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例1下列各方程是线性的, 还是非线性的? 如果是线性的, 指出是齐次的,还是非齐次的, 并确定它的阶数. (1) 22sin sin 0xx xy yy u xu xu ++=， (2) 12=+y x u u u (3) 320xxxx xxyy yyyy u u u ++=(4)0ln =++u u u xyy xxx ， (5) 5352sin xxx xy yy y u u xu u u x -+++=解：(1) 原方程为二阶齐次线性方程(2) 由于2,x y u uu 都为非线性项，因此原方程为一阶非线性方程(3) 原方程为四阶齐次线性方程(4) 由于ln u 为非线性项，因此原方程为三阶非线性方程 (5) 原方程为三阶非齐次线性方程（非齐次项2sin x ） 例2 验证函数 (3)u f x y =+ 是方程: 30x y u u -=的解, 其中f 为任意连续可微函数.证：左(3)3(3)f x y f x y x y ∂∂=+-+∂∂()(3)3()(3)f x y f x y x y ξξ∂∂''=+-+∂∂ 3()3()0f f ξξ''=-==右 (3)x y ξ=+例3 验证函数 22ln()u x y =+是方程: 0xx yy u u +=的一个解证： 222222,x y x y u u x y x y ==++，2222222222222(02)24,()()xx yy x x y u u x y x y x y x y -=+=-++++ 左22222222222224240()()x y x y x y x y x y =-+-==++++右 例4 （1） 长为l 的弦, 两端点固定, 且在初始时刻0=t 处于水平状态, 初始速度为23sinxlπ, 作微小横振动, 试写出此定解问题.（2） 设有一长度为l 的杆, 它的表面是绝热的, 在0=x 的一端温度为5C ,另一端l x=处外界媒介的温度为5C ,且初始温度分布为)(x ϕ, 试写出此定解问题.解：(1) 定解问题为 0(0,)(,)02(,0)0,3s i n t t x x t u u u t u l t u x u x t lπ==⎧⎪==⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩(2) 定解问题为 (0,)5,[(,)]5(,0)()t x x x lu u u u t u x t x u x x κϕ==⎧⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪=⎩例5 将下列二阶线性偏微分方程化为标准型（1）22222320u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，解：（1）特征方程2320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x yx yξη=-⎧⎨=-⎩2,x y u u u u u u ξηξη=+=-- ， 22444xx u u u u u u u u ξξξηηξηηξξξηηη=+++=++ 32xy u u u u ξξξηηη=---，2yy u u u u ξξξηηη=++代入原方程，化为0u ξη-=， 所以原方程的标准型为 0u ξη=（2） 22222u u a t x∂∂=∂∂ 解 ：特征方程22()dx a dt =，特征线12,x at C x at C +=-=， 作变量代换x at x atξη=+⎧⎨=-⎩， 原方程化为 2222a u a u ξηξη-=，所以原方程的标准型为 0u ξη=（3）22222320u u u u u x x y y x y∂∂∂∂∂++++=∂∂∂∂∂∂解：特征方程2320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x y x y ξη=-⎧⎨=-⎩原方程化为0u u ξηη-+=， 所以原方程的标准型为 0u u ξηη-=例6.证明直角坐标系下的拉普拉斯方程: 22220u ux y∂∂+=∂∂在极坐标系下为01122222=∂∂+∂∂+∂∂θu r r u r ru证：cos ,sin tan r x r y y r x θθθ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩=⎪⎩2()x r x y u u u r r θ=+- ， 2y r y xu u u r rθ=+222234412[]xx rr r x x x xyu u u u u r r r r r θθθ=+-++222234412[]yy rr r y y y xyu u u u u r r r r rθθθ=+-+-2222222342[]xx yy rr r x y x y x y u u u u u r r r rθθ++++=+-+222()r x y =+2221111[]rr r rr r u u u u u u r r r r rθθθθ=+-+==++，所以拉普拉斯方程:22220u ux y ∂∂+=∂∂在极坐标系下为 01122222=∂∂+∂∂+∂∂θu r r u r r u。
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
一些新颖的物理解题方法随着一些新颖的但又不脱离物理教材的题型的出现，刻不容缓地要求教师随着形势的发展，讲解一些新颖的解题方法。
这些解题方法包括解答一些常规的物理题型和一些实验性质的物理题。
例1、如图所示，有两个小球A和B，密度分别为ρA和ρB，图甲中，细线的一端固定在杯底，另一端拴住小球A使其浸没在水中静止，图乙中，细线的一端固定在杯底，另一端拴住小球B使其浸没在油中静止，小球A所受重力为GA，体积为VA，小球B所受重力为GB，体积为VB，小球A和B所受细线的拉力大小相等，所受浮力分别为FA和FB，已知水的密度为ρ水，油的密度为ρ油，而且ρ水＞ρ油＞ρB＞ρA，则下列判断正确的是：AD A、GA＜GB B、VA＞VBC、FB＜FAD、FB＞FA解答：设A球受到细线的拉力为F拉A，B球受到细线的拉力为F拉B，根据题意可得：对于A球：FA＝GA＋F拉A，即：ρ水VAg＝F拉A AVAg （1）对于B球：FB＝GB＋F拉B，即：ρ油VBg＝F拉B＋GB＝F拉B＋ρBVBg （2）因为F拉A＝F拉B，化简（1）和（2）可得ρ水VAg－ρAVAg＝ρ油VBg－ρBVBg，经过计算可得VA（ρ水－ρA）＝VB（ρ油－ρB）（3）对于（3）式，由于题中没有给出具体数据，我们可以设一个好算的数据来代进去计算一下，这种方法应该大力推广。
我们现在设ρ油＝0.8g/cm3,因为ρ水是已知的数据，我们再根据题中给出的条件ρ水＞ρ油＞ρB＞ρA来设ρB＝0.4g 每立方厘米，ρA＝0.2g每立方厘米，设VB＝1立方厘米，总之，可以随便地设数据，只要便于计算就行。
将上述数据代入（3）式中去计算，可以得到AD 点评：做题不要太死板，假设题中没有给予数据，一些学生就傻了眼，不知所措，这题出得相当地好，最起码给出了一种解题的新途径。
例2、将一实心物体先后投入到足量的水和酒精中，物体静止时，所受浮力分别为6牛和5牛，（酒精的密度为0.8×103kg/m3）物体在水中和酒精中的浮沉状态可能是： B A、在水中漂浮，在酒精中漂浮B、在水中漂浮，在酒精中沉底C、在水中悬浮，在酒精中漂浮D、在水中沉底，在酒精中沉底解答：设物体的密度小于水和酒精的密度，则浮力都等于重力，两次浮力都相等，故A 错。
巧用数学知识妙解物理题篇一：巧用数学知识妙解物理题是指在物理学研究中,运用数学知识来解决物理问题的方法。
数学是一门抽象的科学,能够帮助我们描述和预测自然现象,因此在物理学研究中广泛应用数学是非常普遍的。
本文将介绍一些巧用数学知识解决物理问题的方法和技巧,并进一步拓展相关内容。
正文:1. 基本数学公式在解决物理问题时,使用一些基本数学公式是非常有帮助的。
例如,在描述运动的规律时,可以使用牛顿第二定律和第三定律、加速度公式、速度公式、位移公式等。
这些公式可以帮助我们快速准确地计算出物体的运动状态和速度、位移等物理量。
2. 微积分微积分是数学中的一个重要分支,在物理学中也有很高的应用价值。
微积分可以帮助我们描述和预测物体在微小尺度上的运动,例如微分方程、导数和积分法可以用来求解曲线和微分方程。
3. 线性方程组线性方程组是物理学中一个非常重要的概念,可以帮助我们解决许多复杂的物理问题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组,其中每个方程都是关于一些未知数的线性方程。
解决线性方程组需要使用消元法和求根公式等方法。
4. 概率论概率论在物理学中也有广泛的应用。
例如,在描述随机事件的概率时,可以使用概率分布、条件概率等概念。
概率论还可以帮助我们预测物理实验的结果,例如可以使用概率分布来预测实验数据的平均值和标准差。
拓展:除了以上介绍的基本数学公式和技巧外,还有一些其他的数学知识也可以在解决物理问题时提供帮助。
例如,代数学可以用来解决方程和函数问题,数学变换可以用来改变物理问题中的量纲和符号,数学分析可以用来研究物理问题的结构和性质等。
数学知识在解决物理问题中发挥着重要的作用。
掌握一些基本数学公式和技巧,并结合物理实验和理论分析,可以帮助我们深入理解物理问题的本质,并有效地解决问题。
篇二：巧用数学知识妙解物理题是指在物理问题中,运用数学知识来解决问题的方法。
数学是一门广泛应用于物理学科的语言,通过运用数学方法,我们可以更好地理解物理现象和规律。
活用数学方法妙解物理问题担山中学黄自华数学和物理是紧密联系的，数学是学习物理的基础和工具，解决物理问题的方法和手段，它能最简洁、最准确地表达物理概念与物理规律。
所以，运用数学方法，妙解物理问题是物理学习目标之一，依据物理规律，用数学变换的方法，可以化难为易，迅速准确，巧妙实用。
下面列举几例，共同探讨。
一、巧用一次函数，妙解物理题例1 某刻度均匀的温度计，在实际温度是10℃时，它的示数是8℃，在通常情况下的沸点水时，读数是89℃，若它的示数是35℃时，真实温度为多少？解析温度计的刻度均匀，其温度变化与液柱高度变化成正比，因此，温度计指示值t′与实际温度t应满足一次函数t′=kt+b。
把t1=10℃，t2=100℃, t1′=8℃，t2′=89℃代入函数式可得：解得k=0.9，b= -1。
∴t′=0.9t－1 将t3′=35℃代入上式得35=0.9t3－1 得t3=40℃，即示数为35℃时，真实温度为40℃。
二、巧用方程组，妙解物理题例2 一块重8 N 的石块，用弹簧秤挂起石块浸没在某种液体中，弹簧秤读数为4.8 N ，浸没在水中，弹簧秤示数为4 N ，求石块的体积和液体的密度。
解析 本题中有两种不同的情况，一次是在某种液体中，另一次是在水中均处于静止状态，处于平衡，合力为0。
在液体中，对于石块 G=F 浮液＋F 拉液 ① 在水中，对于石块 G= F 浮水＋F 拉水 ②将两式展开这两个方程组在只有两个未知量ρ液和V 石，可以通过方程组容易解出。
三、巧用不等式，妙解物理题例3 已知ρ铁=7.8×103kg/m 3，一个质量为2.5kg 的空心铁球浸没在水中，通过计算回答铁球不下沉的条件是什么？解析 设该空心铁球的空心部分体积为V 空，空心球中铁的体积为V 铁，据题意有：V 铁=水铁p m =33/108.75.2mkg kg =3.025×10-4m 3球的总体积V=V 空＋V 铁，球浸没于水中受到浮力F 浮=ρ水gv=ρ水g(V 空+V 铁)，据物体浮沉条件，要使球不下沉，即满足： F 浮≥G 球，即 ρ水g(V 空＋V 铁) ≥m 铁gV 空≥水铁p m －V 铁=33/100.15.2m kg kg ⨯－3.025×10-4m 3=2.18×10-3 m 3当满足V 空≥2.18×10-3m 3时，铁球不下沉，解决此题关键是巧用不等式F 浮≥G 球这一重要关系。
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方程的解析解法在数学和物理领域，解析解法是一种重要的方法，用于求解各种数学物理方程。
与数值解法相比，解析解法能够给出方程的精确解，对于深入理解问题的本质和推导更深层次的结论非常有帮助。
本文将介绍几种常见的数学物理方程解析解法，并探讨其应用。
一、一阶常微分方程的解析解法一阶常微分方程是描述许多物理现象的重要工具，其解析解法可以通过分离变量、齐次线性微分方程、一阶线性非齐次微分方程、可降阶的方程等方法来求解。
1. 分离变量法分离变量法适用于可将微分方程写成dy/dx=f(x)g(y)的形式。
通过将方程两边同时对x和y进行积分，将方程分离成两个单独的积分方程，再通过求解这些积分方程得到最终解。
2. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程形式为dy/dx=f(ax+by)，其中a和b为常数。
通过令y=vx，将原微分方程转换成常数系数线性微分方程，然后利用常数系数线性微分方程的求解方法，求解得到最终解。
3. 一阶线性非齐次微分方程法一阶线性非齐次微分方程可写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
通过求解对应的齐次线性微分方程的通解，再通过变量分离法求解非齐次线性微分方程特解，最后将通解和特解相加得到最终解。
4. 可降阶的微分方程法可降阶的微分方程法适用于微分方程可以通过降低微分方程的阶数来求解的情况。
通过采用变量替换的方法，将高阶微分方程转化为一阶微分方程，然后利用一阶微分方程的解析解法求解。
二、二阶常微分方程的解析解法二阶常微分方程常见于描述自由振动、电路分析、传热过程等物理问题。
解析解法可以通过特征根法、常系数非齐次线性微分方程法等方法来求解。
1. 特征根法特征根法适用于形如d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)的二阶常微分方程。
通过假设y=e^(mx)，将方程代入原方程得到特征方程，然后求解特征方程的根，再根据特征根的求解结果构造齐次解和非齐次解，最终得到最终解。
高一物理追及相遇问题的解法高一物理中，追及相遇问题是一类典型的运动问题，涉及到两个或多个物体同时进行直线运动，并在某一时刻相遇的问题。
解决这类问题的关键是要熟悉速度、时间和距离之间的数学关系，并结合画图和列方程的方法进行求解。
以下是追及相遇问题的解法。
解法一：相对运动法相对运动法是一种基于相对概念的解题方法，该方法适用于两个物体以相对速度进行直线运动的问题。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体相对运动的特点，即两个物体之间的相对速度关系。
2.画出示意图，并标明每个物体的运动方向和起始位置。
通常可以使用箭头表示物体的运动方向。
3.根据物体的相对速度和相对位置关系，得出追及相遇的时间和距离的关系。
4.列方程，解方程，得出问题的解。
解法二：时间比法时间比法基于物体在相同时间内应走过的距离相等的原则，适用于给出两个物体的初始位置和速度，求它们相遇时间或相遇位置的问题。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体的初始位置和初始速度，并画出示意图。
2.假设两个物体相遇时间为t，根据速度、时间和距离的关系可以得出两个物体行驶的距离。
比如，设第一个物体的速度为v1，行驶的时间为t，则它行驶的距离为d1=v1*t；设第二个物体的速度为v2，行驶的时间为t，则它行驶的距离为d2=v2*t。
3.根据题目条件，得出物体行驶的距离之间的关系。
这个关系可以是等于、大于、小于等种情形。
4.根据物体行驶的距离之间的关系及相遇时间与行驶距离的关系，列方程，解方程，求出问题的解。
解法三：套公式法套公式法是追求解题的简便和快捷，适用于两个物体在相对静止或相对匀速运动的情况。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体的初始位置和初始速度。
2.判断两个物体的相对运动关系，即判断两个物体是否追及相遇。
如果两个物体的相对速度为0，则相对运动停止，此时两个物体处于静止状态，无需继续计算。
3.如果两个物体在匀速直线运动，可以利用时间、速度和距离之间的关系，套用公式进行求解。
