[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷365.doc

考研数学二（线性代数）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B) 知识模块：线性代数部分2．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则( )．A．r>mB．r=mC．r<mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n<m，所以选(C) 知识模块：线性代数部分3．设n维列向量组α1，α2，…，αm(m0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D) 知识模块：线性代数部分5．下列说法正确的是( )．A．任一个二次型的标准形是唯一的B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的正确答案：D解析：(A)不对，如f=x1x2，令，则f=y12-y22；若令，则f=y12-9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．知识模块：线性代数部分填空题6．设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=_______．正确答案：解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E= 知识模块：线性代数部分7．设A=，则A-1=_______．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分8．设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=_______．正确答案：2解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分9．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3线性相关，则a=_______正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，所以，解得a=5．知识模块：线性代数部分10．设方程组无解，则a=_______．正确答案：-1解析：因为方程组无解，所以r(A))≤3，于是r(A)r(A)=r()=2，因为r(A)≠r()，所以方程组无解，于是a=-1．知识模块：线性代数部分11．设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A*)2+3A*+2E有特征值_______．正确答案：解析：因为A可逆，所以λ0≠0，A*对应的特征值为，于是(A*)2+3A*+2E 对应的特征值为知识模块：线性代数部分12．设的特征向量，则a=_______，b=_______．正确答案：2，3解析：由Aα=λα得解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数部分13．设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______正确答案：解析：令β1=，β3=α3，正交规范化的向量组为知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．正确答案：因为x2+x3+o(x3)，cosx=x2+o(x3)，从而x2-x2+x3-x3+o(x3)=1+x2-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用2．求e-x2带皮亚诺余项的麦克劳林公式．正确答案：把t=-x2代入et=1+t++o(tn)(t→0)即得e-x2=1-x2+o(x2n)(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用3．求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．正确答案：由于(arctanx)’==1-x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得arctanx=∫0x=∫0x(1-t2+t4)dt+o(x6)=x-x3+x5+o(x6)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．求极限正确答案：因x4+o(x4)，cosx-ex2=-(1+x2)+o(x2)=x2+o(x2)．又sinx2～x2(x →0)，所以涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．正确答案：利用ex2=1+x2++o(x5)，sinx=x-+o(x6)，可得f(x)=x-[a+b+bx2+x4+o(x5)]+o(x6)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)．不难看出当1-a-b=0与-b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=，并且得到f(x)=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设0＜x＜正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式cosx=1-x4cos(θx)，0＜θ＜1，可得1-cosx=x2(x2cosθx)．注意当0＜x＜，故涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，a，b为非负数，求证：∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b.正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈[0，1]，∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+f’’(ξ)(x-c)2，(*)其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(-c)+f’’(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+f’’(ξ2)(1-c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)-f(0)=f’(c)+[f’’(ξ2)(1-c)2-f’’(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)-f(0)+[f’’(ξ1)c2-f’’(ξ2)(1-c)2]，两端取绝对值并放大即得｜f’(c)｜≤2a+b[(1-c)2+c2]≤2a+b(1-c+c)=2a+b．其中利用了对任何c∈(0，1)有(1-c)2≤1-c，c2≤c，于是(1-c)2+c2≤1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用9．设f(x)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得f(b)=f(a)+(b-a)2f’’’(ξ)．正确答案：将f(x)在x0=展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得其中ξ1，ξ2∈(a，b)．上面两式相减得f(b)-f(a)=[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)](b-a)3．注意：[f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)]介于f’’’(ξ1)与f’’’(ξ2)之间，由导函数取中间值定理，可得∈(a，b)，使得因此得证．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(x)=tanx(x3)；(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．正确答案：(Ⅰ)设tanx=A+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx为奇函数，A0=0，A2=0)，又tanx=，则[A1x+A3x3+o(x3)][1-x2+o(x3)]=x-x3+o(x3)，即A1x+(A3-A1)x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．比较系数可得A1=1，A3-A1=A1=1，A3=因此tanx=x+x3+o(x3)．(Ⅱ)已知sinu=u-a3+o(u3)(u→0)，令u=sinxsin(sinx)=sinx-sin3x+(sin3x)．再将sinx=x-x3+o(x3)，代入得sin(sinx)=x3+o(x3)=x-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用11．求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(x)=(Ⅱ)f(x)=exsinx．正确答案：通过求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)及f(n+1)(x)而得．(Ⅰ)由f(x)=，可得对m=1，2，3，…有f(m)(x)=2(-1)mm!f(m)(0)=2(-1)mm!．故f(x)=1-2x+2x2-…+2(-1)nxn+2(-1)n+1(Ⅱ)用归纳法求出f(n)(x)的统一公式．可归纳证明f(n)(x)=，n=1，2，…，因此涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用12．用泰勒公式求下列极限：正确答案：(Ⅰ)用et，ln(1+t)，cost，sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0展开．由于xcosx=x[1-x2+o(x2)]=x-x3+o(x3)，sinx=x-x3+o(x3)，因此，xcosxsinx=x3+o(x3)=x3+o(x3)．再求分子的泰勒公式．由x2e2x=x2[1+(2x)+o(x)]=x2+2x3+o(x3)，ln(1-x2)=-x2+o(x3)，x2e2x+ln(1-x2)=2x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由ln(1+x)=x-x2+o(x2)(x→0)，令x=，即得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用13．用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：(Ⅰ)(Ⅱ)∫0x(et-1-t)2dt．正确答案：(Ⅰ)=x2+o(x2)，因此当x→0时是x的二阶无穷小量．(Ⅱ)因et-1-t=t2+o(t2)，从而(et-1-t)2=[ t2+o(t2)]2=t4+o(t4)，代入得∫0x)(et-1-t)2dt=x5+o(x5)．因此x→0时∫0x(et-1-t)2dt是x的五阶无穷小量．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用14．设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0，｜f’’’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证F’’(X)在(0，+∞)上有界．正确答案：分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形．1)当x＞1时考察二阶泰勒公式f(x+1)=f(x)+f’(x)+(x＜ξ＜x+1)，f(x-1)=f(x)-f’(x)+f’’’(η)(x-1＜η＜x)，两式相加并移项即得f’’(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+[f’’’(η)-2f’’’(ξ)]，则当x＞1时有｜f’’(x)｜≤4M0+M3．2)当0＜x≤1时对f’’(x)用拉格朗日中值定理，有f’’(x)=f’’(x)-f’’(1)+f’’(1)=f’’’(ξ)(x-1)+f’’(1)，其中ξ∈(x，1)．｜f’’(x)｜≤｜f’’’(ξ)｜｜x-1｜+｜f’’(1)｜≤M3+｜f’’(1)｜(x∈(0，1]).综合即知f’’(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用15．设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)，f(x)=f(1)+f’(1)(x-1)+f’’(ξ2)(x-1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取x=并利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得f’’(ξ1)-f’’(ξ2)=8｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ2)｜≥8．故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f’’(ξ)｜≥4．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用16．设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：正确答案：这里m=1，求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得f’(x0+θh)=f’(x0)+f’’(x0)θh+f(3)(x0)(θh)2+…+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)=f’(x0)+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0)，代入原式得(x0+h)-f(x0)=hf’(x0)+f(n)(x0)θn-1hn+o(hn) ①再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)h+…+f(n)(x0)hb+o(hn)=f’(x0)h+f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)，②将②代入①后两边除以hn得令h→0，得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用17．求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=(x3)；(Ⅲ)f(x)=，其中a＜0 (x2)．正确答案：(Ⅰ)ex=1+x+x3+o(x3)，cosx=1-x2+o(x3)，相乘得excosx=1+x+x3+o(x3)=1+x-x3+o(x3)．(Ⅱ)f(x)=[1-x+x2-x3-(1+2x+(2x)2+(2x)3)+o( x3)]=(-3x-3x2-9x3)+o(x3)=-x-x2-3x3+o(x3)．(Ⅲ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用18．求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=sin3x；(Ⅱ)f(x)=xln(1-x2)．正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用19．确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=ex-1-x-xsinx；(Ⅱ)f(x)=cosx-1．正确答案：(Ⅰ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1+x++o(x3)-1-x-x3+o(x3)，所以x→0时ex-1-x-xsinx是x的3阶无穷小．(Ⅱ)用泰勒公式确定无穷小的阶．原式=1-x4+o(x4)，所以x→0时cosx+cosx-1是x的4阶无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用20．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)(用泰勒公式)由于当x→0时分母是x3阶的无穷小量，而当x →0时ex=1+x++o(x3)，sinx=x-+o(x3)，从而当x→0时，exsinx=x+x2+x3+o(x3)，exsinx-x(1+x)=x3+o(x3)．因此(Ⅱ)由于f(x)=arctanx在点x=0有如下导数因此当x →0时f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’’(0)x3+o(x3)，arctanx=x-x3+o(x3)arctanx-sinx=x3+o(x3)，ex2-1=1+x2++o(x4)-1=x2+o(x3)，ln(1+x)=x-+o(x2)，[ln(1+x)]2==x2-x3+2xo(x2)-x2o(x2)++[o(x2)]2=x2-x3+o(x3)，[ln(1+x)]2-ex2+1=-x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用21．确定常数a和b的值，使得正确答案：(用泰勒公式)因为ln(1-2x+3x2)=-2x+3x2-(-2x+3x2)2+o((-2x+3x2)2)=-2x+3x2-2x2+o(x2)=-2x+x2+o(x 2)，于是可以改写为由此即得a-2=0，b+1=6，故a=2，b=5．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用22．设f(x)=x2sinx，求f(n)(0)正确答案：f(x)=x2+o(x2n+2)，f(2n+1)(0)=(-1)n-1.(2n+1)!=(-1)n-1(2n+1)2n，n=1，2，…f(2n)(0)=0，n=1，2，…，f(1)(0)=0．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用23．设f(x)在x=0处二阶可导，又I==1，求f(0)，f’(0)，f’’(0)．正确答案：由题设易知，[ef(x)-1]=0，且＞0，0＜｜x｜＜δ时f(x)≠0．进一步有=f(0)=0．由ef(x)-1～f(x)，cosx-1～x2(x→0)．用等价无穷小因子替换．原条件改写成=1．由极限与无穷小关系得，x→0时=1+o(1)，(o(1)为无穷小)，即xf(x)=x2+o(x2) (x→0)．由泰勒公式唯一性得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=.2!=-1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用24．设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．正确答案：f(x)在x=a可展开成f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+…+f(n)(a)(x-a)n+o((x-a)n)(x→a)．由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小(a)=f’(a)=…=f(n-1)(a)=0，f(n)(a)≠0．又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导，f(n-1)(x)在x=a可导．由g(x)=f’(x)在x=a处n-1阶可导g(x)=g(a)+g’(a)(x-a)+…+g(n-1)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)，即f’(x)=f’(a)+f’’(a)(x-a)+…+f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)=f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)．因此f’(x)是x-a的n-1阶无穷小(x→a)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用25．设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．正确答案：f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2+f’’’(a)(x-a)3+f(4)(a)(x-a)4+o((x-a)4)=f(4)(a)(x-a)4+o ((x-a)4)=(x-a)4[ f(4)(a)+o(1)]其中o(1)为无穷小量(x→a时)，因此，＞0，当0＜｜z-a｜＜δ时因此f(4)(a)＞0(＜0)时f(a)为极小(大)值．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用26．设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．正确答案：相交与相切即f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)．若又有曲率相同，即亦即｜f’’(x0)｜=｜g’’(x0)｜．由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)=g’’(x0)=0或f’’(x0)与g’’(x0)同号，于是f’’(x0)=g’’(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率f(x0)-g(x0)=0，f’(x0)-g’(x0)=0，f’’(x0)-g’’(x0)=0．f(x)-g(x)=f(x0)-g(x0)+[f(x)-g(x)]’｜x=x0(x-x0)+[f(x)-g(x)]’’｜x=x0(x-x0)2+o(x-x0)2=o((x-x0)2) (x→x0)．即当x→x0时f(x)-g(x)是比(x-x0)2高阶的无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用。

考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A、B、A+B、A-1+B-1均为n阶可逆方阵，则(A-1+B-1)-1等于A．A-1+B-1B．A-BC．A(A+B)-1BD．(A+B)-1正确答案：C解析：因(A-1+B-1)EA(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E，故(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B．知识模块：矩阵2．设n维行向量α=，矩阵A=I-αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则AB=A．0B．-IC．ID．I+αTα正确答案：C解析：ααT=()2+()2=，AB=(I-αTα)(I+2αTα)=I+2αTα-αTα-2αT(ααT)α=I+αTα-αTα=I，故(C)正确．知识模块：矩阵3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，则成立A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：当同阶方阵P、Q满足PQ=E时，有QP=E．故E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA．知识模块：矩阵4．设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，且｜A｜=a≠0，则｜A*｜=A．aB．C．an-1正确答案：C解析：由AAα*=｜A｜E两端取行列式，得｜A｜｜Aα*｜=｜A｜αn-1，｜Aα*｜=｜A｜αn-1=aαn-1．知识模块：矩阵5．设则成立A．AP1P3=BB．AP2P1=BC．P1P2A=BD．P2P1A=B正确答案：C解析：B可看作A作下列初等行变换得到的：先将A的第1行加到第3行——对应初等矩阵为P2，再将所得矩阵的1、2两行互换一一对应初等矩阵为P1，于是由初等变换与初等矩阵的关系，得B=P1P2A．知识模块：矩阵6．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩为1．则必有A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0．C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b且a+2b≠0．正确答案：C解析：由条件知0=｜A*｜=｜A｜2，0=｜A｜=(a+2b)(a-b)2，a=-2b或a=b，若a=b，则A*=O，与r(A*)=1矛盾，故必有a≠b且a+2b=0．知识模块：矩阵7．已知矩阵A相似于矩阵B=，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于A．2B．3C．4D．5正确答案：C解析：由条件知存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，P-1(A-2E)P=P-1AP-2E=B-2E，即A-2E与B-2E相似，故有r(A-2E)=r(B-2E)==3，同理知r(A-E)=r(B-E)=1，故r(A-2E)+r(A-E)=3+1=4．知识模块：矩阵8．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11等于A．B．D．正确答案：A解析：由已知的A*=AT，即，得aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式．于是由行列式按行展开法则得｜A｜=a1jA1j=a1i2=3a112＞0，再由A*=AT两端取行列式，得｜A｜=｜A｜2，｜A｜=1，故得3a112=1，a11=. 知识模块：矩阵填空题9．设A=，B=P-1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004-2A4=______.正确答案：解析：由于A2=，2A2=，A4=(A2)2=E，A2004=(A4)501=E501=E，故B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=E-2A2= 知识模块：矩阵10．设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1。

[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设矩阵，则矩阵A与B( )（A）合同，且相似．（B）合同，但不相似．（C）不合同，但相似．（D）既不合同，也不相似．2 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f1=(x1一x2)2+(x2一x3)2+(x3一x1)2．（B）f2=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2．（C）f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3一x4)2+(x4一x1)2．（D）f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4一x1)2．3 设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B，再将B的i行和j行对换得到C，则A与C( )（A）等价但不相似．（B）合同但不相似．（C）相似但不合同．（D）等价，合同且相似．4 下列矩阵中，正定矩阵是( )（A）（B）（C）（D）5 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ) （A）二次型x T Ax的负惯性指数为零．（B）存在可逆矩阵P使P一1AP=E．（C）存在n阶矩阵C使A=C一1C．（D）A的伴随矩阵A*与E合同．6 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( ) （A）（B）（C）（D）7 n元实二次型正定的充分必要条件是( )（A）该二次型的秩=n．（B）该二次型的负惯性指数=n．（C）该二次型的正惯性指数=官的秩．（D）该二次型的正惯性指数=n．8 下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )（A）A一1正定．（B）A没有负的特征值．（C）A的正惯性指数等于n．（D）A合同于单位阵．9 关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( ) （A）是正定的．（B）其矩阵可逆．（C）其秩为1．（D）其秩为2．10 设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( ) （A）X T(A+B)X（B）X T A一1X（C）X T B一1X（D）X T ABX．11 设A，B为正定阵，则( )（A）AB，A+B都正定．（B）AB正定，A+B非正定．（C）AB非正定，A+B正定．（D）AB不一定正定，A+B正定．12 实对称矩阵A的秩等于r，它有t个正特征值，则它的符号差为( )（A）r．（B）t一r．（C）2t一r．（D）r一t．13 f(x1，x2，x3)=x12一2x1x2+4x32对应的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题14 设f=x12+x22+5x32+2ax1x2—2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是________．15 二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x2+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是_________．16 若二次曲面的方程为x2+3y2+x2+2axy+2xz+2yx=4，经正交变换化为y12+4z12=4，则a=_________．17 设则二次型的对应矩阵是__________．18 二次型f(x1，x2，x3，x4)=x32+4x42+2x1x2+4x3x4的规范形是___________．19 若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是__________．20 设A是3阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________．21 设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+A T A是正定阵，则a的取值范围是______.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。