[考研类试卷]考研数学二(二次型)模拟试卷4.doc
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[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设矩阵，则矩阵A与B( )
（A）合同，且相似．
（B）合同，但不相似．
（C）不合同，但相似．
（D）既不合同，也不相似．
2 下列二次型中是正定二次型的是( )
（A）f1=(x1一x2)2+(x2一x3)2+(x3一x1)2．
（B）f2=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2．
（C）f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3一x4)2+(x4一x1)2．
（D）f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4一x1)2．
3 设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B，再将B的i行和j行对换得到C，则A与C( )
（A）等价但不相似．
（B）合同但不相似．
（C）相似但不合同．
（D）等价，合同且相似．
4 下列矩阵中，正定矩阵是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
5 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ) （A）二次型x T Ax的负惯性指数为零．
（B）存在可逆矩阵P使P一1AP=E．
（C）存在n阶矩阵C使A=C一1C．
（D）A的伴随矩阵A*与E合同．
6 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( ) （A）
（B）
（C）
（D）
7 n元实二次型正定的充分必要条件是( )
（A）该二次型的秩=n．
（B）该二次型的负惯性指数=n．
（C）该二次型的正惯性指数=官的秩．
（D）该二次型的正惯性指数=n．
8 下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )
（A）A一1正定．
（B）A没有负的特征值．
（C）A的正惯性指数等于n．
（D）A合同于单位阵．
9 关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( ) （A）是正定的．
（B）其矩阵可逆．
（C）其秩为1．
（D）其秩为2．
10 设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( ) （A）X T(A+B)X
（B）X T A一1X
（C）X T B一1X
（D）X T ABX．
11 设A，B为正定阵，则( )
（A）AB，A+B都正定．
（B）AB正定，A+B非正定．
（C）AB非正定，A+B正定．
（D）AB不一定正定，A+B正定．
12 实对称矩阵A的秩等于r，它有t个正特征值，则它的符号差为( )
（A）r．
（B）t一r．
（C）2t一r．
（D）r一t．
13 f(x1，x2，x3)=x12一2x1x2+4x32对应的矩阵是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题
14 设f=x12+x22+5x32+2ax1x2—2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是
________．
15 二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x2+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是
_________．
16 若二次曲面的方程为x2+3y2+x2+2axy+2xz+2yx=4，经正交变换化为y12+4z12=4，则a=_________．
17 设则二次型的对应矩阵是__________．
18 二次型f(x1，x2，x3，x4)=x32+4x42+2x1x2+4x3x4的规范形是___________．
19 若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是__________．
20 设A是3阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________．
21 设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+A T A是正定阵，则a的取值范围是______.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21 f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2．
22 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；
23 指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何种二次曲面．
24 n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间．给出n阶可逆矩阵P，以A表示V中的任一元素，试证合同变换TA=P T AP，是V中的线性变换．
25 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B T为B的转置矩阵，试证：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．
25 写出下列二次型的矩阵：
26
27
28 设二次型x12+x22+x32一4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+6y32，求a，b的值及所用正交变换．
28 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
29 求a的值；
30 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；
31 求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
31 设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n 矩阵．
32 计算P T DP，其中
33 利用(1)的结果判断矩阵B—C T A一1C是否为正定矩阵，并证明结论．
34 设矩阵有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使
(AP)T(AP)为对角矩阵．
35 求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy一4xz—10yz=1化成标准方程．
36 证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A=U T U，即A与单位阵E合同．
36 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3．
37 求二次型f的矩阵的所有特征值；
38 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．
38 已知二次型f(x1，x2，x3)=x T(A T A)x的秩为2，
39 求实数a的值；
40 求正交变换x=Qy，将f化为标准形．
40 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，设
41 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
42 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y22+y22。
