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因为矩形ABCD相似于矩形 BCFE则
推证
A
E
B
BE BC BC=AE BE AE BC AB AE AB
→ AE²=AB×BE
D
BC BE 或 BC AB
F
C
因此，点E是AB的黄金分割点，
是黄金比
即宽与长的比是黄金比,这样的矩形称之 为黄金矩形。
方法总结 :
证黄金分割点即证
长² =全×短
长=
5 -1 2
全
短= 3 -
5全
●
2
Q
P N
M
如图,点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP), (1)可得比例式
3- 5 5 -1 (2)若MN=1,则MP=____,NP=_____. 2 2
MP 等积式 ______, MP2=MN×PN MN
15 - 5 5 5 5 -5 (3)若MN=10,则MP=______,NP=______.
微笑》给了数以亿万计的 人们美的艺术享受。意大 利画家达芬奇在创作中大 量运用了黄金矩形来构图 。整个画面使人觉得和谐 自然，优雅安宁。
找一找：画中有几个 黄金矩形？
七 延伸美
科学研究表明,当人的下肢长与身高 之比为0.618时,看起来最美.某成年女 士身高为153cm,下肢长为92cm,她的高 跟鞋鞋跟最佳高度约为______cm(结果 精确到0.1cm).
AC BC 解：由, 得, AB AC
AC² =AB· BC
长 的值 全
A
x
1 －x
C B
设AB=1，AC=X,则BC=1-X ∴ X 2 1 (1 X ) 即:X2+X-1=0 解这个方程，得 所以，黄金比
AC 5 1 0.618 AB 2
1 5 1- 5 X1 ，X 2 (不合题意，舍去） 2 2
心动
不如行动
• 如图4-6,已知线段AB按 照如下方法作图:
自己找出 黄金分割点
D E
1.经过点B作BD⊥AB, 1 使 BD= AB
2
2.连接AD,在AD上截 取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.
• 即点C是线段AB的黄金分割点
如何找另一个黄金分割点呢？
A
C
B
方法总结 :
证黄金分割点即证
一 发现美
D ●
●
C B
A
二
探索美
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC
如果
AC BC 长 短 = ( ) AB AC 全 长
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫 做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的 比叫做黄金比.
计算黄金比实际上是求
例:计算黄金比
长² =全×短
长 5 -1 全 2
四
应用美
A E B
这是古希腊的巴台农神庙， 如果把图中用蓝线表示的矩 形画成矩形ABCD，并以矩形 ABCD的宽为边在内部作正方 形AEFD，那么我们可以惊奇 地发现 两个矩形相似
1.点E是AB的黄金分割点吗?
D
F
C
2.矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗?
1.点E是AB的黄金分割点吗? AE²=AB×BE 2.矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗?
三 创造美
长 5 -1 全 2
E
D
∟
A C B 如图,已知线段AB,DB⊥AB 于B,在DA上截取DE=DB,在AB上截取AC=AE, 5 1 5 (1)若AB=2,BD=1,则AD=____,AC=______,
AC AB
5 1 黄金分割点. 2 则C是线段AB的________
(2)若AB=2a,BD=a 则C还是黄金分割点吗? 若 则C即为AB的黄金分割点.
解，设高跟鞋的高度为xcm则由题意有
92 x 0.618 153 x
挑战自我
• 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°， CE平分∠ACB交AB于点E， （1）试说明点E为线段AB的黄金分割点； （2）若AB=4，求BC的长．
八 思想美
3- 5 5 -1 a a (4)若MN=a,则MP=______,NP=______. 2 2
长=
幸运闯关
5 -1 2
全
短= 3 -
5全
●
2
Q
P N
M
如图,点P是线段MN的黄金, (1)若MN=2,则MP= 5 1或3 5 (2)图中相等的线段有 MP=NQ MQ=NP
（3）MN=2,则PQ= 2 5 4
长 5 -1 全 2
生活中运用美
你学会了如何运用美呢？谈谈你的想法？
五
留住美
谈谈你对黄金分割的收获与体会。
1.一条线段，一个矩形 2.两个分点，两个数字
3.三个等量，三步作出线段的黄金分 割点 4.美中有数学，数学中有美
六 欣赏美
黄金矩形的“迷人面容”----蒙娜 丽莎的微笑。 这幅《蒙娜丽莎的
