八年级数学上册第12章分式和分式方程12.1分式课件新版冀教版

④
3x 2k
⑤ z2
x
⑥ 1 ab 2 ac ⑦ x
23
2
【解析】判断一个代数式是否是分式，看分母中是否含有字
母，若分母含有字母是分式；若分母不含有字母则不是分
2 2x
3x
式． 3x, 5x y , 2k
z2
,x
中分母含有字母是分式， x
2
和
1 2
ab

2 3
ac
1
是整式，2
不是分式，因为π不是字母，而是常数．
b）b2）（a

b

0）
这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论 回答) 我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分. (1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式. 利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去, 叫做分式的约分.
3ac
2a2 a b 是最简分式.这种说法对吗?为什么?
x 2, x 3 ,5x2, x 3 , ab , 1 , 2
5
3x 2 x y 4 x
思考：1.含有分母的式子就是分式吗？ 2.分式和整式相除有什么关系？
解:
x 2, x 3 ,5x2, 1
5
4
都是整式;
因为
x 3 , ab , 2 3x 2 x y x
的分母中都含有字母,所以它们都是分式.
12.1 分式（第2课时）
问题思考
下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论
根据是什么?
(1)
6a2b3 8a3b2

3b ; 4a
(2) x2 xy x . x2 y2 x y

3x 2 x y 4 x
解： x 2, x 3 , 5x2 , 1 都是整式；
5
4
因为 x 3 , ab , 2 的分母都含有字母，所以
3x 2 x y x
它们都是分式.
总结
知1－讲
分式只注重形式而不注重结果，判断一个式 子是不是分式的方法：首先要具有 A 的形式，其
B 次A，B是整式，最后看B是不是含有字母．分母
含有字母是判断分式的关键条件．
知1－练
1 下列各式：－3a2，x 2 , 2x , a 2b , 3, 2x 中， 2 x π+2 x y
哪些是分式？哪些是整式？ 解：分式有，2x , 2x ；
x x y 整式有－3a2，x 2 , a 2b ，3.
2 π+2
知1－练
2
设A，B都是整式，若
a
么？分式
2x 3 x2
中的字母x呢？
结论 在分数中，分母不能等于0.同样，在分式中，分
母也不能等于0，即当分式的分母等于0时，分
式没有意义.如
1 x
5
分式，当x－5≠0，即x≠5
时,它有意义；当x－5=0,即x=5时,它没有意义.
知2－讲
1．在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义； 当分母的值为0时，分式无意义．
知3－导
分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的数， 其值不变.如
2 2 2 , 10 10 10 . 3 3 2 100 100 10 类比分数的这种性质，思考：分式的分子和分母 同乘(或除以)一个不等 于0的整式，分式的值会怎样？
归纳
知3－导
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的 整式，分式的值不变.

(3) a b ( ab
a2+ab a2b
).
y
5.若把分式 x y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B )
A．扩大两倍 C．缩小两倍
B．不变 D．缩小四倍
xy
6.若把分式
中的 x和 y都扩大3倍,那么分式的值( A).
x y
A．扩大3倍 C．扩大4倍
B．扩大9倍 D．不变
课堂小结
典例精析
例1
计算：
6x 5y
10 y2 3x3
.
解：
6x 10y2
5y 3x3
6x (10y2 5y 3x3
)
4y x2
.
提示 计算分式的乘法，要按照分式的乘法法则进行运算， 注意约去分子、分母中的公因式，同时还要注意分解因 式和约分，计算的结果一定要化成最简形式.
例2
计算：
a2 a2
4a 2a
4 1
a a2
1 4
.
解： a2 4a 4 a 1 a2 2a 1 a2 4
(a 2)2 a 1 (a 1)2 (a 2)(a 2)
a2 1 (a 1) (a 2)
a2 a2 a
2
.
二 分式的乘方
问题 类比： (ab)n=anbn，那么 ( a )n ? b
分式的乘方法则
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
0
无 -1 意 …
义

观察思考
（1）分式
18 3x
与
18x 3x2
的分子，分母间有怎样的关系？对于同一个x的值，
这两个分式的值又有怎样的关系？分式
18 3x
与
6 x
之间情况又怎样呢？
（2）由此你发现分式具有怎样的性质？
类比分数的基本性质，得到： 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等 于0的整式 ，分式的值不变． 用公式表示为： A A M , A A M . 其中M是不等于0的整式．
2、已知甲、乙两地之间的路程为m km ．如果A车速度为n km/h，B车
m
每小时比甲车多行驶20km，那么从甲地到乙地A所用的时间为___n__h，
m
B车从甲地到乙地所用的时间为_n__2_0__h．
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大家谈谈
1、上面的代数式那些是整式?那些不是?
整式： 1，
5
53．
第十二章· 分式和分式方程
12.1 分式
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情境导入
1、一项工程，甲施工队5天可以完成．甲施工队每天完成的工程量是
1
3
__5_，3天完成的工程量是__5_，如果乙施工队a天可以完成这项工程，那
1
b
么乙施工队每天完成的工程量是__a _，b(b<a)天完成的工程量是___a __．
（3） 4m m2 ．
m2 8m 16
解：（1）
35a2b2 15a3b
＝
7b 3a

5a 5a
2b 2b
＝
7b 3a
；
（2） x2 y2 (x y)(x y) x y ；

2020最新冀教版八年级数学上册 电子课本课件【全册】目录
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第十二章 分式和分式方程 12.2 分式的乘除 12.4 分式方程 第十三章 全等三角形 13.2 全等图形 13.4 三角形的尺规作图 14.1 平方根 14.3 实数 14.5 用计算器求平方根与立方根 15.1 二次根式 15.3 二次根式的加减 第十六章 轴对称和中心对称 16.2 线段的垂直平分 16.4 中心对称图形 第十七章 特殊三角形 17.2 直角三角形 17.4 直角三角形全等的判定
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14.4 近似数
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14.5 用计算器求平方根与立方 根
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14.1 平方根
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14.2 立方根
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14.3 实数
12.3 分式的加减
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12.4 分式方程
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12.5 分式方程的应用
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第十三章 全等三角形
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13.1 命题与证明
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都扩大3倍，
那么分式的值( A ).
A．扩大3倍
B．扩大9倍
C．扩大4倍
D．不变
分数是如何约分的？
1、约分： 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
15 = 35 5
21
37 7
观察下列化简过程，你能发现什么？
a 2bc a2bc ab c
ab
ab ab
这一过程实际上是将分式中分子与分母的公因式约去. 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的 约分.分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式. 分式约分的依据是什么？
分式
1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完 成的工作量是多少？3天完成的工作量又是多少？如 果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每 天完成的工作量是多少？b(b<a)天完成的工作量又 是多少？
解：设这项工程的总工作量为1.
则甲施工队5天完成时的工作量是 1 .
3天完成的工作量是 3 .
144 (96) 144 (192) 64
= 240 400
3 5
做一做 当p=12，q=-8时，请分别用直接代入求值和化
p2 pq
简后代入求值两种方法求分式 p2 2 pq q2 的值，
并比较那种方法较简单.
解：先化简后代入求值：
p2 pq p2 2 pq q2
p( p q) ( p q)2
5
5 如果乙施工队a天完成，则乙队每天完成工作量为
1
.
b
a
b天完成的工作量为 a .
2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果
A车的速度为n km/h，B车比A车每小时多行
20km，那么从甲地到乙地，A车和B车所用

分式的混合运算法则
先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的步骤 （1）去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式 方法转化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）检验，把一元一次方程的根代入所乘的最简公分母中， 看结果是否为0； （4）写出是原分式方程的解. 分式方程的增根 在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适 合于原方程的根.
2a (a 1) a2 1. a 1
2a(a 1) (a 1)(a 1) a2 1原式=来自a 1a1 a1
2a2 2a (a2 1) (a2 1)
a 1
2a(a 1)

2a.
a 1
x x6 1
12.当
x
=
200
时，求
x3

x2
3x

x
的值.
解:
x
x
3

x x2

6 3x

1 x
x2 x 6 x 3 x(x 3) x(x 3) x(x 3)
x2 9 (x 3)(x 3) x 3 .
x(x 3) x(x 3)
x
当 x = 200 时,原式=
200 3 200
同分母分式相加（减） ，分母不变,把分子相加（减）.
通分
AC AC. BB B
把几个异分母分式分别化成与它们相等的同分母分式，叫做
分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母.
异分母分式的加减 异分母分式相加减 ，先通分,变为同分母的分式,再加减.
a c ad bc ad bc ; a c ad bc ad bc . b d bd bd bd b d bd bd bd

2019/8/24
方法归纳：
(1)如果分式的分子、分母都是单项式, 那么直接约去分子与分母的公因式; (2)如果分式的分子、分母是多项式,那 么能因式分解的先因式分解,由此找出 公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与 分母(除1外)不能再有公因式.
做一做 【拓展延伸】 约分 32a2b3c ，
基本性质.
活动一:分式的约分和最简分式
学习新知
1.分式的约分
想一想：分式
ab ac bd cd
能不能化简？
若能,化简的依据是什么,化简的结果又是什么？
归纳: (1)分式约分的依据是根据分式的基本性质. (2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公 因式约去,叫做分式的约分.
思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分 子、分母都是多项式时,又如何找公因式?
解：(答案不唯一)选x2+4xy+4y2作分子,x24y2作分母,则：
x2 4xy 4y2 x2 -4y2
x 2y2

x 2yx 2y

x 2y . x 2y
2019/8/24
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2019/8/24
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解：（1）150aa23bb3cc2


2a b2c
.
（2）32baaabb
2a . 3b
（3）
a x

x a
2 3
x a2 x a3
1. xa
(2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)≠0.这种
变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等

分母中含未知数的 方程叫做分式方程.
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数.
练一练
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x ; 23
2 4 3 7;
xy
整式方程
(3) 1 3 ; x2 x
解这个方程, 得: x = 3.
检验:将 x = 3 代入原方程,得: 左边 = 1 = 右边.
所以:x=3是原方程的根.
2.解方程：
x x5
5 . 5 x
解
方程两边都乘以 x 5 ,得：
：
解这个方程，得：x 5 .
检验：将 x = 5 代入原方程，方程的分母为零. 所以，x = 5 是方程的增根，原方程无实根 .
(4) x x1 1. 23
讲授新课
一 分式方程的相关概念
问题 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江 以 最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 . 20 v 20v
3.当m为何值时，方程 x 2 m 会产生增根. x3 x3
解 方程两边同乘以最简公分母（x-3）， 得
：
x-2(x-3)=m，
x-2x+6=m， 解方程，得 x=6-m.
因为原分式方程有增根，所以x=3.
得 6-m=3，即 m=3.
课堂小结
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的步骤 （1）去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式 方法转化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）检验，把一元一次方程的根代入所乘的最简公分母中， 看结果是否为0； （4）写出是原分式方程的解. 分式方程的增根 在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适 合于原方程的根.

上述性质可以表示为： =
， =
B B × M B B ÷M
（其中M为≠0的整式）其中A,B,M是整式.
探究新知
学生活动一 【观察与思考】
分式
ab＋ac
能不能化简？如果能，那么化简的依据是什么，
bd＋cd
化简的结果又是什么？
探究新知
化简过程：
原分式
化简后分式
探究新知
定义1：像上面这样，把分式中分子和分母的公因式约去，
第2课时 分式的约分
学习目标
1.理解和掌握分式的约分、最简分式的概念。
2.会用分式的基本性质进行分式的约分。
3.通过对分式约分的探索，体会类比思想，感受
知识建构的过程。
回顾复习
思考：分式的基本性质是什么？
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，
分式的值不变.
A A × M A A ÷M
巩固练习
【例】约分：
x2 y2
35a2b2
4m−m2
（1）
；（2）
；（3） 2
.
15a3b
m −8m＋16
a（x＋y）
探究新知
学生活动二 【做一做】
当p＝12，q＝－8时，请分别用直接代入求值和化简后代入求
值两种方法求分式
p 2 pq
p 2 2 pq q 2
先化简再求值.
的值，并比较哪种方法较简单.
当分母的值为0时，分式无意义．
2．分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．
巩固练习
在什么情况下，下列各分式无意义？
2
x−3
ab
，
，
.
x
x
−
y
3x＋2