和差问题
【知识提要】
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
解决和差问题的关键，是要搞清楚两个数的和与差，而这
个“和”与“差”往往又很隐蔽，需要通过条件转化而得到。我们可以选择大数或小数作为标准数，然后进行思考。
解题的基本公式有：
(和+差)÷2=大数，和-大数：小数； (和-差)÷2=小数，和-小数：大数。
【例题分析】
【例1】 三年级一班有学生51人，其中男生比女生多5人，这个班有男、女生各多少人?
【例2】 今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?
【例3】 父、子的年龄之和，现在是42岁，10年以后父亲比儿子大20岁，问现在父、子年龄各多少岁?
【例4】两个连续双数的和是106，求这两个双数各是多少?
【例5】甲4年前的年龄等于乙6年后的年龄，甲4年后的年龄与乙3年前的年龄之和是37岁，求甲、乙两人今年各是多少岁?
【例6】太行厂将875元奖金分给有贡献的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名工人得多少元?
【例7】一级茶和二级茶共计有80千克，二级茶和三级茶共有70千克，一级茶和三级茶共50千克，问一、二、三级茶各多少千克？
【例8】一筐香蕉连筐共重32千克，吃去一半香蕉后，连筐共重17千克，那么原来有多少千克香蕉？筐有多少千克？
【例9】 甲、乙两个仓库共存粮960吨，若从甲仓库调80吨给乙仓库，那么这两个仓库的粮食吨数相等，甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨?
【例10】 小张和小王共储蓄2000元,如果小张借给小王200元,两人储蓄的钱恰好相等,问两人各储蓄多少元?
【例11】 甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?
【例12】 学校体育教研室买了5个足球和2个排球，共用去304元。—个排球比一个足球便宜9元。一个足球多少元?
【例13】 小玲的期终考试成绩如下：语文，数学两门功课平均成绩97分，数学比语文多考了6分，她两门功课各考了多少分？
【例14】四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他和最大的年龄之和比另外两个年龄之和大7岁，最大的年龄是多少？
【自我检测】
1)甲乙两个工程队合挖一条长48千米的水渠，甲队比乙队多挖了6千米，求甲、乙工程队各挖了多少千米？
2)甲、乙两个仓库共运进货物1260吨，如果从甲仓库调出120吨货物到乙仓库，则两个仓库的货物一样多，求甲乙两仓库原来运进货物各多少吨？
3)电视机厂一、二、三车间共有工人360人，第一车间比第二车间多12人，第三车间比第二车间少18人，三个车间各有工人多少人？
4)养兔场共养兔8800只，有白兔、黑兔和灰兔三品种，白兔比黑兔多600只，黑兔比灰兔少400只，求白兔、黑兔、灰兔各有多少只？
5)甲、乙两堆货物共180吨，甲堆货物运走30吨仍比乙堆货物多12吨，求甲乙两堆货物各多少吨？
6)三块小麦试验地里共收小麦9800千克。第一块试验地比其余两块试验地少收1400千克，第二块试验地比第三块试验地多收200千克小麦，求三块小麦试验地各收小麦多少千克？
7)甲乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生多少人？
8)甲、乙两个工程队共1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人调入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲乙两队原有工人多少人？【巩固训练】
1．甲、乙两个仓库共有粮食120吨，乙仓比甲仓少20吨，甲、乙两仓原来各有粮食多少吨?
2．小刚和小强今年的年龄和为24岁，4年前，小刚比小强大6岁，他们俩今年各多少岁?
3．当哥哥4岁时，弟弟出生，今年两人的年龄和为18岁，今年兄弟二人
各多少岁?
4．两个连续双数的和是34，这两个双数各是多少?
5．甲、乙两个油桶共装了100千克油，甲桶倒出10千克后，两个油桶的油一样多，两个油桶原来各有油多少千克?
6．甲、乙两校共有学生900人，甲校调入乙校62人，甲校还比乙校多54人。问甲、乙两校原来各有多少人?
7．甲、乙两筐共有桃135千克，从甲筐取出20千克放入乙筐，结果甲筐的桃比乙筐的桃少5千克。求两筐原有桃各多少千克?
8．菜场运来了青菜、白菜和萝卜若干筐，已知运来青菜和白菜共1100千克，青菜和萝卜共900千克，白菜和萝卜共1000千克。问运来青菜、白菜和萝卜各多少千克?
9．师徒两人合做2小时，共生产零件110个，师傅每小时比徒弟多生产5个，师徒两人每小时各生产零件多少个?
10．小张的妈妈用280元给小张买了一件外衣、一条裤子和一双鞋。已知外衣比裤子贵150元，外衣和裤子一共比鞋贵220元。问三件物品的价钱分别是多少元?
和倍问题
【知识提要】
已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题是和倍问题。
解题的基本公式有：
和÷（倍数+1）=一份量，一份量×倍数=较大数（或“和-一份量=较大数” ）。
【例题分析】
【例1】 王小刚家里养了公鸡和母鸡一共45只，公鸡的只数是母鸡的4倍，王小刚家养的公鸡和母鸡各有多少只?
【例2】 一辆汽车运面粉和大米共2450千克，其中大米比面粉的2倍还多50千克，求大米和面粉各有多少千克?
【例3】 甲仓库存粮140吨，乙仓库存粮180吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库?
【例4】 果园里有苹果树、梨树、桃村共840棵，梨树棵数是桃树的2倍，苹果树棵数是桃树的3倍。三种果树各有多少棵？
【例5】 盒子中有红球、白球、黑球共200个，白球比黑球多14个，红球比白球的3倍多4个，求盒子中有红球、白球和黑球各多少个?
【例6】 三、四年级共有学生165人，三年级学生比四年级学生
人数的2倍还少6人，三、四年级学生各有多少人？
【例7】 两个数的和是792，其中一个加数的个位是0，若把0去掉，则与另一个加数相同，这两个数各是多少？
【例8】 被除数、除数、商三个数的和是215，已知商是3，被除数和除数各是多少？
【例9】 师傅和徒弟5小时共做零件60个，师傅每小时做的零件个数是徒弟2倍，师傅和徒弟每小时各做零件多少个?
【例10】 甲、乙、丙三个工人超额完成生产任务，共得奖金1645元。根据各人的生产效率和经济效益，甲得的奖金是乙的2倍，乙得的奖金
是丙的2倍。问甲、乙、丙各得奖金多少元？
【巩固训练】
1．某学校五、六年级共有学生180人，五年级的学生人数是六年级学生人数的2倍，五、六年级各有学生多少人?
2．口袋里有红、黄、蓝各色珠子共550颗，其中红珠子的颗数是黄
珠子的5倍，蓝珠子与红珠子同样多，蓝珠子有多少颗?
3．三年级一班有学生48个，如果再转来3名男生，那么男生人数就正好是女生的2倍，三年级一班现在有男生多少人?
4．一辆汽车运香蕉和橘子共1600千克，香蕉是橘子的3倍还多100千克，问香蕉的和橘子各多少千克?
5．爸爸与儿子年龄的和是45岁，又知爸爸的年龄比儿子的4倍还多5岁，爸爸与儿子今年各多少岁?
6．小明家有鸡、兔、羊共237只。羊比兔的2倍少17只，鸡比羊、兔的总和还多13只。求鸡、兔和羊各有多少只?
7．把一个数的末尾添上1个0，就得到另一个数，这两个数的和是143，求原来的数。
8．A、B、C三个数的和是1800，其中B数是A数的3倍，C数是B数的2倍，求三个数各是多少?
9．王强有课外书20本，李伟有课外书25本，李伟给王强多少本后，王强的书是李伟的2倍?
10．有三堆煤，甲堆比乙堆的3倍多30千克，丙堆比乙堆少15千克，三堆煤共重240千克，那么，甲堆煤重多少千克?
差倍问题
【知识提要】
差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个
数。
解题的基本公式有：
差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数。
【例题分析】
【例1】 甲班的图书本数比乙班多160本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲、乙两班各有图书多少本?
【例2】 在一道减法算式里，差是18，被减数是减数的7倍，这道减法算式是什么样的?
【例3】 在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的数增加了1980。这个数是多少？
【例4】 爸爸比张强大25岁，正好是张强年龄的3倍多l岁，爸爸和张强各几岁?
【例5】 父亲今年50岁，女儿今年14岁。问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍?
【例6】 两根绳子，长的一根24米，短的一根为18米。两根都减去
同样长的一段后，长的一根长度是短的一根长度的4倍；剪短后，两
根绳子各长多少米?
【例7】 两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出11千克，乙筐卖29千克
以后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍，两筐苹果各有少千克? 【例8】 甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，乙厂人
数恰好是甲厂人数的4倍，求甲厂原来有多少人？
【例9】 田强在银行原来存款800元，刘韦在银行原来存款200元，
后来他们分别又存进同样多的钱，现在田强的存款数是刘韦存款数
的3倍。问他们后来各存进多少元?
【例10】 四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14
张，小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张，那么
他们各得选票多少张？
【例11】 有A、B、C三辆车，C车装的货物是B车的一半，B车比A车
少160千克，A车装的是C车的4倍，A、B、C三辆车共装货物多少千
克？
【例12】 哥哥和弟弟每人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟一支，两人就一样多；如果弟弟给哥哥一支，哥哥的铅笔就是弟弟的5倍，请问哥哥和弟弟各有几支铅笔？
【例13】 小王和小张共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书。问小王、小张各买了多少本书？
【巩固训练】
1． 某工厂男职工人数比女职工多48人，又知男职工人数是女职工人数的4倍，这个工厂男女职工各有多少人?
2． 爸爸的身高比小兵身高的3倍多4厘米，爸爸比小兵高124厘米，爸爸和小兵身高各是多少厘米?
3． 小刚家的故事书比科技书少50本，科技书的本数比故事书的7倍少4本，小刚家故事书、科技书各有多少本?
4． 甲数除以乙数，商是5，甲数比乙数多72，甲、乙两数各是多少?
5． 甲、乙、丙三根绳子，乙的长度是甲的2倍，丙的长度比乙的3倍还多15米。已知甲比丙少180米，求甲、乙、丙三根绳子的长度各是多少米?
6． 甲书架上书的本数是乙书架上的3倍，如从甲书架取出620本，从乙书架上取出120本，两个书架上书的本数正好相等。原来两个书架各有多少本书?
7． 一班与二班共有76人，已知一班人数的4倍与二班人数的6倍之
和是384人。求一班和二班各有多少人?
8． 甲、乙两数的积是144，正好是甲、乙两个数差的8倍。又知道甲数是乙数的4倍。甲乙两数各是多少?
9． 爸爸的年龄是小明的5倍，爷爷的年龄是小明的9倍，爷爷比爸爸大32岁，小明和爸爸、爷爷各多少岁?
10． 大小两个水桶里的水相差24千克，现在把小桶里的水倒人大桶15千克，这样大桶里的水正好是小桶里水的4倍，求现在小桶里的水各有多少千克?
三年级(上)解决问题 班级：姓名： 1、基础练习 （１）足球有30个，篮球比足球多60个，足球和篮球一共有多少个 （２）足球有30个，篮球是足球的3倍，足球和篮球一共有多少个 - （３）篮球有90个，比足球多60个，足球和篮球一共有多少个 （４）足球有30个，篮球是足球的3倍，篮球比足球多多少个 （５）篮球有90个，是足球的3倍，篮球比足球多多少个 【 （６）足球有30个，篮球比足球多60个，篮球是足球的几倍 （７）篮球有90个，比足球多60个，篮球是足球的几倍 , （8）足球和篮球一共有120个，篮球有90个，篮球比足球多多少个 （9）足球和篮球一共有120个，篮球有90个，篮球是足球的几倍 （10）足球和篮球一共有120个，足球有30个，篮球比足球多多少个 》 2、解决问题。（42分） （１）操场上跑步的人有153人，比做操的多23人，操场上跑步的和做操的一共有多少人 （２）有35个鸡蛋，每个盘子里能装6个鸡蛋，问要几个盘子才能装下这些鸡蛋
如果要使5个盘子能装下这些鸡蛋，每个盘子应装多少个鸡蛋 ; （３）同学们做了40朵红花，还做了4束黄花，每束2朵，红花的朵数是黄花的多少倍？ （４）操场上有26人在跳高，跑步的人数比跳高的3倍多10人，跑步的有多少人？ （５）织布车间原计划8小时织布2160米，实际提前2小时织完，实际每小时织布多少米 ~ （６）某公司向花店预定90束玫瑰花，花店工人已经包装了36束。剩下的要求6小时后取货，接下来的时间里，工人平均每小时要包装多少束 （７）学校图书室买来科技书和故事书共240本，其中故事书的本数是科技书的3倍。学校图书室买来科技书和故事书各多少本 （8）某专业户养鸡、鸭共480只，其中鸭的只数是鸡的3倍，这个专业户养鸡、鸭各多少只 ; （9）小红的图书比小刚多16本，小红的图书本数是小刚的3倍，问小红和小刚各有多少本图书。 （10）杨洪的小姨比杨洪大24岁,小姨的年龄又正好是杨洪的3倍.他们两个人各是多少岁 （11）1盆郁金香和1盆小菊花共22元，同样的5盆郁金香和1盆小菊花共82元。1盆郁金香和1盆小菊花各多少元 （12）甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍
高中数学：两角和、差及倍角公式练习 1．(新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20° sin70° 的值是( C ) A ．12 B ．32 C ． 3 D ． 2 解析：原式＝ 2cos (30°－20°)－sin20° sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20° cos20°＝ 3. 2．(山西五校联考)若cos θ＝23,θ为第四象限角,则cos ? ???? θ＋π4的值为( B ) A ． 2＋10 6 B ． 22＋10 6 C ．2－106 D ．22－106 解析：由cos θ＝2 3,θ为第四象限角, 得sin θ＝－5 3, 故cos ? ???? θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×? ????23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈? ????π2，π,且3cos2α＝sin ? ???? π4－α,则sin2α的值为( C ) A ．－1 18 B ．1 18 C ．－1718 D ．1718 解析：由3cos2α＝sin ? ?? ?? π4－α可得
3(cos 2 α－sin 2 α)＝2 2(cos α－sin α), 又由α∈? ???? π2，π可知cos α－sin α≠0, 于是3(cos α＋sin α)＝2 2, 所以1＋2sin α·cos α＝1 18, 故sin2α＝－17 18.故选C ． 4．已知锐角α,β满足sin α－cos α＝1 6,tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3,则α,β的大小关系是( B ) A ．α＜π 4＜β B ．β＜π 4＜α C ．π 4＜α＜β D ．π 4＜β＜α 解析：∵α为锐角,sin α－cos α＝1 6＞0, ∴π4＜α＜π2 . 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3, ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝3, ∴α＋β＝π3,又α＞π4,∴β＜π 4＜α. 5．在△ABC 中,sin A ＝513,cos B ＝3 5,则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．± 1665 D ．± 5665 解析：∵B 为三角形的内角,cos B ＝3 5＞0, ∴B 为锐角,∴sin B ＝1－cos 2B ＝4 5,
三年级和差问题应用题 一、填空题 1.小明、小红两人集邮,小明的邮票比小红多15张,小明的张数是小红的4倍,小明集邮（）张,小红集邮（）张. 2.妈妈的年龄比小刚大24岁,今年妈妈的年龄正好是小刚年龄的3倍,今年妈妈岁,小刚（）岁. 3.学农基地种的花生是白薯的16倍,现在已经知道种的花生比白薯多105棵,种花生（）棵,白薯（）棵. 4.小利的科技书比故事书少16本,故事书是科技书的3倍,小利有科技书( )本,故事书 ( )本. 5.甲、乙两个数,如果甲数加上50,就等于乙数,如果乙数加上350就等于甲数的3倍,问甲数是( ),乙数是（）. 6.小明、小丽做题,如果小明再做4道就和小丽做的一样多,如果小丽再做6道就是小明的3倍,小明做（）道题,小丽做（）道题. 7.仓库存有面粉和大米,已知面粉比大米多4500千克,面粉的斤数比大米的3倍多700千克,大米（）千克,面粉（）千克. 8.两筐重量相等的苹果,从甲筐取出7千克,乙筐加上19千克,这时乙筐的重量是甲筐重量的3倍,原来两筐各有苹果（）千克、（）千克. 9.AB两人所存的钱数相等,A要买一件商品,向B借了120元,这时A的钱数正好是B的4倍,A有（）元,B有（）元. 10.某班原有男生比女生多10人,如果女生转走5人,那么男生人数正好是女生
二、解答题 11.一车间原有男工人数比女工多55人,如果调走男工5人,那么男工人数正好是女工的3倍,原有男工多少人? 12.某校有排球的个数比足球多50个,如果再买40个排球,排球的个数就是足球的3倍,足球、排球各有多少个? 13.小明和小丽数学作业本上的红花,小丽比小明多7朵,如果小明少得2朵,小丽再得3朵,小丽的红花数就是小明的3倍,小明小丽各得多少朵? 14.甲有36本课外书,乙有24本课外书,两人捐出同样多的本数后,甲剩下的数是乙剩下本数的3倍,两人各捐出多少本书?
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
差倍问题 知识要点 1. 定义： 已知两个数的差，又知两个数间的倍数关系，求这两个数的应用题，称之为差倍问题。 2. 公式： 差倍问题是大数、小数、倍数以及大小数之差四者之间发生的问题，所有的问题都离不开三个基本公式： 两数差÷（倍数-1）=小数（一倍数） 小数?倍数=大数（几倍数） 小数+两数差=大数（几倍数） 3. 解题技巧： 同和倍问题一样，解答差倍问题一般也是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他数与标准数之间的倍数关系确定两数差相当于标准数的多少倍，然后利用除法求出标准数，再求出其他各数。为了更好的弄清楚题意，同样通常采用画线段图的方法。 4. 难点： 同和倍问题基本相似，差倍问题的难点同样在于正确找出：当两数之间刚好满足“整倍数”的关系的时候对应的“差”是多少，然后再根据基本公式计算。
两人差倍 1. 果园有梨树和桃树，梨树是桃树的3倍，比桃树多420棵。求果园里的梨树和桃树各有多少棵？ 梨树 桃树 "1" ?棵?棵 多420棵 【分析】 差倍问题。 桃树有420(31)210÷-=（棵）。 梨树有420210630+=棵或梨树有2103630?=（棵）。 2. 甲乙两人做机器零件，甲比乙多做400个，且甲做的零件个数是乙的3倍，问甲乙两人各做多少个零 件？ 【分析】 差倍问题。 乙：400(31)4002200÷-=÷=（个） 甲：200400600+=（个） 3. 甲乙两人分别带150元，70元去买东西，两人买了同样的东西之后，剩下的钱数甲是乙的5倍，问甲 乙两人身上各剩多少钱？每人花了多少钱？ 【分析】 差倍问题。 买了同样的东西，两个人所剩下的钱数的差是不变的，差为1507080-=（元） 乙剩下：80(51)20÷-=（元） 甲剩下：205100?=（元） 甲乙每人花了：15010050-=（元） 4. （第八届春蕾杯初赛）兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去 30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，妹妹带了________元钱． 【分析】 由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由“哥哥用去180 元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，知：哥哥比妹妹多18030150-=（元），则知妹妹带了150元，哥哥带了300元． 5. 小强在银行原来存款800元，小刘在银行原来存款200元，后来他们分别又存进同样多的钱，现在小 强的存款数是小刘的存款数的3倍，问他们后来各存进多少钱？ 【分析】 以小刘现有的存款数为一倍数，数量为(800200)(31)300-÷-=（元），那么后来存入的金额为 300200100-=（元） 。 6. 菜站老王进了94千克黄瓜，138千克的西红柿，每天卖出黄瓜、西红柿各36千克，几天后剩下的西 红柿是黄瓜的3倍？ 【分析】 由于西红柿和黄瓜的售出量是相同的，那么西红柿和黄瓜剩余量的差固定为1389444-=（千 克），那么当剩下的西红柿是黄瓜的3倍的时候黄瓜的剩余量（一倍数）为44(31)22÷-=（千
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若 sin 3 ( 2 ), tan 1 ,则 tan( ) 的值是 5 2 A ．2 B ．－ 2 2 2 C ． D ． 11 11 2、如果 sin x 3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是 1 1 2 3 A ． B ． C ． D ． 6 5 9 10 3、如果 tan( ) 2 , tan( ) 1 ,那么 tan( )的值是 5 4 4 4 13 3 13 13 A ． B ． C ． D ． 18 22 22 18 4、若 f (sin x) cos2x, 则 f 3 等于 2 1 3 1 3 A ． B ． C ． D ． 2 2 2 2 5、在 ABC 中， sin A · sin B cosA · cosB, 则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6 、角 终边过点 (4,3) ，角 终边过点 ( 7, 1)，则 sin() ； 7 、若 tan 3，则 2 所在象限是 ； 8 、已知 cot 4 3，则 2 sin cos ； cos 2 sin 9 、 tan 65 tan 70 tan65·tan 70 ； 10、 化简 3sin 2x 3 cos2x 。 三、解答题： 11、求 sec100 tan 240·csc100 的值。
12、已知3 ，求(1 tan )(1 tan )的值。4 13、已知cos2 3 , 求 sin 4 cos4的值。 5 14、已知tan, tan 是方程x 2 3x 5 0的两个根， 求 sin 2 ( ) 2 sin( ) ·cos( ) 的值。
三年级( 上)解决问题 班级：姓名： 1、基础练习 (1)足球有30个，篮球比足球多60个，足球和篮球一共有多少个？ (2)足球有30个，篮球是足球的3倍，足球和篮球一共有多少个？ (3)篮球有90个，比足球多60个，足球和篮球一共有多少个？ (4)足球有30个，篮球是足球的3倍，篮球比足球多多少个？ (5)篮球有90个，是足球的3倍，篮球比足球多多少个？ (6)足球有30个，篮球比足球多60个，篮球是足球的几倍？ (7)篮球有90个，比足球多60个，篮球是足球的几倍？ ( 8)足球和篮球一共有120 个，篮球有90 个，篮球比足球多多少个？ ( 9)足球和篮球一共有120 个，篮球有90 个，篮球是足球的几倍？ (10)足球和篮球一共有120 个，足球有30 个，篮球比足球多多少个？ 2、解决问题。( 42 分) (1)操场上跑步的人有153人，比做操的多23人，操场上跑步的和做操的一共有多少人？ (2)有35个鸡蛋，每个盘子里能装6个鸡蛋，问要几个盘子才能装下这些鸡蛋？ 如果要使 5 个盘子能装下这些鸡蛋，每个盘子应装多少个鸡蛋？
3 (3) 同学们做了 40朵红花，还做了 4束黄花，每束2朵，红花的朵数是黄花的多少倍? (4) 操场上有26人在跳高，跑步的人数比跳高的 3倍多10人，跑步的有多少人？ (5) 织布车间原计划 8小时织布2160米，实际提前2小时织完，实际每小时织布多少 米？ (6) 某公司向花店预定 90束玫瑰花，花店工人已经包装了 36束。剩下的要求6小时后 取货，接下来的时间里，工人平均每小时要包装多少束？ (7) 学校图书室买来科技书和故事书共 校图书室买来科技书和故事书各多少本？ (11) 1 盆郁金香和 1 盆小菊花共 22元，同样的 5盆郁金香和 1 盆小菊花共 82 元。 1 盆 郁金香和 1 盆小菊花各多少元？ ( 12)甲队有 45 人，乙队有 75 人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的 倍？ 240 本，其中故事书的本数是科技书的 3 倍。学 ( 8)某专业户养鸡、鸭共 少只？ 480 只，其中鸭的只数是鸡的 3 倍，这个专业户养鸡、鸭各多 ( 9)小红的图书比小刚多 本图书。 16 本，小红的图书本数是小刚的 3 倍，问小红和小刚各有多少 10)杨洪的小姨比杨洪大 24 岁,小姨的年龄又正好是杨洪的 3 倍.他们两个人各是多少岁 ?
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2 11 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ． 1 6 B ． 15 C ． 29 D ． 310 3、如果的值是那么)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-=+ A ． 1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ??232则等于 A ．- 12 B ．- 32 C ． 12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 12、的值。 ，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπ βα--= + 两角和与差练习题 一、选择题： 2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=5 3,则cos α的值为( ) A ．－10 334+ B ．10 343- C ．10334- D ．10 334+
7．已知cos(α－π6)＋sin α＝ 4 5 3，则sin(α＋7π 6 )的值是 ( ) A ．－ 2 35 B.235 C ．－45 D.45 8.f(x)＝sinx cosx 1＋sinx ＋cosx 的值域为( ) A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1) B ．[－2－1 2,―1] ∪(―1, 2－1 2 ) C ．( －3－12 , 3－1 2 ) D ．[ －2－1 2,2－1 2 ] 解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝ 2sin(x ＋π 4)∈[― 2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－1 21＋t ＝ t －12∈[－2－1 2,―1]∪(―1, 2－1 2 )．B 9 .sin()cos()cos()θθθ+?++?-+?7545315的值等于（ ） A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0 10．等式sin α＋3cos α＝4m －6 4－m 有意义，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－1,7 3) B ．[－1,7 3 ] C ．[－1,7 3 ] D ．[―73 ,―1] 11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8 γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π 6 Ｂ． π4 Ｃ． π3 Ｄ．5π4 12．已知 是锐角，sin =x,cos =y,cos()=－ 5 3 ，则y 与x 的函数关系式为
和倍问题 1.甲、乙两个粮仓存粮320吨,后来从甲仓运出40吨,给乙仓运进20吨,这时甲仓存粮是乙仓的2倍,两个粮仓原来各存粮分别为几吨？ 2.某校共有学生560人,男生比女生的3倍少40人.则男生女生各几人？ 3.学校买了4个足球和2个排球,共用去了162元.每个足球比每个排球贵3元,每个足球、每个排球各几元? 4.南京长江大桥比美国纽约大桥长4570米,纽约大桥比我国武汉长江大桥长530米.已知三座桥长10640米,这些桥长分别是几米？ 5.甲筐有梨400个,乙筐有梨240个,现在从两筐取出数目相等的梨,剩下梨的个数,甲筐恰好是乙筐的5倍,甲乙筐所剩的梨各是几个？ 6.三块布共长220米,第二块布长是第一块的3倍,第三块布长是第二块的2倍,第一块布长几米？ 7.有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层的书是第一层的2倍还多6本,则第二层有几本书？ 8.小明和小强共有画片200张,小明的张数比小强的张数的2倍还多20张,则小强有几张画片？ 9.三堆苹果共有130个,第二堆的苹果数是第一堆的3倍,第三堆的苹果数是第二堆的2倍多10个,问三堆苹果各有多少个?
10.学校为了欢庆“六一”儿童节，买来卡通书和童话书共360本，买来的童话书是卡通书的3倍，学校买来的童话书和卡通书各多少本？11.学校买来50本故事书、30本图画书作为“六一”的奖品发给二年级和三年级，三年级获奖人次是二年级的3倍，那么二年级和三年级分别获得了多少本图书奖品？ 12.学校田径队的男生、女生一共有40人，其中男生的人数是女生人数的4倍，男生、女生各有多少人？ 13.学校三（1）班有图书80本，三（2）班有60本，学校重新对图书分配后，（1）班的图书本数是（2）班的3倍，那么现在（1）班和（2）班分别有多少本图书？ 14.“六一”儿童节学校组织“摸珠子”游戏，共有红、黄、蓝三种颜色的珠子54粒，红色珠子的粒数是黄色珠子的2倍，蓝色珠子的粒数是黄色珠子的3倍，三种颜色的珠子各多少粒？ 15.“六一”儿童节，学校游园长廊悬挂的彩色气球中，红、黄、蓝三色的气球共有360个，红气球是黄气球的2倍，蓝气球是红气球的3倍。你知道这三种气球各有多少个吗？ 16.果园里有苹果树、梨树、桃树共420棵，梨树的棵数是桃树的2倍，苹果树的棵数是桃树的3倍，三种果树各多少棵？
练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足
小学三年级和倍、差倍问题专项练习 学校：姓名：分数： 一、和倍问题 1、学校买来两种粉笔共280盒，已知白色粉笔的盒数是彩色粉笔的6倍。白色粉笔和彩色粉笔各买了多少盒？ 2、师傅和徒弟2小时共生产零件120个，已知师傅每小时做的零件个数是徒弟的2倍，师傅和徒弟每小时各生产多少个零件？ 3、姐姐和弟弟共有56本书，弟弟给姐姐5本后，姐姐的书就是弟弟的3倍，姐姐、弟弟原来各有几本书？ 4、甲乙两个粮仓共有粮食280吨，后来从甲仓运出40吨，乙仓运进20吨，这时乙仓的粮食是甲仓的3倍，甲仓、乙仓原来各有粮食多少吨？
5、希望小学二年级和三年级共有学生391人，二年级的人数比三年级人数的2倍多31人，希望小学三、四年级各有学生多少人？ 6、果园里共有191棵果树。桃树的棵数比苹果树棵数的3倍少5棵。果园里有多少棵桃树？有多少棵苹果树？ 7、运动场上有红、黄两种颜色的小旗共270面，黄旗的面数是红旗的2倍，二种颜色的小旗各有多少面？ 8、姐姐有41本书，妹妹有28本书，要使姐姐的书是妹妹的2倍，那么妹妹要给姐姐多少本书？ 9、阳光小区绿化，新种梧桐树和柳树共360棵，其中梧桐树的棵数比柳树的棵数多3倍。新种梧桐树和柳树各多少棵？
10、A.B两数的和是192，A除以B的商是7。求A、B两数各是多少？ 11、一道算式中，被除数、除数、商的和是482，已知商是6，这道算式中被除数和除数各是多少？ 12、今年，明明和爸爸的年龄和是44岁，爸爸的年龄正好是小明的3倍，明明和他的爸爸今年各是多少岁？ 13、林林和小刚共有画片49张，林林送给别人3张后，剩下的张数比小刚的2倍还多4张，林林和小刚原来各有多少张画片？ 14、甲、乙两车共运粮食粮2400千克，甲车运的粮食是乙车的2倍，甲乙两辆车各运多少千克粮食？
三角函数的两角和差及倍角公式练 习题 欧阳学文 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2 (53sin βαβπαπα-= <<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ． 3 10 3、如果的值是那么)4 tan(,4 1)4 tan(,5 2)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ． 322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题：
6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπ sin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x + =。 三、解答题： 11、求的值。 ·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 235 44θθθ=+ 14、已知 )sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 答案： 一、 1、B 2、D 提示: tanx = 3, 所求12 2sin x , 用万能公式。 3、B 提示: ()απ αββπ+ =+--? ? ?? ?44 4、A 提示: 把x =π3 代入
和差问题 解答方法是：（和+差）÷2＝大数（和 - 差）÷2＝小数 1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵 2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油 3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克 4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元 5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人 6.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人 7. 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克 8.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁 9.小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分 10.甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人 11.姐妹二人将自己平时积蓄的零用钱共450元存入银行。已知姐姐存款比妹妹多50元，姐妹二人各存款 多少元 和倍问题 已知两个数的和与两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做“和倍问题”。两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和—小数=大数 1、学校将360本书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两年级各分得多少本图书 2、小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍，小红和小明分别有压岁钱多少元 3、学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本，二、三年级各得图书多少本 4、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍 5、小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给多少枝小宁后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍 6、红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票 7、甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍 8、甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班级图书管理员又买来图书16本，怎么分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍 9、被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是几 10、被除数和除数的和为120，商是7，被除数和除数各是几 11、被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是几 12、两个整数相除商是21，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是441，被除数、除数各是多少 13、与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个
小学三年级上册数学应用题：和倍差倍专题 1.甲、乙两个粮仓存粮320吨,后来从甲仓运出40吨,给乙仓运进20吨,这时甲仓存粮是乙仓的2倍,两个粮仓原来各存粮分别为几吨？ 2.某校共有学生560人,男生比女生的3倍少40人.则男生女生各几人？ 3.学校买了4个足球和2个排球,共用去了162元.每个足球比每个排球贵3元,每个足球、每个排球各几元? 4.南京长江大桥比美国纽约大桥长4570米,纽约大桥比我国武汉长江大桥长530米.已知三座桥长10640米,这些桥长分别是几米？ 5.甲筐有梨400个,乙筐有梨240个,现在从两筐取出数目相等的梨,剩下梨的个数,甲筐恰好是乙筐的5倍,甲乙筐所剩的梨各是几个？ 6.三块布共长220米,第二块布长是第一块的3倍,第三块布长是第二块的2倍,第一块布长几米？ 7.有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层的书是第一层的2倍还多6本,则第二层有几本书？
8.小明和小强共有画片200张,小明的张数比小强的张数的2倍还多20张,则小强有几张画片？ 9.三堆苹果共有130个,第二堆的苹果数是第一堆的3倍,第三堆的苹果数是第二堆的2倍多10个,问三堆苹果各有多少个? 10.学校为了欢庆“六一”儿童节,买来卡通书和童话书共360本,买来的童话书是卡通书的3倍,学校买来的童话书和卡通书各多少本？ 11.学校买来50本故事书、30本图画书作为“六一”的奖品发给二年级和三年级,三年级获奖人次是二年级的3倍,那么二年级和三年级分别获得了多少本图书奖品？ 12.学校田径队的男生、女生一共有40人,其中男生的人数是女生人数的4倍,男生、女生各有多少人？ 13.学校三（1）班有图书80本,三（2）班有60本,学校重新对图书分配后,（1）班的图书本数是（2）班的3倍,那么现在（1）班和（2）班分别有多少本图书？ 14.“六一”儿童节学校组织“摸珠子”游戏,共有红、黄、蓝三种颜色
差倍应用题 与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是： 已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。 上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示： 从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以， 小数=差÷(倍数-1)。 上式称为差倍公式由此得到大数=小数+差，或大数=小数×倍数。 例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则 小数=152÷(5-1)=38， 大数=38＋152=190或38×5＝190。 例1王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？ 分析：“差”是____________个。小数(即“1倍”数)是____________ ，“倍数”为____________。由差倍公式可以求解。 练习一 1，学校合唱组，女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多42人。合唱组有男、女同学各多少人？ 2，一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵960元。皮衣与羽绒服各多少元？ 3，甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？
例题2 被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？ 。分析：“差”是____________。小数(即“1倍”数)是____________ ，“倍数”为____________。由差倍公式可以求解。 练习二 1，被除数比除数大168，商是22，被除数、除数各是多少？ 2，除数比被除数小212，商是5，被除数、除数各是多少？ 3，被除数比商大144，除数是7，被除数、商各是多少？ 例题3 水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个。原来两筐橘子各有多少个？ 。分析：“差”是____________。小数(即“1倍”数)是____________ ，“倍数”为____________。由差倍公式可以求解。 练习三 1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的3倍。如果从六年级捐款钱数中取出160元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多40元。两个年级分别捐款多少元？
两角和与差的三角函数 1．若4 cos 5α= ，且()0,απ∈，则tg 2 α= ． 2．（本小题满分12分）已知函数 ()sin() 6f x A x π ω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=． （1）求()f x 的表达式； （2）设 ,[0,] 2π αβ∈， 16(3)5f απ+= ，520 (3)213f πβ+=- ，求cos()αβ-的值． 3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ． （Ⅰ）求cosA 及b 的值； （Ⅱ）求cos(3π –2A)的值． 4．已知31)6sin(=-απ，则)3 (2cos απ +的值是（ ） A ． 97 B ．31 C ．31- D ．9 7- 5．若4cos 5θ=- ，θ是第三象限的角,则 1tan 21tan 2 θ θ-+=（ ） A ．12 B ．12- C ．3 5 D ．-2 6．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________． 7．已知==+ απ α2sin ,54 )4cos(则 . 8．已知==+απα2sin ,5 4 )4cos(则 . 9．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4 cos 5 C = ，32c =，2 221sin cos sin cos sin 222 B A A B C ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）求cos()B C -的值． 10．已知函数()2sin()(0,)6 f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2 ()3 f α= ，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 11．已知函数2 ()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈．
). 1(≠k 高一数学 一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲 例1 已知)tan()tan(βαβα+?=-k 求证： .112sin 2sin k k -+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系： ),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证 明. 证： )]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-?+--?+-?++-?+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= .11)tan()tan()tan()tan(k k k k -+=+?-++?++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ，代入右边，得=+--+-+ =-+) tan() tan(1)tan() tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++ ,cos cos ) sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan B A B A B A B A B A B B A A B A ?±=??±?=±=± .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴ k k 例2 已知,4 3 sin sin = +β α求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达，因此设t =+βαcos cos ，并找出t 应满足的等式，从而求出βαcos cos +的取值范围. 解 令t =+βαcos cos ，① 由已知，4 3 sin sin = +β α. ② ①2+②2 ：,16 9sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+ =+?+++?+t ββααββαα ,169)cos(222+ =-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].16 55,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βα ],455,455[- ∈t 即].4 55 ,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(?+-=的值域 分析 )(x f 的解析式中既有x sin ，又有x cos ，若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示 成x 2cos 1-±，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2?-=-，因此可作代换：,cos sin t x x =-则x x cos sin ?和x x cos sin -都可以用t 表示，)(x f 就可以变形为t 的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域. 解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212 x x t ?-= .2 1cos sin 2 t x x -=? .2 3 61)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-? +=?+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4 sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=?-?=-=t x x x x x t π ππ 当;352361)(,31max =+==x f t 当.22 3 232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t )(x f ∴的值域为}.35 223{≤≤--y y 评析 相应于)4 sin(2cos sin π - = -x x x ，还有更一般的情况：
小学三年级奥数专题差倍应用题 关键词：应用题应用大数线段奥数小数倍数徒弟零件年级 摘要：《小学三年级奥数专题（二十五）差倍应用题》... 大数=小数+差，或大数=小数×倍数。例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则小数=152÷(5-1)=38，大数=38＋152=190或38×5＝190。例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的... 与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是： 已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。 上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示： 从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以， 小数=差÷(倍数-1)。 上式称为差倍公式。由此得到 大数=小数+差， 或 大数=小数×倍数。 例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则 小数=152÷(5-1)=38，
大数=38＋152=190或38×5＝190。 例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？ 分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。 解：徒弟一天生产零件 128÷(3-1)=64(个)， 师傅一天生产零件 128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。 答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。 例2 两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米？ 解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长 30÷(4-1)＝10(米)， 长的电线长 10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。