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高等数学函数的极值与最值-第2节

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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.

高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值

高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值

高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§3.4 函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。

一、函数的极值 1. 极值的定义观察图 3.11，可以发现，函数()y f x =在点14,x x 的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点25,x x 的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。

对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.定义 3.3 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x （x ≠0x ），恒有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），称0x 是函数)(x f 的极大值点（或极小值点）。

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 注：（1）函数的极值是一个局部性的概念，如果)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），只是就0x 邻近的一个局部范围内，)(0x f 是最大的（或最小的），而对于函数)(x f 的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。

图3.112（2）函数的极值只能在定义域内部取得。

2. 极值的判别法继续观察图 3.4可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。

由此，有下面的定理.定理 3.4 (极值存在的必要条件) 如果函数)(x f 在点0x 可导，且在0x 处取得极值，则)(0x f '=0.证明从略。

定义3.4 使()0f x '=的点,称为函数()f x 的驻点.根据定理3.4，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。

高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值

高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值

o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).

高等数学 函数的极值与最大值、最小值

高等数学 函数的极值与最大值、最小值

解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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返回
例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．

高考数学复习知识点讲解课件39---函数的极值、最值

高考数学复习知识点讲解课件39---函数的极值、最值

例2 (1)函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为
－29(a>0)，则a，b的值为
A.a＝2，b＝－29
B.a＝3，b＝2
√C.a＝2，b＝3
D.以上都不对
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减， 由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增， 即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减， 即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值， 则f(0)＝b＝3， 则f(x)＝ax3－6ax2＋3， f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3， 则f(－1)>f(2)， 即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29， 计算得出a＝2，b＝3.
e－2b＋12(a－1)2＝e－a＋12(2b－1)2 化为12(a－1)2－e－a＝12(2b－1)2－e－2b， 即f(a)＝f(2b)⇒a＝2b.
方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)
的大致图象，如图3所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致
图象，如图4所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立.
图3
图2 图4
(2)(2021·湘潭模拟)已知函数 f(x)＝ex－ax2＋2ax 有两个极值点，则 a 的
画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)
的极大值点，满足题意.
从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；
图1
当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)， 画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数 f(x)的极大值点，满足题意. 从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误.

同济版高等数学8-7 山大老师课件

同济版高等数学8-7 山大老师课件
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,
故当 y y0 ， x x0 时， 有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 所以z f (1,1) 6 为极大值. 4
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组
f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
第七节
极值与最值
一、二元函数极值的定义
定义： 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 ( x , y )：若满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称 函 数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极小 值；
2
确定的函数 z f ( x , y ) 的极值
解
将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知,
驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, 将 P (1,1) 代入原方程,

大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法

则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 处有极大值；
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，

高等数学 第3章

f (x) 2 33 x
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个 极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间 内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处 可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的 极值：
（1）写出函数的定义域； （2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点； （3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形， 以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论； （4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。 解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，

东华大学《高等数学AⅡ》课件 第八章 多元函数的极值


例6. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
最小.
令 F = 2(xz + yz) + x y + (x yz −V0 )
求出实数解，得所有驻点. 第二步 对于每一个驻点(x0, y0),
求出二阶偏导数的值A、B 、C. 第三步 定出AC−B2的符号，再判定是否是极值.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
பைடு நூலகம்
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6 y + 6
A
在点(1,0) 处
AC − B2 = 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC − B2 = 12 (−6) 0,
不是极值;
在点(−3,0) 处
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制
条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) = 0下, 求函数 z = f (x, y) 的极值

《高等数学(上册)》课件 第三章


高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
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因此，遇到一阶导数不存在的点，或驻 点的二阶导数为零，只能用极值判定的第一 充分条件来判断。
编辑ppt
17
例4 求函 y数 1x41x3x2的极值
43
编辑ppt
18
例4 求函 y数 1x41x3x2的极值
43
y x 3 x 2 2 x x (x 2 )x ( 1 )
求得驻 x点 1,x 为 0,x2
4、按讨论结果, 写出函数的单调区间； 并求出函数的极大值和极小值.
编辑ppt
22
四、最值问题
在很多学科领域与实际问题中，经常遇到在一定条件下 如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题， 这类问题我们称为最优化问题. 在数学上，它们常归结为 求某一个函数（称为目标函数）在某个范围内的最大值、
O
x
编辑ppt
6
定理 2.10（第一充分条件） 设函数 f (x) 在点 x0 的某个
o
邻域U (x0 , ) 内连续，在去心邻域U (x0 , ) 内可导．
（1）若 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，( f (x) 0) 而 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，( f (x) 0)
f (x0)=0
O
x x0
x0 是极小值点
f(x )0 编辑ppt 是极小值
9
换言之
极值第一充分条件：设函数 f(x) 在点 x0 的邻 域内可导，且 f (x0)=0 或 f (x0) 不存在，当 x 由小变大经过 x0 时： (1) f (x) 符号由正变负，则 f(x) 在 x0点处有 极大值 f(x0)； (2) f (x) 符号由负变正，则 f(x) 在 x0点处有 极小值 f(x0 )；
（1）若当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值； （2）若当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值；
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明；
编辑ppt
16
注 2：当 f (x0 ) 0 时，本定理失效！
例如，函数 f (x) x3 时，本定理失效！
当 x2时 ,f(x)不存 . 但在 函f数 (x)在该点连 . 续
当x2时，f(x)0;
当x2时，f(x)0.
f(2)1为 f(x)的极.大值
编辑ppt
15
定理 2.11（第二充分条件） 设函数 f (x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f (x0 ) 0 ， f (x0 ) 0 ．则
y3x22x2
y (3x22x2 ) 30极大值点
x 0
x 0
y (3x22x2) 60极小值点
x 2
x 2
编辑ppt
19
总结可得求函数极值的一般方法：
1、确定函数 y=f(x) 的定义域；
2、求出一阶导数等于零或不存在的点；
3、用第一充分条件或第二充分条件来判 别这些点是否为极值点，是极大值点还 是极小值点;
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2
注意：
1、极值是一个局部的概念；
2、极大值并不一定比极小值大；
3、极值与极值点是两个不同的概念：极 值是指函数的一个值，而极值点是指函 数达到极值的一个点，应有横坐标和纵 坐标。
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3
2. 费马(Fermat)引理.（极值的必要条件）
如果函数 y= f(x) 在点 x0 取得极值， 且 f (x0) 存在，则 f (x0)=0。
(3) f (x) 符号不变，则 f(x) 在 x0 点无极值。
编辑ppt
10
利用极值判定的第一充分条件，求可导 函数 y=f(x) 极值的步骤：
1. 确定函数 y=f(x) 的定义域；
2. 求出函数的一阶导数 f (x)；
3. 并求出全部驻点及导数不存在的点；
4. 考察 f (x) 在每个点左、右邻近的符
y
C
A D
B
oa
bx
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4
注1：可导函f(数 x)的极值点必定点 是, 但函数的驻点是 却极 不值 一 . 点 定
例如, y x3, yx00, 但x0不是极值 .
y y x3
Ox
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5
注2：极值点有可能是导数不存在的点
例如， f (x) | x | ，x=0 是极值点
又如, y y 3 x2
号，从而确定此点是否是极值点；
5. 求出相应的极值;
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11
例1 求出函 f(x)数 x33x29x5 的极 . 值
编辑ppt
12
f(x)x33x29x5
解 函数的定义域为 x( , ).
f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
4、求出极大值点和极小值点的函数值， 即得函数的极大值和极小值。
编辑ppt
20
综合可得判断函数单调区间及极值 的一般步骤：
1、确定函数的定义域；
2、求出定义域中一阶导数等于零及一阶 导数不存在的点; 以这些特殊点为端点， 把定义域划分为若干个互不重叠的开区 间.
编辑ppt
21
3、利用一阶导数的符号，判断函数的单 调性; 利用第一充分条件或第二充分条 件来判别上述特殊点（驻点或一阶导数 不存在的点）是否为极值点，是极大值 点还是极小值点；
函数的极值
y
y = f (x)
A B
C D
oa
编辑ppt
bx
1
1. 极值定义
设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域内有定
义，且对该邻域内任意的 x 值 (xx0)， 若恒有
(1) f(x0)>f(x)，则称 f(x) 在点 x0 取得极 大值 f(x0) ； (2) f(x0)<f(x)，则称 f(x) 在点 x0 取得极 小值 f(x0).
x ( ,1) 1
f(x) 0
f (x)
值极 大
(1,3) 3
0
值极 小
(3,)
极大f(值 1)10, 极小值 f(3)2.2
编辑ppt
13
2
例2 求出f函 (x)1 数 (x2)3的极 . 值
编辑ppt
14
2
f(x)1(x2)3.
解 函数的定义域为 x( , ).
f(x)2(x2)1 3 (x2) 3
则函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值；（极小值）
o
（2）若 x U (x0, ) 时， f (x) 的符号保持不变，
则点 x0 不是 f (x) 的极值点．
编辑ppt
7
y
f (x0)=0
f (x)>0
f (x)<0
O
x0
x
x0 是极大值点
f(x0编)辑p是pt 极大值
8
y
f (x)<0
f (x)>0