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三角函数模型三角函数模型是数学中的一种重要工具，它是用来描述三角形内角与边之间关系的函数模型。
三角函数模型包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别描述了三角形内角的相对值与三角形边长之间的关系。
正弦函数是指三角形内角的正弦值与三角形斜边长之间的比值。
正弦函数在三角形中的应用非常广泛，它可以用来计算三角形内角、边长以及高度等相关参数。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期是360度或2π弧度。
余弦函数是指三角形内角的余弦值与三角形斜边长之间的比值。
余弦函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形的面积、角度以及边长等参数。
余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它的最大值为1，最小值为-1，它的周期与正弦函数相同，都是360度或2π弧度。
正切函数是指三角形内角的正切值与三角形斜边长之间的比值。
正切函数也是三角形内角与边长之间的重要关系，它可以用来计算三角形边长、高度以及角度等相关参数。
正切函数的图像也是一个周期性的波形，它的周期是180度或π弧度，它的值域是从负无穷到正无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，还有许多其他的三角函数模型，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们也都是用来描述三角形内角与边长之间的关系，但是它们的定义和图像与正弦函数、余弦函数和正切函数有所不同。
三角函数模型在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，三角函数模型被用来描述波动和振动的运动规律；在工程学中，三角函数模型被用来计算机械运动和结构强度等参数；在数学中，三角函数模型则被用来解决各种三角形问题和微积分问题等。
三角函数模型是数学中的一种重要工具，它们可以用来描述三角形内角与边长之间的关系，从而解决各种与三角形相关的问题。
掌握好三角函数模型的定义和应用，对于学习数学和应用数学都是非常重要的。
2017-4092校长论坛 当代教育《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲》在考试内容第一条考试目标与要求中指出：目前，高考物理科要考查的能力主要包括理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力和实验能力。
其中“应用数学处理物理问题的能力”，要求学生能根据具体问题列出物理量之间的关系式进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图象进行表达和分析。
数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于物理知识的学习过程中，为物理概念和定律的表达提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法，为物理学的数量分析和计算提供有力工具。
在求解物理极值过程中，要想能与数学知识进行灵活的整合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。
在科学领域中，数学因为其众所周知的准确性而成为研究者们最广泛用于交流的语言。
因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期望通过对该模型的考察来描述、解释、预计或分析出与实际事物相关的规律。
利用数学模型解决实际问题的过程如下图所示。
在这里，将我在近十年的高中物理教学中总结出的三种数学模型归纳如下。
模型一 三角函数因正弦函数和余弦函数的最大值都是1，如果我们整理出来的物理量的表达式为正弦函数或者是余弦函数，我们就可以直接求极值；若物理量的表达式不是正弦（或余弦）函数的基本形式，那么我们可以通过三角函数公式整理出正弦（或余弦）函数的基本形式，然后再确定极值。
以下归纳了两种三角函数求极值的常用模型。
1.利用二倍角公式求极值正弦函数二倍角公式为：sin2θ=2sin θcos θ如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ，则根据二倍角公式，有 ,当θ=45°时，y 有最大值2.利用和差化积公式求物理量极值三角函数中的和差化积公式为：在高中物理中求极值部分或者是讨论物理量的变化规律时，这几个公式经常用到。
三角函数12345模型一、了解三角函数三角函数是数学中非常重要且广泛应用的一类函数，涉及到角度和长度之间的关系。
三角函数有许多性质和应用，其中比较常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在数学、物理、工程等领域都有重要的作用。
二、正弦函数2.1 定义正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，表示为sin(x)。
在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度上的点的纵坐标。
正弦函数具有以下性质： - 奇函数: sin(-x) = -sin(x) - 周期性: sin(x + 2π) = sin(x) - 奇异点: sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(π/2) = 1, sin(3π/2) = -12.2 应用正弦函数在物理学中广泛应用，例如描述波动、振动等现象。
在电子学中，正弦函数被用来描述交流电的变化。
三、余弦函数3.1 定义余弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，表示为cos(x)。
在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度上的点的横坐标。
余弦函数具有以下性质： - 偶函数: cos(-x) = cos(x) - 周期性: cos(x + 2π) = cos(x) - 奇异点: cos(0) = 1, cos(π) = -1, cos(π/2) = 0, cos(3π/2) = 0余弦函数在物理学和工程学中广泛应用。
在力学中，余弦函数用于描述物体的周期性运动，例如摆动和震动。
在信号处理中，余弦函数被用来分析和合成信号。
四、正切函数4.1 定义正切函数是一个周期函数，其定义域为实数集，表示为tan(x)。
正切函数的值等于对应角度上的点的纵坐标与横坐标的比值。
正切函数具有以下性质： - 奇函数: tan(-x) = -tan(x) - 周期性: tan(x + π) = tan(x) - 奇异点: tan(0) = 0, tan(π/2) = ∞, tan(-π/2) = -∞4.2 应用正切函数在几何学和工程学中有广泛的应用。
高中物理中常用的三角函数数学模型
一、三角函数的基本应用
（一）三角函数的定义式
斜边对边正弦= 邻边对边正切=
斜边
邻边余弦=
对边
邻边余切=
（二）探寻规律
1．涉及斜边与直角边的关系为“弦”类，涉及两直角边的关系为“切”类； 2．涉及“对边”为“正”类，涉及“邻边”为“余”类；
3．运算符：由直角边求斜边用“除以”，由斜边求直角边用“乘以”，为更具规律性，两直角边之间互求我们都用“乘以”. （三）速写
第一步：判断运算符是用“乘以”还是“除以”； 第二步：判断用“正”还是用“余”； 第三步：判断用“弦”还是用 “切”.
即 （边）=（边）（运算符）（正/余）（弦/切） 1、由直角边求斜边
正弦
对边斜边=
余弦
邻边斜边=
2、由斜边求直角边
正弦斜边对边⨯= 余弦斜边邻边⨯= 3、两直角边互求 正切邻边对边⨯=
余切对边邻边⨯=
（四）典例分析
经典例题1
图
3
如图1所示，质量为m 的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？
【解析】小球受到的重力产生的效果是压紧挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图2所示。
θtan 1⨯=mg F θ
cos 2mg
F = 经典例题2
如图3所示，质量为m 的小球静止于斜面与挡板之间，斜面倾角为θ，挡板与斜面垂直，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？ 【解析】小球受到的重力产生的效果是压紧 挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图4所示。
θsin 1⨯=mg F θcos 2⨯=mg F。
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
三角函数的模型及应用三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和关系，以及角在几何图形中的应用。
三角函数的模型是用来描述角度和边长之间的关系，而三角函数的应用则广泛涉及到几何、物理、工程等领域。
首先，我们来讨论三角函数的模型。
最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数：sin(x) = 对边/ 斜边余弦函数：cos(x) = 邻边/ 斜边正切函数：tan(x) = 对边/ 邻边其中，对边、邻边和斜边指的是一个直角三角形中与角度x相关的边长。
这些三角函数的定义基于一个特殊的直角三角形，即单位圆上的一条半径与x轴和y 轴夹角为x的射线。
三角函数的模型可以进一步扩展到一般的三角形中，通过在单位圆上做垂线，我们可以将非直角三角形的边长和角度联系起来。
例如，根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)这些模型提供了计算三角形各边长和角度的方法，非常有用。
接下来，我们来探讨三角函数的应用。
三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以使用三角函数求解未知量。
三角函数还可以被用来计算几何图形的面积和体积，例如圆的面积和球的体积等。
此外，三角函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，在运动学中，三角函数可以用来描述物体在直线上的运动，如加速度、速度和位移之间的关系。
另外，在力学中，三角函数可以用来计算力的分解，例如对一个斜面上的物体施加的力的分解等。
在工程学中，三角函数也被广泛应用。
例如，在建筑设计中，可以使用三角函数计算斜塔的高度和角度。
在航海中，可以使用三角函数来计算航线和船只的位置等。
总结起来，三角函数是数学中一个重要的分支，其模型描述了角度和边长之间的关系，应用于几何学、物理学和工程学等领域。
通过使用三角函数的模型和公式，我们可以解决各种与角度和边长相关的问题，推导出相应的计算方法，丰富了数学的应用领域。
重点高中物理中常用的三角函数数学模型(强烈推荐!!!)
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高中物理中常用的三角函数数学模型
数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法.为物理学的数量分析和计算提供有力工具。
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。
可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程。
高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。
一、三角函数的基本应用
在进行力的分解时，我们经常用到三角函数的运算.虽然三角函数学生初中已经学过，但笔者在多年的教学过程中发现，有相当一部分学生经常在这里出问题，还有一部分学生一直到高三都没把这部分搞清楚.为此，本人将自己的一些体会写出来，仅供大家参考. （一）三角函数的定义式
斜边对边正弦= 邻边对边正切=
斜边邻边余弦=
对边
邻边余切=
（二）探寻规律
1．涉及斜边与直角边的关系为“弦”类，涉及两直角边的关系为“切”类； 2．涉及“对边”为“正”类，涉及“邻边”为“余”类；
3．运算符：由直角边求斜边用“除以”，由斜边求直角边用“乘以”，为更具规律性，两直角边之间互求我们都用“乘以”. （三）速写
第一步：判断运算符是用“乘以”还是“除以”； 第二步：判断用“正”还是用“余”； 第三步：判断用“弦”还是用“切”. 即 （边）=（边）（运算符）（正/余）（弦/切） 1、由直角边求斜边
正弦
对边斜边=
余弦邻边斜边=
2、由斜边求直角边
正弦斜边对边⨯= 余弦斜边邻边⨯= 3、两直角边互求
正切邻边对边⨯= 余切对边邻边⨯=
（四）典例分析
经典例题1 如图1所示，质量为m 的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？
【解析】小球受到的重力产生的效果是压紧挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图
2所示。
θtan 1⨯=mg F θ
cos 2mg
F =
θ
θ
mg F
F 图2
经典例题2 如图3所示，质量为m 的小球静止于斜面与挡板之间，斜面倾角为θ，挡板与斜面垂直，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？
【解析】小球受到的重力产生的效果是压紧
挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图4所示。
θsin 1⨯=mg F θcos 2⨯=mg F
二、三角函数求物理极值
因正弦函数和余弦函数都有最大值（为1），如果我们整理出来的物理量的表达式为正弦函数或余弦函数，我们可直接求其极值；若物理量的表达式不是正弦（或余弦）函数的基本形式，那么我们可以通过三角函数公式整理出正弦（或余弦）函数的基本形式，然后在确定极值。
现将两种三角函数求极值的常用模型归纳如下：
1．利用二倍角公式求极值
正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin =
如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2
A
y = 当 0
45=θ时，y 有最大值 2
max A y =
经典例题1 一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图5所示四种情况中符合要求的是（ ）
【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，
倾角为
θ，根据运动学公式2at 21S =
有θθsin gt 2
1cos 2L 2⋅=，解得θ
θθ2sin gL 2cos sin gL
t =
⋅=
，当0
45=θ时，t 有最小值．
【答案】C
经典例题2 如图6所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。
一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则小车
θ
图
θ
m F F 图
1
A
3
B 4
C
6
D
图5 O
运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？
【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有
2
2
1cos mv mgR =
⋅θ ① R
v m mg N 2
cos =-θ ②
由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为
θθθθ2sin 2
3
cos sin 3sin mg mg N N x =
⋅=⋅= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2
3
mg N f x =
= 从f 的表达式可以看出，当θ=450时，sin2θ=1有最大值，则此时静摩擦力的最大值 mg f 2
3max =
2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±
βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±
在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为
)cos sin (2
2
2
2
22θθb
a b b a a b a y ++
++=
令
φcos 2
2
=+b
a a ，
φsin 2
2=+b
a b
则 )sin(22φθ++=
b a y
当 0
90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y +=
经典例题1 重为G 的木块与水平面间动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块沿地面匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？
【解析】木块受四个力的作用，即重力G ，地面的支持力F N ，摩擦力f F 和施加的外力
F ，受力分析如图7所示，设力F 与x 轴夹角为θ，由于物体在水平面上做匀速直线运动，处于平衡状态，所以在x 轴和y 轴分别列平衡方程： f F F =θcos ①
G F F N =+θsin ② 且有
N f F F μ= ③
联立①②③式，θ
μθμsin cos +=
G
F
利用和差角公式变形为 )
sin(12
φθμμ++=
G
F (其中μ
φ1
=
tg )
当1)sin(=+φθ 时，F 具有极小值 2
min 1μ
μ+=
G
F F 与x 轴正方向间夹角
μθ1-=tg
若变形为 )
cos(12
φθμμ-+=
G
F （其中μφ=tg ）
当1)cos(=-φθ 时，F 具有极小值 2
min 1μ
μ+=G
F F 与x 轴正方向间夹角
μθ1-=tg
由以上分析可知，两种变形得到的结果一样。
经典例题2 用跨过定滑轮的绳牵引物块，使其从图8所示位置起沿水平面向左做匀速运动。
若物块与地面间的动摩擦因数为1<μ，绳与滑轮质量不计。
试分析运动过程中绳拉力的变化情况。
【解析】本题为讨论物理量的变化规律的问题， 设绳子拉力为F ，受力分析、列平衡方程、求解F 同上一例题。
θ
μθμsin cos +=
G
F
利用和差角公式变形为 )
sin(12
φθμμ++=
G
F (其中μ
φ1
=
tg )
∵1<μ，1>φtg ∴ 900≥φ≥450 而随物块向左运动， 450≤θ≤900
（图8
4v x y G
F F F f
图7
则 1800≥>+)(φθ900 随θ增大，)sin(φθ+减小，F 增大， 若变形为 )
cos(12φθμμ-+=
G
F （其中μφ=tg ）则0
45<φ，据前面所述，
φθ- 在第一象限，随θ增大，)cos(φθ-减小，F 增大。
由以上分析可知，两种变形得到的结果一样。
