2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期线上第二次测试数学试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（国际部，含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.设集合{0,1,2}A =，2{|320}B x x x =-+≤，则A B =（ ）A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}【答案】D 【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B 得解.详解：由题得{|12}B x x =≤≤，所以{}1,2A B ⋂=.故答案为：D点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注意集合A 和集合B 的交集是有限集，不要写成了不等式.2.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是( )A. 22y x =-B. 3y x=C. 1y =D.2(2)y x =-+【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性判断A 、D 不对，由反比例函数的单调性判断B 不对，根据复合函数和幂函数的单调性判断C 对。

【详解】对于A ，因为22y x =-在(],0-∞上为减函数，在(0,)+∞为增函数，所以A 不对；对于B ，因为3y x=在(,0)-∞上为减函数，在(0,)+∞上也为减函数，所以B 不对；对于C ，因为y =(],2-∞上为减函数，所以1y =在(],2-∞为增函数，所以C 对；对于D ，因为2(2)y x =-+的对称轴是2x =-，所以(],2-∞-上为增函数，在(2,)-+∞为减函数，所以D 不对。

故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的判断，主要利用二次函数的单调性、反比例函数的单调性、以及复合函数和幂函数的单调性进行判断。

3.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z ︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【详解】，，或是，，根据集合元素的互异性，集合为，共含有3个元素，故选C.考点：元素与集合4.已知集合{}A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A. 03 B. 0或3C. 13D. 1或3【答案】B 【解析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.若3m =，则{3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.5.函数21()y x x x R =++∈的递减区间是( ) A. 1[,)2-+∞B. [1,)-+∞C. 1(,]2-∞-D.(,)-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先求出二次函数的对称轴12x =-；然后根据二次函数开口向上，在对称轴左侧函数单调递减，据此可写出二次函数的单调递减区间。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一上第二次阶段性验收数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题）1.的值是 cos 120∘()A.B.C. D.‒321232‒12【答案】D 【解析】解：cos 120∘=cos (180∘‒60∘)=‒cos 60∘=‒12故选：D ．根据诱导公式，转化为的余弦值．60∘本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，属基础题．2.已知为第四象限角，，则 αcosα=513sinα=()A.B.C.D.‒1213‒5135131213【答案】A【解析】解：为第四象限角，，∵αcosα=513，∴sinα<0∵sinα=‒1‒cos 2α=‒1‒(513)2=‒1213故选：A ．先根据为第四象限角，可知，再根据同角三角函数基本关系式可求的值．αsinα<0sinα本题以三角函数为载体，考查同角三角函数的平方关系，解题时应注意判断三角函数的符号．3.设，则 g(x)={2x ,x ≤0log 2x,x >0g(g(12))=()A. B.C. 2D.‒2‒1212【答案】D【解析】解： ，∵g(12)=log 212=‒1，∴g(‒1)=2‒1=12先求，再求即可．g(12)=‒1g(‒1)=12本题考查了函数的值，属基础题．4.已知扇形的面积是，弧长是4cm ，则该扇形圆心角的弧度数是 4cm 2()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题利用扇形的面积求出扇形的半径，然.后求出扇形的圆心角．【解答】解：因为扇形的弧长为4，面积为4，所以扇形的半径为：，解得：，12×4×r =4r =2则扇形的圆心角的弧度数为．42=2故选B ．5.当时，函数和的图象只可能是 0<a <1y =log a x y =(1‒a)x ()A. B.C.D.【答案】C【解析】解：由得是减函数，是增函数从而确定C <a <1y =log a x y =(1‒a)x .故选：C ．由来确定函数的单调性，再对照图象确定．0<a <1本题主要考查函数的图象在研究性质中的应用．6.已知角的终边过点，则的值是 θ(2,‒4)sin(π‒θ)sin (π2+θ)()A. B.C. 2D.‒2‒1212【解析】解：角的终边过点，则，θ(2,‒4)sin(π‒θ)sin (π+θ)=sinθcosθ=tanθ=‒42=‒2故选：A ．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．7.若，则x 取值范围为 x 3<x 12()A. B. C. D. (‒∞,1)(1,+∞)(0,1)(‒∞,0)【答案】C【解析】解：在同一坐标系内画出函数和的图象，如图所示；y =x 3y =x 1由图象知，不等式的解集是，x 3<x 12(0,1)故选：C ．在同一坐标系内画出函数和的图象，根据图象写出不等式的y =x 3y =x 12x 3<x 12解集即可．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.在中，，，则的值为 △ABC ∠C =120∘tanA +tanB =233tanAtanB ()A.B.C.D.14131253【答案】B 【解析】解：，tan(A +B)=tan (180∘‒120∘)=3=tanA +tanB 1‒tanAtanB=2331‒tanAtanB故，即．1‒tanAtanB =23tanAtanB =13故选：B ．根据，先求出的值，再求．A +B =180∘‒C =60∘tan(A +B)tanAtanB 本题主要考查两角和与差的正切公式属基础题．.9.已知是偶函数，它在上是减函数，若，则实数x 的取值范围是 f(x)[0,+∞)f(x ‒1)>f(1)()A. B. (‒∞,0)∪(2,+∞)(0,2)C. D. (‒∞,0)(2,+∞)【答案】B【解析】解：是偶函数，它在上是减函数，f(x)[0,+∞)若，则，f(x ‒1)>f(1)|x ‒1|<1，∴‒1<x ‒1<1解得，0<x <2实数x 的取值范围是．∴(0,2)故选：B ．根据题意把化为，求出解集即可．f(x ‒1)>f(1)|x ‒1|<1本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，是基础题．10.若函数在上有零点，则实数a 的取值范围为 f(x)=3x(x ‒a)‒1(0,+∞)()A. RB. C. D. (‒2,+∞)(‒2,‒1)(‒1,+∞)【答案】D【解析】解：函数在上有零点，∵f(x)=3x(x ‒a)‒1(0,+∞)在上有零点，∴x ‒a =(13)x(0,+∞)令，，g(x)=x ‒a ℎ(x)=(13)xx ∈(0,+∞)由可得，，结合图象可知，，g(0)=1a =‒1‒a <1∴a >‒1故选：D ．由函数在上有零点，可得在上有零点，结合函数的图象可判断f(x)=3x(x ‒a)‒1(0,+∞)x ‒a =(13)x(0,+∞)本题考查了函数的零点，函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．11.若，则 2lgx+5lgy≥5lg 1x+2lg 1y()A. B. C. D. x ≥yx ≤y xy ≥1xy ≤1【答案】C【解析】解：，∵2lgx +5lgy≥5lg 1+2lg 1即，∴2lgx ‒5lg 1x≥2lg1y‒5lgy2lgx ‒(15)lgx ≥(12)lgy ‒5lgy令，则f(x)=2lgx‒(15)lgxf(1y )=2lg 1y‒(15)lg 1y=(12)lgy ‒5lgy 在上单调递增，且，∵f(x)(0,+∞)f(x)≥f(1y )，∴x ≥1y故选：C ．∴xy ≥1由已知可知，，结合不等式的特点，考虑构造函数，结合函数的单调2lgx‒5lg 1≥2lg 1‒5lgyf(x)=2lgx ‒(15)lgx性可判断本题主要考查了利用对数函数的单调性及复合函数单调性的应用，解题的关键是构造函数并能灵活利用函数的单调性．12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数f(x)(‒∞,0)∪(0,+∞)x >0f(x)={2|x ‒1|‒1,0<x ≤21f(x ‒2),x >2的零点个数为 个．g(x)=2f(x)‒1()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】解：函数是定义在上的偶函数，∵f(x)(‒∞,0)∪(0,+∞)当时，，x >0f(x)={2|x ‒1|‒1,0<x ≤212f(x ‒2),x >2在同一坐标系画出函数的图象如下图所示，由图可得：函数图象与直线有6个交点，f(x)y =12故选：B ．函数的零点个数等于函数图象与直线交点的个数，数形结合可得答案．g(x)=2f(x)‒1f(x)y =12本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数且过定点的坐标是______．f(x)=a x ‒3+2(a >a ≠1)【答案】(3,3)【解析】解：因为当时，函数值，x =3f(3)=3可得函数过定点，f(x)P(3,3)故答案为： 3，．(3)首先根据函数过定点，知道其中的a 是不起作用，然后可知当时，a 不起作用，即可得到定点坐标．x =1本题主要考查了函数的性质，过定点问题是函数中的一类小的题型，一般思路都是设法让函数解析式中的参数不起作用，从而得到定点的坐标．14.若，则的最大值为______．f(α)=3sinα+4cosαf(α)【答案】5【解析】解：，其中，∵f(α)=3sinα+4cosα=32+42sin(α+φ)=5sin(α+φ)≤5tanφ=43的最大值为5．∴f(α)故答案为：5．利用两角和的正弦函数公式化简函数，利用正弦函数的性质即可得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．15.设，且，则______．α,β∈(0,π2)tanα‒tanβ=1cosβ2α‒β=【答案】π2【解析】解：，∵tanα‒tanβ=1cosβ，∴sinαcosα‒sinβcosβ=1cosβ，∴sinαcosα=1cosβ+sinβcosβ=1+sinβcosβ，∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ‒cosαsinβ=sin(α‒β)由诱导公式可得：，cosα=sin(α‒β)=cos [π2‒(α‒β)]，∵α,β∈(0,π2)，则，即．∴π2‒(α‒β)∈(0,π)α=π2‒(α‒β)2α‒β=π2故答案为：．π2把已知等式化切为弦，整理后利用两角差的余弦及三角函数的诱导公式求解．本题考查由已知三角函数值求角，考查两角和与差的三角函数，是基础题．16.设函数，已知对于任意，如果、满足，f(x)=x 2‒(k 2‒5ak +6)x +7(a,k ∈R)k ∈[0,3]x 1x 2x 1∈[k,k +a]，都有，则正实数a 的最大值为______．x 2∈[k +2a,k +4a]f(x 1)≥f(x 2)【答案】26‒45【解析】解：由，，，k ∈[0,2]x 1∈[k,k +a)x 2∈[k +2a,k +4a]可得，，a >0x 1<x 2对于，f(x)=x 2‒(k 2‒5ak +3)x +7恒成立，f(x 1)≥f(x 2)即为，x 21‒(k 2‒5ak +3)x 1+7≥x 22‒(k 2‒5ak +3)x 2+7化为，(x 1‒x 2)[x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)]≥0即有，x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)≤0即恒成立，k 2‒5ak +3≥x 1+x 2由，，x 1∈[k,k +a)x 2∈[k +2a,k +4a]可得，x 1+x 2<k +a +k +4a =2k +5a 即对恒成立，k 2‒5ak +3≥2k +5a k ∈[0,2]可得，5a ≤k 2‒2k +31+k 由，，t =1+k t ∈[1,3]则，k 2‒2k +31+k=(t ‒1)2‒2(t ‒1)+3t=t +6t ‒4≥26‒4当，即，上式取得等号，t =6∈[1,3]k =6‒1则，5a ≤26‒4的最大值为：∴a 26‒4故答案为：．26‒45运用分解因式，可得，即有，即(x 1‒x 2)[x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)]≥0x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)≤0恒成立，由条件可得对恒成立，可得，运用k 2‒5ak +3≥x 1+x 2k 2‒5ak +3≥2k +5a k ∈[0,2]5a ≤k 2‒2k +31+k 换元法和基本不等式即可得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题的解法、注意运用转化思想和参数分离以及基本不等式求最值，考查了推理能力与运算能力，属于难题．三、解答题（本大题共4小题）17.已知．cosα‒2sinαsinα+2cosα=2求的值；(1)tanα若，求的值．(2)π2<α<πsin(α+π4)【答案】解：已知，．(1)∵cosα‒2sinαsinα+2cosα=2=1‒2tanαtanα+2∴tanα=‒34若，，，，．(2)π2<α<π∵tanα=‒34=sinαcosαsin 2α+cos 2α=1∴sinα=35cosα=‒45．∴sin(α+π4)=22sinα+22cosα=22(sinα+cosα)=22⋅(‒15)=‒210【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值．(1)tanα由题意利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式，求得的(2)sinαcosαsin(α+π4)值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于基础题．18.已知定义域为R 的函数是奇函数．f(x)=a ‒22x+1求a 的值；(1)设，当时，求函数的最大值和最小值．(2)g(x)=4x+2f(x)‒1x ∈[‒1,2]g(x)【答案】解：定义域为R 的函数是奇函数，(1)f(x)=a ‒22x+1可得，即，f(0)=a ‒1=0a =1则，，f(x)=1‒21+2x=2x ‒12x +12‒22x +1由，f(‒x)+f(x)=2‒x ‒12‒x +1+2x ‒12x +1=1‒2x 2x +1+2x ‒12x +1=0可得为奇函数，f(x)故；a =1，(2)g(x)=4x +2f(x)‒1=4x +2‒22x +1=4x ‒2x ‒1可令，由，可得，t =2xx ∈[‒1,2]12≤t ≤4则函数，y =t 2‒t ‒1=(t ‒12)2‒54可得函数y 在递增，12≤t ≤4即有即时，取得最小值；t =12x =‒1g(x)‒54即时，取得最大值11．t =4x =2g(x)【解析】由奇函数的性质可得，解方程可得a 的值；(1)f(0)=0求得的解析式，令，由，可得，即有函数，运用二次(2)g(x)t =2xx ∈[‒1,2]12≤t ≤4y =t 2‒t ‒1=(t ‒12)2‒54函数的单调性可得所求最值．本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查指数函数的单调性和可化为二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．19.若．sin2α=55,sin(β‒α)=1010α∈[π4,π],β∈[π,32π]求的值；(1)cos2α求．(2)α+β【答案】解：，，(1)∵α∈[π4,π]∴2α∈[π2,2π]又，，∵sin2α=55>0∴2α∈(π2,π)；∴cos2α=1‒15=255，，(2)∵α∈[π4,π]∴‒α∈[‒π,‒π4]，又∴β‒α∈[‒3π4,3π4]0<sin(β‒α)=1010<22，，∴β‒α∈(0,π2)∴cos(β‒α)=1‒110=31010，∵α+β=2α+(β‒α)∈(π2,3π2)．∴sin(α+β)=sin[2α+(β‒α)]=sin2αcos(β‒α)+cos2αsin(β‒α)=55×31010+255×1010=22．∴α+β=3π4【解析】判断出，确定；(1)2α∈(π2,π)cos2α=1‒15=255由，和可得(2)α+β=2α+(β‒α)∈(π2,3π2)sin(α+β)=sin[2α+(β‒α)]=sin2αcos(β‒α)+cos2αsin(β‒α)．α+β=3π4本题考查的知识点是两角和的正弦公式和平方关系，注意变角，考查推理能力和计算能力．20.已知函数的定义域为，值域为，且为减函数，求实数f(x)=log a x ‒3[m,n)(log a a(n ‒1),log a a(m ‒1)]f(x)a 的取值范围．【答案】解：按题意，得．log a m ‒3m +3=f(x )max =log a a(m ‒1)，即　∴{m ‒3m +3>0m ‒1>0m >3由题意，log a n ‒3n +3=f min (x)=log a a(n ‒1)关于x 的方程，∴log a x ‒3=log a a(x ‒1)在内有二不等实根、n ，(3+∞)x =m 关于x 的二次方程在内有二异根m 、n ，⇔ax 2+(2a ‒1)x +3(1‒a)=0(3,+∞)．⇔{a >0,a ≠12△=(2a ‒1)2‒12a(1‒a)>0‒2a ‒12a >39a +3(2a ‒1)+3(1‒a)>0⇔0<a <14故．0<a <14【解析】由已知中在上为减函数，根据函数的单调性以及对数式中底数及真数的限制条件，可得f(x)[m,n)，关于x 的方程函数在内有二不等实根m 、n ，令m >3f(x)=log a x ‒3x +3=log a a(x ‒1)(3,+∞)，利用零点存在定理以及二次函数的性质列出不等式组，得到答案即可．Φ(x)=ax 2+(2a ‒1)x +3(1‒a)本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，据函数的单调性求出的最大值求出m 的范围，根据函数的单调性将问题转化为关于x 的方程在f(x)log a =log a a(x ‒1)内有二不等实根m 、n ，并由此构造关于a 的不等式组．(3,+∞)。

黑龙江省哈三中2020届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题及答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|21,,1,0,1,2,3,4A x x k k Z B ==-∈=-，则集合A B ⋂中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．42.已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．3i - B ．3i -+ C ．3i -- D ．3i +3.已知()1sin 653α︒+=，则()cos 25α︒-的值为（ ）A ．13-B ．13C ．D ．4.向量()()0,1,1,1a b ==-，则()32a b b +⋅=（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.已知,m n 表示两条不同直线，,,αβγ表示三个不同平面，以下命题正确的是（ ） A ．若,m m αβ，则αβ B ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂ ，则αβC ．若,m n αα⊂，则m nD ．若,,m n αβγαγβ⋂=⋂=，则 m n6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若128920a a a a +++=，则9S =（ ） A ．40 B ．45 C ．50 D ．557.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．8C D8.阅读如图所示的程序框图，若输出的结果是63，则判断框内n 的值可为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．510.在区间()0,2上任取两个实数,x y ，则2xy >的概率是（ ） A ．1ln 22- B ．ln 22 C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 11.已知()1,2A 是抛物线24y x =上一点，过点A 作直线,AD AE 分别交抛物线于,D E .若,AD AE 斜率分别记为,AD AE k k ，且0AD AE k k +=，则直线DE 的斜率为（ ） A ．1 B ．12-C ．-1D ．不确定 12.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'212xf x f x x +=，且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．2eB ．eCD ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,04,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦. 14.已知()()61a x x +-的展开式中3x 的系数为5，则实数a = .15.已知()f x 是定义在R 上周期为4的偶函数.若()f x 在区间[]2,0-上单调递减，且()10f -=，则()f x 在区间[]0,10内的零点个数是 .16.数列{}n a 满足()1232n n a a a a n a n N ++++=-∈.数列{}n b 满足()222n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a A C =++.（1）求角B 的大小；（2）求函数()()2cos 2cos 2f x x x B =+-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最下值及对应x 的值. 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，,,222,AB AD AB CD AB AD CD E ⊥===是线段PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC（2）若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为,,,,A B C D E 五个等级.某考场考生的两颗考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D 的考生恰有4人.（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数；（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A ，在至少一科成绩为A 的考生中随机抽取2人进行访谈，设这2人中两科成绩均为A 的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）设拖延()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 是线段2QF 的中点，若果2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:30l x -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()0,2M 的直线1l 与椭圆C 交于,G H 两点，且MG MH >.若实数λ满足MG MH λ=，求1λλ+的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln f x ax x b =++. （1）当0a =时，曲线()y f x =与直线1y x =+相切，求b 的值；（2）当1b =时，函数()y f x =图像上的点都在0x y -≥所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知线段BC 为圆O 的直径，A 为圆周上一点，AD BC ⊥于D ，过A 作圆O 的切线交BC 的延长线于P ，过B 作BE 垂直PA 的延长线于E ，求证： （1）PA PD PE PC ⋅=⋅； （2）AD AE =.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点(),P x y 是直线l 上位于圆C 内的动点（含端点）y +的最大值和最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()20f x m x m =-->，且()20f x +≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若0,0,0a b c >>>，且1112343m a b c ++=，求证2349a b c ++≥.理科数学答案及评分参考一．选择题1-5 CABDD 6-10 BCCBA 11-12 CD 二．填空题 13. -2 14. 12 15. 5 16. 18三．解答题17.（1）由已知，()()cos 2cos b A c a B π=+- 即()sin cos 2sin sin cos B A C A B =-+ 即()sin 2sin cos A B C B +=- 则sin 2sin cos C C B =-1cos 2B ∴=-，即23B π=； （2）()222cos 2cos 2cossin 2sin33f x x x x ππ=++3cos 222x x =23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当4233x ππ+=，即2x π=是，()32f x ⎛==- ⎝ 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32-，此时2x π=. 18.（1）由PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PC ∴⊥2,1,AB AD CD AC BC ∴===∴==于是222AC BC AB +=，有AC BC ⊥ 又BC PC C ⋂=AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂平面EAC∴平面平面EAC ⊥PBC ；（2）以C 为原点，建立如图所示空间直角坐标系. 则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0C A B -设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=即00x y x y az +=⎧⎨--=⎩，取x a =，得,2y a z =-=-，则(),,2n a a =--依题意有2cos ,m n m n m na ⋅〈〉===⋅，则2a = 于是()2,2,2n =--设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅=〈〉==⋅ 则直线PA 与平面EAC . 19.（1）该考场考生“科目一”科目中D 等级学生所占频率为 1-0.2-0.375-0.25-0.075=0.1 所以该考场人数为40.140÷=（人）于是“科目一”考试成绩为A 的人数为400.0753⨯=“科目二”考试成绩为A 的人数为()4010.3750.3750.150.025400.0753⨯----=⨯=（人）； （2）因为两科考试中，共有6人次得分等级为A ，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ，即至少有一科成绩为A 的学生共有4人. 随机变量X 的可能取值为0,1,2()()()2112222222244414210,1,26636C C C C P X P X P X C C C ⋅========== 所以X 的分布列为X 0 1 2P16 23 16X 的数学期望()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=20.（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c > 由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a = 又因为该圆与直线l 相切，所以3212c c c --=∴= 所以224,3a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=； （2）若1l 与x 轴不垂直，可设其方程为2y kx =+，代入椭圆方程22143x y += 可得()22341640k x kx +++=，由0∆>，得214k >设()()1122,,,G x y H x y ，根据已知，有12x x λ=于是()1222212216134134k x x x k x x x k λλ-⎧+=+=⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩消去2x ，可得()22216434k k λλ+=+ 因为214k >，所以()22264644,163344k k k=∈++ 即有()()21124,16λλλλ+=++∈，有()12,14λλ+∈若1l 垂直于x轴，此时114λλλ=+=故1λλ+的取值范围是()2,14.21.（1）当()()()'10,ln ,a f x x b f x x b==+=+ 令()'11fx x b =∴=-，于是切点坐标为()1,0b -将切点坐标()1,0b -代入切线方程，有01+12b b =-∴=； （2）根据已知，有1x >-时，()2ln 10x ax x --+≥恒成立 即()2ln 10ax x x -++≤恒成立设()()()2ln 11F x ax x x x =-++>-，则原命题等价于()max 0F x ≤恒成立()()'22112111x ax a F x ax x x +-⎡⎤⎣⎦=-+=++若0a <，令()'0Fx =，有12101122a x x a a -⎛⎫===-+<- ⎪⎝⎭舍去，此时 当()()'10,0,x F x F x -<<>是增函数；当()()'0,0,x F x F x ><是减函数于是()()max 00F x F ==，满足条件； 若()'0,1xa F x x-==+ 当()()'10,0,x F x F x -<<>是增函数；当()()'0,0,x F x F x ><是减函数于是()()max 00F x F ==，满足条件； 若0a >，11ln 1ln10F a a ⎛⎫⎛⎫=+>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足条件 综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞.22.（1）连接,AC DE ，由已知，180ADB AEB ∠+∠=︒ 所以,,,A D B E 四点共圆 于是ABD AED ∠=∠因为直线PA 与圆O 切于点A ，所以PAC ABC ∠=∠，则有PAC AED ∠=∠ 于是ACED ，所以,PA PCPA PD PC PE PE PD=⋅=⋅即 （2）因为,,,A D B E 四点共圆，有ABD AED ∠=∠ 由ACED ，有ADE CAD ∠=∠因为,ABD CAD ∠∠均与DAB ∠互余，即ABD CAD ∠=∠ 所以ABE ABD ∠=∠ 又,AD BD AE BE ⊥⊥ 即AD AE =.23.（1）因为圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭214cos 4cos 32πρρθρθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以222x y x +=+即圆C的直角坐标方程是2220x y x +--= （2）圆C 的方程可化为()(2214x y -+=，圆心是(，半径是2设z y =+，将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入z y =+，得z t = 因为直线l过圆心(，且圆的半径是2， 故点P 对应的参数t 满足22t -≤≤于是22t ≤-≤y +的最大值是2+，最小值是2-. 24.（1）因为()2f x m x +=-所以()20f x x m m x m +≥⇔≤⇔-≤≤ 根据已知，3m = （2）解法一：由（1）知1111234a b c++=，又,,a b c 皆为正数 ()111234234234a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭29≥=当且仅当23433,,1,11124234a b ca b ca b c=====即时“=”成立解法二：由（1）知1111234a b c++=，又,,a b c皆为正数()2342341a b c a b c∴++=++⋅()111234234a b ca b c⎛⎫=++++⎪⎝⎭3242433232434b ac a c ba b a c b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32229≥+++=当且仅当234a b c==，即33,1,24a b c===时“=”成立高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}3,2,1,2|{--=x A ，}31|{<<-=x x B ，则=B A ( ) A ．)3,2(- B ．)3,1(- C ．}2{ D ．}3,2,1{-2. 若复数iiz -=12（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -13. 已知双曲线)0(19222>=-a y a x 的渐近线为x y 43±=，则该双曲线的离心率为( )A ．43 B ．47 C ．45 D ．354.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19- 5.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( ) A ．26-B ．23-C ．22- D ．1-6.已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 7.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( ) A ．81B ．1C ．2D ．48.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：11时的平均气温 ②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温 ③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差 ④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9. 如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,8(A 为( ) A ．451 B ．861 C ．1221 D ．167110.某几何体的三视图如图所示，图中格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( ) A ．4 B ．316 C ．320D ．1211.已知C B A ,,是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．]2,1(D ．)0,1(-12. 若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为( ) A ．32-B ．23-C ．32D ．23 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：“0||,2000<+∈∃x x R x ”，则p ⌝为 . 14.已知椭圆1222=+y ax 的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线x y -=的对称点P 仍在椭圆上，则21F PF ∆的周长为 .15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4于D ，则CDBD的值为 . 16.在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'.（Ⅰ）当2'=D C 时，求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）当BD AC ⊥'时，求三棱锥ABD C -'的高.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率. 20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：ADCB① D'CBA②1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：A 、B 、F 三点共线.21. （本小题满分12分）已知函数a x e x f x 33)(+-=（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ea 3ln >，且0>x 时，a x x x e x 3123-+>.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.一．选择题：A 卷答案：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD B 卷答案：1-5 CACAD 6-10 DBCCA 11-12 AD二．填空题：13.. 0,2≥+∈∀x x R x 14. 222+ 15. 6 16. π26三、解答题所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，……………………6分 （II ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ……………………8分∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n ……………10分 12)1211(21+=+-=n nn ……………………12分 18. 解：（1）当C D '=时，取AB 的中点O ，连,C O DO '，在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1C O DO '==，又C D '=，∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………………………………………2分又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ， (4)分 又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB ． ……………………5分（2）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分 又C D '⊂平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '===……………………9分而△BDC '中，BD=1,BC '=∴△BDC '为直角三角形，111122BDC S'=⨯⨯=……………………10分 三棱锥C ABD '-的体积111332BDC V S AC ''=⨯⨯=⨯=．112ABDS=⨯= ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由622331=⨯⨯h A BC'OD解得36=h ．……………………12分19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ， ∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分 由5.0120.0)5(40.0=⨯+-⨯x ，解得425.x =∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分（II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. ……… 7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个.………… 10分 所以该运动员得1分的概率P=62217=. ……………………… 12分 20.解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2pp =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分 （II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx t y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt =代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t-⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分直线AF 的斜率为22(1)1AF tk t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BFttt k t t t t -+==≠±--+，AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线. ……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线. ……………………………………12分21. （I ）解 由f(x)＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x)＝e x －3，x ∈R. ………………………1分 令f ′(x)＝0，得x ＝ln 3， ………………………………2分 于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f(x)在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a)．………6分 （II ）证明待证不等式等价于23312x e x ax >-+………………………………7分 设23()312x g x e x ax =-+-，x ∈R ， 于是()33xg x e x a '=-+，x ∈R. 由（I ）及3lnln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0. ………9分 于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g(x)在R 内单调递增． 于是当3lnln 31a e>=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)． ………………10分 而g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即23312xe x ax >-+，故3132x e x a x x >+- ……………………12分 22.解：（I ）连接AB, P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ………………………………2分又PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠, ………………………………4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴. ………………………………5分（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆， 四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ………………………………7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯= ………………………………9分OP ∴===.∴四边形PBFA………………………………10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ………………………………2分2C 的直角坐标方程为3x =；………………………………4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ== ………………………………6分 代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ== ………………………………8分 所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ长度的最小值为 ………………………………10分24.解：（1）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分 所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分 （2）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1≤，当且仅当a b =时取等号，① ………………………………7分又2a bab +≤21≤+∴b a ab 2abb a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，② ………………………………9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥ ………………………………10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥， 即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥ ………………………………10分高考模拟数学试卷注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x +sinxB. y =−lnxC. y =(12)xD. y =x +1x2. 若函数f(x)=3x +3−x 与g(x)=3x −3−x 的定义域为R ，则( )A. f(x)与g(x)均为偶函数B. f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C. f(x)与g(x)均为奇函数D. f(x)为奇函数，g(x)为偶函数3. 已知a 为正实数，则a −23=( )A. a 23 B. √a 3C. √a 3D. 1√a 234. 函数y =√x 2+4定义域为( )A. {x|x ≠0}B. {x|x >2或x <−2}C. RD. {x|x ≠±2}5. 已知函数f(x)=xe x ，若关于x 的方程[f(x)]2+mf(x)+m −1=0恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,2)∪(2,+∞)B. (1−1e ,+∞) C. (1−1e ,1)D. (1,e)6. 若log a 23<1，则实数a 的取值范围是( )．A. (0,23)B. (23,+∞) C. (23,1)D.7. 设U =R ，集合A ={y|0⩽y ⩽2}，B ={x|x1−x ⩾0}，则A ∩∁U B 等于 ( )A. (0,2)B. [0,2]C. (1,2]D. [1,2]8. 设函数f (x )={1−x 2(x ≤1)x −3(x >1)，则f[f(2)]的值为( )A. 1B. 3C. −3D. 09. 已知x >0时，f(x)=x −2016，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x <0时，f(x)的解析式是( )A. f(x)=x +2016B. f(x)=−x +2016C. f(x)=−x −2016D. f(x)=x −2016 10. 计算lg4+lg25=( )A. 2B. 3C. 4D. 1011. 已知函数f(x)对任意x ∈R ，f(2−x)+f(x)=4，若函数g(x)=f(x)−2x−1x−1的零点有三个，分别为x 1，x 2，x 3，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)x 1+x 2+x 3=( )A. −2B. 2C. −1D. 112. 已知函数f(x)={2x +1,x ≥0,3x 2,x <0,且f(x 0)=3，则实数x 0的值为( )A. −1B. 1C. −1或1D. −1或−13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. y =log 2(3x 2−2x −2)的定义域是________________． 14. 不等式2|x −3|+|x −4|<2解集为______ ． 15. 若函数y =ax+1x+2在(−∞,−2)是减函数，则实数a 的取值范围为__________．16. 已知不等式(a −1)x +a 2+1>0对任意a ∈[0,1]恒成立，则实数x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 计算下列各式的值(1)(−0.1)0+√23×223+(14)−12 (2)log 3√27+lg25+lg4．18. 已知不等式ax 2−5x +b >0的解是{x|−3<x <2}，设A ={x|bx 2−5x +a >0}，B ={x|3x+1≥5}． (1)求a ，b 的值； (2)求A ∩B 和A ∪∁U B ．19.已知函数f(x)=a x+1−3(a>0且a≠1)，若函数y=f(x)的图象过点(2,24)．(1)求a的值及函数y=f(x)的零点；(2)求f(x)≥6的解集．20.f(x)=x2+ax+b是定义在[−4,0)∪(0,b]上的奇函数x(1)求a，b的值；(2)用单调性定义证明：f(x)在(0,√b]上为减函数21.已知f(x)=kx+b，且f(1)=−1，f(2)=−3．(1)求f(x)的解析式;(2)求f(a−1)的值．22.已知函数f(x)=a−2x(a∈R)，且x∈R时，总有f(−x)=−f(x)成立．1+2x(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)求f(x)在[0,2]上的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，属于基础题． 通过对每个选项中函数单调性进行分析即可得出答案． 【解答】解：A.y′=1+cosx ≥0，所以y =x +sinx 在(0,+∞)上为增函数，A 正确； B .y′=−1x ，当x ∈(0,+∞)，y′<0，所以y =−lnx 在(0,+∞)上为减函数，B 错误； C .y =(12)x 在R 上为减函数，C 错误；D .y′=1−1x 2，当x ∈(0,1)时，y′<0，当x ∈(1,+∞)时，y′>0，所以y =x +1x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，D 错误. 故选A ．2.答案：B解析：f(−x)=3−x +3x =f(x)，f(x)为偶函数，g(−x)=3−x −3x =−g(x)，g(x)为奇函数．3.答案：D解析：解：已知a 为正实数，则a −23=√a 23，故选：D ．根据分数指数幂化为根式的规则即可得到． 本题考查了分数指数幂化为根式，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵x 2+4>0， ∴x ∈R ． 故选：C ．由二次根式的性质，从而求出函数的定义域问题．本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．5.答案：C解析：解：由题意f′(x)=1−x．e x<0，解得x>1；令f′(x)=1−xe x>0，解得x<1；令f′(x)=1−xe x=0，解得x=1．令f′(x)=1−xe x∴f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，．在x=1处取极大值1ef(x)大致图象如下：假设m=2，令t=f(x)．则t2+2t+1=0.解得t=−1，即f(x)=−1．根据f(x)图象，很明显此时只有一个解，故m=2不符合题意，由此排除B、D选项；假设m=3，则t2+3t+2=0，解得t1=−2，t2=−1．即f(x)=−2，或f(x)=−1．根据f(x)图象，很明显此时方程只有两个解，故m=3不符合题意，由此排除A选项．故选：C．本题先利用导数法对函数f(x)的单调性进行分析并画出f(x)大致图象，然后运用赋值法排除错误选项，最终得到正确选项．本题主要考查利用导数法对函数f(x)的单调性进行分析，并在选择题中运用赋值法．本题属较难题．解析：【分析】本题考查对数不等式的求解，属于基础题.对a 分类讨论，根据对数函数的单调性解不等式即可．【解答】解：当a >1时，log a 23<1=log a a ，解得a >23， 所以此时a 的取值范围为(1,+∞)；当0<a <1时，log a 23<1=log a a ，解得0<a <23， 所以此时a 的取值范围为(0,23)． 综上，实数a 的取值范围是．故选D ．7.答案：D解析： 【分析】本题考查了交、补集的混合运算，其中根据已知条件求出集合A ，B 是解答本题的关键，属基础题． 根据已知条件我们分别计算出集合B ，然后根据交集和补集运算的定义易得到A ∩(∁R B)的值． 【解答】解：∵B ={x|x1−x ⩾0}={x|0⩽x <1}， ∴∁U B ={x|x <0或x ⩾1}， 从而有A ∩∁U B ={x|1≤x ≤2}． 故选D ．8.答案：D解析： 【分析】本题考查了分段函数，属于基础题． 利用分段函数的函数值计算得结论. 【解答】解：因为函数f (x )={1−x 2(x ≤1)x −3(x >1), 所以f (2)=2−3=−1，因此f[f(2)]=f (−1)=1−(−1)2=0．9.答案：A解析：设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−x−2016，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)= x+2016．10.答案：A解析：【分析】本题考查了对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=lg4+lg25=lg100=2．故选A．11.答案：B解析：【分析】本题考查函数性质的研究，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用f(2−x)+f(x)=4得到f(x)关于点(1,2)对称，因为y=2x−1x−1=2+1x−1关于点(1,2)对称，所以利用对称性求得答案．【解答】解：因为f(2−x)+f(x)=4，所以f(x)−2=−[f(2−x)−2]，令ℎ(x)=f(x)−2，则ℎ(2−x)=f(2−x)−2，所以ℎ(x)=−ℎ(2−x)，所以ℎ(x)关于点(1,0)对称，所以f(x)关于点(1,2)对称，因为y=2x−1x−1=2+1x−1关于点(1,2)对称，所以f(x1)+f(x2)=4，x1+x2=2，因为函数g(x)=f(x)−2x−1x−1的零点有三个，所以x3=1,f(x3)=2所以f(x1)+f(x2)+f (x3)x1+x2+x3=4+22+1=2，故选B．解析： 【分析】本题主要考查分段函数相关知识，当x 0≥0，x 0<0时，分别讨论f(x 0)的表达式，结合题干条件，就能求出实数x 0的值． 【解答】解：由条件可知，当x 0≥0时，f(x 0)=2x 0+1=3，所以x 0=1;当x 0<0时，f(x 0)=3x 02=3，所以x 0=−1．所以实数x 0的值为−1或1．13.答案：(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)解析： 【分析】本题考查了函数的定义域，属于基础题．根据对数函数的性质得3x 2−2x −2>0，解出即可． 【解答】解：由题意，得3x 2−2x −2>0， 令3x 2−2x −2=0，得x 1=1−√73，x 2=1+√73， ∴3x 2−2x −2>0的解集为(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)．∴y =log 2(3x 2−2x −2)的定义域是(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)．故答案为(−∞,1−√73)∪(1+√73,+∞)．14.答案：(83,4)解析：解：x ≤3时，−2x +6−x +4<2，∴x >83，∴83<x ≤3； 3<x <4时，2x −6−x +4<2，∴3<x <4； x ≥4时，2x −6+x −4<2，不成立， ∴不等式2|x −3|+|x −4|<2解集为(83,4) 故答案为：(83,4)．分类讨论，解具体的不等式，即可得出结论． 本题考查绝对值不等式的解法，正确分类讨论是关键．15.答案：a <12解析：将原函数化为y =a −2a−1x+2根据反比例函数所以2a −1<0,a,12 16.答案：(−∞,1)解析： 【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，属于中档题． 变更主元后利用二次函数性质进行分类讨论可得答案． 【解答】解：由已知变形得a 2+xa +1−x >0对任意a ∈[0,1]恒成立， 令g(a)=a 2+xa +1−x ，则{−x 2≤0g(0)>0或{0<−x 2<1Δ=x 2−4(1−x)<0或{−x2≥1g(1)>0, 综上，解得：x <1， 故x 的取值范围是(−∞,1)． 故答案为(−∞,1)．17.答案：解：(1)(−0.1)0+√23×223+(14)−12=1+213×223+(2−2)−12=1+2+2=5．(2)log 3√27+lg25+lg4 =12log 327+lg100 =32+2 =72．解析：(1)利用分数指数幂和根式的互化及运算法则求解． (2)利用对数的性质及运算法则求解．本题考查指数和对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的运算法则的合理运用．18.答案：解：(1)根据题意知，x =−3，2是方程ax 2−5x +b =0的两实数根，∴由韦达定理得{5a =−3+2ba=−3×2，解得a=−5，b=30；(2)由上面，a=−5，b=30，∴A={x|30x2−5x−5>0}={x|x<−13或x>12}，且B={x|−1<x≤−25}；∴A∩B={x|−1<x≤−25}，∁U B={x|x≤−1或x>−25}；∴A∪(∁U B)={x|x<−13或x>−25}．解析：考查韦达定理，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算，属于基础题．(1)据题意可知，−3，2是方程ax2−5x+b=0的两实数根，由韦达定理即可求出a=−5，b=30；(2)根据上面求得的a，b，得出A={x|30x2−5x−5>0}，通过解不等式得出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．19.答案：解：(1)因为函数f(x)=a x+1−3(a>0且a≠1)，图象过点(2,24)，所以24=a2+1−3，a3=27，a=3．函数f(x)=3x+1−3，令f(x)=0，得x+1=1，x=0，所以函数y=f(x)的零点是0．(2)由f(x)≥6得3x+1−3≥6，即3x+1≥32，所以x≥1，则f(x)≥6的解集为[1,+∞)．解析：本题考查了指数函数的性质，指数不等式的解法，函数的零点，属于中档题．(1)代值求出函数的表达式，再根据零点的定义即可求出，(2)解不等式即可求出．20.答案：解：(1)函数在定义域是奇函数，则定义域关于原点对称，则b=4，即f(x)=x2+ax+4x =x+a+4x为奇函数，则f(−x)=−f(x)，则−x+a−4x =−(x+a+4x)=−x−a−4x，则a=−a，得a=0，即a=0，b=4．(2)设0<x1<x2≤√b=2，则f(x1)−f(x2)=x1+4x1−x2−4x2=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)=(x1−x2)⋅x1x2−4x1x2，∵0<x 1<x 2≤2，∴0<x 1x 2<4，则x 1−x 2<0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−4x 1x 2>0，即f(x 1)>f(x 2)，则函数f(x)在(0,2]上是减函数．解析：(1)根据函数奇偶性的性质和定义建立方程关系进行求解即可．(2)根据函数单调性的定义，利用作差法进行证明即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键． 21.答案：解：(1)∵f(1)=−1，f(2)=−3，∴{−1=k +b,−3=2k +b,解得{k =−2,b =1,∴f(x)=−2x +1．(2)由(1)可得f(x)=−2x +1，所以f(a −1)=−2(a −1)+1=−2a +3，所以f(a −1)的值为−2a +3．解析：本题考查函数的解析式的求解，属于基础题．(1)由f(1)=−1，f(2)=−3，得到{−1=k +b,−3=2k +b,解得k 和b 的值，即可得到f(x)的解析式; (2)令x =a −1，代入计算，即可得到答案．22.答案：解：(1)∵f(−x)=−f(x)，∴a−2−x1+2−x=−a−2x 1+2x ， 即a⋅2x −11+2x =2x −a1+2x ，∴a =1，∴f(x)=1−2x1+2x ．(2)函数f(x)为R 上的减函数，∵f(x)的定义域为R ，∴任取x1,x2∈R，且x2>x1，∴f(x2)−f(x1)=1−2x21+2x2−1−2x11+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，∵x2>x1，∴2x2>2x1>0，∴f(x2)−f(x1)<0即f(x2)<f(x1)，∴函数f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[0,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(0)，即−35≤f(x)≤0，即函数的值域为[−35,0]．解析：本题考查了函数的奇偶性，单调性，最值．(1)根据奇偶性求a的值．(2)根据定义判定单调性即可．(3)由(2)知，函数f(x)在[0,2]上为减函数，求值域即可．。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期第二次阶段性考试数学试题一、单选题1．已知向量a =（k ，6），b =（﹣2，3），且a ⊥b ，则k 的值是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3C ．4D ．9【答案】D【解析】根据a b ⊥时0a b =，列方程求出k 的值． 【详解】解：向量(,6)a k =，(2,3)b =-， 当a b ⊥时，0a b =， 即2630k -+⨯=， 解得9k =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题． 2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 【答案】D【解析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论. 【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得112a =-，11b =-，11a b∴>，故A 不正确.可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确. 可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.3．设α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，下列选项正确的是（ ） ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ②若a ⊂α，α∥β，则a ∥β ③若α∥β，a ∥β，则a α⊂④若a ∥α，则a 与平面α内的无数条直线平行 ⑤若a ∥b ，则a 平行于经过b 的所有平面 A ．①② B ．③④C ．②④D ．②⑤【答案】C【解析】在①中，a 与b 相交、平行或异面；在②中，由线面平行的判定理得//a β；在③中，a α⊂或//a α；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，从而a 与平面α内的无数条直线平行；在⑤中，若//ab ，则a 包含于由a ，b 确定的平面．【详解】解：由α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，知： 在①中，若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若a α⊂，//αβ，则由线面平行的判定理得//a β，故②正确； 在③中，若//αβ，//a β，则a α⊂或//a α，故③错误；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，故a 与平面α内的无数条直线平行，故④正确；在⑤中，若//a b ，则a 可能含于由a ，b 确定的平面，故⑤错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．若a ，b ∈R ，①（a +b ）2≥a 2+b 2；②若|a |＞b ，则a 2＞b 2；③a +b 正确的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】根据不等式的性质及举反例的方法可判断. 【详解】解：222()2a b a b ab +=++，0ab <时，得出222()a b a b +<+，∴判断①错误；||a b >，且||||a b <时，得出22a b <，∴判断②错误；只有0a >，0b >时，a b +…∴判断③错误． 故选：A ． 【点睛】考查完全平方式的展开式，不等式的性质，基本不等式成立的条件，属于基础题．5．在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin sin =B A ，则(a = )A ．B ．2C ．1D ．【答案】B【解析】由已知利用正弦定理化简即可求解． 【详解】解：sin sin B A =，∴由正弦定理可得：b =，∴解得a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x 吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是（ ） A ．10 B ．15 C ．30 D ．45【答案】D【解析】根据题意列出总费用之和等于81004x x+，然后利用基本不等式求出最小值即可． 【详解】解：由题知一年总运费为90081009x x⨯=；∴一年的总运费与总存储费用之和为81004360x x +…，当且仅当81004x x=即45x =时，等号成立， ∴当45x =时一年的总费用与总存储费用之和最小．故选：D ． 【点睛】本题主要考查基本不等式、函数模型及其应用，属于基础题． 7．已知数列{}n a 为等比数列，若2588a a a =，则191559a a a a a a ++ A ．有最小值12 B ．有最大值12 C ．有最小值4 D ．有最大值4【答案】A【解析】3258558,2a a a a a ===,所以()22221915595519555524812a a a a a a a a a a a a a a ++=++≥+⋅=+=+=,故选A.8．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为（ ）A ．BC D【答案】C【解析】根据题意求出圆锥的母线长和底面圆的半径，计算底面圆的面积和圆锥的高，从而求出圆锥的体积． 【详解】解：圆锥侧面展开图是圆心角为23π，半径为3的扇形； 则圆锥的母线长为3l =，底面周长即扇形的弧长为2323ππ⨯=， 所以底面圆的半径为1r =， 所以底面圆的面积为2r ππ⨯=，圆锥的高为h ==所以圆锥的体积为133V π=⨯⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查了弧长公式及圆锥的体积计算问题，也考查了空间想象能力和运算能力，属于基础题．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24+8πB ．18+8πC ．24+4πD ．18+4π【答案】A【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个直三棱柱和一个半圆柱构成，如图所示所以2114342424822V ππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+．故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是侧面ADD 1A 1内的动点，且B 1E ∥平面BDC 1，则点E 在侧面ADD 1A 1内的轨迹长度为（ ）A ．2B ．1CD ．2【答案】C【解析】连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，11//D B DB ，由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ，则点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ． 【详解】解：连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ， 又1AD ⊂/平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ， 同理可证11//D B 平面1BDC ，又1AD 和11D B 为平面11AB D 内的两条相交直线， 所以由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ， 因为1//B E 平面1BDC ，所以点E 在直线1AD 上，所以点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ，故轨迹长度为1AD =故选：C ．【点睛】本题考查了面面平行的判定定理及轨迹知识点，属于中档题．11．对于任意实数x ，符号[x ]表示不超x 的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{a n }满足a n ＝[log 2n ]，其前n 项和为S n ，若n 0是满足S n ＞2018的最小整数，则n 0的值为（ ） A ．305B ．306C ．315D ．316【答案】D【解析】由题意，求解2[log ]n a n =的通项，即可求解前n 项和为n S ，即可求解满足2018n S >的最小整数0n 的值．【详解】解：由题意，2[log ]n a n =，当1n =时，可得10a =．(1项） 当1222n <…时，即231a a ==．(2项）当2322n <…时，即4572a a a ==⋯⋯==．(4项） 当3422n <…时，即89153a a a ==⋯⋯==．(8项） 当4522n <…时，即1617314a a a ==⋯⋯=．(16项）⋯⋯当122n n n +<…时，即122121n n n a a a n ++-==⋯⋯=，(2n 项）前n 项和为：1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯．⋯⋯① 231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯+⨯．⋯⋯② 由①-②可得：23122222n n n S n +-=+++⋯⋯+- 即1112222(1)22018n n n n S n n +++=-+=-+>此时：8n …． 对应的项为83162a a =． 即0316n …． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”、递推式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题.12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ）A ．8B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值． 【详解】 解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++2243ab cd ab cd ab cd +++=++…44+=+…，当且仅当a b =，c d =，3ab cd =，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ． 【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、填空题13．等差数列{a n }中，a 1+a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为_____. 【答案】2.【解析】由等差数列的性质，结合1510a a +=求出3a ，由等差数列的定义求得公差．【详解】解：在等差数列{}n a 中，由1510a a +=，得3210a =，35a ∴=．又47a =，∴数列{}n a 的公差d 为43752a a -=-=． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项的概念，是基础题．14．在△ABC 中，已知A ＝90°，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝6，则△ABC 的周长的最大值为_____【答案】【解析】直接利用勾股定理和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：在ABC ∆中，已知90A =︒，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，所以22236b c a +==，故222()2()b c b c ++…，所以c b +…利用三角形的周长6a b c +++…，故答案为：6+ 【点睛】本题考查的知识要点：勾股定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知一个正方体的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为72，则这个球的表面积为_____ 【答案】36π【解析】首先求出正方体的棱长，进一步求出球体的外接球半径，最后求出求出球体的表面积． 【详解】解：设正方体的棱长为a ， 因为正方体的表面积为72， 所以2672a =， 所以212a =，设球的半径为r ，则2222(2)36r a a a =++=， 则29r =，即3r =， 所以4936S ππ=⋅=球， 故答案为36π 【点睛】本题考查的知识要点：正方体的表面积公式和球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 16．在数列{a n }中，a 125=，a n +1＝a n 2+a n ，n ∈N ，b n 11na =+，P n ＝b 1b 2b 3…b n ，S n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ，则5P n +2S n ＝_____ 【答案】5【解析】根据n P 与n S 的表达式，分别将n b 表示为1n n n a b a +=，以及111n n n b a a +=-，求出n P 与n S 即可．【详解】解：21(1)n n n n n a a a a a +=+=+；∴111n n n n a b a a +==+； ∴1211232311n n n n n a a a aP b b b b a a a a ++=⋯=⋯=； 21(1)n n n n n a a a a a +=+=+；∴11111n n n a a a +=-+，即111n n n b a a +=-； ∴12122311111111111n n n n n S b b b a a a a a a a a ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-； ∴1121155252525n n n n P S a a ++⎛⎫⎪+=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案为：5． 【点睛】本题考查了数列递推式的灵活变形，以及数列的求和、求积，属中档题．三、解答题17．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，G ，H 分别为棱CD ，BD，AD 的中点，F 为ED 的中点.（1）求异面直线AE 和BC 所成角的余弦值； （2）求证：PF ∥平面ABE. 【答案】（1（2）证明见解析 【解析】（1）先作出异面直线AE 和BC 所成角，再求出即可，（2）先证明面//GFH 面ABE ，又PF ⊂面GFH ，故可证//PF 面ABE ，得解． 【详解】解：（1）连接EG ，AG ， 因为//EG BC ，则AEG ∠（或其补角）为异面直线AE 和BC 所成角， 设2AB =，则1EG =，AE AG =所以12cos EG AEG AE ∠===，故异面直线AE 和BC所成角的余弦值为6；（2）连接GF ，GH ，HF ， 由题意有：//GF BE ，//GH AB ，GF ⊂面GFH ，GH ⊂面GFH ，GF GH G =，BE ⊂面ABE ，AB Ì面ABE ，BE AB B =I即面//GFH 面ABE ， 又PF ⊂面GFH ， 故//PF 面ABE ．【点睛】本题考查了异面直线所成角及线面平行的判定，属中档题．18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，CC 1，AD 的中点.（1）求异面直线EG 与B 1C 所成角的大小；（2）棱CD 上是否存在点T ，使AT ∥平面B 1EF ？若存在，求出DTDC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）60°；（2）存在，14DT DC =【解析】（1）连接BD ，1B D ，1CD ．推导出//EG BD ，11//B D BD ．从而11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角．由此能求出异面直线EG 与1B C 所成角的大小． （2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ，推导出四边形AEKT 为平行四边形，由此推导出//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =． 【详解】解：（1）连接BD ，1B D ，1CD ．因为E ，G 分别是AB ，AD 的中点，所以//EG BD ．又因为11//B D BD ．所以11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角． 在△11CB D 中，因为1111CB B D CD ==，所以异面直线EG 与1B C 所成角的大小为1160CB D ∠=︒．（2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，则//AT 平面1B EF ． 证明如下：延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ． 因为11//CC BB ，F 为1CC 中点，所以C 为BH 中点． 因为//CD AB ，所以//KC AB ，且1124KC EB CD ==． 因为14DT DC =，E 为AB 中点，所以//AE TK ，且TK AE =， 即四边形AEKT 为平行四边形， 所以//EK AT ，即//EH AT ． 又EH ⊂平面1B EF ，AT ⊂/平面1B EF ， 所以//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．19．（1）若a ＞0，b ＞0，且1149a b +=，求a +b 的最小值； （2）若k 为（1）中a +b 的最小值，且a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2＝k ，求证：22211131235a b c ++≥+++. 【答案】（1）9；（2）证明见解析【解析】（1）根据条件可得911()()4a b a b a b+=++，然后利用基本不等式可求出+a b 的最小值；（2）由（1）可得9k =，从而得到222(1)(2)(3)15a b c +++++=，然后可由2222222221111111[(1)(2)(3)]()12315123a b c a b c a b c ++=+++++++++++++，利用基本不等式求出222111123a b c +++++的最小值，从而证明结论． 【详解】 解：（1）0a >，0b >，且1149ab+=，91199()()(2)(2)9444b a a b a b a b a b a b∴+=++=+++=…，当且仅当b aa b =，即92a b ==时取等号， a b ∴+的最小值为9；（2）证明：由（1）可得9k =，则2229a b c k ++==，222(1)(2)(3)15a b c ∴+++++=，∴222111123a b c +++++ 2222221111[(1)(2)(3)]()15123a b c a b c =++++++++++2222222222221213132(3)15121323b ac a c b a b a c b c ++++++=++++++++++++ 22222222213132[322]15121323c a c b b a c b c ++++++++++++ (3)5=，当且仅当24a =，23b =，22c =时取等号， ∴22211131235a b c +++++…． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．20．已知数列{a n }和{b n }满足，a 1＝2，b 1＝1，且对任意正整数n 恒满足2a n +1＝4a n +2b n +1，2b n +1＝2a n +4b n ﹣1.（1）求证：{a n +b n }为等比数列，{a n ﹣b n }为等差列； （2）求证2111111122334567n nn n a b -++++++-+＜＜（n ＞1）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+．又113a b +=，111a b -=，化简即可证明结论．（2）由（1）可得：3n n n a b +=．利用数学归纳法，通过放缩即可证明结论． 【详解】证明：（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+． 113n n n na b a b +++=+，11()()1n n n n a b a b ++---=．又113a b +=，111a b -=，{}n n a b ∴+为等比数列，首项为3，公比为3． {}n n a b -为等差列，首项为1，公差为1．（2）由（1）可得：3n n n a b +=． 利用数学归纳法先证明：21111133453n n -<+++⋯⋯+． ()2i n =时，21111161345339+++⋯⋯+>+=，成立．()ii 假设2n k =…时成立，即11112134533k k -+++⋯⋯+>．1n k =+时，11111111345331323kk k k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 121111331323k k k k +->+++⋯⋯+++ 1121332122(1)133333k k k k k k ++---+->+=+=，因此左边不等式成立．利用数学归纳法先证明：1111223453n n +++⋯⋯+<-．()2i n =时，21111162222345334+++⋯⋯+<+<=⨯-，成立．()ii 假设2n k =…时，1111223453k k +++⋯⋯+<-．则1n k =+时，11111111345331323k kk k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 11112231323k k k k +<-+++⋯⋯+++ 1332322222(1)2313k k kk k k k k +-⨯<-+<-+=+-+，∴右边不等式成立．综上可得：2111111122(1)334567n nn n n a b -<+++++⋯+<->+ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数学归纳法、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

哈三中2019-2020学年度上学期高一学年物理线上第二次测试试题一、选择题(本题共20小题,共87分。

1-13每题只有一个正确选项，每小题4分共52分，14-20每题有多个正确选项，每小题5分，全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错或不答的不得分，共35分) 1.关于万有引力公式122m m F Gr ，下说法中正确的是（ ） A. 公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B. 当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C. 两物体间的万有引力与地球使苹果下落的力是同一种性质的力 D. 公式中引力常量G 的值是牛顿测定的 【答案】C 【解析】【详解】A ．公式的研究对象是质点或质量均匀分布的球体，与物体的大小无关，当两物体间的距离趋近于0时，物体不再能视为质点，万有引力公式不再适用，AB 错误； C ．两物体间的万有引力与地球使苹果下落的力是同一种性质的力，C 正确； D ．公式中引力常量G 是卡文迪许利用扭秤实验测得，D 错误。

故选C 。

2.物体做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ） A. 所受合力全部用来提供向心力 B. 是匀变速曲线运动 C. 速度的大小和方向都改变 D. 向心加速度不变【答案】A 【解析】【详解】A ．物体做匀速圆周运动，合外力完全提供向心力，A 正确；B ．物体所受合外力始终与速度垂直，速度大小始终不变，合外力方向始终指向圆心，一直改变，不是匀变速曲线运动，BC 错误；D ．向心加速度大小不变，方向一直改变，D 错误。

故选A 。

3. 小船横渡一条河，船本身提供的速度大小方向都不变．已知小船的运动轨迹如图所示，则河水的流速（ ）A. 越接近B岸水速越大B. 越接近B岸水速越小C. 由A到B水速先增后减D. 水流速度恒定【答案】B【解析】【详解】船本身提供的速度大小方向都不变，从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，合力指向轨迹内侧，只有水速改变，加速度向左，靠近B岸水速越来越小．故B正确，ACD错误．故选B4.一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T，则F T随ω2变化的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】由题知小球未离开圆锥表面时细线与竖直方向的夹角为θ，用L表示细线长度，小球离开圆锥表面前，细线的张力为F T，圆锥对小球的支持力为F N，根据牛顿第二定律有F T sinθ－F N cosθ＝mω2L sinθF T cos θ＋F N sin θ＝mg联立解得F T ＝mg cos θ＋ω2mL sin2θ小球离开圆锥表面后，设细线与竖直方向的夹角为α，根据牛顿第二定律有F T sin α＝mω2L sin α解得F T ＝mLω2故C 正确。

哈三中2019-2020学年度下学期高一学年数学线上第二次测试试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知是平面向量的一组基底,若,则A.2B.-2C.D.2.等差数列的前n项的和是,则A.2020B.4039C.4041D.60583.△ABC中,,则A.B.C.D.4.已知数列为正项的递增等比数列,则A.5B.10C.25D.5.一质点受到平面上三个力的作用而处于平衡状态,已知成60度角,且的大小分别为2和4,则的大小为A.6B.2C.D.6.已知是递减等差数列的前n项和,,则取最大值时,nA. 5B. 6C. 7D. 87.三角形ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD中点,点F是BE的三等分点(靠近E),若,则A.B.C.D.18.已知数列满足,则A.B.-2C.D.19.△ABC中,AB=2,AC=5,△ABC的面积为4,则BC的长为A.B.C.D.10.设数列的前n项的和为,且,若不等式对大于等于2的正整数都成立,则实数的最大值为二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上)11. =12.已知,,则13.已知与的夹角为,则14.若点为的重心,且,则的最大值为三、解答题(本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分12分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(1)若,求的值(2)若,且△ABC的面积为1,求的值16.(本小题满分12分)已知数列的前n项和为S,满足·数列满足:且.1)求数列和的通项公式(2)令求数列的前n项和.17.(本小题满分12分)△ABC的三个内角所对的边分别为,且(1)若C=2,求的面积;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.8.(本小题满分14分)已知数列满足(1)求证数列是等比数列,并求;(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围(3)令,求证.简易参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C D B B D D B二、填空题题号11 12 13 14答案-1 -21三、解答题15.(1) （6分）(2)（12分）16.(1) (8分)(2) (4分)17.(1) (6分)(2) (6分)18.(1) (4分)(2) λ≤2（6分）(3)保留第一项,从第二项开始放缩,利用易证（4分）。

哈三中2018-2019学年度上学期高一第二次阶段性验收考试数学试题一、选择题(每小题5分，共60分)1.︒120cos 的值是 A.23- B.21 C.23 D.21-2.已知α为第四象限角,135cos =α,则=αsin A.1312- B.135- C.135 D.13123.设()，＞，，⎩⎨⎧≤=0log 022x x x x g x 则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21g g A.-2 B.21- C.2D.214.已知扇形的面积是24cm ,弧长是4cm,则该扇形圆心角的弧度数是A.1B.2C.3D.45.当10＜＜a 时,函数x y a log =和()x a y -=1的图象只可能是6.已知角θ的终边过点(2,-4),则()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-θθ2sin sin ππ的值是A.2-B.21- C.2 D.217.若，＜213x x 则x 取值范围为A.()1，∞-B.()∞+，1C.()10，D.()0，∞-8.在△ABC 中，，，π332tan tan 32=+=B A C 则B A tan tan 的值为 A.31 B.35 C.1 D.3 9.已知()x f 是偶函数,它在[)∞+，0上是减函数,若()()11f x f ＞-,则实数x 的取值范围是A.()()∞+∞-，，20B.()20，C.()0，∞-D.()∞+，210.若函数()()13--=a x x f x 在()∞+，0上有零点,则实数a 的取值范围为A.RB.()∞+-，2C.()12--，D.()∞+-，111.若，y x y x 1lg 1lg lg lg 2552+≥+则 A.y x ≥ B.y x ≤ C.1≥xy D.1≤xy12.已知函数()x f 是定义在()()∞+∞-，，00 上的偶函数,当0＞x 时,()()，＞，＜，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=-222120121x x f x x f x 则函数()()12-=x f x g 的零点个数为 A.8 B.6 C.4 D.2二、填空题(每小题5分，共20分)13.函数()()123≠+=-a a a x f x ＞且过定点的坐标是_______.14.若()，αααcos 4sin 3+=f 则()αf 的最大值为_______.15.设，π，，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20βα且，ββαcos 1tan tan =-则=-βα2________.16.设函数()()()，，R k a x ak k x x f ∈++--=76522已知对于任意[]，，30∈k 如果21x x 、满足[][]，，，，a k a k x a k k x 4221++∈+∈都有()()，21x f x f ≥则正实数a 的最大值为____. 三、解答题(本大题共4道,每小题10分,共40分)17.已知.2cos 2sin sin 2cos =+-αααα (1)求αtan 的值；(2)若＜π，＜πα2求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πα的值。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期第二次阶段性考试数学试题一、单选题1．已知向量a =r（k ，6），b =r（﹣2，3），且a r⊥b r，则k 的值是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3C ．4D ．9【答案】D【解析】根据a b ⊥r r 时0a b =r r g ，列方程求出k 的值．【详解】解：向量(,6)a k =r，(2,3)b =-r ，当a b ⊥r r时，0a b =r r g ，即2630k -+⨯=， 解得9k =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题． 2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 【答案】D【解析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论. 【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得112a =-，11b =-，11a b∴>，故A 不正确. 可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确. 可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.3．设α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，下列选项正确的是（ ） ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ②若a ⊂α，α∥β，则a ∥β ③若α∥β，a ∥β，则a α⊂④若a ∥α，则a 与平面α内的无数条直线平行 ⑤若a ∥b ，则a 平行于经过b 的所有平面 A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．②⑤【答案】C【解析】在①中，a 与b 相交、平行或异面；在②中，由线面平行的判定理得//a β；在③中，a α⊂或//a α；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，从而a 与平面α内的无数条直线平行；在⑤中，若//a b ，则a 包含于由a ，b 确定的平面． 【详解】解：由α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，知： 在①中，若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若a α⊂，//αβ，则由线面平行的判定理得//a β，故②正确； 在③中，若//αβ，//a β，则a α⊂或//a α，故③错误；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，故a 与平面α内的无数条直线平行，故④正确； 在⑤中，若//a b ，则a 可能含于由a ，b 确定的平面，故⑤错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．若a ，b ∈R ，①（a +b ）2≥a 2+b 2；②若|a |＞b ，则a 2＞b 2；③a +b ab ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】根据不等式的性质及举反例的方法可判断. 【详解】 解：222()2a b a b ab +=++，0ab <时，得出222()a b a b +<+，∴判断①错误；||a b >，且||||a b <时，得出22a b <，∴判断②错误；只有0a >，0b >时，2a b ab +…∴判断③错误． 故选：A ． 【点睛】考查完全平方式的展开式，不等式的性质，基本不等式成立的条件，属于基础题． 5．在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin 2sin =B b A ，则(a = )A 2B 2C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知利用正弦定理化简即可求解． 【详解】解：sin 2sin B b A =Q ，∴由正弦定理可得：2b ab =， ∴解得2a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x 吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是（ ） A ．10 B ．15 C ．30 D ．45【答案】D【解析】根据题意列出总费用之和等于81004x x+，然后利用基本不等式求出最小值即可． 【详解】解：由题知一年总运费为90081009x x⨯=； ∴一年的总运费与总存储费用之和为81008100424360x x x x +⨯=…，当且仅当81004x x =即45x =时，等号成立，∴当45x =时一年的总费用与总存储费用之和最小．故选：D ． 【点睛】本题主要考查基本不等式、函数模型及其应用，属于基础题． 7．已知数列{}n a 为等比数列，若2588a a a =，则191559a a a a a a ++ A ．有最小值12 B ．有最大值12 C ．有最小值4 D ．有最大值4【答案】A【解析】3258558,2a a a a a ===,所以()22221915595519551955224812a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++≥+⋅=+=+=,故选A.8．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为（ ） A ．22π B ．23π C ．223π D ．2π【答案】C【解析】根据题意求出圆锥的母线长和底面圆的半径，计算底面圆的面积和圆锥的高，从而求出圆锥的体积． 【详解】解：圆锥侧面展开图是圆心角为23π，半径为3的扇形； 则圆锥的母线长为3l =，底面周长即扇形的弧长为2323ππ⨯=， 所以底面圆的半径为1r =， 所以底面圆的面积为2r ππ⨯=， 圆锥的高为223122h =-=；所以圆锥的体积为122223V ππ=⨯⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查了弧长公式及圆锥的体积计算问题，也考查了空间想象能力和运算能力，属于基础题． 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24+8πB ．18+8πC ．24+4πD ．18+4π【答案】A【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个直三棱柱和一个半圆柱构成，如图所示所以2114342424822V ππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+．故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是侧面ADD 1A 1内的动点，且B 1E ∥平面BDC 1，则点E 在侧面ADD 1A 1内的轨迹长度为（ ）A 2B ．1C 2D 5【答案】C【解析】连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，11//D B DB ，由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ，则点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ． 【详解】解：连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，又1AD ⊂/平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ， 同理可证11//D B 平面1BDC ，又1AD 和11D B 为平面11AB D 内的两条相交直线， 所以由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ， 因为1//B E 平面1BDC ，所以点E 在直线1AD 上，所以点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ，故轨迹长度为12AD =，故选：C ．【点睛】本题考查了面面平行的判定定理及轨迹知识点，属于中档题．11．对于任意实数x ，符号[x ]表示不超x 的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{a n }满足a n ＝[log 2n ]，其前n 项和为S n ，若n 0是满足S n ＞2018的最小整数，则n 0的值为（ ） A ．305 B ．306C ．315D ．316【答案】D【解析】由题意，求解2[log ]n a n =的通项，即可求解前n 项和为n S ，即可求解满足2018n S >的最小整数0n 的值． 【详解】解：由题意，2[log ]n a n =，当1n =时，可得10a =．(1项） 当1222n <„时，即231a a ==．(2项）当2322n <„时，即4572a a a ==⋯⋯==．(4项） 当3422n <„时，即89153a a a ==⋯⋯==．(8项） 当4522n <„时，即1617314a a a ==⋯⋯=．(16项）⋯⋯当122n n n +<„时，即122121n n n a a a n ++-==⋯⋯=，(2n 项）前n 项和为：1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯．⋯⋯① 231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯+⨯．⋯⋯② 由①-②可得：23122222n n n S n +-=+++⋯⋯+-g 即1112222(1)22018n n n n S n n +++=-+=-+>g此时：8n …． 对应的项为83162a a =． 即0316n …． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”、递推式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题.12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ） A ．8 B ．3C ．3D ．3【答案】B【解析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【详解】解：a Q ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 22243ab ab cd ab cd ab cd ++=++g … 423423abcd +=+…，当且仅当a b =，c d =，3ab cd =，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为423+．故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、填空题13．等差数列{a n }中，a 1+a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为_____. 【答案】2.【解析】由等差数列的性质，结合1510a a +=求出3a ，由等差数列的定义求得公差．【详解】解：在等差数列{}n a 中，由1510a a +=，得3210a =，35a ∴=．又47a =，∴数列{}n a 的公差d 为43752a a -=-=． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项的概念，是基础题．14．在△ABC 中，已知A ＝90°，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝6，则△ABC 的周长的最大值为_____【答案】2【解析】直接利用勾股定理和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：在ABC ∆中，已知90A =︒，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，所以22236b c a +==，故222()2()b c b c ++„，所以62c b +„， 利用三角形的周长662a b c +++„， 故答案为：62+ 【点睛】本题考查的知识要点：勾股定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知一个正方体的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为72，则这个球的表面积为_____ 【答案】36π【解析】首先求出正方体的棱长，进一步求出球体的外接球半径，最后求出求出球体的表面积． 【详解】解：设正方体的棱长为a ， 因为正方体的表面积为72， 所以2672a =， 所以212a =，设球的半径为r ，则2222(2)36r a a a =++=， 则29r =，即3r =， 所以4936S ππ=⋅=球， 故答案为36π 【点睛】本题考查的知识要点：正方体的表面积公式和球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．在数列{a n }中，a 125=，a n +1＝a n 2+a n ，n ∈N ，b n 11n a =+，P n ＝b 1b 2b 3…b n ，S n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ，则5P n +2S n＝_____ 【答案】5【解析】根据n P 与n S 的表达式，分别将n b 表示为1n n n a b a +=，以及111n n n b a a +=-，求出n P 与n S 即可．【详解】解：Q 21(1)n nn n n a a a a a +=+=+； ∴111n n n n a b a a +==+； ∴1211232311n n n n n a a a aP b b b b a a a a ++=⋯=⋯=g ； Q 21(1)n n n n n a a a a a +=+=+；∴11111n n n a a a +=-+，即111n n n b a a +=-； ∴12122311111111111n n n n n S b b b a a a a a a a a ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-； ∴1121155252525n n n n P S a a ++⎛⎫⎪+=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案为：5． 【点睛】本题考查了数列递推式的灵活变形，以及数列的求和、求积，属中档题．三、解答题17．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，G ，H 分别为棱CD ，BD ，AD 的中点，F 为ED 的中点.（1）求异面直线AE 和BC 所成角的余弦值； （2）求证：PF ∥平面ABE. 【答案】（13（2）证明见解析 【解析】（1）先作出异面直线AE 和BC 所成角，再求出即可，（2）先证明面//GFH 面ABE ，又PF ⊂面GFH ，故可证//PF 面ABE ，得解． 【详解】解：（1）连接EG ，AG ， 因为//EG BC ，则AEG ∠（或其补角）为异面直线AE 和BC 所成角， 设2AB =，则1EG =，3AE AG == 所以1322cos 3EG AEG AE ∠===，故异面直线AE 和BC 所成角的余弦值为36；（2）连接GF ，GH ，HF ， 由题意有：//GF BE ，//GH AB ，GF ⊂面GFH ，GH ⊂面GFH ，GF GH G =I ，BE ⊂面ABE ，AB Ì面ABE ，BE AB B =I即面//GFH 面ABE ， 又PF ⊂面GFH ， 故//PF 面ABE ．【点睛】本题考查了异面直线所成角及线面平行的判定，属中档题．18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，CC 1，AD 的中点.（1）求异面直线EG 与B 1C 所成角的大小；（2）棱CD 上是否存在点T ，使AT ∥平面B 1EF ？若存在，求出DTDC的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）60°；（2）存在，14DT DC = 【解析】（1）连接BD ，1B D ，1CD ．推导出//EG BD ，11//B D BD ．从而11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角．由此能求出异面直线EG 与1B C 所成角的大小．（2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ，推导出四边形AEKT为平行四边形，由此推导出//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =． 【详解】解：（1）连接BD ，1B D ，1CD ．因为E ，G 分别是AB ，AD 的中点，所以//EG BD ．又因为11//B D BD ．所以11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角． 在△11CB D 中，因为1111CB B D CD ==，所以异面直线EG 与1B C 所成角的大小为1160CB D ∠=︒．（2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，则//AT 平面1B EF ． 证明如下：延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ． 因为11//CC BB ，F 为1CC 中点，所以C 为BH 中点． 因为//CD AB ，所以//KC AB ，且1124KC EB CD ==． 因为14DT DC =，E 为AB 中点，所以//AE TK ，且TK AE =， 即四边形AEKT 为平行四边形， 所以//EK AT ，即//EH AT ． 又EH ⊂平面1B EF ，AT ⊂/平面1B EF ， 所以//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 19．（1）若a ＞0，b ＞0，且1149a b +=，求a +b 的最小值； （2）若k 为（1）中a +b 的最小值，且a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2＝k ，求证：22211131235a b c ++≥+++. 【答案】（1）9；（2）证明见解析【解析】（1）根据条件可得911()()4a b a b a b+=++，然后利用基本不等式可求出+a b 的最小值；（2）由（1）可得9k =，从而得到222(1)(2)(3)15a b c +++++=，然后可由2222222221111111[(1)(2)(3)]()12315123a b c a b c a b c ++=+++++++++++++，利用基本不等式求出222111123a b c +++++的最小值，从而证明结论． 【详解】解：（1）0a >Q ，0b >，且1149a b +=， 91199()()(2)(22)9444b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=+++=g …，当且仅当b aa b =，即92a b ==时取等号， a b ∴+的最小值为9；（2）证明：由（1）可得9k =，则2229a b c k ++==，222(1)(2)(3)15a b c ∴+++++=，∴222111123a b c +++++ 2222221111[(1)(2)(3)]()15123a b c a b c =++++++++++ 2222222222221213132(3)15121323b ac a c b a b a c b c ++++++=++++++++++++ 2222222222221213132[322]15121323b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++g g g (3)5=，当且仅当24a =，23b =，22c =时取等号， ∴22211131235a b c +++++…． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．20．已知数列{a n }和{b n }满足，a 1＝2，b 1＝1，且对任意正整数n 恒满足2a n +1＝4a n +2b n +1，2b n +1＝2a n +4b n ﹣1.（1）求证：{a n +b n }为等比数列，{a n ﹣b n }为等差列；（2）求证2111111122334567n nn n a b -++++++-+L ＜＜（n ＞1）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+．又113a b +=，111a b -=，化简即可证明结论．（2）由（1）可得：3n n n a b +=．利用数学归纳法，通过放缩即可证明结论．【详解】证明：（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+． 113n n n na b a b +++=+，11()()1n n n n a b a b ++---=．又113a b +=，111a b -=，{}n n a b ∴+为等比数列，首项为3，公比为3． {}n n a b -为等差列，首项为1，公差为1．（2）由（1）可得：3n n n a b +=． 利用数学归纳法先证明：21111133453n n -<+++⋯⋯+． ()2i n =时，21111161345339+++⋯⋯+>+=，成立．()ii 假设2n k =…时成立，即11112134533k k -+++⋯⋯+>．1n k =+时，11111111345331323kk k k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 121111331323k k k k +->+++⋯⋯+++ 1121332122(1)133333k k k k k k ++---+->+=+=，因此左边不等式成立．利用数学归纳法先证明：1111223453n n +++⋯⋯+<-．()2i n =时，21111162222345334+++⋯⋯+<+<=⨯-，成立．()ii 假设2n k =…时，1111223453k k +++⋯⋯+<-．则1n k =+时，11111111345331323k kk k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 11112231323k k k k +<-+++⋯⋯+++ 1332322222(1)2313k k kk k k k k +-⨯<-+<-+=+-+，∴右边不等式成立．综上可得：2111111122(1)334567n nn n n a b -<+++++⋯+<->+ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数学归纳法、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

哈尔滨市第三中学2019-2020学年上学期第一次阶段性验收考试高一数学试题（含解析）一、选择题（每小题5分） 1.不等式2(1)0x x −>的解集为（） A. (1,0)− B. (1,1)− C. (1,0)(1,)D.(,1)(0,1)−∞−【答案】C 【解析】因式分解2(1)0x x −>得到(1)(1)0x x x −+>，利用穿针引线得到答案. 【详解】2(1)0x x −>，(1)(1)0x x x −+> 根据穿针引线得到110x x >−<<或 故答案选C【点睛】本题考查了高次不等式的解法，也可以利用特殊值法得到答案.2.设{|{|A x y B y y ====则A B =（）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. [2,)+∞D. ∅【答案】C 【解析】分别计算集合A ，B ，再计算A B 得到答案.【详解】{|{|2}A x y x x ===≥{|{|0}B y y y y ===≥ {|2}A B x x =≥故答案选C【点睛】本题考查了集合的交集，属于基础题型.3.已知全集21{|320},{||2|1},{|0},2x U x x x A x x B x x −=−+≥=−>=>−则U A C B = A. ∅B. (,1)−∞C. (3,)+∞D.(,1)(3,)−∞+∞【答案】A 【解析】先计算集合U ，A ，B 再计算U A C B ⋂得到答案. 【详解】2{|320}{|21}U x x x x x x =−+≥=≥≤或{||2|1}{|31}A x x x x x =−>=><或1{|0}{|21}2x B xx x x x −=>=><−或 {}12U C B x x x ===或=U A C B ∅故答案选A【点睛】本题考查了集合的交集和补集，意在考查学生的计算能力和对于集合运算的灵活运用.4.若函数y =[2,1]−−上有意义，则实数a 的取值范围是（） A. 2a ≤B. 1a ≤C. 01a ≤≤D.02a ≤≤【答案】B 【解析】 将题目转化为10ax+≥在区间[2,1]−−恒成立，计算得到答案. 【详解】若函数y =[2,1]−−上有意义等价于1a x +在区间[2,1]−−上大于等于010aa x x +≥∴≤−在区间[2,1]−−恒成立 1a ∴≤故答案选B【点睛】本题考查了函数的定义域，不等式恒成立问题，转化为函数的最值是解题的关键.5.已知函数()21,1()22,11,1,1x x f x x x x x⎧⎪+≤−⎪=+−<<⎨⎪⎪≥⎩若()1,f a >则实数a 的取值范围是（）A. 1(,2)(,)2−∞−⋃−+∞B. 11(,)22−C. 1(,2)(,1)2−∞−⋃−D.1(2,)(1,)2−−⋃+∞【答案】C 【解析】讨论a 的取值范围，分别计算得到答案.【详解】当1a ≤−时，()21()1,0f a a a =>>+或2a <− 故2a <− 当11a −<<时，1221(),2a a f a =+>>−，故112a >>− 当1a ≥时，1()1,1f a a a=><，故无解 综上所诉：1(,2)(,1)2a ∈−∞−⋃−故答案选C【点睛】本题考查了分段函数，解不等式，讨论范围得到不同不等式是常用的方法，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.6.已知()f x 为一次函数，且[()]43,f f x x =−则(1)f 的值为（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】设()f x kx b =+，代入[()]43,f f x x =−得到()21f x x =−或()23f x x =−+，计算得到答案.【详解】设()f x kx b =+则2[()]()()43f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=−24,3k kb b =+=−2,1,()21,(1)1k b f x x f ==−=−=或2,3,()23,(1)1k b f x x f =−==−+= 综上：(1)1f = 故答案选B【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用. 7.已知函数(2)f x −的定义域为[0,2],则函数(21)f x −的定义域为（）A. [2,0]−B. [1,3]−C. 35[,]22D. 11[,]22−【答案】D 【解析】根据定义域得到220x −≤−≤，再计算112210,22x x −≤−≤−≤≤得到答案. 【详解】函数(2)f x −的定义域为[0,2]，则220x −≤−≤112210,22x x −≤−≤−≤≤故答案选D【点睛】本题考查了抽象函数定义域，抓住函数定义域的定义是解题的关键.8.下列是偶函数的是（）A. 31()f x x x=−B. ()f x =C. ()(f x x =−D. ()|25||25|f x x x =++−【答案】D 【解析】利用偶函数定义逐一判断每个选项得到答案. 详解】A. 3311()(0),(),()()f x x x f x x f x f x x x=−+≠−=−=−−奇函数B. ()11,0),()()()f x x x f x f x f x ==−≤≤≠−==−−奇函数C. 1()(1)(11)1xf x x x x+=−−≤<−非奇非偶函数 D. ()|25||25|,()|25||25||25||25|f x x x f x x x x x =++−−=−++−−=++− ()()f x f x =−，偶函数故答案选D【点睛】本题考查了偶函数的判断，忽略掉定义域是容易犯的错误.9.函数2()48f x x x =−−的定义域为[0,]a ，值域为[12,8]−−，则a 的取值范围是（） A. [2,4] B. [4,6]C. [2,6]D. [0,4]【答案】A 【解析】画出函数2()48f x x x =−−，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：函数值域为[12,8]−−，(0)(4)8,(2)12f f f ==−=− 则[2,4]a ∈ 故答案选A【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，利用图像可以简化运算，直观简洁.10.已知集合2{|3100},{|121},A x x x B x m x m =−−≤=+≤≤−若,B A ⊆则实数m 的取值范围是（） A. 23m −≤≤ B. 32m −≤≤C. 2m ≥D. 3m ≤【答案】D 【解析】先计算集合A ，再根据,B A ⊆讨论B 是否为空集得到答案. 【详解】2{|3100}{|25}A x x x x x =−−≤=−≤≤{|121}B x m x m =+≤≤−B A ⊆当B =∅时：121,2m m m +>−<当B ≠∅时：121,2m m m +≤−≥且215,3312m m m −≤⎧−≤≤⎨+≥−⎩ 即23m ≤≤综上所述：3m ≤ 故答案选D【点睛】本题考查了根据集合关系求参数范围，忽略空集的情况是容易犯的错误. 11.设函数:f R R →满足(0)1,f =且对任意,x y R ∈都有(1)()()()2,f xy f x f y f y x +=−−+则(2019)f =（）A. 0B. 1C. 2019D. 2020【答案】D 【解析】取0x =得到(1)2f =，取0y =得到()1f x x =+，代入数据得到答案. 【详解】(1)()()()2f xy f x f y f y x +=−−+，(0)1,f = 取0x = 得到(1)(0)()()22f f f y f y =−+=取0y = 得到(1)()(0)(0)22f f x f f x =−−+=得到()1f x x =+(2019)2020f =故答案选D【点睛】本题考查了求函数表达式和函数值，取点是解题的关键，此题型是考试的常考题型，需要同学们熟练掌握.12.设函数2()(0),f x x x a a =++>若()0,f m <(1)f m −的值为（）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 正负不确定【答案】A 【解析】根据()0,f m <得到2m m a −>+，22(1)220f m m m a m a −=−+>+> 【详解】2()(0)f x x x a a =++>22()0,f m m m a m m a =++<−>+222(1)(1)(1)220f m m m a m m a m a −=−+−+=−+>+>故答案选A【点睛】本题考查了函数值的正负判断，意在考查学生的计算能力，此题也可以通过函数图像，韦达定理的方法得到答案. 二、填空题（每小题5分）13.集合{}1,2M =的子集．．的个数为_________. 【答案】4 【解析】集合{}1,2M =有2 个元素，∴集合{}1,2M =的子集的个数为224=，故答案为4.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,4()f x x x =−,则当0x <时()f x =____ 【答案】4+x x 【解析】设0x <则0x −>得到4()f x x x −=−−，再利用奇函数的性质得到答案. 【详解】设0x <则0x −>, 4()f x x x −=−− 函数()f x 是定义在R 上的奇函数4()()f x f x x x =−−=+故答案为4+x x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性计算函数表达式，属于常考题型. 15.若集合42{0,1,3,},{1,4,,3},A m B a a a ==+其中**,,:31,m N a N f x y x ∈∈→=+,x A y B ∈∈是从定义域A 到值域B 的一个函数，则m a +=_______【答案】7 【解析】根据条件得到410a =或者2310a a +=，根据*a N ∈得到2a =，再代入计算得到5m =得到答案.【详解】42{0,1,3,},{1,4,,3}A m B a a a ==+，**,,:31,m N a N f x y x ∈∈→=+(0)1,(1)4f f ==，(3)10f =，()31f m m =+当410a =时，a = 不满足当2310a a +=时，2a =或5a =−（舍去），故2a =4()3116,5f m m a m =+===7m a +=故答案为7【点睛】本题考查了函数映射，讨论对应关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16.下列说法正确的是_______ （1）函数2()f x x=−(0,)+∞上单调递减；（2）函数2()y x x N =∈图象是一直线；（3）21(0)(),2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩若()10,f x =则x 的值为-3或-5； （4）若函数2(21)1y x a x =+−+的减区间是(,2],−∞则32a =−； （5）若函数()f x 满足R 上的任意实数12121212,(),()[()()]0x x x x x x f x f x ≠−−<恒成立，则()f x 在R 上单调递减.【答案】(4)、(5) 【解析】依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】（1）函数2()f x x=−在(0,)+∞上单调递增，（1）错误 （2）函数2()y x x N =∈图象是间断的点，（2）错误（3）21(0)(),2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩若()10,f x =则x 的值为-3，（3）错误（4）若函数2(21)1y x a x =+−+的减区间是(,2],−∞即2122a −−=，则32a =−，（4）正确（5）若函数()f x 满足R 上的任意实数12121212,(),()[()()]0x x x x x x f x f x ≠−−<恒成立，当1212,()()x x f x f x ><，当1212,()()x x f x f x <>，故()f x 在R 上单调递减. （5）正确 故答案为(4)、(5)【点睛】本题考查了函数的单调性，分段函数，函数图像，综合性强，意在考查学生对于函数性质的综合运用.三、解答题（本大题共6道题，17题10分，18-22每小题12分，共70分） 17.已知集合3{||2|1},{|0},25xA x xB x x −=−<=≤+求A B 和()R BC A .【答案】5(,)(1,)2A B =−∞−+∞；()5(,)[3,)2R BA =−∞−+∞ 【解析】先计算集合A 和集合B ，再计算AB 和()R BC A【详解】{||2|1}{|13}A x x x x =−<=<<，{|31}R C A x x x =≥≤或 35{|0}{|3}252x B x x x x x −=≤=≥<−+或5(,)(1,)2A B =−∞−+∞()5(,)[3,)2RBA =−∞−+∞ 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题型.18.已知函数()).f x a R =∈（1）若1,a =−求()y f x =的定义域；（2）若函数()y f x =定义域为R ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[5,1]−(2)5[0,]4【解析】（1）当1,a =−()f x =，计算2450x x −−+≥得到答案.（2）讨论0a =和0a ≠两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）当1,a =−()f x =2450x x −−+≥即51x −≤≤ 故定义域为[5,1]−（2）函数()y f x =定义域为R当0a =时，()f x =当0a ≠时，()f x =R ，即2450ax ax ++≥恒成立2050(4)2004a a a a >⎧∴<≤⎨∆=−≤⎩综上所述：5[0,]4a ∈【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0a =的情况是容易犯的错误.19.已知二次函数2()3(0)f x ax bx a =++≠图象过点(3,0)A −,对称轴为 1.x =− （1）求()y f x =的解析式；（2）若函数()y g x =满足(21)()g x f x +=,求函数()y g x =的解析式.【答案】(1)2()23f x x x =−−+(2)215()424x x g x =−−+ 【解析】（1）利用图象过点(3,0)A −,对称轴为 1.x =−解得函数解析式.（2）计算2(21)3(2)g x f x x x =−−=++，设121,2t x t x −+==代入得到答案. 【详解】（1）二次函数2()3(0)f x ax bx a =++≠图象过点(3,0)A −,对称轴为 1.x =−则(3)9330f a b −=−+=，12b a−=− 解得：1,2a b =−=− 2()23f x x x =−−+（2）2(21)3(2)g x f x x x =−−=++ 设121,2t x t x −+== 221115()()2322424t t t t g t −−=−−+=−−+ 215()424x x g x =−−+ 【点睛】本题考查了求函数表达式，利用换元法可以简化运算，是解题的关键，也可以利用配凑法得到答案.20.()f x 是定义在R 上的函数，对一切,,x y R ∈都有()()2()(),f x y f x y f x f y ++−=⋅且(0)0.f ≠（1）求(0)f ；（2）判断函数()f x 的奇偶性【答案】(1)(0)1f =(2)偶函数【解析】（1）取0x y ==，得到22(0)2(0),(0)1f f f =∴=（2）取0x =得到()()2(0)()f y f y f f y +−=⋅，即()()f y f y =−得到答案.【详解】（1）()()2()(),f x y f x y f x f y ++−=⋅(0)0.f ≠取0x y ==，则22(0)2(0),(0)1f f f =∴=（2）()()2()(),f x y f x y f x f y ++−=⋅取0x =得到()()2(0)()f y f y f f y +−=⋅，即()()f y f y =−函数()f x 为偶函数【点睛】本题考查了求函数的值和函数奇偶性的判断，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.21.解关于x 的不等式22(22)2(1)10()a a x a x a R −−−+>∈【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】讨论a 的取值范围解得答案.【详解】22(22)2(1)10()a a x a x a R −−−+>∈1、当二次系数为0时：当0a =时，不等式的解集为1(,)2−∞；当1a =时，不等式的解集为R ；2、当二次系数为不为0时： 224(1)4(22)4(31)(1)a a a a a ∆=−−−=−− 当13a =时，不等式的解集为33(,)(,)22−∞+∞；当0a <时，不等式的解集为； 当103a <<时，不等式的解集为1(()a −+−∞+∞； 当113a <<时，不等式的解集为R ；当1a >时，不等式的解集为. 综上所述：当0a <时，解集为2211(2222a a a a a a −+−−− 当0a =时，解集为1(,)2−∞当103a <<时，解集为2211(,)()2222a a a a a a −−+−∞+∞−− 当13a =时，解集为33(,)(,)22−∞+∞； 当113a <≤时，解集为R当1a >时，解集为2211(,2222a a a a a a −−−− 【点睛】本题考查了不等式的解法，讨论a 的范围是解题的关键.22.已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈为偶函数,且不等式2()1x f x x x ≤≤−+对一切实数x 恒成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()2()2,g x f x =−关于x 的不等式2(1)4()()4()x g x g m g m g x m−+≤−在3[,)2x ∈+∞有解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)211()22+f x x =(2)m ≤≤且0m ≠ 【解析】（1）取1x = 得到1(1)1(1)1f f a c ≤≤∴=+=，再利用20ax x c −+≥得到14ac ≥，利用均值不等式得到14ac ≤，解得12a c ==. （2）将不等式化简为2221(41)230m x x m +−−−≤，设22141m t m+−=，讨论t 的范围得到83t <，代入式子得到答案. 【详解】（1）二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈为偶函数0,02b b a−=∴= 2()1x f x x x ≤≤−+取1x = 得到1(1)1(1)1f f a c ≤≤∴=+=()x f x ≤即20ax x c −+≥恒成立，01(0,0)1404a ac a c ac >⎧∴∴≥>>⎨∆=−≤⎩ 114a c ac +=≥∴≤故12a c ==时成立 211()22+f x x = （2）2()2()21g x f x x =−=−2(1)4()()4()x g x g m g m g x m −+≤−即222222(1)14414(1)x x m m x m−−+−≤−−− 化简得到：2221(41)230m x x m +−−−≤ 设22141m t m +−=，即2230tx x −−≤在3[,)2x ∈+∞有解 设2()23F x tx x =−−，即min ()0F x <易知：当0t ≤时成立当0t >时，对称轴为1x t =当132t ≤时，min 398()()60,243F x F t t ==−<∴<，故2833t ≤< 当132t >时，min 112()()30,F x F t t t==−−<恒成立 综上所述：83t < 即2218413m m +−<解得m ≤≤且0m ≠ 【点睛】本题考查了函数的解析式，解不等式，计算量大，综合性强，其中通过换元法可以简化运算，意在考查学生的计算能力和对于函数，不等式知识的综合应用能力.。

2019-2020学年哈尔滨三中高一(下)第一次验收数学试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在△ABC 中，若A =30°，B =75°，BC =3√2，则AC =( )A. 4√3B. 3√3+3C. 3√3+32D. √322. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. |AC⃗⃗⃗⃗⃗ | 3. 在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b (2sinB +sinA )+(2a +b )sinA =2csinC ，则C =( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64. ΔABC 中，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( )A. 1B. 89C. 23D. 795. 已知|a |=2√2，|b |=3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a +2b ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a −3b ，D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为( )．A. 18B. 7C. 152D. √1526. 已知在△ABC 中，S 为△ABC 的面积，若向量p ⃗ =(4,a 2+b 2−c 2),q ⃗ =(√3,S)满足p⃗ //q ⃗ ，则C =( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°7. 设e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是两个互相垂直的单位向量，则e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π28. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则rs的值是( ) A. 1B. 43C. 13D. 39. 在△ABC 中，若a =√52b ，A =2B ，则cos B 等于( )A. √53B. √54C. √55D. √5610. 在△ABC 中，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 1B. √2C. √3D. 211. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若a 2=b 2+14c 2，则acosB c的值为A. 14B. 54C. 58D. 3812. P 为四边形ABCD 所在平面上一点，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 为( )A. 四边形ABCD 对角线交点B. AC 中点C. BD 中点D. CD 边上一点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 向量a ⃗ =(m,2)，b ⃗ =(1,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______．14. 在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn = ______ ． 15. △ABC 中，A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，b 2+c 2−√3bc =a 2，且ba =√2，则∠C =_______．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b a+c =1−sinCsinA+sinB ，且b =5,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，则△ABC 的面积是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos A−2cos Ccos B=2c−a b．(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B =14，b =2，求△ABC 的面积．18. 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC =15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为2√3千米，(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？19.已知向量m⃗⃗⃗ =(√3cos x2,1)，n⃗=(sin x2,−cos2x2)，设函数f(x)=12+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗ .在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，f(A)=12．(1)求A的大小；(2)若a=3，cos(B−C)+cosA=4sin2C，求c的大小．20. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n ⃗ =(cosB,cosA)，m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =sin2C ． (1)求角C 的大小．(2)若sinA +sinB =2sinC ，且CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=8，求边c 的长．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，属于基础题.由正弦定理直接求出AC 的值． 解：由正弦定理，得BC sinA =ACsinB ，即3√2sin30∘=AC sin75∘，所以AC =3√212×√6+√24=3√3+3．故选B ．2.答案：A解析：解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选；A ．利用向量的平行四边形法则即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵b(2sinB +sinA)+(2a +b)sinA =2csinC ，∴由正弦定理可得：b(2b +a)+(2a +b)a =2c 2，整理可得：b 2+a 2−c 2=−ab ， ∴由余弦定理可得：，故选C ．4.答案：D解析：本题考查向量的线性运算，属于基础题． 利用平面向量基本定理计算即可．解：由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +49BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =49，y =13， ∴x +y =79． 故选D ．5.答案：C解析：解：由已知|a ⃗ |=2√2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为π4有：a⃗ ⋅b ⃗ =2√2×3×√22=6， 由向量的运算可得：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3a ⃗ −12b ⃗ ， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(3a ⃗ −12b ⃗ )2=9a ⃗ 2+14b ⃗ 2−3a ⃗ ⋅b ⃗ =72+94−18=2254， 即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=152， 故选：C ．数量积表示两个向量的夹角及向量的运算得：a ⃗ ⋅b ⃗ =2√2×3×√22=6， 由向量的运算可得：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3a ⃗ −12b ⃗ 由向量的模的运算得：则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(3a ⃗ −12b ⃗ )2=9a ⃗ 2+14b ⃗ 2−3a ⃗ ⋅b ⃗ =72+94−18=2254，即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=152． 本题考查了数量积表示两个向量的夹角及向量的运算、向量的模的运算，属中档题．6.答案：C解析：本题考查了余弦定理，平面向量共线(平行)的坐标表示，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．利用平面向量平行的条件列出关系式，再利用三角形面积公式表示出S ，代入整理后利用余弦定理求出cos C 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数． 解：∵p ⃗ =(4,a 2+b 2−c 2)，q ⃗ =(√3,S)， 且S =12absinC ，p⃗ //q ⃗ ， ∴4S =2absinC =√3(a 2+b 2−c 2)， ∵cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴sinC =√3cosC ，即tanC =√3， 又C 为三角形的内角， ∴C =60°． 故选C ．7.答案：B解析：解：由已知可设：e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)， 则e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ =(1,2)，3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ =(3,1)， 设e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=(e 1⃗⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅(3e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ )|e 1⃗⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗⃗ ||3e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ |=√5×√10=√22， 又θ∈[0,π]， 所以θ=π4， 故选：B ．由向量的数量积运算及两向量夹角的运算有：cosθ=(e 1⃗⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅(3e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ )|e 1⃗⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗⃗ ||3e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ |=5√5×√10=√22，得解． 本题考查了向量的数量积运算及两向量夹角的运算，属简单题．8.答案：D解析：解：∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴r =34，s =14， 则rs =3414=3，故选：D ．根据向量的基本定理结合三角形的向量法则进行化简求出r ，s 即可．本题主要考查向量基本定理的应用，利用向量三角形法则进行分解是解决本题的关键．9.答案：B解析：本题考查正弦定理以及二倍角公式的应用，属于基础题． 先运用正弦定理得到sin Asin B=√52，再运用二倍角公式计算，即可得到答案． 解：由正弦定理，得a b =sin Asin B ， ∴a =√52b 可化为sin A sin B=√52． 又A =2B ，∴sin 2B sin B=√52，∴cos B =√54． 故选B ．10.答案：B解析：本题考查平面向量数量积的运算和向量垂直的判断，考查运算求解能力，属于基础题． 解题的关键在于判断出△ABC 为直角三角形，再利用向量数量积的运算解出|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 解：因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以△ABC 为直角三角形， 所以，所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， 故选B ．11.答案：C解析：考查了余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 根据余弦定理cosB =a 2+c 2−b 22ac的式子，结合题中等式算出cosB =5c 8a ，代入即可算出acosB c的值．解：∵a 2=b 2+14c 2，可得b 2=a 2−14c 2∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−(a 2−14c 2) 2ac =5c8a因此可得acosB c=a⋅5c8ac=58故选：C12.答案：B解析：本题考查了向量的三角形法则和中点公式，属于基础题．利用向量的三角形法则可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由于PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即可得出． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴点P 为线段AC 的中点． 故选B ．13.答案：−4解析：解：∵向量a ⃗ =(m,2)，b ⃗ =(1,2)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =m +4=0， 解m =−4． 故答案为：−4．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：−6解析：解：∵在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =3，n =−2． ∴mn =−6． 故答案为：−6．由已知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能求出mn 的值． 本题考查向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意加法法则的合理运用．15.答案：15°或105°解析：本题考查正、余弦定理，由已知结合余弦定理得∠A ，然后利用正弦定理求解即可． 解：因为b 2+c 2−√3bc =a 2，所以根据余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=√32， 由0°<∠A <180°，得到∠A =30°，则sinA =12，又ba =√2，根据正弦定理得：ba =sinBsinA =√2，即sinB =√2sinA =√22，由0°<∠B <180°，得到∠B =45°或135°， 则∠C =15°或105°.故答案为15°或105°．16.答案：15√3 解析： 利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理求出角A 的大小，然后通过数量积化简求出三角形的面积． 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查分析问题解决问题的能力． 解：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b a+c =1−sinC sinA+sinB ，所以b a+c =1−c a+b ，化简可得：b 2=a 2+bc −c 2，可得cosA =12，A =π3．又b =5,CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，abcosC =−5，即ab ×b 2+a 2−c 22ab =−5， 25+a 2−c 2=−10，又b 2=a 2+bc −c 2，25=bc −35，bc =60．S =12bcsinA =12×60×√32=15√3．故答案为：15√317.答案：解：(1)∵cosA−2cosCcosB =2c−ab =2sinC−sinAsinB ，∴cosAsinB −2sinBcosC =2cosBsinC −sinAcosB ，∴sinAcosB +cosAsinB =2sinBcosC +2cosBsinC ，∴sin(A +B)=2sin(B +C)，又，∴sinC =2sinA ，∴sinCsinA =2；(2)由(1)可得c =2a ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，∴4=a 2+4a 2−a 2，解得a =1，则c =2，∵cosB =14，∴sinB=√154，∴S=12acsinB=12×1×2×√154=√154．解析：本题考查正余弦定理解三角形三角形的面积公式，涉及和角的三角函数，属中档题．(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出;(2)由(1)可得c=2a，再由余弦定理可得a，c的值，根据三角形的面积公式计算即可．18.答案：解：(1)在△BCP中，tan∠PBC=PCBC⇒BC=2在△ABC中，由正弦定理得：BCsin∠BAC =ABsin∠BCA⇒2sin150=ABsin450，所以AB=2(√3+1)，船的航行速度是每小时6(√3+1)千米．(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD=√6，在△BCD中，由正弦定理得：CDsin∠DBC =CBsin∠CDB⇒sin∠CDB=√22，所以，山顶位于D处南偏东450．解析：(1)解△BCP，利用BCP中，tan∠PBC=PCBC⇒BC=2，在△ABC中，由正弦定理求得；(2)利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，关键是将实际问题转化为解三角形的问题，属于中档题．19.答案：解：(1)∵向量m⃗⃗⃗ =(√3cos x2,1)，n⃗=(sin x2,−cos2x2)，∴函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+12=√3sin x2cos x2−cos2x2+12=√32sinx−12cosx=sin(x−π6)，∵f(A)=12，∴sin(A−π6)=12，又0<A<π，∴A=π3．(2)∵cos(B−C)+cos A=4sin2C.∴cos(B−C)−cos(B+C)=4sin2C，∴2sinB sinC =4sin 2C ，∵sinC ≠0，∴sin B =2sin C ，由正弦定理可得b =2c ，又由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即 9=4c 2+c 2−4c 2×12，∴解得 c =√3．解析：此题主要考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．(1)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f(x)解析式，整理为一个角的正弦函数，由f(A)=12，结合A 的范围，即可解出A 的值；(2)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBsinC =4sin 2C ，结合sinC ≠0，可得sin B =2sin C ，利用正弦定理可得b =2c ，进而由余弦定理可求c 的大小．20.答案：解：(1)由题意，m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n ⃗ =(cosB,cosA) 则m⃗⃗⃗ ·n ⃗ =sinA ⋅cosB +sinB ⋅cosA =sin(A +B)， 对于△ABC ，A +B =π−C ，0<C <π，所以sin(A +B)=sin C ，所以m⃗⃗⃗ ·n ⃗ =sin C ， 又m⃗⃗⃗ ·n ⃗ =sin2C ，所以sin2C =sin C ， 即2sinCcosC =sinC ，可得cosC =12．又因为C ∈(0,π)，∴C =π3，(2)因为2sin C =sin A +sin B ，由正弦定理得2c =a +b ．因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=8，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =8， 即abcosC =8，ab =16．由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcos C =(a +b)2−3ab ，所以c 2=4c 2−3×16，c 2=16，所以c =4．解析：本题主要考查了正余弦定理的运用，还考查了两角和的正弦函数公式与诱导公式、向量数量积的坐标运算，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．(1)由向量的坐标运算和三角恒等变换可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =sin A ⋅cos B +sin B ⋅cos A =sin(A +B)=sin C =sin2C ，可得cosC =12.即可求得C ．(2)由已知2sin C =sin A +sin B 结合正弦定理得2c =a +b.由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=8，可得ab =16.由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcos C =(a +b)2−3ab ，即可求解．。

哈师大附中2019-2020学年度高一下学期第二次（线上）考试数学试题第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知实数,,a b c 满足0,a b c R >>∈，则下列结论正确的是（ ） A. a c b c ->- B. 22ac bc >C.c c a b< D. c c a b >【★答案★】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，或举反例，逐项判断，即可得出结论. 【详解】选项A ，0,a b c R >>∈，则a c b c ->-成立， 所以A 正确；0,a b >>若0c ，则22ac bc =，c ca b=，c c a b =, 所以选项B ，C ，D 均不正确. 故选：A【点睛】本题考查不等式的性质，注意应用反例判断不正确的不等式，属于基础题.2.已知非零向量a =(,0)()t t R ∈，向量(1,3)b =-，若a b +与a 垂直，则t 的值为（ ） A. 1B. 3C. 2D. 23【★答案★】A 【解析】 【分析】先利用向量的加法运算求出a b +，再根据a b +与a 垂直，得()0a b a +⋅=，然后由数量积的坐标表示列式即可求出．【详解】因为()1,3a b t +=-，而a b +与a 垂直，所以()0a b a +⋅=，即()1030t t -+⨯=，解得1t =或0t =，因为a 为非零向量，所以1t =． 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用向量垂直的坐标表示求参数，属于基础题．3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，410S =，则6S 等于（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 42【★答案★】B 【解析】 【分析】根据24264,,S S S S S --成等差数列列方程组，解方程求得6S 的值.【详解】由于{}n a 是等差数列，故24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-，即()62104410S -=+-，解得618S =. 故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和的性质，考查方程的思想，属于基础题.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若119a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时， n 等于（ ） A. 7B. 6C. 5D. 4【★答案★】C 【解析】 【分析】根据题意可求出等差数列{}n a 的通项公式，再根据邻项变号法(或二次函数法)即可求出． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由466a a +=-可得，()1931956d d -++-+=-，解得4d =，所以()1941423n a n n =-+-=-．当n S 取最小值时，100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即42304190n n -≤⎧⎨-≥⎩，解得192344n ≤≤，而*n ∈N ，所以5n =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列{}n a 的前n 项和最小值的求法应用，属于基础题． 5.点P 为Rt ABC 斜边BC 上一点，0AP BC ⋅=，,,AP x AB y AC x y R =+∈，若22AC AB ==，则xy =（ ）A.29B.425C.14D.1049【★答案★】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，设()P m n ,，利用平面坐标系的点表示出向量，根据0AP BC ⋅=可得20m n -+=，再根据,,B C P 三点共线可得()()120mn m n ---=，联立方程组求出P 坐标，利用平面向量的线性运算求出x ，y 即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系， 如图：由22AC AB ==，则()10B ,，()0,2C ， ()1,2BC =-，()1,0AB =，()0,2AC =设()P m n ,，(),AP m n =，(),2CP m n =-，()1,BP m n =-，由题意可得 ()()20120m n mn m n -+=⎧⎨---=⎩，解得45m =，25n =，所以42,55AP ⎛⎫=⎪⎝⎭， 由,,AP x AB y AC x y R =+∈，可得()()()42,,00,2,255x y x y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 解得45x =，15y =，所以xy =425. 故选：B【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量垂直的坐标表示、向量的共线的坐标表示，需熟记公式，属于基础题.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 6π6+B.113π C. 72πD.136π【★答案★】D 【解析】 【分析】根据三视图可知，几何体是一个半圆柱和一个半球的组合体，然后根据圆柱和球的体积公式计算可得★答案★.【详解】根据三视图可知，几何体是一个半圆柱和一个半球的组合体，如图：由三视图可知，半圆柱的底面半径为1，高为3，半球的半径为1， 所以半圆柱的体积为2131322ππ⨯⨯⨯=，半球的体积为21421233ππ⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为3213236πππ+=.故选：D.【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了圆柱和球的体积公式，属于基础题.7.某圆柱的高为2，底面周长为8，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A. 217B. 25C. 22D. 2【★答案★】C【解析】【分析】根据三视图可确定点,M N 的位置，再将圆柱展开即可根据两点之间线段最短求出最短距离．【详解】根据三视图可知，点,M N 的位置以及圆柱展开后如图所示：根据两点之间线段最短，所以从M到N的路径中，最短路径的长度为222222+=．故选：C．【点睛】本题主要考查三视图的应用，以及圆柱的侧面展开图的应用，意在考查学生的空间想象能力，属于基础题．8.已知两个单位向量12,e e，满足1212||3||e e e eλλ+=-，若0λ>，则12,e e夹角的最大值为（ ） A. 30︒ B. 60︒C. 90︒D. 120︒【★答案★】B 【解析】 【分析】把已知等式两边平方得到()121014e e λλλ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭>，利用不等式求得12e e ⋅的最小值，再代入向量夹角公式计算即可．【详解】由1212||3||e e e e λλ+=-，得()()2212123e e e e λλ+=-，121e e ==，化简得()11222232112e e e e λλλλ⋅=++-+⋅.∵0λ>，∴ 21211111124442e e λλλλλλ+⎛⎫⋅==+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当λ＝1时等号成立．∴cos 12,e e <>＝1212e e e e ⋅≥⋅12，∵120,180e e ≤<>≤，∴120,60e e ≤<>≤，∴12,e e 夹角的最大值为60°． 故选：B【点睛】本题考查了利用平面向量数量积的运算公式求向量的夹角，也考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．9.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为（ ）A. 1042+B. 336+C.332D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，由直观图的结构特征即可求解.【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为直六棱柱. 如图所示：所以几何体的表面积为：++S S S S =上底下底侧()1121122124221104222⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯++⨯=+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力，属于基础题. 10.在ABC 中，532AC ,AB ,BC ===，,,M N P 分别为,,AC AB BC 中点，将ABC 沿,,MN NP MP 折起得到三棱锥S MNP -，三棱锥S MNP -外接球的表面积为（ ）A. 5πB. 92πC.52πD.94π 【★答案★】D 【解析】 【分析】 由已知可得将ABC 沿,,MN NP MP 折起得到三棱锥S MNP -，相对的棱长相等，故棱锥S MNP -外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，求出球的半径后，代入球的表面积公式，可得★答案★. 【详解】ABC 中，532AC ,AB ,BC ===，,,M N P 分别为,,AC AB BC 中点，将ABC 沿,,MN NP MP 折起得到三棱锥S MNP -，故52SM NP ==，32SN MP ==，1SP MN ==，故棱锥S MNP -外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为a ，b ，c ，则2254a b +=，2294b c +=，221a c +=， 即22294a b c ++=，即长方体的外接球半径R 满足：()229244R R ==， 故三棱锥S MNP -外接球的表面积为2944S R ππ==.故选：D【点睛】本题主要考查了多面体的外接球问题、球的表面积公式，属于中档题. 11.已知关于x 的不等式2211x a a x a a -++--≤-的解集为31{|}42x x -≤≤-，则a 的值为（ ） A.14B.12C.22D. 22±【★答案★】B 【解析】 【分析】由题意可知，20a a -≥，根据211x a a x -++--的几何意义可知，当211a x a -≤≤-时，211x a a x -++--最小值为2a a -，故不等式的解集为{}211x a x a -≤≤-，即可根据集合相等求出a 的值．【详解】根据绝对值的定义可知，20a a -≥，()()221111x a a x x a x a -++--=--+--，它表示点x 到点1a -和点21a -的距离之和，所以，当211a x a -≤≤-时，211x a a x -++--最小值为2a a -，故不等式的解集为{}211x a x a -≤≤-，即2314112a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得12a =．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用绝对值的几何意义解不等式，属于基础题．12.若数列{}n a 满足1(1)2(2)-=-+≥n nn n a a n ，若1359799=+++++S a a a a a ，24698100=+++++T a a a a a ，则=TS（ ） A. 3B. 4C. 6D. 8【★答案★】C 【解析】 【分析】由递推公式得出 ()504143-=-T S ，再由递推公式用1a 表示出所有的奇数项，累加可得出所有奇数项的和S ，再根据()504143--=S TSS，代入数据即可求得结果.【详解】因为1(1)2(2)-=-+≥n nn n a a n ，所以2469810024698100135979922222=+++++=++++++++++T a a a a a a a a a a()5024698100414222223-=++++++=-S S ，11a a =，221+2=a a ，323321222=-+=--+a a a ， 42344312222=+=--++a a a ， 5234554122222=-+=+--+a a a ， 623456*********=+=+--++a a a ， 72345677612222222=-+=--++--+a a a以此类推23456789912222222+2=+--++--a a ，2345678910111112222222222=--++--++--+a a ，23459697971+222+2+22=---+a a ，2345969798999912222+2222=--++-+--+a a ，所以321322+=-a a ，765722+=-a a ，111091122+=-a a ，，9998979922+=-a a ，所以327611109998135979922222222=+++++=-+-+-++-S a a a a a()()37119926109822222222=++++-++++()()()252525811641164116151515---=-=---，所以()()()()5050502541441441433311156411615----==-=-=+=--S T SSS. 故选：C【点睛】本题主要考查数列的综合应用，涉及到递推公式，和等比数列的前n 项和公式，主要考查学生的综合分析能力.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确★答案★填在题中横线上) 13.若实数0,0,4m n m n mn >>+=，则4m n +的最小值为_____________. 【★答案★】16 【解析】 【分析】将4m n mn +=变形为()1444m n m n +=⨯⨯，利用基本不等式即可求出4m n +的最小值． 【详解】因为()211444442m n m n m n +⎛⎫+=⨯⨯≤⨯ ⎪⎝⎭，所以416m n +≥，当且仅当2,8m n ==时取等号，即4m n +的最小值为16． 故★答案★为：16．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 14.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比993,52==q S ，则3699699a a a a a ++++=_____________.【★答案★】36 【解析】 【分析】 设1479497a a a a a S ++++=，再结合3q =与等比数列的性质利用S 表达2589598a a a a a ++++与3699699a a a a a ++++，再根据9952S =求解即可.【详解】设1479497a a a a a S ++++=，因为公比3q =，故25895981479497333333a a a a a a a a a a S ++++=++++=，同理36996999a a a a a S ++++=.又9952S =，故3952S S S ++=，解得4S =，故3699699936a a a a a S ++++==.故★答案★为：36【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用，注意观察下标的关系，属于中档题. 15.以下说法不．正确的是______________.(写出所有不．正确说法的序号) （1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥. （2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. （3）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.（4）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径. 【★答案★】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】根据棱锥的定义可得（1）错误；当相邻侧面不垂直时可判断（2）错误；只有以垂直于底边的腰旋转才符合要求，可得（3）错误；圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长可判断（4）错误. 【详解】有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故（1）错误； 所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 因为各相邻侧面并不一定都互相垂直，所以（2）错误；以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所得旋转体不是圆台，故（3）错误；圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故（4）错误， 故★答案★为：（1）（2）（3）（4）.【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的机构特征，属基础知识的考查.16.已知ABC 内一点O 满足AO AB BO BA →→→→⋅=⋅，BO BC CO CB →→→→⋅=⋅， 3,3AC BC ==，则OC OA OB →→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的值为__________.【★答案★】3- 【解析】 【分析】根据向量数量积运算的性质及向量的线性运算可得||=||=||OB OA OC →→→，利用外心的性质及数量积的定义可求出OC OA OB →→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的值.【详解】AO AB BO BA →→→→⋅=⋅，()()()··0AO AB BO BA AB AO BO OB OA OB OA ⎡⎤∴⋅-⋅=+=--+=⎣⎦, 220OB OA →→∴-=,||=||OB OA →→，同理可得||=||OB OC →→, 故O 为ABC 的外心=OC OA OB OC BA OC CA CB OC CA OC CB →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅-⋅=⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11=||||cos ||||cos 3(3)3(3)22CA OC OCA CB OC OCB →→→→∠-∠=⨯-⨯-⨯-⨯()13932=-=-, 故★答案★为：3-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，向量的数量积定义，三角形的外心，考查了逻辑推理能力和运算能力，属于难题.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知11,11a b -<<-<<，求证： （1）3(1)13a a +≥+； （2）1ab a b ->-.【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作差比较即可证明； （2）平方作差比较即可证明.【详解】（1）证明：3322(1)(13)3(3)a a a a a a +-+=+=+11a -<<，所以20a ≥，30a +>，所以2(3)0a a +≥，3(1)(13)0a a ∴+-+≥,所以3(1)13a a +≥+.（2）因为2222221||(12)(2)ab a b ab a b a ab b ---=-+--+2222221(1)(1)a b a b a b =+--=--，因为11a -<<，11b -<<， 所以210a ->，210b ->， 所以22(1)(1)0a b -->， 所以22|1|||ab a b ->-, 所以|1|||ab a b ->-.【点睛】本题考查了不等式的证明，第二问平方后作差是解题关键，属于基础题. 18.已知在递增等差数列{}n a 中，13a =，3a 是1a 和9a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()1+1n nb n a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，当n S m <对于任意的*n ∈N 恒成立时，求实数m 的取值范围.【★答案★】（1）()*3n a n n N =∈；（2）13m ≥ 【解析】 【分析】（1）根据等比中项列出等式，即可求出等差数列{}n a 的公差，从而求出数列{}n a 的通项公式； （2）根据n b 的形式可变形为111()31n b n n =-+，由裂项相消法可求出n S ，再根据恒成立问题的解法即可求出．【详解】（1）由题意可得2319a a a =，2111(2)(8)a d a a d ∴+=+，化简可得230d d -=．因为数列{}n a 递增，0d ∴>，3d ∴=．()*3(1)33n a n n n N ∴=+-⨯=∈．（2）因为1111()3(1)31n b n n n n ==-++，而111111111(1)(1)32231313n S n n n =-+-++-=-<++，要n S m <对于任意的*n ∈N 恒成立，13m ∴≥．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法，等比中项和裂项相消法的应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，属于基础题．19.已知函数()12,f x x x ax a R =-+--∈， （1）若1a =，求解不等式()0f x ≤；（2）若对任意1x ≥不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】（1）{|13}x x ≤≤；（2）[2,)+∞ 【解析】 【分析】（1）根据零点分段法即可解出；（2）先根据绝对值的定义将函数()f x 写成分段函数，再分别求出在各自范围上恒成立时a 的取值范围，然后取交集即可求解．【详解】（1）若1a =，不等式()0f x ≤等价于120x x x -+--≤，即230x x ≥⎧⎨-≤⎩或1210x x <<⎧⎨-+≤⎩或1330x x ≤⎧⎨-+≤⎩，23x ∴≤≤或12x <<或1x =．故不等式()0f x ≤的解集为{|13}x x ≤≤．（2）当1x ≥时，(2)3,2()1,1 2.a x x f x ax x --≥⎧=⎨-+≤<⎩①2x ≥时，3(2)302a x a x--≤⇒-≤，33(0,]2x ∈，20a ∴-≤，即2a ≥； ②12x ≤<时， 110ax a x -+≤⇒≥，11(,1]2x ∈，即1a ≥． 综上，实数a 的取值范围是[2,)+∞．【点睛】本题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，以及恒成立问题的解法应用，意在考查学生分类讨论思想的应用能力，属于基础题． 20.在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【★答案★】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：1213a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，所以n a n =．（Ⅱ）由n an n b a p =，得nn b np =．当1p =时，21232n n nT n +=++++=． 当1p ≠时，()231231n n n T p p p n p np -=++++-+，∴()2341231n n n pT p p p n p np +=++++-+，两式相减得()()23111111n n n n n n p p P T p p p p p np npp-++--=+++++-=--，∴12(1)(1)1n n n p p np T p p+-=---.综上可得212,12(1),1(1)1n n n n np T p p np p p p +⎧+=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩． 【解析】【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：1213a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，所以n a n =.（Ⅱ）由n an n b a p =，得n n b np =.所以23123(1)n nn T p p p n p np -=+++⋅⋅⋅+-+，当1p =时，(1)2n n n T +=； 当1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=+++⋅⋅⋅+-+，23111(1)(1)1n n nn n n p p P T p p p pp npnp p-++--=+++⋅⋅⋅++-=--即21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，向量m (cos ,cos )B C =，n =(,2)b a c -，若//m n ，（1）求角B 的大小；（2）若1AB BC ⋅=-，求AC 边上的高BH 的最大值. 【★答案★】（1）3π；（2）62【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得cos (2)cos b C a c B =-，再利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式即可求解.（2）根据向量数量积的定义可得2ca =，再利用余弦定理以及基本不等式可得2b ≥，由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）因为//m n ，所以cos (2)cos b C a c B =-，由正弦定理，sin cos (2sin sin )cos B C A C B =-，即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=1sin()sin 2sin cos ,cos 2B C A A B B ∴+==∴= ()0,,3B B ππ∈∴=（2）若1AB BC ⋅=-，则()1cos 12ca B ca π⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，2ca ∴= 由余弦定理，222222cos 2222b a c ac B a c ac =+-=+-≥-=，0b >，2b ∴≥，ABC ∆面积13sin 22S ac B ==， 又1322S AC BH =⋅=， 33BH AC b∴==， 2b ≥，∴33622b ≤=， 在2a b c ===时取等号，故AC 边上的高BH 的最大值为62. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、向量共线的坐标表示、向量数量积的定义，考查了基本知识，属于基础题.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1nn na b n N a +=∈-. （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）记()*221n n n c b b n N-=-∈，设数列{}nc 的前n 项和为nT ，求证：对任意正整数n ，都有32n T <； （3）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4≥k R k 成立?若存在，找出一个正整数k ;若不存在，请说明理由.【★答案★】（1）14()14,141()4nnn n n a b +-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭--；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析【解析】 【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥可得数列{}n a 是等比数列，根据等比数列的通项公式可得n a ，进而可得n b ；（2）通过放缩可得2516n n c <，再按照1n =和2n ≥两种情况分别证明即可； （3）通过放缩得到221n n b b -+8<，再分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论即可得到★答案★.【详解】（1）令1n =，得1151a a =+，得114a =-，因为51n n a S =+，所以1151n n a S --=+(2)n ≥， 所以115()5n n n n n a a S S a ---=-=(2)n ≥， 所以11(2)4n n a a n -=-≥， 因为10a ≠，所以114n n a a -=-(2)n ≥， 所以数列{}n a 是首项为14-，公比为14-的等比数列， 所以111()44n n a -=-⨯-1()4n =-,14()411()4nn n b +-=--. （2）由14()411()4nn n b +-=--54(4)1n =+--得221221555204141161164n n n n n n n c b b --=-=+=+-+-+2225162516251625(161)(164)(16)3164(16)16n n n n n n n n n ⨯⨯⨯==<=-++⨯-， 又12133,3b b ==， 当1n =时，121134333c b b =-=-=，所以114332T c ==<， 当2n ≥时，222231111()41114469316161625()252511531616163348211616n n n T -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦<+⨯+++=+⨯<+⨯=<-， ∴对任意正整数n 都有32n T <. （3）2254(4)1n n b =+--54161n =+-，212154(4)1n n b --=+--204164n =-+4<， 221n n b b -+5208161164n n=+--+15164088(161)(164)n n n ⨯-=-<-+， 当n 为偶数时，12341()()()n n n R b b b b b b -=++++++842nn <⨯=， 当n 为奇数时，123421()()()n n n n R b b b b b b b --=+++++++1842n -<⨯+4n =，所以存在正整数k ，使得4≥k R k 成立.【点睛】本题考查了由n a 与n S 的关系式求n a ，考查了利用放缩法和等比数列前n 和公式证明数列不等式，使用放缩法是解题关键，属于较难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。