2017_2018版高中数学第三章变化率与导数4.2导数的乘法与除法法则学案(含答案)北师大版选修1_1

数学选修《变化率与导数》高中教案数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。

它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。

学生理解气球平均变化率问题和逼近的思想方法的应用。

四、教学支持条件分析在教学中适时地使用信息技术，充分发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解概念1.通过将计算结果实物投影，让学生积极主动地参与到课堂中来，使学生保持高水平的思维活动；2.通过几何画板演示，使学生对概念的理解更直观，生动。

五、教学过程设计1.创设情境、引入新课教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。

在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。

设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系；其次，概述了微积分的创立史及它的地位；第三，概述本章的学习内容。

2.实例探索，引出概念问题1：大家可能有过吹气球的经验。

在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。

这个过程中的自变量和函数值分别是谁?试建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程呢?设计意图：通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：回忆吹气球的过程（或者让学生现场吹气球），建立半径r关于体积V的函数关系：r（V）?r（V2）?r（V1）。

通过观察和计算，用数据解释上述现象，并通过几何画板演示，更逼真的V2?V1感受上述现象。

图1直观地演示了当球的体积增大（黑色部分面积变大，绿色越来越薄）时，半径增大越来越小。

图2演示当A，B两点向右运动时，自变量的增量保持不变，但是平均变化率越来越小。

2017-2018学年高中数学第三章变化率与导数4 导数的四则运算法则学案北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章变化率与导数4 导数的四则运算法则学案北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§4导数的四则运算法则[对应学生用书P41]导数的加法与减法法则已知函数f（x)＝错误!，g（x）＝x,那么f′（x)＝－错误!，g′（x）＝1。

问题1:如何求h(x)＝f(x)＋g（x）的导数？提示：用定义，由h（x）＝错误!＋x，得h(x＋Δx)－h（x)＝错误!＋x＋Δx－错误!－x＝Δx－错误!.则f′(x）＝错误!错误!＝错误!错误!＝1－错误!。

问题2:［f(x）＋g(x）］′＝f′（x）＋g′(x）成立吗？提示:成立．问题3：[f(x)－g（x）］′＝f′（x)－g′(x）成立吗？提示：成立．问题4：运用上面的结论你能求出(3x2＋tan x－e x）′吗？提示：可以,(3x2＋tan x－e x)′＝6x＋错误!－e x.导数的加法与减法法则两个函数和（差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即［f(x）＋g(x)］′＝f′(x)＋g′（x），[f（x）－g(x)]′＝f′（x）－g′（x）．导数的乘法与除法法则已知函数f（x）＝x3,g（x)＝x2，则f′（x）＝3x2,g′(x)＝2x.问题1：[f（x）g(x）］′＝f′(x）g′(x)成立吗？提示:因为［f（x)·g(x)］′＝(x5）′＝5x4，f′（x）g′(x）＝3x2·2x＝6x3,所以上式不成立．问题2:［f（x)g(x）］′＝f′（x)g(x)＋f(x)g′(x）成立吗？提示：成立．问题3：错误!′＝错误!成立吗？提示:不成立．问题4：错误!′＝错误!成立吗？提示：成立．导数的乘法与除法法则（1）若两个函数f(x）和g(x)的导数分别是f′(x）和g′（x),则［f(x)g(x）］′＝f′(x)g（x）＋f（x）g′(x）错误!′＝错误!.（2）[kf(x）]′＝kf′(x）．1．[f（x）g（x）]′＝f′(x）g（x）＋f（x）g′（x）≠f′(x）g′(x)，避免与[f(x)＋g(x)］′＝f′（x)＋g′(x）混淆．2．若c为常数，则[cf(x）]′＝cf′（x)．3．类比[f(x）g(x)］′＝f′（x）g(x）＋f(x)g′(x)记忆错误!′＝错误!.[对应学生用书P42]导数公式及运算法则的应用［例1]（1）f（x）＝x ln x；（2)y＝错误!；(3）y＝2x3＋log3x；(4）y＝x－sin错误!cos错误!.［思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．［精解详析] （1）f′（x）＝（x ln x）′＝ln x＋x·1x＝ln x＋1.（2）法一:y′＝（错误!）′＝错误!＝错误!。

2 导数的概念及其几何意义学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理定义式limx1→x0f x1－f x0x1－x0＝____________________记法实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的________________知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n的斜率k n是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0； (3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 5．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x0＋Δx－f x0＝f′(x0)．Δx2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 梳理 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δxf ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ， ∴Δy Δx＝3Δx 2＋4ΔxΔx＝3Δx ＋4，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ， 于是f ′(2)＝lim Δx →0－Δx 2－ΔxΔx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →021＋Δx 2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋2Δx 2Δx＝lim Δx →0(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →02＋Δx2＋1－22－1Δx＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14x 0＋Δx 2－14x 2Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →02x ＋Δx －x ＋Δx3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30 ＝(2－3x 20)(x －x 0)． 又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0， ∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0. 例4 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx3＋1－x 30＋1Δx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23.跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx3－2x ＋Δx 2＋3－x 3－2x 2＋3Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0f2＋Δx －f 2Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝lim Δx →0 －122＋Δx ＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.。

4.2 导数的乘法与除法法则[学习目标] 1.理解导数的乘法与除法法则.2.将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．[知识链接][f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )对吗？试举例说明．答 不一定正确．当f (x )＝2，g (x )＝x 2时，[f (x )·g (x )]′＝(2·x 2)′＝4x ≠2′·(x 2)′＝f ′(x )·g ′(x )，而当f (x )＝2，g (x )＝2时，[f (x )·g (x )]′＝(2·2)′＝4′＝0＝2′×2′＝f ′(x )·g ′(x )．[预习导引]1．两个函数积的导数(1)符号语言：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(2)文字语言：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．由上面的式子可以得到[cf (x )]′＝cf ′(x )．2．两个函数商的导数(1)符号语言：⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (2)文字语言：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方.要点一 利用乘法和除法法则求导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2； (2)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (3)y ＝ln x ＋2x x 2； (4)y ＝1－12sin 2x 2.解 (1)∵y ＝x 3＋32x-＋sin x x 2 ＝x 3＋32x -＋sin x ·x －2， ∴y ′＝(x 3＋32x-＋sin x ·x －2)′ ＝3x 2－3252x -＋cos x ·x －2＋(－2x －3)sin x ＝3x 2－32x 5＋cos x x 2－2sin x x 3. ∴y ′＝3x 2＋cos x x 2－32x 2x－2sin x x 3. (2)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2(1＋x )1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝4′(1－x )－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2＋2x x 2′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＋⎝⎛⎭⎫2xx 2′ ＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x4 ＝(1－2 ln x )x ＋(ln 2·x 2－2x )·2xx 4＝1－2ln x ＋(ln 2·x －2)2x x 3. (4)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝⎛⎭⎫3＋1－2sin 2x 2 ＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . 规律方法 较复杂的式子进行化简变形对求导十分必要，否则将增大计算量甚至导致错误．如题中(1)、(2)、(4)变形后求导很方便．跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x sin x －2cos x. 解 (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x(2)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2. (3)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x. 要点二 导数运算法则的简单应用例2 已知函数y ＝sin x 1＋cos x，x ∈(－π，π)，当y ′＝2时，求x 的值． 解 y ′＝(sin x 1＋cos x )′＝cos x (1＋cos x )＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2＝11＋cos x＝2， 所以cos x ＝－12. 又x ∈(－π，π)，所以x ＝2π3或x ＝－2π3. 规律方法 应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．跟踪演练2 曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．答案 y ＝3x ＋1解析 ∵f ′(x )＝(x e x ＋2x ＋1)′＝e x ＋x e x ＋2，∴f ′(0)＝3.∴函数f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0，②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3s 时的瞬时速度为32327m/s.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2 ＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝f ′(－1)＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln2－1解析 设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln2，ln2＝12×2＋b ， ∴b ＝ln2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．。

《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单一、学习这部分知识的目的咱们为啥要学习导数的乘法与除法法则呢？就好比你要计算一些复杂的变化关系的时候，光靠之前的知识可不够。

比如说，你在研究一个物理问题，物体的速度和它受到的力之间有某种乘积关系，或者是在经济领域，成本和产量之间有除法关系，而且它们都是在不断变化的，这时候导数的乘法和除法法则就能派上大用场啦。

就像我上次去超市，发现商品的总价和单价、数量之间的关系，当单价和数量都随着促销活动等因素变化时，就类似这种复杂的关系需要用特殊的法则来处理。

二、导数乘法法则（一）法则内容1、如果我们有两个函数，设为\（u(x)＼）和\（v(x)＼），那么它们乘积的导数\（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＼）。

这里的\（u'（x)＼）就是\（u(x)＼）的导数，＼（v'（x)＼）就是\（v(x)＼）的导数。

这个法则看起来有点复杂，不过咱们可以把它想象成是一种分配工作的方式。

比如说，＼（u(x)＼）和\（v(x)＼）是两个小伙伴一起完成一项任务，它们的乘积的变化率（也就是导数）就等于\（u(x)＼）自己的变化率乘以\（v(x)＼）（这就好像\（u(x)＼）变化的时候拉着\（v(x)＼）一起），再加上\（u(x)＼）乘以\（v(x)＼）自己的变化率（就像\（v(x)＼）变化的时候也影响着整体）。

例如，设\（u(x)＝x^2\），＼（v(x)＝＼sin x\）。

首先我们求\（u'（x)＼），根据求导公式\（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼），＼（u'（x)＝2x\）；＼（v'（x)＝＼cos x\）。

那么\（（u(x)v(x)）＇＝（x^2\sin x)＇＝u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＝2x\sin x ＋ x^2\cos x\）。

（二）推导过程1、从导数的定义出发，＼（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（＼lim\limits_{＼Delta x\rightarrow0}＼frac{u(x ＋＼Delta x)v(x+＼Deltax)u(x)v(x)｝｛＼Delta x}＼）。

导数的乘法与除法法则导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点的变化率。

在微积分中，导数的乘法与除法法则是最基本的求导规则之一、它们帮助我们在求解复杂函数的导数时，通过简单的运算规则得出结果。

接下来，我将详细解释导数的乘法与除法法则，并举例说明它们的应用。

首先，我们来看导数的乘法法则。

如果我们有两个函数f(x)和g(x)，它们在同一点x处都可导，那么它们的乘积的导数就可以用以下的公式表示：(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)简而言之，这个公式告诉我们，两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。

举个例子来说明：假设我们要求函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)的乘积在x = π处的导数。

首先，我们求出f'(x) = 2x和g'(x) =cos(x)，然后将这些值代入公式：(fg)'(π) = f'(π)g(π) + f(π)g'(π)= 2πsin(π) + (π^2)cos(π)=0+(-π^2)=-π^2因此，函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)的乘积在x = π处的导数为-π^2接下来，我们来看导数的除法法则。

如果我们有两个函数f(x)和g(x)，且g(x)不等于0，那么它们的比值的导数可以用以下的公式表示：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2简而言之，这个公式告诉我们，两个函数的比值的导数等于分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。

举个例子来说明：假设我们要求函数f(x)=x^3和g(x)=x的比值的导数。

(f/g)'(x)=(3x^2*x-x^3*1)/(x^2)^2=(3x^3-x^3)/x^4=2x^3/x^4=2/x因此，函数f(x)=x^3和g(x)=x的比值的导数为2/x。

§2 导数的概念及其几何意义[对应学生用书P36]在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v －，通过平均速度v －来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．问题1：怎么求运动员在t 0时刻的瞬时速度？提示：先求运动员在(t 0，t 0＋Δt )间平均速度v －，当Δt 趋于0时，平均速度就趋于运动员在t 0时刻的瞬时速度．问题2：当Δx 趋于0时，函数f (x )在(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率即为函数f (x )在x 0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？提示：当Δx 趋于0时，x 0＋Δx 就无限接近于点x 0，这样(x 0，x 0＋Δx )上的平均变化率就可以看作点x 0处的瞬时变化率．问题3：函数f (x )在x 0点的瞬时变化率叫什么？ 提示：函数f (x )在x 0点的导数．导数的定义函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.在函数y ＝f (x )的图像上任取两点A (x 1，f (x 1))，B (x 1＋Δx ，f (x 1＋Δx ))．问题1：f x 1＋Δx －f x 1Δx是函数f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率，有什么几何意义？提示：函数y ＝f (x )图像上A ，B 两点连线的斜率．问题2：Δx 趋于0时，函数y ＝f (x )在(x 1，x 1＋Δx )上的平均变化率即为函数y ＝f (x )在x 1点的瞬时变化率，能否看成函数y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))处的切线斜率？提示：能．问题3：函数y ＝f (x )在x 0处的导数的几何意义是什么？ 提示：函数y ＝f (x )图像上点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．函数y ＝f (x )在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数． 2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．[对应学生用书P37][例1] 建造一栋面积为x 平方米的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．[思路点拨]导数的定义―→函数y ＝f x 在x ＝100处的瞬时变化率―→解释f的意义[精解详析] 当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为f＋Δx －fΔx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－＋100＋10Δx＝110＋1100＋Δx ＋当x 趋于100时，即Δx 趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f ′(100)＝0.105，f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．[一点通]利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； 第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f x 0＋Δx －fx 0Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.1.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，设函数y ＝f (x )从－1到1的平均变化率为v 1，从1到2的平均变化率为v 2，则v 1与v 2的大小 关系为( )A ．v 1＞v 2B ．v 1＝v 2C ．v 1＜v 2D ．不能确定解析：记v 1＝Δy 1Δx 1＝tan α1，v 2＝Δy 2Δx 2＝tan α2，易知α1＜α2，所以v 1＜v 2.答案：C2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则f ′(1)＝________.解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－[12＋1]＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx＝2＋Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. 答案：23．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，求物体在3 s 末的瞬时速度．解：物体在3 s 末的瞬时速度，即求物体在t ＝3时的导数． ∵Δs Δt＝f＋Δt －fΔt＝1－＋Δt ＋＋Δt 2－－3＋32Δt＝Δt2＋5ΔtΔt＝Δt ＋5，∴函数在t ＝3处的瞬时速度为s ′(3)＝lim Δx →0ΔsΔt ＝lim Δx →0(Δt ＋5)＝5， 即物体在3 s 末的瞬时速度为5 m/s.[例2] 求曲线f (x )＝x在点(－2，－1)处的切线方程．[思路点拨] 函数f (x )＝2x在x ＝－2时的导数即为点(－2，－1)处切线的斜率，故可先求f ′(－2)，再求曲线的切线方程．[精解详析] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝lim Δx →0f －2＋Δx －f －Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.[一点通]利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．4．曲线y ＝x 2－x ＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.π6 D.π2解析：f ′(1)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0＋Δx2－＋Δx ＋1]－2－1＋Δx＝lim Δx →0 Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1， ∴α＝π4.答案：A5．求曲线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程．解：f ′(2)＝lim Δx →014＋Δx2－14×4Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为：y －1＝1·(x －2)，即x －y －1＝0.[例3] 直线l ：y 1相切，求a 的值及切点的坐标．[思路点拨] 由导数的几何意义，切点处的切线为l ：y ＝x ＋a ，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a .[精解详析] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx2＋1－x 30－x 20＋Δx＝3x 20－2x 0.由题意知，3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327或(1,1)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327.[一点通]求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标．6．抛物线y ＝x 2上某点处的切线平行于直线y ＝4x ＋1，则切点坐标为________． 解析：设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2，切点为(2,4)． 答案：(2,4)7．若曲线y ＝x 2－x ＋3的一条切线与直线y ＝x ＋1垂直，求切点坐标． 解：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)即为切线的斜率． ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx2－x 0＋Δx ＋3－x 20－x 0＋Δx＝lim Δx →0x 0－Δx ＋Δx2Δx＝lim Δx →0[(2x 0－1)＋Δx ]＝2x 0－1. 即切线斜率k ＝2x 0－1，又切线与直线y ＝x ＋1垂直， ∴2x 0－1＝－1，∴x 0＝0，y 0＝3. 故切点为(0,3)．8．求过点(0，－1)且与y ＝x 2相切的直线方程． 解：(0，－1)不在曲线y ＝x 2上，故(0，－1)不是切点．设切点为(x 0，x 20)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0，故切线的斜率k ＝2x 0. 又切线过点(0，－1)∴k ＝x 20＋1x 0，则2x 0＝x 20＋1x 0，解得x 0＝±1，当x 0＝1时，k ＝2，切线方程为y ＝2x －1， 即2x －y －1＝0.当x 0＝－1时，k ＝－2，切线方程为y ＝－2x －1， 即2x ＋y ＋1＝0.函数y ＝f (x )在x 0处的导数即为该点处切线的斜率，由导数的几何意义求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．[对应课时跟踪训练十二1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim Δx →0 f ＋x －fx等于( )A ．2B ．1C.12D.14 解析：lim Δx →0 f ＋x －fx＝f ′(1)＝1.答案：B2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6 解析：可得f ′(1)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0[a ＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx＝lim Δx →0 a ΔxΔx ＝a ， 又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0， 所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4. 答案：C3.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，则π2<α<β<π.∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )． 答案：B4．已知曲线f (x )＝－2x和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx ，∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2. ∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4. 答案：C5．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________. 解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12.答案：－126．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度， ∴s ′(0)＝lim Δt →0 s＋Δt －sΔt＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 答案：37．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0 (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程． 解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝limΔx→03Δx＋Δx2＋Δx3Δx＝limΔx→0[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.。