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圆的问题专题

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第 1 页 共 10 页 专题-圆的问题

专题知识回顾

一、与圆有关的概念与规律

1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

10. 点和圆的位置关系：

① 点在圆内点到圆心的距离小于半径

② 点在圆上点到圆心的距离等于半径

③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径

11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。

13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

14．圆内接四边形的特征：  第 2 页 共 10 页 ①圆内接四边形的对角互补；

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

15.直线与圆有3种位置关系：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

① 直线和⊙O相交；

② 直线和⊙O相切；

③ 直线和⊙O相离。

16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。

17.切线的性质

（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角。

20．设圆1O的半径为1r，圆2O的半径为2r，两个圆的圆心距12||dOO，则：

两圆外离 12drr；

两圆外切 12drr；

两圆相交 1212||rrdrr；

两圆内切 12||drr；

两圆内含 12||drr

21.圆中几个关键元素之间的相互转化

弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

22.与圆有关的公式

设圆的周长为r，则：

（1）求圆的直径公式d=2r llrdlrdlrd 第 3 页 共 10 页 （2）求圆的周长公式 C=2πr

（3）求圆的面积公式S=πr2

二、解题要领

1.判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算：

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

专题典型题考法及解析

【例题1】如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）

A．60° B．50° C．40° D．20° 第 4 页 共 10 页 【例题2】如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．

【例题3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．

（1）求证：AC是⊙D的切线；

（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

【例题4】如图，AE为Oe的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.

（1）求证：DOAC∥；

（2）求证：2DEDADC;

（3）若1tan2CAD，求sinCDA的值.

专题典型训练题

一、选择题

1．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）

A．22.5° B．30° C．45° D．60° FEDOABC 第 5 页 共 10 页 2.如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）

A．35° B．38° C．40° D．42°

3.如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

4.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5.如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）

A．130° B．140°

C．150° D．160° 第 6 页 共 10 页 6.如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD

7.平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）

A．32° B．31°

C．29° D．61°

9．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD

10.如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）

A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定

第 7 页 共 10 页 二、填空题

11.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.

12.半径为5的¤O是锐角三角形ABC的外接圆,AB＝AC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为______.

13. 如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是____________．

14.如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．

15.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °． AOBCD 第 8 页 共 10 页

16.如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21°，则 ∠A的度数为_______.

17.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，

则CD的长为

．

18.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B.C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．

19.如图，O 为Rt△ ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知

BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．

20.如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ． OCBDA

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直线与圆中的最值问题专题

直线与圆中的最值问题专题

精心整理

精心整理 直线与圆中的最值问题

一、到圆心距离的最值问题：

二、到圆上一点距离的最值问题：

三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：

四、与圆半径有关的最值问题：

强化训练

1、如图24－1，已知圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．

2、直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值为________．

3、已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0

(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；

(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．

4、若曲线x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上的任意一点关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R＋)的对称点仍在该曲线上，则＋的最小值是________．

5、已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2，r>0}，若点(x，y)∈A是点(x，y)∈B的必要条件，则r的最大值是________．

6、已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1)，且CP的斜率为－1.

(1)试求⊙C的方程；

(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交⊙C于E，F两点，l2交⊙C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．

7、点A在圆xy53922上，则点A到直线3420xy的最短距离为（）

A.9 B.8 C.5 D.2

8、)0,3(P在圆0122822yxyx内一点．

求（1）过P的圆的最短弦所在直线方程

（2）过P的圆的最长弦所在直线方程

9、已知实数x，y满足方程22(2)3xy．

（1） 求yx的最大值与最小值；

（2） 求yx的最大值与最小值；

专题复习-“隐形圆”问题 - 无答案

专题复习-“隐形圆”问题 - 无答案

1

2 “隐形圆”问题

一、问题概述

江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没

有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），

从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．

二、求解策略

如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．

策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

例 1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取

值范围是 ．

（2）（2016 年南京二模）已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝

1．若圆 M 上 存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得∠APB＝

60°，则 a 的取值范 围为 ．

（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A、B 是圆 C : x2  y2  1 上的动点， AB= 3 ， P 是圆

C : (x  3）2  ( y  4)2 1 上的动点，则 PA  PB 的取值范围是 （4）若对任意R，直线 l：xcos＋ysin＝2sin(＋  )＋4 与圆 C：(x－m)2＋(y－ 3 m)2

6

＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是

例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2  y2  4 上两点，

点 A(1，1) ，且 AB⊥AC，则线段 BC 的长的取值范围为 ．

y

B M

C

A

变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x2  y2  16 ，点

P (1, 2) ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM  PN  0 ，若 PQ  PM  PN ，则 PQ 的

直线与圆中的最值问题专题 2

直线与圆中的最值问题专题 2

直线与圆中的最值问题

一、到圆心距离的最值问题：

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二、到圆上一点距离的最值问题：

三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：

四、与圆半径有关的最值问题：

2213480,2210,PxyPAPBxyxyABCPACB例：已知是直线上的动点，是圆的两条切线,是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。2221:250PxyQlxyPQ例：已知是圆上一点，是直线上一点，求的最小值。222231,0,1,0344ABxyPPAPBP例：已知定点和圆上的动点，求使最值时点的坐标。2204134312xxyyxxyxy例：设，满足求的最小值。2222,(1)1,2134 2 31xyxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（）（）2224301.2.,CxyxyCxyCPxyPMMOPMPOPMP练习2：已知圆：若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程；从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求使最小的点的坐标。

强化训练

1、如图24－1，已知圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．

222210,,2,2.1.2222..CxyxylxyABOOAaOBbabClabABAOB例5：已知与曲线：相切的直线交轴,轴于两点，为原点,求证曲线与直线相切的条件是；求线段中点的轨迹方程；3求的面积的最小值。0,0,4,0,0,3,,ABCABCPPAPBPC练习3：已知三个顶点坐标，点是它的内切圆上一点，求以为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。4(1)2(2)3:1(1)(2):20yxlxy练习：设圆满足：截轴所得弦长为；被轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。

专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系

专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系

第六讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、学习目标

1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

二、疑 难 辨 析

1．关于直线与圆的位置关系

(1)直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝12相切．( )

(2)直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相离．( )

2．关于圆与圆的位置关系

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )

3．关于圆的切线与公共弦．

(1)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )

(2)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )

三、典例分析

例1(1)[2012²安徽卷] 若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )

A．[－3，－1] B．[－1,3]

C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

(2)[2012²湖北卷] 过点P(1,1)的直线，将圆形区域{}x，y|x2＋y2≤4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )

A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0

C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0

例2 (1)[2012²福建卷] 直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )

A．25 B．23 C.3 D．1

(2)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．