分段函数相关问题盘点
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分段函数在高中数学中占有重要的地位，是历年高考和学业水平测试常考内容之一。 但分段函数的概念教材并未详细叙述。这使得其披上了一层神秘的面纱。许多同学对其 了解不够，不能熟练掌握分段函数相关问题的处理方法。为此笔者将中学阶段常见的分
段函数有关问题盘点如下，以供参考。
一、求分段函数的函数值
设函 ，＝ ｘ ＞ ｌ ’拟 ｇ 值。例 设函 （ ） ｉ （ ＜ ）． ～ｇ（ ） ｉ２（ ）。 求－厂（ｇ（３））和ｇ 言））的值。
解析’．。３＞１，．・．ｇ（３）＝２’．．．－厂（ｇ（３））－－ｆ（２）＝３ｘ２＋１＝７。
又，．・一 ＜。，．．／ｆ＿ ）＝（一 １）。＝ ，．．ｇ １））＝ｇ（ １）＝２一（｛）。＝ 。
点评 在求分段函数的函数值时应当根据自变量的不同取值选择相应的解析式
计算。 二、解与分段函数有关的：ｆｉ－程
：ｆ２ ０）门’、若厂（。） １）：０，求。的值。 例２ 已知函 （ ） ｉ ＋ １（ ）
，若厂（。） ）＝０，求。的值。
解析 由题可 （１）：２１＿２，又．． （口） （１）：０，．・．＿厂（。）：一２，这个方程等价于ｆ： （无
解）或』 ， ．． 一３。 Ｉ ｒ上＋ｌ＝－２．
拓展在本例中“ ） １）＝０”改为“ （。） （ ａ】”，则求口的值。
解析。 《ａ １ ‘． ａ 【＋（ｎ＜Ｕ）． ＼ ２７（ａ＞Ｏ），
＋１（。＜０），
ａ ｆａ＞Ｏ， ｆ ０，
・・・ 口 （ ）等价于｛２ ２÷，或｛ｎ＋－＝ ＋ ，‘・・口＝ 或 ＝一 。
ｆｌｏｇＬｘ（ｘ＞Ｏ）， 例３ 设函数 ）＝｛ 厂（ｍ）＞２，求ｍ的取值范围。
甫 ，、 篮 工【ｍ＞ｏ。 ｆｍ＜０， 解析由题可撇 ＞２等价于１ｌｏｇ÷ｍ＞２＝ｌｏｇ￣－１，或 （’＿ ２＿ｌ０ｇ２４，
．‘．０＜ｍ＜｛或ｍ＜＿４’即ｍ∈（－－－，一４）Ｕ（０，＿＿１）。
拓展 本例中的条件若改为 ｍ）＜厂（一，ｎ），求ｍ的取值范围。
ｆｌｏｇ￣ｘ（ｘ＞Ｏ）， 解析 ‘．．厂（ ）＝｛ 【ｌｏｇ２（一 ）（ｘ＜Ｏ），
ｆｌｏｇ￣（－ｍ）（－ｍ＞Ｏ）， ｆｌｏｇ￣（－ｍ）（ｍ＜Ｏ）， ．・． 一ｍ）＝｛ 。 且Ｉ 一ｍ）＝｛ 【ｌ０ｇ２ｍ（－ｍ＜Ｏ）， ［１ｏｇ２ｍ（ｍ＞Ｏ），
・・・＿厂（ｍ） 一ｍ）等价于｛ｌ。ｇ ｍ＜ｌ。ｇ ，或｛１。ｇ：（一ｍ）＜ｌｏｇｚ（一ｍ），
即｛１ 或｛ １ ｌ一＜ｍ， ｌ－ｍ＜－一， Ｉ ｍ １ ｍ
．・．ｍ＞ｌ或一ｌ＜ｍ＜Ｏ，即，ｎ∈（一ｌ，０）Ｕ（１，＋。。）。
例４ 已知函数厂（ ）的图像如下图所示，求－厂（ ）的解析式。
Ｊ ｙ
／ １
－２ —１ ｒ）
一
１ 解析… 一 喊 得 １，
．・． ）： １ ＋１。
ｌ÷ ＋１（一２≤ ＜０）， 同理，当。＜ ＜２时’／ ＝一言 ，‘・・／ １一 （。＜ ＜２）。
点评求分段函数解析式时，应根据已知条件将定义域划分为若干个不同的区间，分
别求出函数在各区间的解析式。 五、分段函数奇偶性的判断
例５判断函数厂（ ）：ｆ （ 一 ）（ ＜ｏ）的奇偶性。 【 （１＋ ）（ ＞０） 解析 函数厂（ ）的定义域是（一∞，０）ｕ（Ｏ，＋∞），并且当 ＞Ｏ时，一ｘ＜Ｏ，
．・．－厂（一 ）＝（一 ）［１－－（－－Ｘ）］＝－－Ｘ（１＋ ）＝－ｆ（ｘ）（ｘ＞Ｏ）， ￣ｘ＜ＯＵ，－ｊ，一ｘ＞Ｏ，．・．－厂（一 ）＝一 （１－ｘ）＝－ｆ（ｘ）（ｘ＜Ｏ），
．・．由函数奇偶性的定义可知函数厂（ ）是定义域上的奇函数。
六、分段函数单调性的判断
例６ 判断函数厂（ ）＝…１－ｘ
…２（ｘ＜￣
，。）的单调性。
解析 业Ｘ－一．￣ ｋ／时 ）＝１一 是增函数，．．． ）≤１－０￣＝１；
当 ＞０时 ）＝３ 是增函数，．・． （ ）＞３。＝ｌ； 故 ）在（一∞，０］上的最高点不高于其在（０，＋∞）上的最低点，
．・． ）在定义域（一∞，＋∞）上是单调递增的。
拓展 若厂（ ）：ｆ ３。一 ） ＋４ｎ（ ＜ 是定义域Ｒ上的减函数，求ｎ的取值范围。 【ｌｏｇｏｘｆ ≥１） 解析 由题可知：函数厂（ ）首先要在（一∞，１）和［１，＋。。）上都为减函数，其 （ ）在
（一∞，１）上的最低点不低于厂（ ）在［１，＋∞）上的最高点。
ｆ３ａ一１＜０， Ｉ
’・｛０＜口＜１，
【（３ａ－１）×１＋４口≥ｌｏｇｏｌ， ．・． ７一 ３， ∈ｆ７， ３ 【 ／
总之，分段函数不论定义域被分成了几段，仍然是一个函数，但是在处理分段函数相
关问题时，一定要根据自变量的不同取值进行分段求解。．．Ｉ
