利用分段函数求解问题

高中数学解题技巧之分段函数不等式

在高中数学中，分段函数和不等式是两个重要的概念。分段函数是指定义域上由不同的函数组成的函数，而不等式则是数学中用于表示数之间大小关系的符号组合。本文将重点讨论如何解决分段函数不等式的问题，并给出一些实例来说明解题的思路和方法。

首先，我们来了解一下分段函数不等式的基本概念。分段函数不等式是指一个由多个函数构成的函数在定义域上满足一定的不等式关系。例如，考虑以下分段函数不等式：

f(x) =

{

x^2, x < 0

2x, 0 ≤ x < 1

3, x ≥ 1

}

我们的目标是找到定义域上满足不等式 f(x) < 2 的解集。为了解决这个问题，我们可以将不等式分成三个部分来讨论，即对于 x < 0、0 ≤ x < 1 和 x ≥ 1 分别进行讨论。

对于 x < 0，我们有 x^2 < 2。这是一个二次方程不等式，我们可以通过求解二次方程的方法来找到解集。将不等式转化为等式，得到 x^2 = 2。通过求根公式，我们可以得到 x = ±√2。由于 x < 0，所以解集为 x = -√2。

对于 0 ≤ x < 1，我们有 2x < 2。这是一个一次方程不等式，我们可以直接解得

x < 1。由于 0 ≤ x < 1，所以解集为 0 ≤ x < 1。 对于 x ≥ 1，我们有 3 < 2。这是一个恒不成立的不等式，因此在这个区间内不存在满足不等式的解。

综上所述，分段函数 f(x) < 2 的解集为 x = -√2 和 0 ≤ x < 1。

通过上述例子，我们可以总结出解决分段函数不等式的一般步骤：

1. 将分段函数按照定义域的不同区间进行讨论。

2. 对于每个区间，将不等式转化为等式，并求解该等式。

3. 根据定义域的限制，确定解集的范围。

除了以上的基本步骤，我们还可以应用一些数学技巧来简化解题过程。例如，我们可以利用分段函数的性质来简化不等式的求解过程。

定积分的分段函数法

定积分是高等数学的一个重要分支，其作用广泛，可以用于求曲线下面的面积、质心、转动惯量等问题。本文主要介绍定积分中的分段函数法，着重讲解如何利用分段函数法求解复杂问题。

1. 分段函数的定义

分段函数指的是在自变量的定义域内，函数值由不同的公式或分支组成的函数。通常情况下，我们用一条垂直于x轴的直线把自变量的定义域分成若干段，每一段内采用不同的函数公式。

假设f(x)在[a,b]区间内是一个分段函数，可以表示为

f(x) = {f1(x) (x∈[a,x1))

{f2(x) (x∈[x1,x2))

...

{fn(x) (x∈[xn,b])

其中，[a,x1)，[x1,x2)，...,[xn,b] 是定义区间，f1(x), f2(x),...,fn(x)

是在对应的定义区间上定义的函数公式。

2. 分段函数法求解定积分

在计算定积分时，当被积函数为分段函数时，就可以采用分段函数法对其进行求解。

我们以一个简单的例子来说明如何使用分段函数法求解定积分。

例：计算 $\int_0^2 |x-1|dx$

由于|x-1|在不同的定义区间上取值不同，在[0,1] 和 [1,2]两个区间内，可以分别采用不同的函数公式进行计算。

因为在 [0,1] 区间上， $|x-1|=1-x$，在 [1,2] 区间上 $|x-1|=x-1$，因此可以得到

$\int_0^2 |x-1|dx = \int_0^1 (1-x)dx +\int_1^2 (x-1)dx$

化简得到

$\int_0^2 |x-1|dx=\int_0^1 dx-\int_0^1 xdx+\int_1^2 xdx -\int_1^2

dx$

简化后得到

$\int_0^2 |x-1|dx= [\frac{1}{2}x^2-x]_0^1 +[\frac{1}{2}x^2-x]_1^2$

计算得到$\int_0^2 |x-1|dx=1$

1.已知函数f（x）＝232,1,,1,xxxaxx若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

2. 已知函数3log,0()2,0xxxfxx，则1(())9ff

A.4 B. 14 C.-4 D-14

【答案】B

【解析】根据分段函数可得311()log299f，则211(())(2)294fff，

所以B正确.

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=

0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则f（2009）的值为( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得2(1)log21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,

(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff,

(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

4.设函数2()2()gxxxR，()4,(),(),().(){gxxxgxgxxxgxfx则()fx的值域是

（A）9,0(1,)4 （B）[0,) （C）9[,)4（D）9,0(2,)4

【答案】D

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知22222(4),2()2,2xxxxfxxxxx，222,12()2,12xxxfxxxx或

5.若函数f(x)=212log,0,log(),0xxxx,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

分段函数问题

1.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．

（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？

（2）求的值，并写出当x＞10时，与之间的函数关系式；

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？

2.（2013陕西）“五一节“期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是分们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象。

（1） 求他们出发半小时时，离家多少千米？

（2） 求出AB段图象的函数表达式

他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？；

O y/千米

x/小时 90 170

1.5 2.5 B

A

第21题图 3.（2013•衢州）“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．

（1）求a的值．

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．

（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？

4.（2013•淮安）甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路ι步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟．y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2．