2(3y －1)－3(2－4y )＝9y ＋10；(3) y －＝2－； (4)－2＋＝3(x －1)． 6．解下列方程（1）7+6=8-3（2）4-3（20-）=6-7（9-）（3）（4）7．解方程：（1）； （2）. 8．解下列方程： (1)a ﹣6=a+1； (2)3x+=3﹣． 9．解方程3714x x --10．解方程：（1）()()512132x x x ---=+ （2）221146x x +--= 11．解下列方程：（1）()319x +=； （2）2121136x x --=-． 12．满足方程|2|2x －4|－3|＝2x －1的所有解的和为多少？13．已知方程6x －9＝10x －45与方程3a －1＝3（x ＋a ）－2a 的解相同（1）求这个相同的解；（2）求a 的值；（3）若[m]表示不大于m 的最大整数，求[－2]的值14．解方程：（1）（2） 15．解方程（1）4x-3（5-x ）=6 (2) 12226x x -+=- 16．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： x+=0的解为x=﹣，而﹣=﹣1； 2x+=0的解为x=﹣，而﹣=﹣2．于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x 的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=b ﹣a ，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究：（1）若a=﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；（2）若关于x 的方程ax+b=0（a≠0）为奇异方程，解关于y 的方程：a （a ﹣b ）y+2=（b+）y ．17．解方程：(1)2x ＋3＝x ＋5; (2)2(3y －1)－3(2－4y)＝9y ＋10；18．解方程：−=0.5．19．老师在黑板上出了一道解方程的题，小虎马上举手，要求到黑板上去做，他是这样做的：5(3x-1)=2(4x+2)-1①，15x-5=8x+4-1②，15x-8x=4-1+5③7x④，x=⑤老师说：小虎解一元一次方程的一般步骤都知道，但没有掌握好，因此解题出现了错误，请指出他的错步及错误原因：，方程的正确的解是x＝．然后，你自己细心的解下面的方程：.20．解方程：(1)3x+7=2x﹣5 ；(2)2（x﹣1）﹣3（2+x）=5；(3)(4)[（﹣）]= +121．计算：（1）-16-（-1+）÷3×[2-（-4）2]（2）解方程：-=-1（3）先化简，再求值：2（x2-2xy）+[2y2-3（x2-2xy+y2）+x2]，其中x=1，y=-．22．解下列方程：（1）4（x﹣2）=3（1+3x）﹣12（2）=1．23．当x取何值时，代数式比代数式少1 ?24．25．解方程：211248 x x+-=-26．解方程：1221 43x x+--=.27．解方程：x－＝2－.28．当m为何值时，关于x的方程5m+12x=6+x的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2．29．列方程求解（1）m为何值时，关于x的一元一次方程4x﹣2m=3x﹣1的解是x=2x﹣3m的解的2倍．（2）已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代数式22b a m-+的值比12b﹣a+m多1，求m的值．参考答案1．（1）2x =-；（2）3{ 2x y ==. 【解析】试题分析：（1）方程去括号，移项合并同类项，化系数为1即可；（2）用加减消元法解答即可．试题解析：解：（1）去括号得：3x -3=6+5x -5，移项得：3x -5x =6-5+3，合并同类项得：－2x =4，解得：x =－2；（2）2312{ 3417x y x y +=+=①②，①×3－②×2得：y =2，把y =2代入①得：x =3，∴3{ 2x y ==． 2．（1）x=（2）x=-3（3）x=4（4）x=【解析】【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（2）方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（4）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：（1）去括号得：2x-2+1=0，移项合并得：2x=1，解得：x=；（2）去括号得：8x-4-15x-3=14，移项合并得：-7x=21，解得：x=-3；（3）去分母得：6x-3x-3=6-x+7，移项合并得：4x=16，解得：x=4；（4）去分母得：70x-30x=21，移项合并得：40x=21，解得：x=．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．3．（1）x＝1；（2）x＝0.【解析】【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】（1）移项得：2x＋5x＝8－1，合并同类项得：7x＝7，系数化为1得：x＝1；（2）去分母得：3(x＋2)－2(2x－3)＝12，去括号得：3x＋6－4x＋6＝12，合并同类项得：－x＝0，系数化为1得：x＝0．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．(1) ;(2) x=1【解析】【分析】根据解一元一次方程的一般步骤进行:去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 【详解】解:（1）去括号，得：移项，得：合并同类项，得：（2）去分母，得：去括号，得：移项，得：合并同类项，得：-5x=-5系数化为1，得：x=1【点睛】本题考核知识点：解一元一次方程. 解题关键点：掌握解方程的一般步骤.5．(1)y＝－；(2) y＝2；(3) y＝；(4) x＝.【解析】【分析】⑴移项，将未知数系数化为1即可求解；⑵去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1即可求解；⑶去分母，移项，合并同类项，将未知数系数化为1即可求解；⑷去分母，移项，合并同类项，将未知数系数化为1即可求解.【详解】(1)7y＋6＝－9y，移项，得7y＋9y＝－6，合并同类项，16y＝－6.系数化为1，得y＝－.(2)去括号，得6y－2－6＋12y＝9y＋10.移项得6y＋12y－9y＝10＋2＋6，合并同类项，得9y ＝18，系数化为1，得y＝2.(3)去分母，得6y－3(y－1)＝12－(y＋2)，去括号，得6y－3y＋3＝12－y－2，移项，得6y－3y＋y＝12－2－3，合并同类项，得4y＝7，系数化为1，得y＝.(4)去分母，得2(3x－1)－12＋3(2x＋4)＝18(x－1)，去括号，得6x－2－12＋6x＋12＝18x－18，移项，得6x＋6x－18x＝－18＋2＋12－12，合并同类项，得－6x＝－16，系数化为1，得x＝.【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，是解决本题的关键.6．（1）=；（2）；（3）y=-1（4）=0.1【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；（2）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；（3）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解；（4）先利用分数的基本性质将分母中含有的小数转化为整数，再去分母，去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．【详解】（1）移项得，7x+3x=8-6，合并同类项得，10x=2，系数化为1得x=；（2）去括号得，4x-60+3x=6x-63+7x，移项得，4x+3x-6x-7x=-63+60，合并同类项得，-6x=-3，系数化为1得，x=；（3）去分母得，2y-5（y-1）=10-2（y+2），去括号得，2y-5y+5=10-2y-4，移项得，2y-5y+2y=10-4-5，合并同类项得，-y=1，系数化为1得，y=-1；（3）方程可化为，-=，去分母得，18-80x-6（1.3-3x）=4（50x-4），去括号得，18-80x-7.8+18x=200x-16，移项得，-80x+18x-200x=-16-18+7.8，合并同类项得，-262x=-26.2，系数化为1得，x=0.1．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．7．（1）x=3；（2）x=-7.【解析】【分析】（1）先去括号，再移项，再合并同类项，最后化系数为1，即可得到方程的解；（2）先去分母，再去括号，再移项，再合并同类项，最后化系数为1，即可得到方程的解．【详解】（1）去括号得：4x﹣15+3x=6，移项得：4x+3x=6+15，合并同类项得：7x=21，化系数为1得：x=3；（2）去分母得：3（x+1）﹣2（2x﹣1）=12，去括号得：3x+3﹣4x+2=12，移项得：3x﹣4x=12﹣3﹣2，合并同类项得：﹣x=7，化系数为1得：x=﹣7．【点睛】本题考查了一元一次方程的求解方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，是常用的一元一次方程的求解方法．8．(1)a=﹣28；(2)x=．【解析】【分析】（1）通过去分母、移项合并同类项，化未知数系数为1来解方程；（2）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项【详解】（1）移项，得：a﹣a =6 +1，合并同类项，得：﹣a=7，系数化为1，得：a=﹣28；（2）去分母得：18x+3(x﹣1)=18﹣2(2x+1)，去括号，得18x+3x﹣3=18﹣4x﹣2，移项、合并同类项，得：25x=19，系数化为1，得：x=．【点睛】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．9．（1）72x =-；（2）19x =. 【解析】试题分析：（1）方程去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解.试题解析：（1）去括号得：3x-3=5x+4，移项合并得：-2x=7，解得：x=72-； （2）去分母得：9-21x=5-20x-15，移项合并得：x=19．10．（1） x =2；（2）x =-4【解析】试题分析：（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行解答即可； （2）两边同乘12去掉分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 试题解析：解：（1）()()512132x x x ---＝＋ ，5x －5－2＋2x ＝3＋2x ，5x ＋2x －2x ＝3＋2＋5，5x ＝10，x ＝2；（2）221146x x --＋＝， 3(x ＋2)－12＝2(2x －1)，3x ＋6－12＝4x －2，4x －3x ＝6－12＋2，x ＝－4.11．（1）x=2；（2）x=1.5．【解析】试题分析：（1）去括号，移项.(2)去分母，去括号，合并同类项，移项，系数化1. 试题解析：解：（1）方程整理得：x +1=3，解得：x =2.（2）去分母得：4x ﹣2=6﹣2x +1，移项合并得：6x=9，解得：x=1.5．点睛：解方程的步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5) 化系数为1.易错点：（1）去分母时，要给方程两边的每一项都乘以最小公倍数,特别强调常数项也必须要乘最小公倍数.（2）乘最小公倍数的时候，一定要与每一个字母进行相乘，不要漏掉某一个分母.（3）如果某字母项或某常数项前面是有符号的，那么乘最小公倍数的时候，这个符号不要丢掉.12．8【解析】分析：因为题目中带有绝对值符号,所以必须分两种情况进行讨论,去掉绝对值符号,得到两个一元一次方程,求出方程的根,即可得到结果.详解：①当2x－4≥0时，方程化为|4x－11|＝2x－1，即4x－11＝2x－1或4x－11＝1－2x，解得x＝5或x＝2；②当2x－4＜0时，方程化为|5－4x|＝2x－1，即5－4x＝2x－1或5－4x＝1－2x，解得x＝1或x＝2(舍去)，故方程|2|2x－4|－3|＝2x－1的所有解的和为5＋2＋1＝8.点睛：本题考查的是含绝对值符号的一元一次方程,由于带有绝对值符号,必须对题目进行讨论,对重复的根要舍去.13．（1）x＝9；（2）a＝14；（3）2【解析】试题分析：（1）方程6x－9＝10x－45即可得出这个相同的解；（2）把（1）中的解代入方程3a－1＝3（x＋a）－2a，然后解以a为未知数的方程即可；（3）把a的值代入[－2]，根据[m]的定义求解即可．试题解析：（1）6x－9＝10x－45，6x-10x=9－45，-4x=-36，x=9；（2）把x=9代入方程3a －1＝3（x＋a）－2a得：3a－1＝3（9＋a）－2a，3a－1＝27＋3a－2a，2a=28，a＝14，（3）因为a ＝14，所以[－2]= [143－2]=[ 83]=2． 考点：一元一次方程．14．（1）；（2）. 【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤解方程即可.【详解】解：（1）（2）【点睛】考查解一元一次方程，一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.15．（1）x=3;(2)x=134【解析】试题分析：根据解一元一次方程的步骤解方程即可.试题解析：(1)去括号得：4x −15+3x =6，移项、合并得：7x =21，系数化为1得：x =3.(2)去分母得： ()()31122x x -=-+，去括号得： 33122x x -=--，移项合并得： 413x =，系数化为1得： 13.4x = 点睛：解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1. 16．(1)见解析;（2）见解析.【解析】【分析】（1）把a=-1代入原方程解得：x=b，若为“奇异方程”，则x=b+1，由于b≠b+1，根据“奇异方程”定义即可求解；（2）根据“奇异方程”定义得到a（a-b）=b，方程a（a-b）y+2=（b+）y可化为by+2=（b+）y，解方程即可求解．【详解】（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：把a=﹣1代入原方程解得：x=b，若为“奇异方程”，则x=b+1，∵b≠b+1，∴不符合“奇异方程”定义，故不存在；（2）∵ax+b=0（a≠0）为奇异方程，∴x=b﹣a，∴a（b﹣a）+b=0，a（b﹣a）=﹣b，a（a﹣b）=b，∴方程a（a﹣b）y+2=（b+）y可化为by+2=（b+）y，∴by+2=by+y，2=y，解得y=4．【点睛】考查了解一元一次方程，关键是熟悉若一个关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=b-a，则称之为“奇异方程”．17．(1)x＝2；(2)y＝2【解析】【分析】（1）移项、合并同类项即可求解；（2）先去括号，再移项、合并同类项和系数化为1即可求解；【详解】（1）移项，得合并同类项，得（2）去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.18．x=−．【解析】【分析】先把分母中的小数化为整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．【详解】把分母中的小数化为整数得：﹣=0.5去分母得：5x﹣10﹣（10x+5）=0.5去括号得：5x﹣10﹣10x﹣5=0.5移项得：5x﹣10x=0.5+10+5合并同类项得：－5x=15.5x的系数化为1得：x=－．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键．19．①去分母时右边﹣1没有乘以10；④等式右边缺失；⑤化系数为1时，没有除以x的系数；﹣；x=4．【解析】【分析】依据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解可得．【详解】他的错步及错误原因：①去分母时右边﹣1没有乘以10；④等式右边缺失，⑤化系数为1时，没有除以x的系数；方程的正确的解是x=﹣．2（x+1）﹣4=8+2﹣x，2x+2﹣4=8+2﹣x，2x+x=8+2﹣2+4，3x=12，x=4．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．20．(1)x=﹣12；(2)x=﹣13；(3)x=﹣25；(4)x=﹣．【解析】【分析】(1) 移项合并，将x系数化为1，即可求出解;(2) 去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解;(3) 去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．(4) 去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．【详解】解：(1)3x﹣2x=﹣5﹣7，x=﹣12；(2)2x﹣2﹣6﹣3x=5，2x﹣3x=5+2+6，﹣x=13，x=﹣13；(3)4（2x﹣1）=24+3（3x﹣1），8x﹣4=24+9x﹣3，8x﹣9x=24﹣3+4，﹣x=25，x=﹣25；(4)﹣=+1，﹣=1+，﹣x=，x=﹣．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．21．（1）-（2）x=-5（3）2xy-y2，-5【解析】【分析】（1）先计算16、（-4）2，再算括号里面和乘除法，最后算减法得结果；（2）按解一元一次方程的步骤求解即可；（3）先对代数式进行化简，然后再代入求值．【详解】（1）原式=-1-（-）××（-14）=-1-=-；（2）去分母，得3（x-7）-2（2x-5）=-6，去括号，得3x-21-4x+10=-6，移项，得3x-4x=-6+21-10，合并，得-x=5所以，x=-5；（3）原式=2x2-4xy+（2y2-3x2+6xy-3y2+x2）=2x2-4xy+2y2-3x2+6xy-3y2+x2=2xy-y2．当x=1，y=-时，原式=2×1×（-）-（-）2=-3-=-5．【点睛】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减、解一元一次方程等知识点．解决（1）的关键是掌握有理数混合运算的顺序，注意（2）去分母时勿漏乘，（3）需先化简再求值.. 22．（1）x=0.2；（2）x=．【解析】【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】（1）去括号得：4x-8=3+9x-12，移项合并得：-5x=-1，解得：x=0.2；（2）去分母得：30x-119+140x=21，移项合并得：170x=140，解得：x=．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．23．x=﹣7【解析】【分析】根据题意，列出方程，然后根据一元一次方程的解法，直接解方程即可【详解】解：根据题意，得：去分母,得：x +1−2(x −1)=10，去括号，得：x +1−2x +2=10，移项，得：x −2x =10−3，合并同类项，得：−x =7，系数化为1,得：x =−7.,故当x =−7时,代数式比代数式少1.【点睛】 考查解一元一次方程，列出方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.24．x=4【解析】【分析】根据一元一次方程的求解方法：移项合并同类项，再系数化一，即可求得答案.【详解】原方程化为：1.3x+0.5x=0.7+6.5，整理得：1.8x=7.2，解得：x=4.【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次方程的方法.25．3x =【解析】试题分析：按照解一元一次方程的步骤解方程即可.试题分析： ()()221161x x +=--,42161x x +=-+,41612x x +=+-,515x =,3x =.26．x=﹣15．【解析】试题分析：先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化1. 试题解析：去分母得：3（x+1）﹣4（2x﹣2）=12，去括号得：3x+3﹣8x+8=12，移项、合并同类项得：﹣5x=1，系数化为1得：x=﹣15．点睛：解一元一次方程的步骤：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；5.系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解27．x＝1.【解析】分析：这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．详解：去分母，得6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)．去括号，得6x－3x＋3＝12－2x－4.移项，得6x－3x＋2x＝12－4－3.合并同类项，得5x＝5.系数化为1，得x＝1.点睛：此题考查了一元一次方程的解法，注意：不要漏乘不含分母的项；若分子是一个整体，需加上括号；移项时项的系数要变号.28．m=﹣1．【解析】试题分析：先用含m的代数式表示出两个方程的解，然后根据第一个方程的解比第二个方程的解大2列出关于m的方程求解.解：解关于x的方程5m+12x=6+x，得：x=，解关于x的方程x（m+1）=m（1+x），得：x=m，根据题意得﹣m=2，解得：m=﹣1．点睛：本题考查了含参一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.29．(1)- 14;(2)0.【解析】试题分析：（1）分别表示出两方程的解，根据解的关系确定出m的值即可；（2）根据题意列出方程，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出m的值．试题解析：解：（1）方程4x﹣2m=3x﹣1，解得：x=2m﹣1．方程x=2x﹣3m，解得：x=3m．由题意得：2m﹣1=6m，解得：m=﹣14；（2）由|a﹣3|+（b+1）2=0，得到a=3，b=﹣1，代入方程211 22b a mb a m-+⎛⎫--+=⎪⎝⎭，得：513122mm-⎛⎫---+=⎪⎝⎭，整理得：513122mm-++-=，去分母得：m﹣5+1+6﹣2m=2解得：m=0．点睛：此题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。