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复合函数的单调 性
例题：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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2.设全集为R，集合 A {x | 1 x 3} ，
B {x | 2 x 4 x 2}
(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式 (4)判号， 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； （5）下结论.
1 例11.证明：函数 f ( x) x 在（1， ）上是增函数 . x
2x+1, (x≥1) 1. 函数f (x)= ４－x, (x＜1) 则f (x)的递减区间为( B )
1.【-1,2）∪（2，+∞） 2.（-∞，-1）∪（1，+∞） 3.（3∕4,1】
练习：
1 (1) y x 1 2 x 2 x 3 0 (2) y (x ) 2 x2 (3) y log2 (2 x 1)
2、抽象函数的定义域
1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]， 求f(2x-1)的定义域 2）已知函数y=f(x)的定义域是[0，5)， 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域 3) y f ( x 2)的定义域为{x|x 4},
何非空集合的真子集
三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A B {x | x A或x B}
2、A B {x | x A且x B}
A B
3、CU A {x | x U且x A}
全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素，用U表示
题型示例
考查集合的含义
例 1 已知x {1, 2, x }, 则x 0或2
2
例2
A y y x ,B x y x ,
2 2
求A B.
A [0, ), B R, A B [0, ).
考查集合之间的关系
例3 设A x | x 2 x 6 0 , B x | mx 1 0 , 且A B A, 求m的值的集合. 解： A A B A2, 3 ,由A B A得B A
b b a 0时, 单减区间是(, ], 单增区间是[ , ) 2a 2a b b a 0时, 单增区间是(, ], 单减区间是[ , ) 2a 2a
用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;
(2) 作差， f(x1)－f(x2) ;
例（ 4 1）已知I {0,1,2,3,4}, A {0,1,2,3}, B {2,3}，求CI B, C A B. 求A B, A B. (2)已知A {x 1 x 3}, B x x 0, 或x 2 ,
例5 设U= 1,2,3,4,5 ,若A B= 2 ,(C U A) B = 4 ,(C U A) (C U B)= 1,5 ,求A.
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2，当x1<x2时，都有f(x1) >f(x2) ，那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的 某个区间而言的。
a y （a 0） 写出常见函数的单调区间 x
并指明是增区间还是减区间
赋值法
(6) 已知f x 是偶函数，g( x)是奇函数，且 构造方程组法 2 f x +g(x) x x 2, 求f ( x)、g ( x)的解析式 .
三、函数单调性
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2，当x1<x2时，都有f(x1) < f(x2) ，那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。
１、函数 的单调区间是
a 0时, 单减区间是(, 0), (0, ) a 0时, 单增区间是(, 0), (0, )
2、函数y=ax+b（a≠0）的单调区间是
a 0时, 单增区间是(, ) a 0时, 单减区间是(, ) 3、函数y=ax2+bx+c （a≠0）的单调区间是
2
换元法
(3)设 f ( x)一次函数，且 f [ f ( x)] 4 x 3,求f ( x)
待定系数法
1 1 2 (4) 已知 f ( x x ) x x 2
( x 0) ,
配凑法
求 f ( x) 的解析式
（5）已知：对于任意实数x、y， 等式 f ( x y) f ( x) 2 x( y x 1) 恒成立， 求 f ( x)
• 复合函数的单调性
•复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。 x增→ g(x)增 →y增:故可知y随着x的增大而增大 引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
m A B B , 符合题意； 当 B0 时，
1 当m 0时，B , B A m 1 1 1 1 2, 则m ；或- 3, m . m 2 m 3 1 1 m 0, 或 , 或 2 3
B A
转化的思想
考查集合的运算
并放在{x| }内
3.图示法 Venn图,数轴
二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何
一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个，则其子集个数为 真子集个数为
2n
2n-1 非空真子集个数为 2n-2
2、集合相等： A B, B A A B 3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任
x增→ g(x)减 →y增:故可知y随着x的增大而增大
• 复合函数的单调性
若u=g(x)
y=f(u) 则y=f[g(x)]
增函数 减函数 增函数 减函数
增函数 减函数 减函数 增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增 函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是 减函数。 “同增异减”
求 定 义 域 的 主 要 依 据
1、分式的分母不为零.
2、偶次方根的被开方数不小于零.
3、零次幂的底数不为零.
4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.
6、实际问题中函数的定义域
（一）函数的定义域
1、具体函数的定义域
例7.求下列函数的定义域 x 1 (1) f ( x) x2 2 (2) f ( x) log 2 ( x 1) (3) f ( x) log 0.5 (4 x 3)
1， 2， 4
B{1 }
C{1，2}
DΦ
3.满足{1,2} A {1,2,3,4}的集合A的个数 有 个 3
函数
定义域
值域
单调性
奇偶性
图象
一次函数 反比例函数 二次函数
函数的复习主要抓住两条主线 1、函数的概念及其有关性质。 2、几种初等函数的具体性质。
指数函数 对数函数
幂函数
函数知识结构
第一章 集合与函数概念
第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用
永切隔数形数焉数 远莫离形少无能与 联忘分结数形分形 系几家合时时作本 华莫何万百难少两是 罗分代事般入直边相 庚离数休好微觉飞倚 统 依 一 体 ,
——
,
一、知识结构
集合
含义与表示
基本关系
基本运算
列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集
5）f ( x) 4 x 2 x1 3, ( x 2)
1、图像法，2 、 配方法，3、分离常数法， 4、换元法，5单调性法。
三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法
例10求下列函数的解析式
(1) 已知f ( x) x 2 4 x 3, 求f ( x 1) (2)已知f ( x 1) x 2 x, 求f ( x)
函数的三要素：定义域，值域，对应法则
二、映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元 素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对 应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的 一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一
使函数有意义的x的取值范围。
A. [1, ＋∞) B. (－∞, 1) D. (－∞, 0] C. (0, ＋∞) 2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞) 上是增函数,求实数a的取值范围
3 判断函数
e e y 2
x
x
的单调性。
• 拓展提升复合函数的单调 性
复合函数的定义：设y=f(u)定义 域A，u=g(x)值域为B，若A B， 则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量
函数的概念 函数 函数的基本性质 函数的单调性
函数的最值
函数的奇偶性
一、函数的概念：
A x1 x2 x3
B C y1 y2 y3 y4 y5 y6
