范后宏教授报告--一元高次方程的根式解

一元高次方程的计算机程序的求根研究一元高次方程的求根是数学中一个重要的问题，在实际生活中也有着广泛的应用。

为了解决这个问题，研究人员们不断提出新的方法和算法。

在计算机科学领域，利用计算机程序求解一元高次方程的根也成为了一个热门的研究课题。

本文将针对一元高次方程的求根问题展开研究，并设计一份关于一元高次方程的计算机程序，希望能够对该问题有更深入的了解。

一元高次方程是指形如ax^n + bx^(n-1) + ... + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，n为自然数，且n大于1。

求解一元高次方程的根是一个古老而又复杂的数学问题，研究人员们提出了许多不同的方法来解决这个问题。

在计算机程序的研究中，我们通常使用数值计算的方法来求解一元高次方程的根，其中包括了一些著名的算法，如二次方程求根公式、牛顿迭代法、二分法等。

二次方程求根公式是求解一元二次方程的经典方法，它可以直接得到方程的两个根。

但是对于高次方程而言，很多时候并没有类似于二次方程求根公式的普遍解法，我们可能需要通过数值计算的方法来逼近方程的根。

在这里，我们介绍一种常见的求解一元高次方程的根的算法——牛顿迭代法。

牛顿迭代法是一种用于逼近方程根的数值算法，它通过不断地迭代来逼近方程的根。

该方法的核心思想是先猜测一个根的初始值，然后通过不断迭代来逼近方程的根。

具体过程如下：1. 选择一个初始值作为猜测的根；2. 根据选定的初始值，通过迭代公式来逼近方程的根；3. 重复上述步骤，直到得到满足精度要求的近似根。

在具体的计算机程序中，我们可以采用如下的伪代码来实现牛顿迭代法：```function Newton_iteration(a, b, c, initial_guess, tolerance):x = initial_guesswhile abs(a*x^2 + b*x + c) > tolerance:x = x - (a*x^2 + b*x + c) / (2*a*x + b)return x```在这段伪代码中，a、b、c分别表示一元高次方程的系数，initial_guess表示初始的猜测值，tolerance表示迭代的精度要求。

高次方程及其解法2009-12—06 11：35：27｜分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅1.一元n次方程：（1）标准形式： a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n=0（a0≠0),当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想:高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2。

高次方程根的存在定理设多项式f(x）=a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n(a0≠0)(1）因式定理：多项式f(x）含有因式x—a的充要条件是f（a)=0。

(2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f（x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0），那么它必定还有另一个根a—bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f（x）=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根,那么a—√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）;②若√a+√b是方程的根,那么√a—√b，—√a+√b，—√a-√b必也是它的根（其中,√a、√b都是无数）;③若方程有一个虚根√a+√bi（a，b∈R且b≠0），那么√a—bi,—√a+√bi，—√a-√bi必也是它的根(其中，√a、√b都是无理数).(4）整系数方程有理根存在定理:①如果方程f(x）=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中,如果α是方程的整数根，那么二比值f(1）/（α—1)和f（-1）/（α+1)都是整数；③在整系数方程f(x）=0中，如果f(0）与f（1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f（x）=0的有理根都是整数。

如果方程没有整数根，那么它也没有有理根。

3。

一元n次方程的解法:（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n—2+…+a n—1x+a n=0(a0≠0）的解法通常用验根法、因式分解法和换元法。

一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。

若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。

于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。

有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。

当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。

如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。

根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。

这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。

”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。

要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。

高考数学中的一元高次方程求根在高中数学中，一元高次方程是一个不可避免的难点。

而对于高考生来说，如何求解一元高次方程的根也是必须要熟练掌握的。

今天我们将全面介绍一元高次方程的求根方法及其应用。

一、一元高次方程的定义及性质一元高次方程是指一个未知量的最高指数大于或等于2的代数方程。

例如：x²+3x+5=0就是一个一元二次方程。

一元高次方程的一些基本性质：1. 一元高次方程的最高项系数不为零。

否则它将变成一个低于该方程次数的新方程。

例如：x³-3x²+3x=0, 可以转化为x²-3x+3=0。

2. 一元高次方程的次数，即未知量的幂次必须是一个整数。

3. 一元高次方程有一个或者多个根。

根是指方程中未知量的值，使得该方程等于0。

例如：x²-5x+6=0，该方程的根为2和3.4. 一元高次方程的根是唯一的。

二、一元高次方程的求根方法一、一元一次方程求根一元一次方程是一元高次方程中最简单的一种，一般形式为ax+b=0，其中a,b均为实数。

方程根（x的值）可以通过移项、化简等方法求解。

例如：3x-9=0，解得x=3。

二、一元二次方程求根一元二次方程是高中数学中最常见的一种，一般表示为ax²+bx+c=0，其中a,b,c均为实数，且a≠0。

求解一元二次方程的方法主要有以下两种：1. 二次公式法利用特定的公式求根，一元二次方程有两个解，在求解时分别取正号和负号，即：x1 = (-b+√(b²-4ac))/2a;x2 = (-b-√(b²-4ac))/2a;例如：x²-3x+2=0, 该方程的根为x1=1, x2=2.2. 完全平方公式法将一元二次方程进行二次完全平方拆分，得到两个关于x的一元一次方程，然后再分别求解。

例如：x²-6x+9=0, 该方程等价于(x-3)²=0，于是x=3.三、一元三次及更高次方程求根一元三次及更高次方程的求根比一元二次方程要复杂。

高次函数方程的根与像【高次函数方程的根与像】高次函数方程一直是数学研究的重点之一，它们与根与像之间有着密切的联系。

在本文中，我们将探讨高次函数方程的根与像的相关性，分析它们之间的数学特征以及对实际问题的应用。

1. 高次函数方程的定义与性质高次函数方程是指含有幂次大于1的项的函数方程。

常见的高次函数方程包括二次方程、三次方程、四次方程等等。

它们的一般形式可以表示为：\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\]其中，\(n\)为方程的次数，\(a_n\)到\(a_0\)为系数。

高次函数方程的根是指方程等于零的解。

根的个数与方程的次数相关，根据代数基本定理，一个\(n\)次方程最多有\(n\)个根。

高次函数方程的根可以是实数或复数，它们的存在与方程系数的特点有关。

2. 高次函数方程的根与像之间的联系高次函数方程的根与像之间存在一定的联系。

当我们求解高次函数方程的根时，实际上是在寻找方程与横轴交点的横坐标。

这些交点就是函数图像上的像点。

根的个数与方程的次数有关。

一个二次方程最多有2个根，可以分为三种情况：两个实数根、重根、两个复数根。

对于三次方程和四次方程，根的个数也是多样的。

高次函数方程的根与像之间的关系可以通过函数图像来直观地理解。

一些函数图像会经过横坐标轴，这些交点对应根。

图像的形状、斜率及交点的位置等都会影响根的特征。

3. 高次函数方程的根的求解方法为了求解高次函数方程的根，数学家们提出了一系列有效的方法。

其中最常用的方法包括因式分解法、配方法和求根公式等。

- 因式分解法是将方程进行因式分解，找到方程的根所对应的因子。

这种方法通常适用于方程有明显的因式的情况。

- 配方法是通过变量替换、配方等技巧将方程转化为一次方程或二次方程，从而求得根。

这种方法在解一些特殊形式的高次函数方程时十分有效。

- 求根公式是通过数学推导得到的具体求解各个次数方程根的公式，例如二次方程的求根公式是著名的二次根式公式。

文章如何利用代数法解决一元高次方程解决一元高次方程是代数学中的一项重要内容，而文章作为一种表达方式，也可以借助代数法对一元高次方程进行解析和解决。

本文将探讨文章如何利用代数法解决一元高次方程的方法和步骤。

一、概述在开始具体分析之前，我们首先需要明确一元高次方程的定义及其解决方法。

一元高次方程是形如 ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0 的方程，其中n为自然数，a、b、c、d为实数且a不等于0。

解决一元高次方程的方法有多种，其中代数法是一种常用的方法，它通过代数运算和变量替换来求解方程的根。

二、基本步骤下面将按照一定的顺序介绍文章如何利用代数法解决一元高次方程的基本步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。

步骤一：观察方程形式首先需要观察一元高次方程的形式，确定它是否符合代数法的解决条件。

代数法主要适用于一次方程、二次方程、三次方程等高次方程。

如果方程的最高次数超过了三次，那么使用代数法就会变得复杂而困难，可能需要借助其他方法来解决。

步骤二：变量替换对于一元高次方程，可以通过变量替换来简化计算过程。

常用的变量替换方法有平方代换、令u = x + a或u = x - a等。

通过选择合适的替换方法，可以将原方程转化为一个新的方程，新方程中的高次项可以消去或减少，从而更易于求解。

步骤三：化简方程通过变量替换后，需要进一步化简方程，消去无关项和引入的新变量，使得方程的形式更加简洁明了。

这一步骤通常需要借助代数运算的基本法则和技巧，如合并同类项、化简复杂的系数等。

步骤四：求解方程经过变量替换和化简后，我们得到了一个更简单的一元高次方程。

接下来，需要根据方程的形式和特点选择合适的解法来求解方程的根。

常见的解法包括因式分解法、配方法、根式法等。

通过代数运算和数学推导，可以得到方程的解析解或近似解。

步骤五：验证解解得方程的根之后，为了确保解的准确性，需要将解代入原方程进行验证。

这可以通过代数运算或图像分析的方式，确保方程的两边相等。

解一元高次方程初中生数学进阶之路数学是一门普遍被认为难以理解的学科，而高次方程更是其中的难点。

对于初中生来说，掌握解一元高次方程的方法可以在数学学习中迈出重要的一步。

本文将探讨解一元高次方程的方法和初中生数学进阶之路。

1. 引言高次方程是指次数大于等于2的方程，形式为ax^n+bx^(n-1)+...+k=0，其中a、b、...、k为实数，x为未知数，n为大于等于2的整数。

初中生学习数学的过程中，一般会遇到一元二次方程，即n=2的情况，但对于有志于进一步学习数学的学生来说，了解解一元高次方程的方法是必不可少的。

2. 解一元高次方程的一般步骤解一元高次方程的一般步骤包括化简、因式分解、配方法、综合运用等。

2.1 化简首先，我们需要将高次方程化简为标准的形式，即将方程中的项按照次数从高到低排列，形如ax^n+bx^(n-1)+...+k=0。

2.2 因式分解其次，如果方程可以进行因式分解，则可以直接得到方程的解。

因式分解是将多项式表示为若干个简单因子相乘的过程。

例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过因式分解得到(x+p)(x+q)=0的形式，从而求得解x=-p和x=-q。

2.3 配方法对于无法进行因式分解的高次方程，配方法是常用的解法之一。

配方法的关键是选取适当的代换，使得方程化简为一个已知形式的方程，从而求解。

常见的配方法有平方配方法、完全立方配方法等。

2.4 综合运用在解一元高次方程的过程中，有时还需要灵活运用多种方法，例如配方法与因式分解相结合，进行综合运用。

这需要对各种解法有深入的理解，并且能够根据具体情况选择最合适的方法。

3. 初中生数学进阶之路解一元高次方程是初中数学的一项重要内容，掌握了解高次方程的方法，初中生可以在数学学习中取得更大的进步，并为进一步学习高中数学打下坚实的基础。

3.1 良好的数学基础在初中阶段，学生首先需要打好基础知识，包括数学的基本运算、代数、几何等。

解一元高次方程高次方程是指次数大于等于2的代数方程，解一元高次方程是数学中常见的问题。

通过求解一元高次方程，可以找到方程的根或解，进而揭示方程的性质和特点。

本文将介绍解一元高次方程的方法和步骤。

一、二次方程的解法二次方程是一元高次方程中最简单常见的形式，其一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

解二次方程的方法主要有两种：公式法和配方法。

1. 公式法根据二次方程的定义，可以使用求根公式来求解。

二次方程的求根公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据公式，首先计算出判别式D = b^2 - 4ac的值。

若D>0，则方程有两个不相等的实根；若D=0，则方程有两个相等的实根；若D<0，则方程无实根。

以方程2x^2+x-1=0为例，将其代入公式，可以得到：x = (-1±√(1+4*2))/4计算出√(1+4*2) = √(1+8) = √9 = 3，代入公式可以得到：x = (-1±3)/4计算出x的两个值分别为-1和1/2，即方程2x^2+x-1=0的根为x=-1和x=1/2。

2. 配方法对于无法直接使用公式法求解的二次方程，可以通过配方法将其转化为可以使用公式法求解的形式。

以方程x^2+4x+4=0为例，将其通过配方法进行转化。

首先，观察方程形式，确定配方的常数：a = 1b = 4c = 4接下来，根据配方法，添加一个用于配方的常数d，即d^2。

x^2 + 4x + 4 + d^2 - d^2 = 0根据配方法的原则，添加的常数d满足2ad=b，即2*1*d=4，解得d=2。

将d代入方程，得到：x^2 + 4x + 4 + 4 - 4 = 0化简之后，可以得到：(x+2)^2 = 0此时，方程已转化为(x+2)^2=0的形式，可以直接使用公式法求解。

根据公式，可以得到：x + 2 = 0解得x=-2，即方程x^2+4x+4=0的根为x=-2。

一元高次方程的计算机程序的求根研究一元高次方程是指只有一个未知数的高次方程，表达式形式为ax^n+bx^(n-1)+...+k=0，其中n为正整数，a,b,...,k为已知系数。

求解一元高次方程的根是数学问题中的经典难题之一。

在计算机科学中，研究一元高次方程的求根算法既具有理论意义，又有实际应用价值。

近年来，随着计算机技术的发展和数值计算方法的成熟，探索高次方程的求根算法已经取得了很大的进展。

主要研究方向包括代数解法、数值解法和近似解法。

代数解法是通过对一元高次方程进行代数运算和化简，以得到方程的解析解。

代数解法可以分为代数运算和化简以及求解代数方程组两个主要步骤。

代数运算和化简阶段的关键在于将高次方程转化为低次方程或一次方程。

这可以通过拉格朗日插值、牛顿迭代等方法来实现。

而求解代数方程组的关键在于解线性方程组。

解析解的求解方法有高斯消元法、克拉默法则等。

数值解法是通过利用数值计算方法，以计算机实现高次方程的近似解。

常用的数值解法有二分法、牛顿法、迭代法等。

这些方法通过不断逼近方程的根，并对逼近的精度进行控制，最终得到近似解。

近似解法是针对高次方程的根的分布特征和近似解的性质，提出的一种求根算法。

这些方法在计算机程序设计中可以提高计算效率和准确度。

区间法可以将方程的根的范围缩小，从而减少计算量；割线法可以利用连续函数的性质，通过无限逼近得到近似解。

除了求解一元高次方程的根以外，研究计算机程序在实际应用中的角色也是十分重要的。

一元高次方程在实际问题中具有广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学等领域。

计算机程序可以利用一元高次方程的根来解决这些实际问题，并提供快速和准确的结果。

一元高次方程求根高次方程是指次数大于等于2的方程，而一元高次方程则是只含有一个未知数的高次方程。

求解一元高次方程的根是数学中常见且重要的问题，本文将介绍一元高次方程求根的一些常见方法。

一、二次方程求根二次方程是指次数为2的一元高次方程，一般的二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知系数，x是未知数。

求解二次方程的根有以下两种常见的方法：1.公式法根据二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以直接计算二次方程的根。

其中，根的个数与判别式Δ = b^2 - 4ac的值相关，若Δ > 0，则有两个不相等的实根；若Δ = 0，则有两个相等的实根；若Δ < 0，则没有实根。

例如，对于方程2x^2 + 3x - 1 = 0，根据公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，代入a = 2，b = 3，c = -1，进行计算即可得到方程的根。

2.配方法对于无法直接使用公式法求解的二次方程，可以通过配方法进行转化，使之变成可以使用公式法求解的二次方程。

常见的配方法包括完全平方和两次平方差公式等。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以通过配方法将其转化为(x -3)(x - 2) = 0，进而得到方程的根x = 3和x = 2。

二、高次方程的迭代逼近法对于三次方程及其以上的高次方程，由于缺乏通用公式，常常采用迭代逼近法进行求解。

迭代逼近法的基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。

常见的迭代逼近法包括牛顿迭代法和二分法等。

牛顿迭代法是一种通过逐次迭代逼近方程根的方法，具体步骤如下：1.选择初始值x0；2.计算当前迭代值xn的函数值f(xn)和导数值f'(xn)；3.根据迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)计算下一个迭代值；4.判断xn+1与xn之间的差值是否达到预设的精度要求，若达到则停止迭代，xn+1即为方程的根；若未达到则继续第2步直至满足精度要求。

一元高次方程的计算机程序的求根研究
一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程，其一般形式为：
ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... + k = 0
a、b、c、...、k为已知常数，n为正整数，且n≥2。

求解一元高次方程的根是数学中的一个重要问题，在计算机程序领域有着广泛的应用和研究。

下面将从数值方法、符号方法以及程序实现三个方面进行探讨。

数值方法是求解一元高次方程根的一种常用方法，其基本思想是通过数值计算逼近方程的根。

常见的数值方法有二分法、牛顿迭代法、割线法等。

以牛顿迭代法为例，它的步骤如下：
1. 选择初始解x0；
2. 计算函数f(x)和它的导数f'(x)，求得x0处的函数值f(x0)和斜率f'(x0)；
3. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，求得下一个近似解xn+1；
4. 重复步骤2和步骤3，直到满足收敛条件。

1. 将方程进行因式分解，得到形如(x-a)(x-b)(x-c)...=0的结果；
2. 通过解方程(x-a)(x-b)(x-c)...=0的每一个括号，求得方程的全部根；
程序实现是将上述数值方法和符号方法转化为计算机程序的过程。

具体而言，可以使用编程语言（如Python、C++等）编写相应的函数或算法，通过输入方程的系数和参数，输出方程的根。

在实现过程中，需要注意算法的效率和精度问题，避免数值计算误差和符号计算复杂度过高的情况。

一元高次方程的计算机程序的求根研究一元高次方程在数学中占据着重要的地位，它们的求根问题一直是数学研究和实际问题中的重要内容。

随着计算机技术的发展，计算机程序在解决一元高次方程的求根问题上扮演了重要的角色。

本文将分析一元高次方程的求根问题，并结合计算机程序的研究，探讨如何利用计算机程序更有效地求解一元高次方程的根。

一元高次方程是指形如ax^n + bx^(n-1) + ... + k = 0的方程，其中n为正整数，a、b、...、k为实数。

一元高次方程的求根问题是指求解该方程的根的问题。

对于一元高次方程而言，求解其根的问题一般来说并不是那么容易，特别是在高次方程的情况下，传统的解法可能会变得十分繁琐。

对于一元高次方程的求根问题进行研究具有重要的意义。

在研究一元高次方程的求根问题时，首先需要明确一元高次方程的根的概念。

一元高次方程的根指的是能够使该方程成为恒等式的未知数的值。

通常情况下，一元高次方程的根不一定是整数，可能是实数或者复数。

在求解一元高次方程的根时，需要考虑到不同类型的根，以及对根的求解方法进行研究。

在求解一元高次方程的根时，传统的方法主要包括公式法、试根法、牛顿法等。

这些方法虽然可以求解一元高次方程的根，但在高次方程的情况下，求解过程会变得极为繁琐。

而且，传统的方法往往对于复数根的求解能力较差，因此需要寻求更加有效的方法来解决一元高次方程的求根问题。

计算机程序的研究为解决一元高次方程的求根问题提供了新的思路和方法。

通过编写计算机程序，可以实现对一元高次方程的自动求根，并且可以利用计算机的高速计算能力来加速求解的过程。

在编写计算机程序时，可以利用不同的算法和数据结构来实现对一元高次方程的求根，从而提高求解的效率和精度。

在实际问题中，一元高次方程的求根问题经常出现在各个领域，例如物理、工程、经济等。

通过编写计算机程序来解决一元高次方程的求根问题，可以提高求解的效率和精度，从而更好地解决相关的实际问题。

一种求高次代数方程全部根的矩阵方法
尚德泉
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2009(028)005
【摘要】本文以行列式和矩阵为工具,建立了一种求一元高次方程全部根的矩阵方法.实例说明,该方法是简单高效的.
【总页数】2页(P57-58)
【作者】尚德泉
【作者单位】甘肃中医学院,公共课部,甘肃,兰州,730000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.22
【相关文献】
1.高次伴随矩阵与逆高次伴随矩阵及其特征根 [J], 吴亚敏;孔志宏;何绍勇
2.求次数≤6的代数方程根的一种数值计算方法 [J], 王丽萍;张志海;娄喜娟
3.关于求鳞状循环因子矩阵m次根的一种快速算法 [J], 梅颖;卢诚波
4.求无重根时代数方程根的一种数值迭代方法 [J], 张志海;田伶改
5.D-Q方法求实系数高次代数方程的全部根 [J], 孟庆昌
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一元高次方程的计算机程序的求根研究一元高次方程是数学中的基础知识之一，它在实际生活和科学研究中都有着广泛的应用。

而计算机程序的求根方法是对一元高次方程的求解过程进行自动化计算的一种方式，因此研究一元高次方程的计算机程序的求根方法具有重要的意义。

一元高次方程的求根问题最早可以追溯到公元600年左右的印度，当时印度的数学家用手工的方式求解高次方程，直到后来欧洲的数学家才发展出多种求解高次方程的方法，如拉格朗日插值法、牛顿迭代法、二分法等。

随着计算机技术的发展，求解高次方程的计算方法也不断得到改进和创新。

其中，拉格朗日插值法是求解高次方程的经典方法之一，它通过对高次函数进行插值逼近来求解方程的根。

具体步骤如下：假设需要求解的高次方程为：$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$，1.首先将高次方程进行插值，即将$x$用$n$个插值节点$x_i$来代替，得到：$$f(x)=f(x_1)\prod_{i=2}^{n}\frac{x-x_i}{x_1-x_i}+f(x_2)\prod_{i=1,i\neq 2}^n\frac{x-x_i}{x_2-x_i}+...+f(x_n)\prod_{i=1,i\neq n}^{n}\frac{x-x_i}{x_n-x_i}$$其中，$f(x_i)$表示插值节点$x_i$对应的函数值。

2.由于$f(x)=0$，因此可以将插值后的方程中所有$x$替换为未知数$t$，得到：3.使用牛顿迭代法对方程$F(t)$进行求解，得到未知数$t$的解$t_0$，即为原方程$f(x)$的一个根。

在实际实现中，可以采用一些优化措施来提高拉格朗日插值法的求解效率，比如二分法确定插值节点、采用牛顿插值法、拉格朗日插值多项式等。

除了拉格朗日插值法外，牛顿迭代法（Newton Iteration Method）也是求解一元高次方程的一种重要方法。

牛顿迭代法的求解步骤如下：1.假设有一异于根$x_0$的初始值$x_1$，2.将其代入$f(x)$，3.然后根据一阶泰勒公式可以得到：$$f(x)\approx f(x_1)+(x-x_1)f'(x_1)$$即$f(x)$在$x_1$处的切线逼近了$f(x)$的曲线。

《数学思维与能力训练》辅导讲义姓名 辅导时间一元高次方程及其解法【知识要点】1、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元 整式方程。

2、一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数)，这个方程叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程。

3、如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程叫二项方程。

关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：ax n + b = 0 (a ≠0，b ≠0，n 为正整数) 当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根当n 为偶数时，如果ab < 0时，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数 如果ab > 0时，那么方程没有实数根4、一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程关于x 的双二次方程的一般形式为：ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠0)解双二次方程的一般过程是：换元、解一元二次方程、回代【夯实基础】［例题1］1、下列方程是一元高次方程的是 ( )① (x 2 – 3x) 2 – 3 (x 2 – 3x) – 4 = 0 ② x (x 2 – 2x) – 3 = x 3 – 4③ 24= ④ 3318x x+= ⑤ x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0A 、①②B 、③④C 、④⑤D 、①⑤2、下列四个命题中正确的是( )A、方程x 2– 3x – 4 = x中一次项是– 3xB、方程x 2 = 1的实数根只有1C、关于x的方程2x 2 + mx = 0中有一根是零D、方程(x + 2) (x + 3) = x (x + 2 )是一元二次方程［例题2］1、解方程x 3– 9x 2 + 20x = 02、解方程x 3– 4x 2– 4x + 16 = 03、解方程x 4– x 2– 20 = 04、解方程(x 2– x) 2– 4 (x 2– x) – 12 = 05、解方程(x 2 + 3x) (x 2 + 3x + 2) = 1206、解方程x 4 + 5x 3 + 2x 2 + 5x + 1 = 0【小试牛刀】1、解方程(ax) 2 + x 2 = a + 12、解方程x 3– 10x 2 + 9x = 03、解方程x 3– 3x 2– 6x + 18 = 04、解方程5x 4– 21x 2 + 4 = 05、解方程(6x 2– 7x) 2– 2 (6x 2– 7x) – 3 = 0【拓展探究】1、解方程(x 2– 2x + 3) 2 = 4x 2– 8x + 92、解方程(x + 1) (x + 2) (x – 4) (x – 5) = 403、已知关于x的方程x 2 + ax + b = 0只有一个实数根为1，求a与b的值。