圆专题
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圆专题
考点一
1．圆的定义有两种方式
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
(3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性．．．．．．．
考点二
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
考点三
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
考点四
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．
2．性质
(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数；
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半；
(3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等；
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
中考典例解析
(1)(2010·重庆)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于( )
A．140° B．130° C．120° D．110° 例1(1)题 例1(2)题
(2)(2010·哈尔滨)如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是( )
A．22 B．23 C.5 D．35
(3)(2010·襄樊)已知：⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB、CD之间的距离为( )
A．17 cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm或7 cm
(4)(2010·南通)如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( ) A．1
B.2
C.3 D．2
(1)(2010·南通)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．
(2)(2009·南充)如图，半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，BC＝6.
①求弦AC的长；②若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．
【点拨】(1)题考查垂径定理及其推论．
(2)题主要考查“直径所对的圆周角为直角，勾股定理及三角形的相似判定和性质”，属于综合题．仔细审题，明确已知和未知条件是关键．
【举一反三】
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝________.
(第1题) (第2题)
4．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( )
A．25° B．40° C．30° D．50°
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3 cm，则弦CD的长为( B )
A.32 cm B．3 cm C．23 cm D．9 cm
(第6题)
6. 如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝23 cm.(1)求∠BAC的度数；(2)求⊙O的周长．
【考点训练】
一、选择题
1．(2010·天津)如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于( )
A．30° B．35°
C．40° D．50°
2．(2010·兰州)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )
A．15° B．28° C．29° D．34°
3．(2010·龙岩)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D等于( )
A．25° B．40° C．30° D．50°
4．(2009中考变式题)如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．(2009中考变式题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，AC＝2，则sinB的值是( )
A.23 B.32 C.34 D.43
6．(2011中考预测题)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不．成立．．的是( )
A．∠COE＝∠DOB B．CE＝DE C．OE＝BE D. BD＝BC
7．(2011中考预测题)如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度AB为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为( )
A．5米 B．8米 C．7米 D．53 米
8．(2010·芜湖)如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )
A．19 B．16 C．18 D．20
9．(2010·兰州)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( )
A．2 B．3 C.3 D．23
10．(2010·长沙)如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C. AC＝BC
D．∠BAC＝30°
11．(2010·河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
12．(2009中考变式题)用一把带有刻度的直角尺，(1)可以画出两条平行的直线a与b，如图①；(2)可以画出∠AOB的平分线OP，如图②；(3)可以检验工作的凹面是否为半圆，如图③；(4)可以量出一个圆的半径，如图④.
上述四种说法中，正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．(2010·安徽)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是BAC上一点，则∠D＝________.
14．(2010·成都)如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B＝60°，∠C＝70°，则∠BOD的度数是________．
15．(2010·北京)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8，则AE＝________
16．(2010·黄冈)如图，⊙O中，MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN＝________.
三、解答题
17．(12分)(2011中考预测题)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E，已测得sin∠DOE＝1213.
(1)求半径OD；
(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
18．(12分)(2011中考预测题)如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F.
(1)请写出三条与BC有关的正确结论；
(2)当∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．
19．(12分)(2009中考变式题)如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC.
(1)求证：AC平分∠OAB；
(2)过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P.若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．
