[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷288.doc

考研数学（数学二）模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)为R上不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=f(x)/x( )．A．在x=0处左极限不存在B．有跳跃间断点x=0C．在x=0处右极限不存在D．有可去间断点x=0正确答案：D解析：由题设，f(-x)=-f(x)，则有f(0)=0，从而即g(x)在x=0处极限存在，但x=0时g(x)无定义，因此可补充定义g(0)=f’(0)，则g(x)在x=0处连续．综上，g(x)有可去间断点x=0，所以选(D)．2．设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=OB．若fx’(x0，y0)=0，则fx’(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则fx’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：依题意知(x0，y0)是拉格朗日函数，F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)的驻点，即(x0，y0)使得因为φy’(x0，y0)≠0，所以从(2)式可得代入(1)式得即fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)=φx’(x0，y0)．当fx’(x0，y0)≠0且φy’(x0，y0)≠0时，fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)≠0，从而fy’(x0，y0)≠0，故选(D)．3．设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )．A．C[y1(x)-y2(x)]B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的一个非零解，又y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]是原非齐次线性微分方程的通解，其中C为任意常数．故选(B)．4．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1-x2)dx等于( )．A．1/2(1-x2)2+CB．- 1/2(1-x2)2+CC．2(1-x2)2+CD．-2(1-x2)2+C正确答案：B解析：5．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)等价无穷小，则( )．A．a=1，b=-(1/6)B．a=1，b=1/6C．a=-1，b=-(1/6)D．a=-1，b=1/6正确答案：A解析：故a=1，(D)错误，所以选(A)．6．设函数g(x)可微，h(x)=lng(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)等于( )．A．eB．1C．2D．3正确答案：C解析：由已知条件有h’(x)=g’(x)/g(x)．令x=1，得h’(1)=g’(1)/g(1)，即1=2/g(1)，所以g(1)=2．故选(C)．7．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则( )．A．C=P-1APB．C=PAP-1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：根据已知条件，用初等矩阵描述有故选(B)．8．设向量组a1，a2，a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．A．a1+a2，a2+a3，a3-a1B．a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3C．a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1D．a1+a2+a3，2a1-3a2+2a3，3a1+5a2+3a3正确答案：C解析：由题设，观察四个选项：关于(A)，由于(a1+a2)-(a2+a3)+(a3-a1)=0，则a1+a2，a2+a3，a3-a1线性相关．关于(B)，由于(a1+a2)+(a2+a3)-(a1+2a2+a3)=0，则a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3也线性相关．关于(C)，由定义，设有一组数k1，k2，3，使得k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0 即(k1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0，由已知a1，a2，a3线性无关，则该方程组的系数矩阵的行列式为从而k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关．而由同样的方法，建立关于(D)中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为0，则(D)中向量组线性相关．综上选(C)．填空题9．设函数f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则c=_________．正确答案：1解析：函数f(x)连续，则需满足，即c2+1=2/c，解得c=1．10．_________．正确答案：-(1/4)解析：原式=11．曲线，在点(0，1)处的法线方程为_________．正确答案：0解析：由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知x=0，y=1时，t=0，因此，此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为-2，从而法线方程为y-1=-2x，即2x+y-1=0．12．=_________．正确答案：-cotx*lncosx-x+C解析：原式=-∫lncosxdcotx=-cotx*lncosx-∫dx=-cotx*lncosx-x+C13．曲线的渐近线方程为_________．正确答案：y=x+ 1/e解析：通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线．由题设，，因此无水平渐近线．又由因此也无铅直渐近线．关于斜渐近线，设因此有斜渐近线为y=x+ 1/e．14．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________．正确答案：0解析：由题设，4阶方阵A的秩为2，因此A的所有3阶子式均为0，从而所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故r(A*)=0．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（解答题）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限：．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续2．设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．正确答案：由λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=｜A｜=2(-2a-b2)=-12，解得a=1，b=2．P=，可使P-1AP=. 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量3．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足，k＞1，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．正确答案：作辅助函数为F(x)＝xe1－x f(x)．再利用积分中值定理和微分中值定理证明．涉及知识点：一元函数积分学4．设f(x)二阶连续可导，且f(0)=f’(0)=0，f’’(0)≠0，设u(x)为曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求正确答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))的切线为Y-f(x)=f’(x)(X-x)，涉及知识点：一元函数微分学5．设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得正确答案：令因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’ (ξ)=0．而φ’ (x)=解析：由知识模块：一元函数微分学6．设有向量组(I)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α1＝(1，－1，a ＋2)T和向量组(II)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a ＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价?当以为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?正确答案：当a≠＝1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价；当a＝－1时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价．涉及知识点：向量7．求正确答案：因为为奇函数，所以涉及知识点：一元函数积分学设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．8．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；正确答案：S1(c)=cf(c)，S2(c)=，即证明S1(c)=S2(c)，或cf(f)+，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(c)+f(t)dt=0，所以S1(c)=S2(f)，命题得证. 涉及知识点：一元函数积分学9．设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(1)中的c是唯一的．正确答案：令h(x)=xf(x)-，因为h’(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．涉及知识点：一元函数积分学10．计算所围成．正确答案：涉及知识点：二重积分11．设z＝，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学12．求正确答案：涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x，y)在单位圆x3+y2≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0，0)=2004，试求极限正确答案：2004 涉及知识点：高等数学14．设α1，α2，α3为四维列向量组，α1，α2线性无关，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求Ax=0的一个基础解系．正确答案：方法一AX=0x1α1+x2α2+x3α3=0，由α3=3α1+2α2可得(x1+3x3)α1+(x2+2x3)α2=0，因为α1，α2线性无关，因此方法二由r(A)=2可知AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，而3α1+2α2-α3=0，因此ξ=为AX=0的一个基础解系．涉及知识点：线性方程组15．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学16．，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．正确答案：令αTβ=k，则A2=kA，设AX=λX，则A2X=λ2X=kλX，即λ(λ-k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k得λ1=…=λn-1=0，λn=k．因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．涉及知识点：线性代数部分17．设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A 的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

考研数学二（解答题）模拟试卷280(题后含答案及解析)题型有：1.1．计算行列式正确答案：先把2至5列都加到第1列上，再自下而上2至4行各减去上行：涉及知识点：行列式2．正确答案：因为当x→0时，涉及知识点：函数、极限、连续3．求ω＝正确答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：χ→0时最后用洛必达法则得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法4．设函数f(x)=(x＞0)，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续5．设f(x)=为了使f(x)对一切x都连续，求常数a的最小正值．正确答案：又f(1)=1，f(一1)=一1，所以由此可见，f(x)在(一∞，一1]，(一1，1)，[1，+∞)内连续，故只需f(x)在x=一1，x=1两点连续即可．因为涉及知识点：函数、极限、连续6．设y=y(x)是由sin xy=ln+1确定的隐函数，求y’(0)和y”(0)的值．正确答案：故y”(0)=e3(3e3一4)．涉及知识点：一元函数微分学7．一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。

现将贮油罐平放，当油罐中油面高度b时(如图1—3—4)，计算油的质量。

(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)正确答案：如图1—3—11，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为=1。

图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。

记S1为下半椭圆面积，则S1=πab，记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则S2=，记y=bsint，则dy=bcostdt，则因此可知油的质量为涉及知识点：一元函数积分学8．a，b取何值时，方程组有解?正确答案：(1)a≠1时，r(A)==4，唯一解为x1=，x2=，x3=x4=0；(2)a=1，b ≠=1时，r(A)≠r(A)，因此方程组无解；(3)a=1，b==1时，通解为X=k1(1，-2，1，0)T+k22(1，-2，0，1)T+(-1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)．涉及知识点：线性代数设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．正确答案：D解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为y3+C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，而且y3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y1-y3与y2-y3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．知识模块：常微分方程填空题2．当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=，且y(0)=π，则y(1)=______．正确答案：解析：首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-π，代入△y的表达式即得y(1)-π=π+αy(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．将方程分离变量，得求积分可得由初始条件y(0)=π可确定知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．求f(x)=3x带拉格朗日余项的n阶泰勒公式．正确答案：由于f(m)(x)=3x(ln3)m，f(m)(0)=(ln3)n，则涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：∈(a，b)使得f(b)-(b-a)2f’’(ξ)．正确答案：在处展开成分别令两式相加由导函数的中间值定理在η1，η2之间(ξ∈(s，b))，使得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0.正确答案：由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn+xn+1．若f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn 是n次多项式．反之，若f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)是n次多项式，显然f(n)(x)=ann!≠0，f(n+1)(x)≡0．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(0，+∞)上有界，求证：f’(x)在(0，+∞)上有界.正确答案：按条件，联系f(x)，f’’(x)与f’(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式＞0，h＞0有f(x+h)=f(x)+f’(x)h+f’’(ξ)h2，其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有f(x+1)=f(x)+f’(x)+f’’(ξ)，即f’(x)=f(x+1)-f(x)-f’’(ξ)．由题设，｜f(x)｜≤M0，｜f’’(x)｜≤M2(∈(0，+∞))，M0，M2为常数，于是有｜f’(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+即f’(x)在(0，+∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．正确答案：联系f(x)与f’’(x)的是泰勒公式．x0∈[a，b]，f(x0)=.将f(x0)在∈[a，b]展开，有f(x0)=f(x)+f’(x)(x0-x)+f’’(ξ)(x0-x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)+f’(x)(x0-x)(∈[a，b]，x≠0)．两边在[a，b]上积分得∫abf(x0)dx＜∫abf(x)dx+∫abf’(x)(x0-x)dx=∫abf(x)dx+f(x0-x)df(x)=∫abf(x)dx-(b-x0)f(b)-(x0-a)f(a)+∫abf(x)dx≤2∫abf(x)dx.因此f(x0)(b-a)＜2∫abf(x)dx，即=∫abf(x)dx．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．求微分方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解．正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y2-1｜=-ln｜x2-1｜+C’，即(x2-1)(y2-1)=C，其中C 为任意常数．涉及知识点：常微分方程9．求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy’’=y’lny’的通解；(Ⅱ)求yy’’=2(yt2-y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为ln｜lnp｜=ln｜x｜+C’，即lnp=C1x，即y’=eC1x．这样，原方程的通解即为y=eC1x+C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当p=1时，也可以得到一族解y=x+C3．(Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以)，为自变量，，原方程可化为=2(p2-p)．当p≠0时，可改写为，解为p-1=C1y2．再利用p=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程y’=1+y2 其通解为y=tan(x+C2)．再一次利用初始条件y(0)=1，即得C2=．所以满足初始条件的特解为涉及知识点：常微分方程10．设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，(*)求f(t)．正确答案：因f(t)连续∫0tf(s)sinsds可导f(t)可导．于是这是一阶线性微分方程的初值问题．方程两边乘μ=e-∫sintdt=eccost，得[ecostf(t)]’=-4sintcostecost．积分得ecostf(t)=4fcostd(ecost)=4(cost-1)ecost+ C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e1-cost+4(cost-1)．涉及知识点：常微分方程11．设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．正确答案：令tx=s，原方程改写成∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx．①f(x)=xf’(x)+f(x)+(x2sinx)’，即f’(x)= ②(x=0时两端自然成立，不必另加条件．)将②直接积分得f(x)==-xsinx+cosx+ C．涉及知识点：常微分方程12．求下列方程的通解：(Ⅰ)y’’3y’=2-6x；(Ⅱ)y’’+y=ccosxcos2x．正确答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2-3λ=λ(λ-3)=0，所以通解为=C1+C2e3x．再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具有形式y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得[y*(x)]’’-3[y*(x)]’=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x．比较方程两端的系数，得解得A=1，B=0，即特解为y*(x)=x2．从而，原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2为任意常数．(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y’’+y=cosx与y’’+y=cos3x的特解y1*(x)与y2*(x)，相加就是原方程的特解．由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C1cosx+C2sinx；同时y’’+y=cosx的特解应具形式：y1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=．y1*(x)=sinx．另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=cos3x+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程13．设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L 上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的极坐标方程．正确答案：曲边扇形的面积公式为S=∫0θr2(θ)dθ．又弧微分于是由题设有两边对θ求导，即得r2(θ)=所以r所满足的微分方程为注意到为方程的通解，再由条件r(0)=2，可知C=-π／6，所以曲线L的方程为. 涉及知识点：常微分方程14．设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．正确答案：设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)-xy’(x))，又=x2+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]2=x2+x2y’2，=(y-xy’)2，按题意得x2+x2y’2=(y-xy’)2，即2xyy’-y2=-x2．又初始条件这是齐次方程，则方程化成分离变量得积分得ln(1+u2)=-lnx+C1，1+u2=代入u=得y2+x2=Cx．由初始条件，得C=3．因此L的方程为y2+x2=3x．涉及知识点：常微分方程15．在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：若将此曲线记为y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y’’≥0，故曲率又由于过(x，f(x))点的法线方程为X-x+y’(x)[Y-y(x)]=0，它与x轴交点Q的横坐标X0=x+y’(x)y(x)，所以，线段的长度为这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为y(1)=1，y’(1)=0．解二阶方程的初值问题得y=(ex-1+e1-x)．涉及知识点：常微分方程16．设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T0，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T-T0成正比．又设T0=20℃，当t=0时，T=100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃?正确答案：温度变化的速率即，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度T所满足的微分方程：=-k(T-T0)，其中k为比例常数，且k ＞0．其通解为T=T0+Ce-kt.再由题设：T0=20，T(0)=100，T(24)=50，所以(ln8-ln3)．这样，温度T=20+．若T=95，则t==1．58，即在1．58小时后热水的温度降为95℃．涉及知识点：常微分方程17．从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．正确答案：取沉放点为坐标原点O，Oy轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得=mg-ρV-kv．由于v=，所以，此方程是一个既不显含自变量t，又不显含未知函数y的二阶方程，按照常规的办法，可以令v为未知函数，得到v所满足的一阶线性方程，这样所求得的是v与时间t的关系．然而题目所要求的是y与v的关系，注意，所以应将方程改写为直接求积分，则有再由题设，其初始条件应为v｜y=0=0，由此可定出C=，故所求的关系涉及知识点：常微分方程18．要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数ρ．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．正确答案：首先建立坐标系，如图6．3所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴．设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x)．其次列出y(x)满足的方程．由于顶面的压强也为p，则顶面承受的压力为F=pπa2．考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强×截面积=pπy2(x)，另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa2+∫xhpπy2(s)ds．于是得pπy2(x)=pπa2+ρπ∫xhy2(s)ds．再将积分方程转化为微分方程的初值问题．将上述方程两边对x求导得2pπyy’=-ρπy2．又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到最后求解初值问题．这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得涉及知识点：常微分方程19．设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(-1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．正确答案：规定A出发的时刻t=0．1。