实变函数复习重点

实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。

一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。

（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。

（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。

2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。

（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。

（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。

（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。

（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。

（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。

二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。

常数函数的图像是一条水平直线。

（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。

当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。

（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。

指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。

（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。

对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。

（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的图像具有周期性。

2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。

（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。

平移变换可以改变函数图像的位置。

（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。

实变函数知识点总结免费1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

在实变函数中，函数通常表示为f: A→B，其中A和B分别是定义域和值域。

函数的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在后续的分析中都将扮演重要的角色。

2. 极限与连续性极限是实变函数理论中极为重要的概念之一。

它描述了函数在某一点附近的趋势，是理解函数性质的基础。

极限的定义、性质和计算是实变函数学习的重点内容，包括无穷极限、级数与收敛性等相关内容。

连续性是指函数在某一点的连续性，它与极限息息相关，是实变函数理论中另一个重要的概念。

3. 可导性与微分可导性描述的是函数在某一点的导数存在性，微分则是对函数的导数进行研究的一部分。

在实变函数中，可导性的概念包括了导数的存在与连续性、高阶导数及其性质等。

微分则包括了微分中值定理、泰勒公式、泰勒展开等重要内容。

4. 积分与微积分基本定理积分是实变函数理论中的另一个核心内容，包括定积分和不定积分。

微积分基本定理是积分理论的基础，它描述了积分与导数之间的关系，是理解积分性质的重要定理。

在实变函数中，积分的性质、计算方法以及应用都是学习的重点。

5. 序列与级数序列与级数是实变函数理论中的另一个重要概念，它描述了函数在无穷情况下的性质。

序列的极限、级数的收敛性和性质是实变函数学习的重点内容，也是分析理论的基础之一。

6. 函数空间与泛函分析函数空间与泛函分析是实变函数理论的高级内容，它描述了函数集合的结构和性质。

在这一部分中，将研究函数的收敛性、完备性、紧性等概念，探讨函数空间的结构和代数性质，这是实变函数理论的深入内容，也是数学分析的重要分支。

以上是实变函数理论的主要知识点总结，实变函数理论涉及范围广泛，内容丰富，需要学生在学习过程中多多练习和实践，加深对概念和理论的理解，提高数学建模和问题解决能力。

实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。

本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。

2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。

二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。

2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。

常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。

导数的定义是函数在该点的极限值。

2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。

微分可以用来估计函数值的变化。

四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。

常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。

2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。

五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。

不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。

2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。

定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。

六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。

实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。

实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。

实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。

以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。

而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。

3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。

如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。

4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。

5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。

积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。

6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。

如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。

7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。

如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。

以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。

定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ

第二章点集
1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；
聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；。

实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。

在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。

一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。

它以实数为自变量，实数为函数值。

实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。

二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。

2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。

3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。

如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。

4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。

五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。

三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。

2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。

解：∵Q为一可数集合，∴=0.
对于，∵
∴ （外测度的次可列可加性）①
另一方面，∵，∴（单调性），
，∴。
又∵，∴（单调性）
∴
②
由①、②知： 即卡氏条件成立，
∴ Q为可测集，∴ .
第四章 可测函数
一、基本概念：可测函数.， 重要的可测函数：简单函数，连续函 数；依测度收钦，命题几乎处处成立
1、可测函数的定义：设是定义在可测集上的实函数，若对于任何
充分性：已知对任一有理数可测，下面只须证明对任一无理数， 点集E[f ＞]可测. 取一递增的有理数列：且， ∵，已知 可测，.∴ 可测（可测个可测集的交集仍可测）, 即可测, 由可 测函数的等价条件知点集E[f ＞] 也可测.
所以，对任意有限实数，点集都可测，由定义知在E上可测.充分 性成立.
综合两方面的证明知，命题得证. 2、试述可测函数的定义，答案见§1定义1.
1勒贝格外测度的定义：设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开 区间，作出它的体积和（可以等于+∞，不同的区间列一般有不同 的），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确量（由E完全 确定）称为E的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为，即：
注：由定义1知：中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E为中点集，若对任一点集T都有
注意：依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.
二、基本理论 1可测函数的充要条件 定理1、设是定义在可测集E上的实函数，下列任一条件都是在E上 可测的充要条件： 1）对任何有限实数，E[≥]都可测； 2）对任何有限实数，E[＜]都可测； 3）对任何有限实数，E[≤]都可测； 4）对任何有限实数a ，b（a＜b），E [a≤f＜b ]都可测（充分性要假 定是有限函数）

实变函数复习要点实变函数是指定义域为实数集，值域为实数集的函数。

在复习实变函数的要点时，我们可以从以下几个方面入手：1.函数的定义与表示：回顾函数的基本定义，即一个变量映射到唯一的函数值。

再回顾函数的表示方法，如函数图像、表达式、数列等。

2.函数的性质与分类：函数常具有有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。

了解这些性质的定义，并学会根据给定条件判断函数的性质。

另外，实变函数可分为初等函数和非初等函数，初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

3.基本运算：复习函数的基本运算法则，包括函数的加减乘除、复合函数和反函数等。

了解这些运算方法可以帮助我们进行函数的简化与分析。

4.函数的极限：函数的极限是函数理论中的重要概念。

复习函数的极限定义与相关定理，如极限的唯一性、有界性、保序性、四则运算法则等。

还要学会计算函数的极限，并理解极限的几何和物理意义。

5.函数的导数与微分：复习导数的定义与性质，包括导数的存在性、可导性与连续性之间的关系，以及导数的基本运算法则。

进一步学习高阶导数、隐函数与参数方程的导数，并应用导数进行函数的近似与最值计算。

6.函数的积分与不定积分：再次回顾函数积分的定义与常见的积分法则，如分部积分法、换元积分法等。

学习计算函数的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。

7.函数的级数表示与展开：了解函数级数的定义与相关定理，如函数级数的收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。

学习级数展开及其应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。

8.函数的图像与应用：绘制函数的图像，了解函数在不同区间的特点和行为。

掌握函数在各种应用问题中的求解方法，如函数的最值、极值与拐点、函数的增减性与凹凸性、函数的模型建立与优化等。

9.常见函数的特殊性质与应用：通过实例了解部分特殊函数的性质与应用，如阶乘函数、取整函数、莫比乌斯函数等。

10.综合应用与思考：通过解答真实问题和综合应用题，巩固所学的实变函数的知识，培养动手实践能力和思考能力。

A3
A*
A
f
gfg f
B1
B2
B3
B
B*
Bernstein定理的证明
A1
A2
A3
A*
A
f
gfg f
B1
B2
B3 B*
B
由g(B) A*知A2 g(B1) A*,而A1 A \ A*，故A1与A2不交
从而A1, A2在f的象B1, B2不交 B1, B2在g下的象A2 , A3不交
由A3 A*,知A1与A3不交,故A1, A2 , A3两两不交
即：若A B, B A,则A B.)
注：要证A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射； 而要证A B，只需找一个单射即可；从而我们把找既单 又满的映射转化找两个单射。
Bernstein定理的证明
引理：设{A : }，{B : }是两个集族, 是一个 指标集，又 , A ~ B ,而且{A : }中的集合 两两不交,{B : }中的集合两两不交，那么：
为C的原像集，记作f 1(C)( f 不一定有逆映射)，则有：
1)C D f 1(C) f 1(D);
2) f 1(C 3) f 1(C
D) f 1(C) D) f 1(C)
f 1(D),一般地有：f 1( C ) f 1(C );
f 1(D),一般地有：f 1( C ) f 1(C );
定理1：设f : X Y , A, B, A ( )是X的子集，
称{ f (x) : x A}为A的像集，记作f ( A),则有：
1) A B f ( A) f (B);
2) f ( A 3) f ( A
B) f ( A) B) f ( A)
f (B),一般地有：f ( A ) f ( A );

《实变函数》复习资料1一单选题1. 设是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（）A. 在[a,b]上的一致连续函数B. 在[a,b]上处处可导C. 在[a,b]上L可积D. 是有界变差函数2. 设是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是（）A. 若,则B. 是可测函数C. 是可测函数D. 若,则可测．3. 若是可测函数，则下列断言（）是正确的（）A.B.C.成考复习资料D.4. 下列断言中( )是错误的（）A. 零测集是可测集B. 可数个零测集的并是零测集C. 任意个零测集的并是零测集D. 零测集的任意子集是可测集5. 设是 [a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）A. 在[a,b]上有界B. 在[a,b]上几乎处处存在导数；C. 在[a,b]上L可积；D.二填空题6. 设，则________________________ （）7. 设若________________________,则称是E的聚点. （）8. 设P为Cantor集，则mP=_________________ （）9. 设是E上几乎处处有限的可测函数列, 是E上几乎处处有限的可测函数,若 , 有________________________, 则称在E上依测度收敛于 . （）10. 设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集, 则 ________________________（）三、名词解释1. Jordan分解定理2. 伯恩斯坦定理3. Levi定理4. Fatou引理四、计算题1.2.成考复习资料答案一、单选题1-5 BAACD 5-10二、填空题123 045 b-a三、名词解释1. Jordan分解定理 : 在上的任一有界变差函数都可表示为两个增函数之差.2. 伯恩斯坦定理：设A，B是两个非空集合. 如果A对等于B的一个子集，又B对等于A的一个子集，那么A对等于B.3. Levi定理：设是可测集E上的一列非负可测函数，且对任意 ,,令则4. Fatou引理：设是可测集E上一列非负可测函数,则四、计算题1.2.成考复习资料《实变函数》 复习资料2一、计算题1、设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=0302]1,0[,)(P x x P x x x f ，，其中0P 为Cantor 集，计算⎰]10[)(，dm x f ．2、求极限0ln()lim cos xnx n e xdx n∞-+⎰． 二、证明题1、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集．2、设在E 上)()(x f x f n ⇒,而..)()(e a x g x f n n =成立, ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ⇒．3、设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)4、在有限闭区间],[b a 上的单调有限函数)(x f 是有界变差函数．成考复习资料答案一、计算题1、设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=0302]1,0[,)(P x x P x x x f ，，其中0P 为Cantor 集，计算⎰]10[)(，dm x f 。

天津市考研数学复习资料实变函数重要定理总结实变函数是数学分析中的重要概念，它是研究实数域上的函数的性质与性质变化规律的数学工具。

实变函数理论体系庞大而复杂，其中包含了许多重要定理。

本文将对天津市考研数学复习资料中实变函数的重要定理进行总结，并对每个定理进行简要说明。

1. 有界性定理对于实变函数f(x)而言，如果它在区间[a, b]上连续，则它在该区间上有界。

即存在一个常数M，使得对于该区间上的任意x，总有|f(x)|≤ M。

有界性定理是实变函数理论中的基础定理，可以帮助我们判断实变函数在某个区间上的性质。

2. 增量极限定理对于实变函数f(x)，如果在点x=a处可导，则f(x)在该点的导数f'(a)正是它的增量极限。

即lim┬(x→a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗=f'(a)。

增量极限定理是求导运算的基础定理，通过该定理可以求得函数在某点处的斜率或变化率。

3. 矩阵不等式对于实变函数f(x)，如果它在区间[a, b]上连续且存在M>0，使得对于该区间上的任意x，总有|f'(x)|≤ M，则称f(x)在该区间上满足矩阵不等式。

矩阵不等式的存在性可以帮我们判断实变函数在某个区间上的变化趋势。

4.柯西-施瓦茨定理对于实变函数f(x)和g(x)，如果它们在区间[a, b]上连续且可导，则它们的乘积f(x)g(x)在该区间上可导，并且有(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

柯西-施瓦茨定理是实变函数理论中的重要定理，通过该定理我们可以求得两个函数的乘积的导数。

5. 黎曼定理对于实变函数f(x)，如果它在区间[a, b]上连续且可导，则它在该区间上必然满足黎曼定理，即必然满足定积分与原函数的关系。

∫_a^b▒〖f'(x)dx＝f(b)-f(a)〗。

黎曼定理是实变函数理论中的基础定理，可以帮助我们计算函数的定积分。

6. 泰勒定理对于实变函数f(x)，如果它在点x=a处连续且存在n阶导数，则可将f(x)在该点泰勒展开，即f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+(1/n!)(d/dx)^n⁡[f(x)]_(x=a)(x-a)^n。

（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。

即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。

即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。

我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。

它的定义域和值域都是实数集。

二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。

例如：y = x²，y = sin(x)等。

2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。

例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。

三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。

2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。

连续性可以用极限的概念来描述。

3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。

微分则是导数的微小变化。

4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。

5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。

6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。

四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。

2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。

3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。

4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。

总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。

通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。

了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。

实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判
；
:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则 称z为E的
:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；
、Cantor集的构造和性质；
①第四章习题7；
、依测度收敛的定义、简单的证明；
、具体函数列依测度收敛的验证；
、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；
积 分 论
、非负简单函数L积分的定义；
①Direchlet函数在1上的L积分
、可测函数L积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；
、练习： ①P ，P ，P ；
111,,,,
n= ；
测 度 论
、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；
、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
；可数可加性（注意条件）；
、 零测度集的例子和性质；
实变函数论主要知识点
第一章 集 合
、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限；
①证明ABCABC；
1[][]nEfaEfan；
、 对等与基数的定义及性质；
①证明(0,1)；
(0,1)[0,1]；
3,()
xxfxx为无理数为有理数 ，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，
1、求由曲线2cos,sin22所围图形公共部分的面积
5,22,6,22
4
2d2cos21dsin2212S