湖南省衡阳市20162017学年高二理科实验班上学期第四次月考数学试题

衡阳八中2016年下期高二年级第四次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知命题，命题，则命题是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.设有一个回归直线方程=2﹣1.5x，当变量x增加1个单位时，则( )A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．365.设x，y，z∈（0，+∞），=x+，，，则三数（）A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于26.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣48.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC．则点M 在正方形ABCD内的轨迹为（）9.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )A. (6，＋∞)B. (5，＋∞)C.(4，＋∞)D. (3，＋∞)10.如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．|| B．||C．D．11.已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.展开式中的常数项为 .14.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是．15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知m∈R，命题P：对任意x∈[﹣1，1]，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m﹣ax≤0成立．（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．19.（本题满分12分）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．（1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆的左、右两个焦点，过其中两个端点的直线斜率为，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.21.（本题满分12分）已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得恒成立，求m的取值范围．22.（本题满分12分）已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程;（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，①求证:直线过定点;②若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第四次月考数学参考答案13.4014.①④15.16.[]17.（Ⅰ）∵对任意x∈[﹣1，1]，不等式x﹣1≥m2﹣3m 恒成立∴（x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2即p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．∵a=1，且存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立∴m≤1即命题q 为真时，m≤1（2分）∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p、q 一真一假当p 真q 假时，则，即1＜m≤2，（3分）当p假q 真时，则，即m＜1，（4分）综上所述，1＜m≤2或m＜1 （5分）（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，当a＞0 时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≥2，（6分）当a＜0 时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤﹣a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≤﹣2（8分）综上所述，a≥2或a≤﹣2（10分）18.（Ⅰ）由题意可知，样本容量（2分），（4分），x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030（6分）．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．（9分）所以，ξ的分布列为所以，（12分）19.（1）连接，交于点，连接，则平面，∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴，（2分）又∵平面平面，平面平面，平面，，20.(1) ；（4分）(2)，（8分）.（12分）21.（I）依题意h′（x）=，则，x∈（0，+∞），当a=0时，，，令f′（x）=0，解得．（3分）当0＜x＜时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴时，f（x）取得极小值，无极大值；（5分）（II）=，x∈[1，3]．当﹣8＜a＜﹣2，即＜。

2016年下期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第一次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.下列命题中为真命题的是（）A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞02.“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8 4.齐王与田忌赛马，每人各有三匹马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，共进行三场比赛，每次各派一匹马进行比赛，马不能重复使用，三场比赛全部比完后胜利场次多者为胜，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．5.已知命题p：∃x0∈R，使log2x0+x0=2017成立，命题q：∀a∈（﹣∞，0 ），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬p∧¬q6.已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（）A ．B ．C ．D ．7.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对酒驾的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员216人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，24，43．则这四社区驾驶员的总人数N为（）A．2160 B．1860 C．1800 D．14408.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：广告费x2 3 4 5 6销售额y29 41 50 59 71由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.29.若过椭圆+=1的上顶点与右焦点的直线l，则该椭圆的左焦点到直线l的距离为（）A．1 B ． C ． D．210.椭圆C ： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A ．﹣1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣211.设F1、F2是椭圆E ： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12.椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知命题“∀x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，则a的取值范围是．14.设，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，则a的取值范围为．15.正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为．16.已知△ABC的顶点A（﹣3，0）和顶点B（3，0），顶点C在椭圆+=1上，则= ．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）命题p：“∀x∈（0，+∞），有9x+≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．19.（本题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．20.（本题满分12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上（1）求角C的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形且满足=+，求实数m的最小值．21.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=，a n =（n≥2）．（1）求证：{﹣1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若b n =，求{b n}的前n项和S n．22.（本题满分12分）设椭圆C ： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M ，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．衡阳八中2017年下期高二年级文科实验班第一次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCBDCCC C C B C B 13.14.15.16.317.∵a ＜0，若p 为真命题，则（9x+）min ≥7a+1，又∵9x+≥2=|6a|=﹣6a ，∴﹣6a ≥7a+1，∴a ≤﹣，（3分）若q 为真命题，则方程x 2+2ax+2﹣a=0有实根， ∴△=4a 2﹣4（2﹣a ）≥0， 即a ≥1或a ≤﹣2，（5分）若“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，则命题p 和命题q 一真一假 ∴当p 真q 假时，则，∴﹣2＜a ≤﹣，（7分）当p 假q 真时，则，∴a ≥1，（9分）综上，符合条件的a 的取值范围为（﹣2，﹣]∪[1，+∞）．（10分） 18.（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1， 解得x=0.004，（2分） ∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96， 而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，（4分）故甲乙两校的合格率相同．（6分）（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C ，D 的6名学生记为C 1，C 2，C 3，C 4，D 1，D 2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C 1，C 2}，{C 1，C 3}，{C 1，C 4}，{C 1，D 1}，{C 1，D 2}，{C 2，C 3}，{C 2，C 4}，{C 2，D 1}，{C 2，D 2}，{C 3，C 4}，{C 3，D 1}，{C 3，D 2}，{C 4，D 1}，{C 4，D 2}，{D 1，D 2}，共15个，（9分）其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，（11分）∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D 的概率p=．（12分）19.（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD 为等腰三角形，再由，∴BD ⊥AC ．（2分）再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA ⊥BD ．（4分）而PA ∩AC=A ，故BD ⊥平面PAC ．（6分） （Ⅱ）∵侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，∴三棱锥F ﹣BCD 的高是三棱锥P ﹣BCD 的高的．△BCD 的面积S △BCD =BC•CD•sin∠BCD==．（9分）∴三棱锥P ﹣BDF 的体积 V=V P ﹣BCD ﹣V F ﹣BCD =﹣=×==．（12分）20.（1）由题得a （sinA ﹣sinB ）+bsinB=csinC ， 由正弦定理得a （a ﹣b ）+b 2=c 2，即a 2+b 2﹣c 2=ab ． ∴余弦定理得cosC==，∵C ∈（0，π）， ∴C=．（4分）（2）∵，∴=+===，（7分） 即mcosC=，有m===，（9分）∵0＜A ＜，﹣＜2A ﹣＜，∴﹣＜sin （2A ﹣）≤1，∴sin （2A ﹣）+≤，∴m min ==2．（12分）21.（1）∵数列{a n }满足a 1=，a n =（n ≥2），∴=，n ≥2∴，n ≥2，（3分）又，∴{﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，（5分）∴，，∴．（6分）（2）∵b n ===（2n ﹣1）（2n ﹣1+1）=（2n﹣1）•2n ﹣1+2n ﹣1，（8分）∴{b n }的前n 项和：S n =1+3•2+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1+2（1+2+3+…+n ）﹣n =1+3•2+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1+2×﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1+n 2，① 2S n =2+3•22+5•23+…+（2n ﹣1）•2n+2n 2，②②﹣①，得S n =﹣1﹣（22+23+ (2)）+（2n ﹣1）•2n+n 2=﹣1﹣+（2n ﹣1）•2n +n 2=（2n ﹣3）•2n +3+n 2．∴{b n }的前n 项和S n =（2n ﹣3）•2n+3+n 2．（12分）22.（Ⅰ）∵椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的焦点F 1，F 2，过右焦点F 2的直线l 与C 相交于P 、Q 两点， △PQF 1的周长为短轴长的2倍，△PQF 1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）。

衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是不是有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请当即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处置余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部份请用2B铅笔填涂，非选择题部份请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤02.已知命题,命题,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.3.如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．04.执行右面的程序框图，若是输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值知足（A）y=2x（B）y=3x（C）y=4x（D）y=5x5.已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，1]6.已知双曲线的一个核心与抛物线y2=4x的核心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A． B．C．D．7.抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m 等于（）A．B．2 C．D．38.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率别离为和，两个零件是不是加工为一等品彼此独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C． D.9.已知实数x、y知足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．1210.在△ABC中，内角A、B、C的对边长别离为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）A．4 B．3 C．2 D．111.已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．12.数列{a n}知足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．14.双曲线的左、右核心别离为F1、F2，过核心F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为．15.平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）知足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①m，使曲线E过坐标原点；②对m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。

衡阳八中2016年下期高二年级第四次月考试卷英语（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。

其中共72题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考前15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（共100分）一.听力（每题1.5分，共30分）1.Who is the woman?A. Mary.B. Mary’s sister.C. Mary’s mother.2.When did the man live in London?A. Last year.B. Last month.C. When he was a child.3.What happened to the man just now?A. He met an old friend on the street.B. He mistook the woman for his friend.C. Lydia paid an unexpected visit to him.4.Why did the man change his mind probably?A. He didn’t bring enough money.B. He forgot his wallet.C. He didn’t need that m uch fruit.5.What are the speakers mainly talking about?A. The role of shopping in people’s lives.B. How to promote sales.C. The importance of mass media.听下面5段对话或独白。

衡阳八中2016年下期高二年级第四次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知命题，命题，则命题是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.设有一个回归直线方程=2﹣1.5x，当变量x增加1个单位时，则( )A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．365.设x，y，z∈（0，+∞），=x+，，，则三数（）A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于26.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣48.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）9.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )A. (6，＋∞)B. (5，＋∞)C.(4，＋∞)D. (3，＋∞)10.如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．||B．||C．D．11.已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60°C．45°D．30°第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.展开式中的常数项为 .14.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是．15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知m∈R，命题P：对任意x∈[﹣1，1]，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m﹣ax≤0成立．（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．19.（本题满分12分）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．（1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值. 20.（本题满分12分）已知椭圆的左、右两个焦点，过其中两个端点的直线斜率为，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1. （1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.21.（本题满分12分）已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得恒成立，求m的取值范围．22.（本题满分12分）已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程; （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，①求证:直线过定点;②若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第四次月考数学参考答案13.4014.①④15.16.[]17.（Ⅰ）∵对任意 x∈[﹣1，1]，不等式 x﹣1≥m2﹣3m 恒成立∴（ x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2即 p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．∵a=1，且存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立∴m≤1即命题q 为真时，m≤1（2分）∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p、q 一真一假当 p 真q 假时，则，即1＜m≤2，（3分）当p假q 真时，则，即m＜1，（4分）综上所述，1＜m≤2或m＜1 （5分）（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，当a＞0 时，存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≥2，（6分）当a＜0 时，存在 x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤﹣a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≤﹣2（8分）综上所述，a≥2或a≤﹣2（10分）18.（Ⅰ）由题意可知，样本容量（2分），（4分），x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030（6分）．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．（9分）所以，ξ的分布列为所以，（12分）19.（1）连接，交于点，连接，则平面，∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴，（2分）又∵平面平面，平面平面，平面，，20.(1) ；（4分）(2)，（8分）.（12分）21.（I）依题意h′（x）=，则，x∈（0，+∞），当a=0时，，，令f′（x）=0，解得．（3分）当0＜x＜时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴时，f（x）取得极小值，无极大值；（5分）（II）=，x ∈[1，3]．当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在[1，3]上是单调递减．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，（6分）∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，∵x2∈[1，3]，使得恒成立，∴＞，整理得，（8分）又a＜0，∴，令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，∴，（10分）当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．（12分）22.∴直线的方程为，…………………………………………7分∴直线过定点。

2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c2．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1} 3．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4B．C．4D．4．在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．635．已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣76．等比数列a n中，a1=2，q=2，S n=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．67．若a＞1，则的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C 等于（）A．B．或C．D．9．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值10．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形11．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．812．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=．14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是．15．函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是a＞﹣1．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】根据函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）的单调性，进而得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）上恒成立又∵g（x）=x2﹣x+a在hslx3y3h2，+∞）单调递增∴g（2）=2+a＞1恒成立即a＞﹣1故答案为：a＞﹣1【点评】本题考查的知识点是对数不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据对数函数的性质，将总是转化为一个二次函数恒成立问题是解答的关键．16．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为9．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=（x+y）=5+=9，当且仅当x=2y=时取等号．故+的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2015春•武威校级期末）（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．18．（12分）（2010秋•万盛区校级期末）解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．【分析】先由不等式：（x﹣1）（x+a）＞0，得出其对应方程（x﹣1）（x+a）=0的根的情况，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式【解答】解：由（x﹣1）（x+a）=0得，x=1或x=﹣a，…当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（10分）综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（12分）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．19．（12分）（2014春•连江县校级期末）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，（1）求sinA，sinB，sinC的值（2）设BC=5，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；正弦定理的应用．【分析】（1）根据cosB，cosA的值可分别求得sinA，sinB的值，继而根据sinC=sin （A+B）利用两角和公式求得sinC的值．（2）先根据正弦定理求得AC的值，最后根据三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）sinA==，sinB==，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×﹣×=．（2）由正弦定理知=，∴AC=•sinB=×=，=BC•AC•sinC=×5××=．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．注重了对学生综合素质的考查．20．（12分）（2014•宁波模拟）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），依题意，解方程组可求得，从而可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由于b n==，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），由已知得：，即，解之得：，∴a n=2n﹣5，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n==，n≥1．T n=+++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得：T n=+2（++…+）﹣=﹣+，∴T n=﹣1﹣（n∈N*）．【点评】本题考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2014春•黄岛区校级期末）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）【点评】本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题22．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．。

2016年下期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第一次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.下列命题中为真命题的是（）A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞02.“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8 4.齐王与田忌赛马，每人各有三匹马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，共进行三场比赛，每次各派一匹马进行比赛，马不能重复使用，三场比赛全部比完后胜利场次多者为胜，则田忌获胜的概率为（）A．B．C．D．5.已知命题p：∃x0∈R，使log2x0+x0=2017成立，命题q：∀a∈（﹣∞，0 ），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬p∧¬q6.已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（）A．B．C．D．7.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对酒驾的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员216人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，24，43．则这四社区驾驶员的总人数N为（）A．2160 B．1860 C．1800 D．14408.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2B．108.8 C．111.2 D．118.29.若过椭圆+=1的上顶点与右焦点的直线l，则该椭圆的左焦点到直线l的距离为（）A．1 B． C． D．210.椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣211.设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．12.椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知命题“∀x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，则a的取值范围是．14.设，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，则a的取值范围为．15.正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为．16.已知△ABC的顶点A（﹣3，0）和顶点B（3，0），顶点C在椭圆+=1上，则= ．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）命题p：“∀x∈（0，+∞），有9x+≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．19.（本题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．20.（本题满分12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形且满足=+，求实数m的最小值．21.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2）．（1）求证：{﹣1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若b n=，求{b n}的前n项和S n．22.（本题满分12分）设椭圆C ： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．）≥=|6a|=，（真时，则，∴BC•CD•sin∠===．（12分）20.（1）由题得a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，由正弦定理得a（a﹣b）+b2=c2，即a2+b2﹣c2=ab．∴余弦定理得cosC==，∵C∈（0，π），∴C=．（4分）（2）∵，∴=+===，（7分）即mcosC=，有m===，（9分）∵0＜A＜，﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜sin（2A﹣）≤1，∴sin（2A﹣）+≤，∴m min==2．（12分）21.（1）∵数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2），∴=，n≥2∴，n≥2，（3分）又，∴{﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，（5分）∴，，∴．（6分）（2）∵b n===（2n﹣1）（2n﹣1+1）=（2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1，（8分）∴{b n}的前n项和：S n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2（1+2+3+…+n）﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2×﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+n2，①2S n=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n+2n2，②②﹣①，得S n=﹣1﹣（22+23+…+2n）+（2n﹣1）•2n+n2=﹣1﹣+（2n﹣1）•2n+n2=（2n﹣3）•2n+3+n2．∴{b n}的前n项和S n=（2n﹣3）•2n+3+n2．（12分）22.（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）。

2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c2．（5分）不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣4}D．{x|﹣4＜x＜1}3．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4 B．C．4 D．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．635．（5分）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣76．（5分）等比数列a n中，a1=2，q=2，S n=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．67．（5分）若a＞1，则的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．8．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（）A．B．或C． D．9．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值10．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形11．（5分）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．812．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=．14．（5分）某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是．15．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．18．（12分）解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．19．（12分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，（1）求sinA，sinB，sinC的值（2）设BC=5，求△ABC的面积．20．（12分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？22．（12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确故选：D．2．（5分）不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣4}D．{x|﹣4＜x＜1}【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，可化为：或，解得：x＞4或x＜﹣1，则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．故选：B．3．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4 B．C．4 D．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．63【解答】解：由等差数列的性质可得a4+a6=2a5，∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63故选：D．5．（5分）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣7【解答】解：∵点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，∴两点对应坐标对应式子3x﹣2y+a的符号相反，即（9﹣2+a）（12﹣12+a）＜0，即a（a+7）＜0，∴﹣7＜a＜0，即实数a的取值范围是﹣7＜a＜0，故选：C．6．（5分）等比数列a n中，a1=2，q=2，S n=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：由a1=2，q=2，得到S n===126，化简得：2n=64，解得：n=6．故选：D．7．（5分）若a＞1，则的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．【解答】解：因为a＞1，所以a﹣1＞0，所以=当且仅当即a=2时取“=”故选：C．8．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（）A．B．或C． D．【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab∴∴C=故选：A．9．（5分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选：B．10．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinA•sinC=，②由①②得：sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=sin2A+•=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+=，∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°∴∠A=60°．故选：D．11．（5分）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+≥1+2=3，当且仅当e x=时，f（x）=（e x）*的最小值为3．故选：B．12．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=30°．【解答】解：由正弦定理可知=∴sinC=c•=2×=∴C=30°∴∠B=180°﹣120°﹣30°=30°故答案为：30°14．（5分）某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是510．【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，∴此人一共走了8次∵第n次走n米放2n颗石子∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28==2×255=510故答案为：51015．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是a＞﹣1．【解答】解：∵f（x）=log2（x2﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正∴g（x）=x2﹣x+a＞1在[2，+∞）上恒成立又∵g（x）=x2﹣x+a在[2，+∞）单调递增∴g（2）=2+a＞1恒成立即a＞﹣1故答案为：a＞﹣116．（5分）已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为9．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=（x+y）=5+=9，当且仅当x=2y=时取等号．故+的最小值为9．故答案为：9．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得18．（12分）解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．【解答】解：由（x﹣1）（x+a）=0得，x=1或x=﹣a，…（4分）当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（10分）综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（12分）19．（12分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，（1）求sinA，sinB，sinC的值（2）设BC=5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）sinA==，sinB==，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×﹣×=．（2）由正弦定理知=，∴AC=•sinB=×=，∴S=BC•AC•sinC=×5××=．△ABC20．（12分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），由已知得：，即，解之得：，∴a n=2n﹣5，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n==，n≥1．T n=+++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得：T n=+2（++…+）﹣=﹣+，∴T n=﹣1﹣（n∈N*）．21．（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（5分）（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）22．（12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．。

樟树中学2018届高二下学期第四次月考理科数学试卷考试范围：已学内容 考试时间：2017. 05. 19一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数2ia i +-（其中a R ∈， i 为虚数单位）是纯虚数，则a i +的模为（ ） A. 52 B. 52 C. 5 D. 52、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角至多有两个大于60度 C ．假设三内角至多有一个大于60度 D ．假设三内角都大于60度3、下列现象的线性相关程度最高的是( )A ．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为B ．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－C ．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为D ．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为4、若()554325432102X a X a X a X a X a X a -=+++++，则12345a a a a a ++++=（ ）A ．1-B ．31 C.33- D ．31-5、学校在高二年级开设选修课程，其中数学开设了三个不同的班，选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修班每班至多可接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ）A. 72种B. 54种C. 36种D. 18种 6、()325f x ax x x =-+-在R 上既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A 、13a >B 、13a ≥C 、13a <且0a ≠D 、13a ≤且0a ≠7、利用数学归纳法证明“()()()()1221321n n n n n n +++=⨯⨯⨯⨯-， *n N ∈”时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增乘的因式是（ ）A. 21k +B. 211k k ++C. ()()21221k k k +++D. 231k k ++8、函数()cos f x x x=的导函数()'f x 在区间[],ππ-上的图象大致是（ ）9、设()21,XN δ，其正态分布密度曲线如右图所示，且()30.0228P X ≥=，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）附：（随机变量ξ服从正态分布()21,N δ，则()0068.26P μδξμδ-<<+=，()002295.44P μδξμδ-<<+=）A ．6038B ．6587C ．7028D ．753910、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点（A在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若60AFE ∠=︒，则AFE ∆的面积为（ ） A. 43 B. 23 C. 433 D. 23311、已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且()0,x ∀∈+∞，()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，设()0.52a f =， ()log 3b f π=， ()4log 3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. b c a >>B. a c b >>C. c b a >>D. a b c >>12、已知p,q,r 都是正实数，若q ≤r(lnp-lnr),r-q ≤p ≤e(r+q),则的取值范围是（ ）qp].(0,D e ]1.(,A e e1.(0,C e ⎤⎥⎦]1.(,1B e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知()[](]221,1,1{1,1,2x x f x x x -∈-=-∈，则()21f x dx -=⎰ ．14、1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中3x 的系数为．（用数字作答）15、()21ln 22f x mx x x =+-在定义域内单调递增，则实数m 取值范围为．16、已知抛物线1C ： 2y ax =（0a >）的焦点F 也是椭圆2C ： 22214y x b +=（0b >）的一个焦点，点M ， 3,12P ⎛⎫⎪⎝⎭分别为曲线1C ， 2C上的点，则MP MF +的最小值为__________．三、解答题（共6个题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）设0a >，()22xf x x =+，令11a =，()1n n a f a +=，*n N ∈.（1）写出234,,a a a 的值，并猜出数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.18、（本小题12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如右图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++独立性检验临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.63519、（本小题满分12分)某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（右图）（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人；（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X 名女生被选取，求X 的分布列和数学期望.20、(本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，//AB CD ，2AD CD AB ==，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．（1）证明：AB ⊥平面BEF ；（2）设PA k AB =⋅，若平面EBD 与平面BDC 的夹角等于45︒，求k 的值．21、（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）设1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点1F 和2F ，求这个平行四边形面积的最大值．22、已知函数()ln f x x=，()()()1'g x x f x =-，其中()'f x 是()f x 的导函数．（1）求曲线()y f x =在点(),1e 处的切线方程；（2）若()()f x ag x ≥在[)3,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．樟树中学2018届高二下学期第四次月考理科数学试卷答案 二、选择题： BDBBB CCABA DC三、填空题：13、π423+14、 126 15、 16、2四、解答题：17、（1）因为11a =，所以()()21213a f a f ===，()3212a f a ==，()4325a f a ==，猜想()*21n a n N n =∈+. (4分)（2）证明：①易知，1n =时，猜想正确；②假设()*n k k N=∈时，21k a n =+成立，则()122211k k k k a a f a a k +⨯===+++这说明，1n k =+时成立.由①②知，对于任何*n N ∈，都有21n a n =+. (10分)18、（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为()17274747979808185899680.910x =+++++++++=甲；乙班样本化学成绩前十的平均分为()17880818586939697999989.410x =+++++++++=乙.甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳. （6分） （2） 甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计 成绩优良 10 16 25 成绩不优良 10 4 14 总计 202040根据22⨯列联表中的数据，2K 的观测值为()2401041610 3.956 3.84126142020k ⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈∴能在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.（12分）18、（1）由频率分布直方图可知，第四个小矩形的高为[1(0.010.0200.0300.012)10]100.028-+++⨯÷=；（3分）（2）因为样本中，数学成绩在120分以上的频率为1(0.010.020)100.7-+⨯=，（4分） 所以通过样本估计总体（即将频率看作概率），可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有4000.7280⨯=（人）；（6分）（3）由频率分布直方图可知，样本中成绩在[140,150]内的学生共有0.01210506⨯⨯=（人）.于是，由题设知这6人恰好是3男3女.（7分） 因为X 的所有可能取值为0、1、2、3，（8分）且33361(0)20C P X C ===，1233369(1)20C C P X C ===，2133369(2)20C C P X C ===，33361(3)20C P X C ===.（10分）所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为199130123202020202EX =⨯+⨯⨯⨯+⨯=. （12分）20、（1）证明：由已知//DF AB ，且DAB ∠为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ， 又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ， 因为AB AD ⊥，故AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，//EF PD ，所以AB ⊥EF ， 由此得AB ⊥平面BEF ． （6分）（2）解：以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,)P k ，(1,1,)2kE ， 则(1,2,0)BD =-，(0,1,)2kBE =， 设平面CDB 的法向量为1(0,0,1)n =，平面EDB 的法向量为2(,,)n x y z =，则220,0,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,0,2x y kz y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1y =，可得22(2,1,)n k =-， 由二面角E BD C --的大小为45︒，则1212212222cos ,2||||421n n k n n n n k ⋅<>===⋅++，化简得245k =，则255k =．（12分）21、（Ⅰ）依题意222,{1,,a b c bc b c =+==解得2,{1,a b ==即椭圆C 的方程为2212x y += （4分）（Ⅱ）设过椭圆右焦点2F 的直线l ：1x ty =+与椭圆交于A ，B 两点，则221,{22,x ty x y =++=整理得()222210t y ty ++-=， ∴12222t y y t -+=+，12212y y t -=+， （6分）∴()2212121228842t y y y y y y t +-=+-=+222212t t +=+，22212212122OAB OF A OF Bt S S S OF y y t ∆∆∆⋅+=+=⋅-=+，椭圆C 的内接平行四边形面积为2242142OABt S S t ∆⋅+==+， （9分）令211m t =+≥，则()2421m S f m m ==+421m m =+，注意到()S f m =在[)1,+∞上单调递减，所以()max 122s f ==，当且仅当1m =，即0t =时等号成立，故这个平行四边形的面积最大值为22 （ 12分）22、（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()1'f x x =，由导数的几何意义所求切线的斜率()1'k f e e ==，所以所求的切线方程为()11y x e e -=-，即0x ey -=． （4分）（2）()ln f x x=，()()()11'x g x x f x x -=-=，∴()()f x ag x ≥在[)3,+∞上恒成立，即()1ln a x x x-≥，即ln 1x x a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，即min ln 1x x a x ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭． 令()ln 1x xh x x =-，则()()()()221ln 1ln ln 1'11x x x x x x x x h x x x ⎛⎫+⋅-- ⎪--⎝⎭==--，令()ln1x x xϕ=--，()11'1xxx xϕ-=-=，当1x>时，()'0xϕ>，∴()xϕ在()1,+∞上单调递增．∴()()10xϕϕ>=，∴ln10x x-->（1x>），∴()'0h x>，∴()h x在()1,+∞上单调递增，当然在[)3,+∞上也单调递增，∴()()min33ln32h x h==，∴3ln32a≤．（12分)。