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4. 4.2 参数方程与普通方程的互化理教材自查自测固“基础n主学习区I1.过定点Podo，为），倾斜角为Q的直线的参数方程为Q为参数）,其中参数伯勺几何意义：有向线段尸0尸的数量（P为该直线上任意一点）.2・圆x2+y2 = r2的参数方程为（0为参数）. 圆心为Mod。
，沟），半径为厂的圆的参数方程为（0为参数）.2 23.椭圆~2~\-^2= 1的参数方程为（°为参数）.1.普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟【提示】不一定惟一.如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.2.将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程.②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.例如对于x=«(f+y)cos 0,参数方程』 1 如果》是常数，0是参数,那么y=a(t—~)sin 0,可以利用公式si『0+cos20=l消参；如果0是常数，(是参数，那么适当变形后可以利用(/n+n)2— (m—riy—^mn消参.破疑难师生互动提“知能"合作探究区I参数方程化为普通方程■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■将下列参数方程化为普通方程:（伪参数）; x=5cos 0v=4sin 0一（0为参数）・【自主解答】(1)由兀=咅|,得》=芒|. 代入y =芒7化简得y=])(xH 1)•①2 +②彳得首+吒—. ⑵由 尸 5cos0,得 < y=4sin 0—1 -X cos &=§,・ 丁+1 sin 0=~~・②•变貳训练将下列参数方程化为普通方程:（伪参数）;x=2 + 3cos 0（0为参数）・（2）］y=3sin0【解】（1）丁兀=》+*, .•・F=d+》+2.把y=F+右代入得兀2=歹+2.又°・°兀=/++，当/>0时，兀=『+*$2；当TV0时，•X=/+：W—2.•：兀三2或xW —2.•••普通方程为/=丁+2（兀三2或xW-2）.|x=2 + 3cos 0,⑵［y=3sin6»x—2 cos 6=~T~可化为？3sin <9=扌.两式平方相加，得（宁）2 + （討=1・即普通方程为（X-2）2+J2=9.根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方(1)0 3')5?)=]' X =A /5COS &+1.(0为参数)(2)F —y+x —1=0, «x=f+l ・(f 为参数)普通方程化为参数方程程.这就是所求的参数方程.【自主解答】⑴将A /3 COS 0+1代入+25 -=1 得： y=2+^/5sin 0.x=\[3cos 0+1,y=\l5sin 0+2 2) （0为参数）,(2)将x=t+1 代Ax2—y+x— 1 =0得: y=x2+x— l=(f+l)2 + /+l — 1 ="+3/+1,|x=r+l,y = F + 3/+1 （伪参数），这就是所求的参数方程.•娈 it ill IS方程.【解】 ffix 2+y 2 + 2x —6y+9 = 0化为标准方程为（x+ 厅+e —3）2=L\x= — 1 +cos 3,[y=3 + sin 3已知 的方程为x 2+y 2+ 2x —6y+9 = 0,将它化为参数 参数方程为 （0为参数）.类型3j利用参数求轨迹方程过A(1,O)的动直线/交抛物线于=8兀于M, N两点，求MN中点的轨迹方程.【思路探究】设出直线MN的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中T的几何意义及根与系数的关系解题.\x= 1 +fcos g【自主解答】直线MN方程^ (ctHO, t[y=fsin a为参数)代Ay2 = 8%,得rsin2a—8fcos a—8 = 0.设M，N对应参数为j t» MN中点G的参数为&贝肛o= 1. 4cos a刃+沪%=1 + 4cos% sin2a4cos a消去a得于=4(% — 1).I规律方法I1.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.2.涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数/的几何意义.3经过点4(一3, - 倾斜角为的直线/与2+/=25 相交于B、C两点.(1)求弦BC的长;(2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；(3)当BC=8时，求直线BC的方程；(4)当a变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程.【解】取为参数（P为/上的动点）,x= —3 + fcos a,则/的参数方程为］_ 3 | .y=—㊁十fsin a,代A X2+/=25,整理，得2, 55t— 3(2cos a+sin a)t—~^=O.V J = 9(2cos GC+sin a)2 + 55>0恒成立，・•・方程必有相异两实根G t2,且+ ?2 = 3(2cos a +sin a),『1・》2= —4 •(1)BC—\t\—纫=寸(^1 +》2)2 — 4如2 = ^9(2cos oc+sin a)2+ 55.(2)TA为BC中点,・・"i+t2=0,艮卩2cos a+sin a = 0, tan a=—2.3故直线BC的方程为y+，= — 2(x+3),即4x+2y+15 = 0・(3) VBC=A J9(2COS a+sin a)2+55 = 8,/• (2cos a+sin a)2=1. • \cos a = 0或tan a= —・•・直线BC的方程是兀=一3或3x+4y+15=0.f +f 3⑷J BC的中点M对应的参数是尸-1于 =(2cos « + sina),・••点M的轨迹方程为3x=—3+^cos a(2cos a+sin a),3 3 (0Wa<7i).y=—空+㊁sin a(2cos a+sin a)3 3 1 .x+/=^(cos 2a+㊁sin 2a),,3 3 1 r、y 十才=^(sin 2a —㊁cos 2a)..•.(x+|)2+(y+|)2=j|.即点M的轨迹是以(一I，一扌)为圆心，以呼为半径的圆.x=3cos 0— 1,⑵幕3sin0+2 （°为参数）;|x——4+3f,y=3-4t（/为参数）;y=Tv?x cos 3"y=Z?tan 3 lx =sin 0j⑸ty=cos 23（t 为参数）;(3) x=i+7, 4r（0为参数）; （0为参数）.x=5cos （p j求过椭圆仁（。
高次方程的根式解【教学目标】1．掌握定理，阿贝尔的重要结论。
2．熟练运用定理，阿贝尔的重要结论解决具体问题。
3．亲历高次方程的根式解的探索过程，体验分析归纳得出定理，阿贝尔的重要结论，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握定理，阿贝尔的重要结论。
难点：定理，阿贝尔的重要结论的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习高次方程的根式解，这节课的主要内容有一个美好的希望、消息有好有坏、群论解决问题，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解定理，阿贝尔的重要结论内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习定理，它的具体内容是：为了使一个n次方程可用根式解，必须且只需它的伽罗瓦群是可解群它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：为了使一个n次方程可用根式解，必须且只需它的伽罗瓦群是_____。
解析：根据定义可以得知答案：可解群。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：请同学们写出伽罗瓦群的具体内容。
（3）接着，我们再来看下阿贝尔的重要结论内容，它的具体内容是：高于四次的一般方程不能用根式求解。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：_____的一般方程不能用根式求解解析：根据定义可以获得答案：高于四次。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：阿贝尔的重要结论中最重要的群是_____和_____。
三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了定理，阿贝尔的重要结论（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．请写出伽罗瓦群的定义。
2．请写出阿贝尔的重要结论。
3．请写出定理的具体内容。
高次方程的根式解【学习目标】1．掌握高次方程的根式解的解法。
2．熟练运用高次方程的根式解。
3．亲历高次方程的根式解探索过程，体验分析归纳得出结论的过程，发展探究、交流能力。
【学习重难点】重点：掌握高次方程的根式解的解法。
