黄金分割.ppt

一、背景分析
（二）学生情况分析 对九年级学生而言，他们已经具备了一定的欣赏与审 美能力。但是由于生活经验不足，阅历不深，可能对 知识应用实际的过程理解不透彻。如何去设计美的图 案，学生并不是很清楚。因此在本堂课的教学过程中 我创设生动活泼，直观形象，且贴近他们生活的问题 情境，让学生更深层次的发现美；另一方面，学生已 经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、 合作交流的机会，促使他们主动参与、勤于动手、从 而乐于探究，通过学习黄金分割更好的创造美。因此 我将本节课的难点定为：黄金分割的概念及探究线段 黄金分割点的作法。
探索交流
二、合作交流，解读探究
活动一：2、量一量，算一算 学生观察教科书P70，3～12的正五角星，四人小组合作， 教师引导学生作有关测量（测量时尽可能精确，减少误 差）。
A
C
B
探索交流
二、合作交流，解读探究
活动一：3、再次测量分发下来大小不一的各种卡片上五 角星看是否也存在这一规律？
探索交流
探索交流
3、练习：判断正误
(
①) 如果点C是线段AB的黄金分割点，那AACB么
51 2
。
A
C
B
A
C
B
AA
C
CB
B
②如果 AC 5 1 ,那么点C是线段AB的黄金分割点。 （
AB 2
A
E
B
C
F
D
③如果点C在线段AB上，且AC 5 1
的黄金分割点。
AB 2
，那么点C是线段A （
探索交流
活动三、探究作 图
查阅 & 欣赏
一、创设情境，导入新课
优美激情的音乐下， 美丽迷人的模特儿 一下子就吸引了所 有学生的目光。适 时提问：你觉得模 特美吗？为什么你 觉得她美？

图中有两个锚点：小船 和凉亭，恰到好处的点 缀打破了原本很泛味的 对称。
我们当时只知道这些信 息。通过这次的研究性学 习我们知道了很多有关黄 金分割在生活中的应用。 太广了、太妙了、太不可 思议了。
那么生活中构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值 为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方 形）和２个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。
（24:36 = 5:7.5）
图A
原理2：
如图B：通过上述推导我们得
到了一个被认为很完美的矩形，连
接该矩形左上角和右下角作对角线，
然后从右上角向Y’点（黄金分割点，
见图A）作一线段交于对角线，这
图A
样就把矩形分成了三个不同的部分。
现在，在理论上已经完成了黄金分
割，下一步就可以将你所要拍摄的
景物大致按照这三个区域去安排，
饭吃六七成饱的几乎不生胃病。
高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发现，按0.618:1来设计腿 长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身 高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使 之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞 演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比
(5)、(6)手部*廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为 长；
(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左 右各三个）*廓：最大的近远中径 为宽，齿龈径为长。
面部黄金分割律
眉间点：发际－颏底间距上1/3与 中下2/3之分割点；

第二步：把这个
的方法折出一个正方形， 正方形折成两个相等的
然后把纸片展平；
矩形，再把纸片展平；
第三步：折出内 侧矩形的对角线AB
B
第四步：展平纸片，并将AN所 在直线与AB所在直线重合折叠， 折痕为AM，找到交点D。
A
第五步：展平纸片，折出AD的 垂线DE，得到矩形BCDE。
动画演示
结束语
证一证
矩形BCDE是黄金矩形吗？ 把BC的长度看作2，试着证一证
1
怎样将ME上的√5 – 1 长度
N 的线段转移到MN上呢？
折一折：
根据画法，想一想如何用折纸的方法 找到矩形长边MN的一个黄金分割点P.
√5
√5 – 1
注意MN的长不等于宽的2 倍
M √5 – 1 P
N
M
2
N
“蒙娜丽莎的微笑”中的黄金矩 形
希腊的巴特农神庙中的黄金矩形
折出黄金矩形
第一步：利用下图
若人的正常体温为36.5 摄氏度，那么最适宜的 温度应该是多少呢？
22.557
2.睡眠是人体休养生 息的重要一环。人最 理想的睡眠刚好是夜 晚12小时的0.618。
一天即一个昼夜24小时， 白昼和夜晚各为12小时， 那么你能算出人的最佳 睡眠时间吗？
7.416小时 计算器
一个为人什的么肚翩脐翩以起下舞的的高芭度蕾与舞身演高员的要比掂符起合脚黄?金分 割时为，什身么材身比材例苗才条最的协时调装，模也特就还最要好穿看高。跟鞋?
肚脐以下的高度 人的身高
≈0.618
身高 168cm 下身
103cm
身高 163cm 下身
99cm
身高 174cm 下身
107cm

3.在AB上截取AC=AE.
A
D E
CB
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
BD 1 ; AD
12


1
2


5 , AC AE
51
2
2 2
22
5 1, BC 1 AC 1 5 1 3 5 ;
2
2
2
5 1
3 5
AC 2 5 1, BC 2 3 5 2
美神维纳斯，她身体的各个 部位都暗藏比例0.618，虽然 雕像残缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6， 而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里 面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设 以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩 形面积为S2，则S1与S2的关系是（ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
B C A
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起 来就越美．
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但 这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468米.设计师在263米处 设计了一个球体，使平直 单调的塔身变得丰富多彩， 非常协调、美观.
人的俊美,体现在头部及躯 干是否符合黄金分割.
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题
意知 AC2 B≈6.2 cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端 点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点， 则AC=______cm，DC=_______cm.

∴
AB的黄金分割点 点E是AB的黄金分割点
解:2、矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 理由如下: 、矩形 的宽与长的比是黄金比,理由如下 的宽与长的比是黄金比 理由如下
∵
BC AB AE AB = AE AB
是黄金比 是黄金比
∴
BC AB
人体的几个黄金点： 人体的几个黄金点：肚脐上 部分的黄金点在咽喉， 部分的黄金点在咽喉，肚脐以下 部分的黄金点在膝盖， 部分的黄金点在膝盖，上肢的黄 金点在肘关节。 金点在肘关节。上肢与下肢长度 之比均近似0.618. 之比均近似0 618.
欣赏：我们身边的黄金分割 欣赏：
东方明珠塔， 东方明珠塔， C 文明古国埃 塔高462.85 B 462.85米 塔高462.85米.设计 及的金字塔， 及的金字塔， A 师在离地面295 295米处 师在离地面295米处 B 形似方锥， 形似方锥，大 设计了一个球体， 设计了一个球体， C 小各异。 小各异。但这 C 使平直单调的塔身 B 些金字塔底面 A 变得丰富多彩， 变得丰富多彩，非 著名画家达•芬奇的旷世名 著名画家达 芬奇的旷世名 的边长与高之 在礼品包装中，也经常用到黄金分割． 在礼品包装中，也经常用到黄金分割． 蒙娜丽莎》 美观. 常协调、 常协调、美观. 作《蒙娜丽莎》的构图完美的 摄影构图通常运用的三分法就是黄金分割的演变， 摄影构图通常运用的三分法就是黄金分割的演变， 体现了黄金分割在油画艺术上 比都接近于 京剧演员经常选择舞台宽度的一个黄金分割 把长方形画面的长、宽各分成三等分， 把长方形画面的长、宽各分成三等分，整个画面呈井字 的应用． 的应用． 0.618. 点作为出场亮相的位置． 点作为出场亮相的位置． 形分割，井字形分割的交叉点便是画面主体（视觉中心） 形分割，井字形分割的交叉点便是画面主体（视觉中心）

BC BE A AB BC
E
B
点E是线段AB的黄
金分割点吗？矩
形的A比B是CD黄的金宽比与吗长？D
F
C
2021/3/10
13
这样的矩形叫做黄金矩形。
找一找 请你举例说一说生活中的黄金分割现象。
2021/3/10
14
操作与应用
请你为本班设计一个班徽，要求班徽中 的图案包含黄金分割的现象。
2021/3/10
3
黄
黄金分割概念
如图，点 P把线段AB分成两条线段 AP和 BP ,
AP
如果 分割.
AB
BP AP
，那么称线段AB被点 P黄金
点 P叫做线段 AB的黄金分割点.
AP与 AB的比叫做黄金比.
AP 510.618A AB 2
2021/3/10
P
B
4
在图中，分别量出线段 AB、AC、BC的长度。
（1）分别计算 AC 与 BC 的值(精确到0. 1). AB AC
C
N
6
应用与欣赏 M
468m P ？
2021/3/10
N
2.这是上海东方明珠 电视塔，建设时，上球 体部分是整个塔身的黄 金分割点，则上球体到 塔底部的距离与整个塔 身高度的比值约为多少？
已知整个塔身的高 度为468m，请你算一算 上球体到塔底部的距离 大约是多少米？（精确
7
到0.1m）
应用与欣赏
1. 经过பைடு நூலகம் B作BDAB, 使BD 1 AB.
2
2. 连接 AD, 在DA上截 取 DEDB .
3. 在AB上截取ACAE.
点 C是线段A 2021/3/10 B的黄金分割点吗？

4.黄金矩形
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20
七、延伸美
1、判断：黄金分割点就是将一条线段分成大小不等的两条线
段的任一点。
（ ×）
2 .已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列等式成立
的是（ C ）A. AB2 = AP·PB C. AP2 = AB·PB
B. BP2 = AP·AB D. AP2= 2AB·PB
接近 0.618，越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的
芭蕾舞演员也达不到如此完美。某女士身高1.60m，下半
身0.95m,她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？（结果精
确到1cm)
x ≈10cm
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23
结束寄语
数学真的是奥妙无穷! 它来源于生活， 又应用于生活。 同学们,只要你善待自己的 眼睛,未来的科学家就可能是你!
B MN E
F
H
G
图中还能找出别的黄金分割点吗？ C
D
概念： 底和腰的比为黄金比的等腰三角形为黄金三角形。
腰和底的比为黄金比的等腰三角形称为亚黄金三角形。
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7
黄金矩形
这是古希腊的巴台农神庙，如果把图中
用红线表示的矩形画成矩形ABCD，并以
矩形ABCD的宽为边在内部作正方形AEFD，
那么我们可以惊奇地发现 BC AB
6、如果线段AB=2cm,点C是AB上的黄金分割点, 则AC之长是（5-1）或3（ - 5） cm.
7、一舞台宽10米，某主持人至少要走到离舞台一 侧 3.82 米远的地方，才能给观众留下好的印象。 （精确到0.01米） 8.黄金矩形长和宽的比是（ 5 1 ）
2
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±2
a，b的比例中项c的值为________．
3．【2023·广州】我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出
重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了( A )
A．黄金分割数
B．平均数
C．众数
D．中位数
比例中项及黄金分割
比例中项及计算
黄金分割及相关概念
黄金分割
黄金比的数值
历史上和自然界中的“黄金分割”
知识点 2 黄金分割及其应用
如图是意大利著名画家达·芬奇
(da Vinci，1452~1519年)的名画
《蒙娜丽莎》.
画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边
形BCEF为正方形. 量一量点F到点A，B的
距离.

与 相等吗？

.
A
.
P
.
B
如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP＞

PB，且

=

，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做

线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条
线段AB的比叫做黄金比.

例如，左图中，

=

，它们都是

黄金比，又因为BC=BF，所以矩形
ABCD的宽与长之比也是黄金比.
思考：如何应用一元二次方程的知识求出黄金比的数值?
A
E
B
黄金矩形的有关性质吗？
请与同学交流。
C
F
D
A
E
B
☆顶角为36°的等腰三角形称为
黄金三角形
D
☆点D是线段AC的黄金分割点.
C
☆再作∠C的平分线，交BD于E，
△CDE也是黄金三角形……

三、操作运用，巩固概念
试一试
东方明珠塔，塔高468米，在设计的最初，设计师将塔身设计为 直线形。后来为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观， 设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处，设计一个球体，请你计算 这个球体距离地面的高度（精确到0.1m）。
468×0.618≈289.2（m）
三、操作运用，巩固概念
再计算:
CD ABC
0.6. 1(8精确到0.001)
黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形 底边 与腰之比约为0.618;
E DD ☆点D是线段AC的黄金分割点.
B
C
黄金矩形：
如果矩形的长为a ,宽为b, 且满足条件：
b
b
5 1
a
2
a
那么此矩形称为黄金矩形。
课题：黄金分割
建 筑 中 的 神 秘 数 字
四、深化提高，继续探索
绘画艺术中的黄金分割
四、深化提高，继续探索
绘画艺术中的黄金分割
四、深化提高，继续探索
黄 金 分 割 在 摄 影 上 的 应 用
摄影中4条线的4个交点是人们视觉最敏感的地方。
四、深化提高，继续探索
找一找 你身边有黄金分割的实例吗？
四、深化提高，继续探索
应
N
用
黄
D
金
分
E
G
六、课堂小结
归纳小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
１、概念：黄金分割、黄金分割点、黄金比、 黄金三角形、黄金矩形； ２、方法（１）判断黄金分割点的方法
（２）作线段黄金分割点的方法。 ３、延伸：黄金分割在现实生活中的价值与意义。
六、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？ 你认为数学就是一种美的学科吗？