[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷371.doc

考研数学二（线性代数）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B) 知识模块：线性代数部分2．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则( )．A．r>mB．r=mC．r<mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n<m，所以选(C) 知识模块：线性代数部分3．设n维列向量组α1，α2，…，αm(m0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D) 知识模块：线性代数部分5．下列说法正确的是( )．A．任一个二次型的标准形是唯一的B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的正确答案：D解析：(A)不对，如f=x1x2，令，则f=y12-y22；若令，则f=y12-9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．知识模块：线性代数部分填空题6．设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=_______．正确答案：解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E= 知识模块：线性代数部分7．设A=，则A-1=_______．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分8．设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=_______．正确答案：2解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分9．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3线性相关，则a=_______正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，所以，解得a=5．知识模块：线性代数部分10．设方程组无解，则a=_______．正确答案：-1解析：因为方程组无解，所以r(A))≤3，于是r(A)r(A)=r()=2，因为r(A)≠r()，所以方程组无解，于是a=-1．知识模块：线性代数部分11．设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A*)2+3A*+2E有特征值_______．正确答案：解析：因为A可逆，所以λ0≠0，A*对应的特征值为，于是(A*)2+3A*+2E 对应的特征值为知识模块：线性代数部分12．设的特征向量，则a=_______，b=_______．正确答案：2，3解析：由Aα=λα得解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数部分13．设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______正确答案：解析：令β1=，β3=α3，正交规范化的向量组为知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（选择题）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价无穷小正确答案：D解析：先改写其中，则。

故选D。

知识模块：函数、极限、连续2．设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( ) A．ln3—1。

B．一ln3—1。

C．一ln2—1。

D．ln2—1。

正确答案：C解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。

在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。

故选C。

知识模块：一元函数微分学3．设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )A．C=P—1APB．C=PAP—1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。

这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。

考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。

知识模块：矩阵4．设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A．2．B．一1．C．．D．一2正确答案：D解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选D．知识模块：一元函数微分学5．对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( ) A．0。

B．1。

C．2。

D．以上都不正确。

正确答案：C解析：由f’(0)=1可知f(x)在x=0处连续。

考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A、B、A+B、A-1+B-1均为n阶可逆方阵，则(A-1+B-1)-1等于A．A-1+B-1B．A-BC．A(A+B)-1BD．(A+B)-1正确答案：C解析：因(A-1+B-1)EA(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E，故(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B．知识模块：矩阵2．设n维行向量α=，矩阵A=I-αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则AB=A．0B．-IC．ID．I+αTα正确答案：C解析：ααT=()2+()2=，AB=(I-αTα)(I+2αTα)=I+2αTα-αTα-2αT(ααT)α=I+αTα-αTα=I，故(C)正确．知识模块：矩阵3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，则成立A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：当同阶方阵P、Q满足PQ=E时，有QP=E．故E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA．知识模块：矩阵4．设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，且｜A｜=a≠0，则｜A*｜=A．aB．C．an-1正确答案：C解析：由AAα*=｜A｜E两端取行列式，得｜A｜｜Aα*｜=｜A｜αn-1，｜Aα*｜=｜A｜αn-1=aαn-1．知识模块：矩阵5．设则成立A．AP1P3=BB．AP2P1=BC．P1P2A=BD．P2P1A=B正确答案：C解析：B可看作A作下列初等行变换得到的：先将A的第1行加到第3行——对应初等矩阵为P2，再将所得矩阵的1、2两行互换一一对应初等矩阵为P1，于是由初等变换与初等矩阵的关系，得B=P1P2A．知识模块：矩阵6．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩为1．则必有A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0．C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b且a+2b≠0．正确答案：C解析：由条件知0=｜A*｜=｜A｜2，0=｜A｜=(a+2b)(a-b)2，a=-2b或a=b，若a=b，则A*=O，与r(A*)=1矛盾，故必有a≠b且a+2b=0．知识模块：矩阵7．已知矩阵A相似于矩阵B=，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于A．2B．3C．4D．5正确答案：C解析：由条件知存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，P-1(A-2E)P=P-1AP-2E=B-2E，即A-2E与B-2E相似，故有r(A-2E)=r(B-2E)==3，同理知r(A-E)=r(B-E)=1，故r(A-2E)+r(A-E)=3+1=4．知识模块：矩阵8．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11等于A．B．D．正确答案：A解析：由已知的A*=AT，即，得aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式．于是由行列式按行展开法则得｜A｜=a1jA1j=a1i2=3a112＞0，再由A*=AT两端取行列式，得｜A｜=｜A｜2，｜A｜=1，故得3a112=1，a11=. 知识模块：矩阵填空题9．设A=，B=P-1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004-2A4=______.正确答案：解析：由于A2=，2A2=，A4=(A2)2=E，A2004=(A4)501=E501=E，故B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=E-2A2= 知识模块：矩阵10．设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1。

考研数学二（解答题）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1.1．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)k的值；(2)X的分布函数F(x)．正确答案：(1)由∫01xdx+∫12k(2一x)dx==1，得k=1．(2)因为F(x)=∫-∞xf(t)dt，所以当x＜0时，F(x)=0；当0≤x＜1时F(x)=∫0xf(t)dt=x2；当1≤x＜2时F(x)=∫0xf(t)dt=∫01tdt+∫1x(2-t)dt=2x一x2-1；当x≥2时，F(X)=1．期F(x)=解析：考查利用概率密度计算分布函数的方法，是基本问题．注意到f(x)是分段函数，可根据x的不同取值范围直接利用公式F(x)=∫-∞xf(t)dt计算．知识模块：概率论与数理统计2．已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．正确答案：方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(Ⅱ)有无穷多个解．因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3．由此得a=2．此时，方程组(Ⅰ)的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(-1，-1，1)T是方程组(Ⅰ)的一个基础解系．将x1=-1，x2=-1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可得b=1，c=2或b=0，c=1．当b=1，x=2时，对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同．综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．涉及知识点：线性方程组3．设(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导?正确答案：(Ⅰ)这是分段函数，分界点x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即x≤0，于是可得当x≤0时，f’(x)=+2cos2x，x=0处是左导数：f’-(0)=2；当x＞0时，又=f(0)，即f(x)在x=0右连续f’+(0)=2．于是f’(0)=2．因此(Ⅱ)f’(x)也是分段函数，x=0是分界点．为讨论f’(x)在x=0处的可导性，要分别求f’+(0)与f’-(0)．同前可得按定义求f’’+(0)，则有因f’’+(0)≠f’’(0)，所以f’’(0)不存在，即f’(x)在点x=0处不可导．涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设向量组的秩为2，求a，b．正确答案：记A=(a3，a4，a1，a2)，并对矩阵A作初等行变换当且仅当a 一2=0且b一5=0时，向量组(a3，a4，a1，a2)的秩为2，即a=2，b=5．涉及知识点：矩阵5．设线性方程组(1)证明：若a1,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解；(2)设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)，且β1=(一1，1，1)T，β2=(1，1，一1)T 是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．正确答案：(1)方程组的增广矩阵的行列式为=(a4一a3)(a4—a2)(a4—a1)(a3一a2)(a3一a1)(a2—a1)．由a1，a2，a3，a4两两不相等，故｜B｜≠0，即r(B)=4，而系数矩阵A的秩r(A)≤3，故r(A)≠r(B)．即方程组无解．(2)当a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)时方程组为解析：本题考查线性方程组的解的存在性的判定，解的结构及解的求法．知识模块：线性方程组6．设A=E+ααT，其中α=(α1,α2,α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．正确答案：由Aα=(E+ααT)α=α+ααTα=3α，于是得A的特征值λ3=3，其对应的特征向量为k1α，k1≠0为常数．又由A=E+ααT，得A—E=ααT，两边取行列式｜A一E｜=｜ααT｜=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值．再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ3=trA一4=3+αTα-4=1．由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则由此得方程组(A—E)x=0的同解方程组为a1x1=一a2x2一a3x3，解得λ2=λ3=1对应的特征向量为x=k2(一a2，a1，0)T+k3(一a3，0，a1)T，其中k2，k3，是不同时为零的任意常数．解析：本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法．可用定义Ax=λx，特征方程｜λE－A｜=0，trA=λ1+λ2+λ3．求A的特征值与特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．设函数求f(x)的最小值．正确答案：由题意令f’(x)=0，得唯一驻点x=1．当x∈(0，1)时f’(x)＜0，函数单调递减；当x∈(1，∞)时f’(x)＞0，函数单调递增．所以函数在x=1处取得最小值f(1)=1．涉及知识点：一元函数微分学8．已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．正确答案：若α1+α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)．又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是(λ－λ1)α1+(λ－λ2)α2+(λ－λ3)α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，故λ－λ1=0，λ－λ2=0，λ－λ3=0．即λ1=λ2=λ3．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化9．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．设D是由曲线y=sin x+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．正确答案：y=π∫0π(sin x+1)2dx=。