高考数学一轮单元复习：简单的三角恒等变换

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 22.简单的三角恒等变换学案

【学习目标】

1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

预 习 案

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝ ；(2)cos2α＝ ＝ －1＝1－ ；

(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．

2．半角公式：(1)sinα2＝ ； (2)cosα2＝ ；

(3)tanα2＝ ＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.

3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝ 都适用．

4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝ ；sin2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ .

【预习自测】

1．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为

( )

A. 1＋m2 B.1－m2 C．± 1＋m2 D. 1＋m2

2．设sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．

3．函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．

4．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝59，那么sin2θ的值为________．

1 第6讲 倍角公式及简单的三角恒等变换

基础巩固

1.函数f(x)=cos2-sin2+sin x的最小正周期是( )

A. B.π C. D.2π

【答案】D

【解析】f(x)=cos x+sin x=sin,

故函数f(x)的最小正周期是T=2π.

2.函数y=sin22x是( )

A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数

C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数

【答案】D

【解析】∵y=sin22x=,∴函数y=sin22x是周期为的偶函数,故应选D.

3.等于( )

A.- B.- C. D.

【答案】D

【解析】原式=cos2-sin2=cos=cos=.

4.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=,则a,b,c的大小关系是( )

A.a

C.a

【答案】C

【解析】a=sin 59°,c=sin 60°,b=sin 61°,

故a

或a2=1+sin 28°<1+=,b2=1+sin 32°>1+=,c2=,所以a

5.若

A. B.±

C. D.±

【答案】A

【解析】∵cos α=1-2sin2,∴sin2==.

又<<,∴sin=.

6.(2012·山东卷,7)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ=( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由θ∈,得2θ∈.

又sin 2θ=,故cos 2θ=-.

故sin θ==.

7.已知下列各式中,值为的是( )

A.sin 15°cos 15° B.cos2-sin2

C. D.

【答案】B

【解析】∵sin 15°cos 15°=sin 30°=;

cos2-sin2=cos=;

=×=×tan 60°=; 2 =cos 15°=cos(45°-30°)

=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.

8.(2012·江西卷,4)若=,则tan 2α=( )

- 1 - 专题21 简单的三角恒等变换

1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

1．公式的常见变形

(1)1＋cosα＝2cos2α2；

1－cosα＝2sin2α2；

(2)1＋sinα＝(sinα2＋cosα2)2；

1－sinα＝(sinα2－cosα2)2.

(3)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.

2．辅助角公式

asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，

其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.

高频考点一 三角函数式的化简与求值

例1、(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.

(2)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα²cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________. - 2 - 答案 (1)12cos2x (2)268

解析 (1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12³sinπ4－xcosπ4－x²cos2π4－x

＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x

＝cos22x2sinπ2－2x

＝cos22x2cos2x＝12cos2x.

【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

1

简单的三角恒等变换

基础巩固组

1.函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( )

A.π2 B.π C.3π2 D.2π

2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( )

A.15 B.√55 C.-√55 D.2√55

3.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( )

A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0

4.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P(𝑥,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2𝛼+√2+2cos2𝛼的值等于( )

A.95 B.75 C.65 D.3

5.已知cos2π3-2θ=-79,则sinπ6+θ的值等于( )

A.13 B.±13 C.-19 D.19

6.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tanα+π4= ( )

A.-32 B.-23 C.-3 D.-13

7.(多选)下列各式中,值为12的是( )

A.cos2π12-sin2π12 B.tan22.5°1-tan222.5°

C.2sin 195°cos 195° D.√1+cosπ62

8.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f(x)=sin xsin(𝑥+π3)−14的定义域为[m,n](m

A.5π12 B.7π12 C.3π4 D.11π12 2

9.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan𝛼2=√52,则sinπ2+α=

.

10.(2020山东济南一模,13)已知cos2α-π3=23,则12-sin2α-π6的值为

.

11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sinα-π4=√55,则tan α= .

12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sinα+π4,则sin 2α的值为 .