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第二章 初等数学模型本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法复习要求1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。
2．进一步理解数学模型的作用与特点。
类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.1．雨中行走问题雨中行走问题的结论是：（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即20πθ≤≤，那么全身被淋的雨水总量为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )]cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.（2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2. 令απθ+=2，则20πα<<. 那么全身被淋的雨水总量为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定.有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如图2-1）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问题分析与假设1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵 袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心p（动点）为圆心的圆的半径r ，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围.2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北︒45，速度为20km /h ，而当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大，即半径的增加速度为t t r 1060)(+=，t 为时间.于是只要6010+≤t p o ，便是城 图2-1市O 受到侵袭的开始.模型I 如图2-2建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻t (h )台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(222t r y y x x ≤-+-其中r (t )=10t +60. 图2-2若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即 ,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 整理可得 ,0288362≤+-t t由此解得 12≤t ≤24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.模型II 设在时刻t (h )台风中心为P （如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t +60，因此，若在时刻t 城市O 受到台风侵袭，应有6010+≤t P O由余弦定理知.cos 2222P OP PO P P PO P P P O ∠⋅⋅-+=注意到 t P P OP 20,300==,542210212210245sin sin 45cos cos )45cos(cos 2=⨯-+⨯=︒⋅+︒⋅=︒-=∠θθθP OP故 .30096002054300202300)20(222222+-=⨯⨯⨯-+=t t t t P O因此 .)6010(3009600202222+≤+-t t t即 0288362≤+-t t 解得 .2412≤≤t2．动物的身长与体重问题在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，（1）问题分析众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法.类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系.（2）模型假设与求解我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似.为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l 、直径为d 、断面面积为S （如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.设动物在自身体重（记为f ）的作用下，躯干的最大下垂度为b ，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的研究，可以知道23Sdfl b ∝. 又由于∝f Sl (体积)，于是23d l l b ∝. b 是动物躯干的绝对下垂度，b /l 是动物躯干的相对下垂度.b /l 太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b /l 图2—3太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b /l 已经达到其最适宜的数值，换句话说，b /l 应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此23d l ∝，又由于2,d S Sl f ∝∝,故44,kl f l f =∝从而.即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k 后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.（3）模型评注在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.情形1 已知：ABC ∆中，︒=∠90C ，AC =BC =1，BD 是AC边上的中线，E 点在AB 边上，且BD ED ⊥.求DEA ∆的面积.如图2-4，引BA CF ⊥，易证24/1=∆DEA S类比 若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？由此想到 图2-4情形2 已知ABC ∆中(图2-5)，A B C ∠=∠=∠44，BD 是AC 边上的中线，E 点在AB 上，且C AED ∠=∠，1=∆ABC S ，求AED S ∆.类似情形1的证法，易证得12/1=∆AED S ；当2/1=∆ABC S 时，24/1=∆AED S ，与情形1结果相同. 图2-5类比 若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.情形3 已知ABC ∆中︒=∠90C ，AC =2BC =2，BD 是AC 边上中线，AB CF ⊥交BD 于H ，求CBH S ∆.同样可证6/1=∆CBH S .这里，若在情形3中令AC =2BC =1，也有24/1=∆ADE S ，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求ADE S ∆，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是CBH S ∆.3．实物交换问题实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换.不失一般性，设交换前甲占有数量为x 0的物品X ，乙占有数量为y 0的物品Y ；交换后甲所占有的物品X ，Y 的数量分别记为x ,y ；单位数量的物品X ，Y 的价值（价格）设为p 1,p 2.由等价交换准则，x ,y 满足方程,0,0,)(00201y y x x y p x x p ≤≤≤≤=-容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
现在丙系有6名学生转入甲乙两系各3人（如表2-1第2列所示）。
按照上面的执行方法分配席位时出现了小数，在将取得整数的19席位分配完毕后，三系同意将剩下的1名席位分配给比例中小数部分最大的丙系，于是三系仍分别占有10、6、4个席位（表中第4列）。
因为有20个席位的代表会议在表决时可能出现10：10对等的局面，会议决定下一届增加1席。
他们按照上述方法重新分配席位，计算结果三系分别占有11、7、3个席位（见表2-1第5、6列）。
这个结果对丙系太不公平，因为总席位增加1个，而丙系的席位却由4席减为3席。
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到一个公平分配席位的方法。
为此我们以两个单位为例建立“相对不公平”指标。
表设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，又各分得1q 、2q 个席位。
若11q p ＝22q p，则这个分配方案是合理的；若11q p ＞22q p ，则这个分配方案对A 不公平。
用11q p －22q p作为对A 的绝对不公平值，并以1),(211222221121-=-=p q pq q p q p q p q q r A （2.2）作为A 的相对不公平值。
若22q p ＞11q p ，则这个分配方案对B 不公平。
用22q p －11q p作为对B 的绝对不公平值，并以1),(122111112221-=-=p q pq q p q p q p q q r B （2.3）作为B 的相对不公平值。
现在考虑增加一个席位，即使总席位为1q ＋2q ＋1。
不失一般性，可设原分配对B 不公平，即22q p ＞11q p 。
若增加的一个席位分配给B 后仍对B 不公平，即122+q p ＞11q p，则无疑应将增加的一个席位分配给B 。
由此，下面只讨论将增加的一个席位分配给给B 后对A 不公平，即11q p ＞122+q p。
由（2.2）式得 1)1()1,(211221-+=+p q p q q q r A （2.4）根据原假设22q p ＞11q p ，故必有22q p＞111+q p ，即将增加的一个席位分配给A 后对B 更加不公平。
由（2.3）式得1)1(),1(122121-+=+p q p q q q r B （2.5）我们的目的是尽可能地减少相对不公平值。
由此，当 )1,(21+q q r A ＜),1(21q q r B + 时，即当)1(1121+p p q ＜)1(2222+p p q时应将这增加的一个席位分配给B 。
若当),1(21q q r B +＜)1,(21+q q r A 时，即当)1(2222+p p q ＜)1(1121+p p q时应将这增加的一个席位分配给A 。
据此，可以给出一般的方法如下：设有m （m ＞2）个单位，各自有人数1p ，2p ，…，m p 个，又各分得1q ，2q ，…，m q 个席位。
现增加一个席位，对每个i 计算出)1(2+=i i i i p p q Q ， ),,2,1(m i = （2.6）若有k 使得i mi k Q Q ≤≤=1m ax （2.7）则应将这增加的一个席位分配给第k 个单位。
这种席位分配方法称为Q 值法。
下面用Q 值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配21个席位的问题。
先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕，有1q ＝10，2q ＝6，3q ＝3，然后用Q 值法分配第20席和第21席。
第20席：由（2.6）计算得1Q ＝96.445，2Q ＝94.000，3Q ＝96.333，由（2.7）应将这增加的第20席席位分配给甲系。
第21席：此时三系的分配结果是1q ＝11，2q ＝6，3q ＝3。
由（2.6）计算得1Q ＝80.371，2Q ＝94.000，3Q ＝96.333，由（2.7）应将这增加的第21席席位分配给丙系。
这样，21个席位的分配结果是甲乙丙三系分别占有11、6、4席，丙系保住了险些丧失的1席。
这个结果同时也使得在各单位总人数不变的情况下，随着总席位的增加，各单位被分配的席位肯定是不减的。
你觉得这种分配方法公平吗？§2.2 效益的合理分配设有n 个实体，它们各自单独经营或k （n k ≤）个实体联合经营都有一定的经济效益。
如果它们相互间的利益不是对抗性的，又有科学的管理方法，一般来说，联合经营的总效益可以超过各自独立经营所得效益之和，并且合作的实体越多，总效益就越高（否则就不会有合作）。
因为各自的实力不同，优点不一，由此各自的贡献必定存在差异。
为了巩固合作的经营形式，必须有一个合理的分配制度。
下面我们来讨论这个问题。
一种简单的分配方法是：设n 个实体各自经营时所得的效益分别为1x ，2x ，…，n x （非负）。
联合经营时所得的总效益为x ，且x ＞∑=ni i x 1。
记∑==ni ikk xx x 1*，),,2,1(n k = （2.8）一般地，可以用*1x ，*2x ，…，*n x 作为这n 个实体的效益分配值。
考虑到联合经营的组合方式很多。
对于n 个实体而言，可以任意2个进行联合，也可以任意三个进行联合，……，直到全体联合。
如果各种组合方式都有实际效益。
而又以全体联合的总效益最高，于是式（2.8）并不能体现其它联合形式的效益。
由此我们的分配原则应该是使每个实体在全体联合中的实际收入比它参加的除全体联合的形式之外的任何形式的任何收入都高，至少应相等。
先考察下例。
例2 设乙、丙受雇于甲经商。
已知甲独自经营每月获利1万元；只雇乙可获利2万元；只雇丙可获利3万元；乙、丙都雇用可获利4万元。
问应如何合理分配这4万元的收入。
设甲、乙、丙应分别获利1x ，2x ，3x （万元）。
因为乙、丙只能受雇于甲，故他们没有单独经营的能力（即他们各自独立经营时获利为0），且他们也没有联合经营的能力（获利也为0）。
依据上面的分配原则，可将这个问题归结为数学问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+=++0, ,10 ,3 ,24321323121321x x x x x x x x x x x x （2.9） 但这个问题没有唯一解。
要想使合作愉快，必须给出一个合理的唯一的解答。
那么这个解答能否给出呢？下面我们给出肯定的答案。
首先对n 个实体的组合，可以看成是这n 个实体的集合。
于是这n 个实体的集合可以简单地记作I ＝},,2,1{n 共n 个自然数的集合，其中I i ∈就表示第i 个单位。
设I 的一个子集S ＝},,,{21k i i i ，则S 就是k i i i ,,,21 单位的集。
现在考虑效益问题。
设I 的一个子集S ＝},,,{21k i i i 。
以下总用)(S v 表示k i i i ,,,21 共k 个单位合作的效益，也就是特征函数。
若不考虑负效益，则特征函数)(S v 总是一个非负实数。
由此)(I v 就是全体合作的效益；若I i ∈，则记})({i v 为)(i v ，它表示第i 个单位独自经营时的效益；规定)(φv ＝0。
一般认为，合作的实体越多，总效益就越高。
故对于v 还可以补充假设：若1S ，I S ⊂2，且1S φ=2S ，则)()()(2121S v S v S S v +≥ （2.10）又设I S ⊂，且S i ∈，记S －}{i ＝S \i ，称)(S v －)\(i S v 为i 在S 合作中的贡献。
由（2.10）知，任何单位在任意合作中的贡献都是非负的。
经过数学上的推导，可以证明每个单位的收益是唯一的，且第i 个单位在合作经营中的收益为：))\()((!)!1|(||)!|()()(i S v S v n S S n v i S S i ---=∑∈ϕ， ),,2,1(n i = （2.11） 其中|S |表示S 中元素的个数；)(i S 表示I 中所有包含有i的子集的集合。
例如，I ＝｛1,2,3,4｝，则)1(S ＝｛｛1,2,3,4｝，｛1,2,3｝，｛1,2,4｝，｛1,3,4｝，｛1,2｝，｛1,3｝，｛1,4｝，｛1｝｝，且|)(i S |＝12-n 。
下面我们接着计算例2。
容易计算它的特征函数为：}3,2,1({v )＝4，}2,1({v )＝2，}3,1({v )＝3，}1({v )＝1， }3,2({v )＝}2({v )＝}3({v )＝}({φv )＝0。
代入（2.11）得：5.2)04(!3)!13()!33()]03()02[(!3)!12()!23()01(!3)!11()!13()(1=---+-+---+---=v ϕ。
5.0)34(!3)!13()!33()12(!3)!12()!23()00(!3)!11()!13()(2=---+---+---=v ϕ。
