高等数学极值与最值
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值
高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§3.4 函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。
一、函数的极值 1. 极值的定义观察图 3.11，可以发现，函数()y f x =在点14,x x 的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点25,x x 的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。
对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.定义 3.3 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x （x ≠0x ），恒有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），称0x 是函数)(x f 的极大值点（或极小值点）。
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 注：（1）函数的极值是一个局部性的概念，如果)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），只是就0x 邻近的一个局部范围内，)(0x f 是最大的（或最小的），而对于函数)(x f 的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。
图3.112（2）函数的极值只能在定义域内部取得。
2. 极值的判别法继续观察图 3.4可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。
由此，有下面的定理.定理 3.4 (极值存在的必要条件) 如果函数)(x f 在点0x 可导，且在0x 处取得极值，则)(0x f '=0.证明从略。
定义3.4 使()0f x '=的点,称为函数()f x 的驻点.根据定理3.4，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
高考数学复习知识点讲解课件39---函数的极值、最值
例2 (1)函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为
－29(a>0)，则a，b的值为
A.a＝2，b＝－29
B.a＝3，b＝2
√C.a＝2，b＝3
D.以上都不对
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减， 由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增， 即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减， 即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值， 则f(0)＝b＝3， 则f(x)＝ax3－6ax2＋3， f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3， 则f(－1)>f(2)， 即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29， 计算得出a＝2，b＝3.
e－2b＋12(a－1)2＝e－a＋12(2b－1)2 化为12(a－1)2－e－a＝12(2b－1)2－e－2b， 即f(a)＝f(2b)⇒a＝2b.
方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)
的大致图象，如图3所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致
图象，如图4所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立.
图3
图2 图4
(2)(2021·湘潭模拟)已知函数 f(x)＝ex－ax2＋2ax 有两个极值点，则 a 的
画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)
的极大值点，满足题意.
从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；
图1
当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)， 画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数 f(x)的极大值点，满足题意. 从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误.
极值和最值讲解
x0 处具有二阶连续偏导数，且 f ( x0 ) 0, (1) 如果 H(x0) 正定，则 x0 为 f (x)的极小值点；
(2) 如果 H(x0) 负定，则 x0 为 f (x)的极大值点；
(3) 如果 H(x0) 不定，则 x0 为 f (x)的鞍点;
(4) 如果 H(x0) 半正定，则需要进一步判别.
高等数学分级教学A2班教学课件
例4. 求函数
在区域
上的最大值和最小值.
解: 先求函数在区域 D 内的驻点.
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
驻点为 (0, 0).
由于
所以
为函数的最小值.
再求函数在区域边界上的驻点. 将区域 D 的边界曲线方程改写成参数方程
高等数学分级教学A2班教学课件
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
A 2xy
y
2 xy
x
2 xy
2 x
y
2 x
2 y
x y
0 0
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
高等数学分级教学A2班教学课件
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
Dept. Math. & Sys. Sci.
应用数学教研室
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
高等数学-第五节 极值与最值
3
3 27
唯一驻点为极大值点，
y x2 T
B
Cx
s(16) 4096 为所有三角形中面积的最大者. 3 27
练习 求内接于椭圆x2 y 2 1而面积最大的矩形的各边长． a2 b2
提示：设M(x, y)是内接于椭圆的矩形在第一象限的点
则面积为s 2x 2 y 4b x a2 x2 (0 x a) a
x (, 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
例2:求 f ( x) ( x 1)2 ( x 1)3 的单调增减区间和极值 解：（1）先求导数
f '(x) 2(x 1) ( x1) 3 3(x 1)2 (x 1)2
计算 f (3) 23; f (2) 34;
7; f (1)
f (4) 142; y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，
最小值 f (1) 7.
例2. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
Hale Waihona Puke 02x3 9x2 12x,
（1）求导数 f (x) ； （2）求出 f (x) 的全部驻点，即 f (x) = 0 的点； （3）找出 f (x) 的所有不可导的点； （4）对每一个驻点，用定理 2 或定理 3 判
断其是否为极值点，对每一个不可导点， 用定理 2 判断其是否为极值点；
（5）计算出各极值点处的函数值，即为所求函 数的全部极值。
高等数学§3-4最大值和最小值
２、做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高 为多少时最省材料？
解:设水箱的高为xdm,则它的底边长为
a=
256 = 16
dm
x
x
水箱所用的材料的面积为
s(x)=4ax+a2=64x+256(x>0)升 （立方分米） x
令 s'(x)=32x2-256 x=0,得 x=4 x2 x
a
x
因为s(x)只有一个极值，故高为 4dm时最省料
（2）计算区间端点处的函数值；
（3）对以上两类函数值进行比较即得。
2
1
例6 求函数 f(x)x3(x21)3
在区间 [2, 2] 上的最大值与最小值。
解 f(x)2x1 32x(x21)3 2
33
2
4
2 (x2 1)3 x3 3 3 x(x2 1)2
令 f(x)0
得驻点 x 2 函数的不可导点为x = 0, 1 .
2
函数f (x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：
f(2)3433,f( 2)34, 2
f(0 ) 1 ,f( 1 ) 1
比较之，得最大值：3 4 最小值：3 43 3
注1： 一般地说，若函数f (x)的最大(小)值是在区间 (a, b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值
B
D
20公里
C
解 设 D 点选在距离 A 点x公里处,则 DB 100 x,CD 202 x2 400 x2 .
设铁路上每吨公里货运的运费为3k ,则公路上每吨公里
货运的运费为5k（k为常数）.货物从 B 点运到 C 点每吨
货物需要的总运费为 y ,则
y 3k CD 3k DB, 即 y 5k 400 x2 3k(100 x) (0 x 100). 下面,来求 x 在区间[0,100]上取得何值时,函数 y 的值 最小.
《高等数学教学资料》05第五节函数极限与最大值最小值.docx
第五节函数的极值与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，两数先是单调增加(或减少)，到达某一点后又变为单调减少(或增加)，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3・4・5中，点兀=1和兀=2就是具有这样性质的点，易见，对兀=1的某个邻域内的任一点兀(2 1),恒有f(x) </(I),即曲线在点(1,/(1))处达到“峰顶”：同样，对“2 的某个邻域内的任一点X(XH2),恒有f(x) > /(2),即曲线在点(2,/(2))处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重耍的意义.由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★函数极值的定义★函数极值的求法★例1★例2★例3笫二充分条件★例4★例5★例6最大值最小值的求法★例7★例8★例9★例10★例11★例］2内容小结★课堂练习★习题3・5 ★返回内容要点一、函数的极值极值的必要条件第一充分条件与第二充分条件求函数的极值点和极值的步骤(1)确定函数/(兀)的定义域，并求其导数;(2)解方程f\x) = 0求出于(兀)的全部驻点与不可导点；(3)讨论厂(劝在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点；(4)求出各极值点的函数值，就得到函数/(兀)的全部极值.二、函数的最大值与最小值在实际应用屮，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容暈最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题.求函数在创上的最大(小)值的步骤如下：(1)计算函数/(兀)在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；(2)对于闭区间［d,b］上的连续函数/(兀)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点,并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区I'可上的最大值(或最小值)点.例题选讲求函数的极值例1 (E01)求出函数/(%) = x3 -3x2 -9x4-5的极值.解f(x) =3X2-6X-9=3(X +1)(X一3),令f(x) = 0,得驻点x1=-l,x2=3.列表讨论如下：X(―-1)-1(-1, 3)3(3, 4- °°)•厂⑴+0——0+f(x)f极大值1极小值t所以，极大值/(-!) = 10,极小值/(3) = -22.例2 (E02)求函数的极值.解⑴ 函数f(兀)在(-oo,+oo)内连续，除x = -l外处处可导，且厂(无)=孝二2;3沿+1(2)令f\x) = 0,得驻点x = l;兀=-1为/*(兀)的不可导点;(3)列表讨论如下：(-00,-1)-1(-1, 1)1(1,+呵/'(X)+不存在—0+/⑴f极大值1极小值t⑷ 极大值为/(-1) = 0,极小值为/⑴=-3^4.3例3求函数y(x) = x-jx2/3的单调增减区间和极值.解求导数= 当"1时八0) = 0,而x = 0时/©)不存在，因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：X(一8,0)0(0,1)1(1, + °°) f\x)+ 不存在—0+fM/极大值0极小值-丄2/由上表可见：函数/(兀)在区间(_oo,0),(l,+oo)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点x =()处有极大值，在点兀=1处有极小值/(I) = 如图.例4 (E03)求出函数/(x) = x3 + 3x2一24兀- 20的极值.解f(x) = 3x2 +6x-24 = 3(x + 4)(兀—2),令f\x) = 0,得驻点册=-4,勺=2.又/'(x) = 6x + 6, ・・・/"(-4) = —18vO,故极大值于(一4) = 60, /*(2) = 18>0,故极小值/(2) = -4&注意：1./"(必)=0吋，/(X)在点勺处不一定収极值，仍用第一充分条件进行判断.2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点.例5 (E04)求函数f(x) =(X2 -厅+ I的极值.解由/，(X)=6X(X2-I)2=0,得驻点可=一1,七=0*3=1. f\x) = 6(x2 -l)(5x2 -1).因f\x) = 6 > 0,故/(x)在x = 0处収得极小值，极小值为/(0) = 0.因厂(-1)=厂⑴=0,故用定理3无法判别.考察一阶导数f\x)在驻点册=-1及勺=1左右邻近的符号：当兀取-1左侧邻近的值时，f(x) < 0;当兀取-1右侧邻近的值吋，f(x) < 0;因厂(兀)的符号没有改变，故/(兀)在x = -l处没有极值.同理，/(兀)在x = l 处也没有极值.如图所示.例6求出函数/W=1-(X-2)2/3的极值.2 --解f'M = -一(兀-2) '("2). x = 2是函数的不可导点.当xv2时，f(x) > 0;当x>2时，.厂(兀)v0. /. /(2) = 1为/(兀)的极大值.例7 (E05)求y = 2疋+ 3兀$ _ 12x + 14的在［-3,4］上的最大值与最小值.解*«*= 6(x + 2)(兀一1),解方程f\x) = 0,得x, =-2,X2 =1.计算/(-3) = 23; /(—2) = 34; /⑴二7; /⑷二142;比较得最大值/⑷=142,最小值/(I) = 7.例8求函数)usin2x-x在-彳冷上的最大值及最小值.解函数y = sin2x- x在-巴工上连f\x) = / = 2cos2x-1, 2 2令)/ = (),得/ = 土牛.故皿¥上最大值为务最小值为号例9 (E06)设工厂4到铁路线的垂直距离为20km,垂足为3.铁路线上距离B为100km 处有一原料供应站C,如图3-5-4.现在要在铁路BC屮间某处D修建一个原料屮转车站，再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么，D 应 选在何处，才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省？解 BD = x (km), CD = 100 — x (km), AD = ^202 + x 2 ・铁路每公里运费眈公路每公里5R,记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式: y = 5kAD + 3k-CD 即y = 5k ・ 7400 +x 2 + 3k(l 00-x) (0<x<100).问题归结为：x 収何值时目标函数y 最小./ \ I求导得y f = k 1 =一3，令y" = 0得x = 15(km).、V400 + x~ ) 由于 y(0) = 400£, y(15) = 380£, y(100) = 100@£. 从而当BD = 15 (kmJB'J-，总运费最省.例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部 租111去.当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月兀元，租出去的房子有50-（犬二型］套，每月总收入为10V =70 一一，解 R\x ） = 0,得兀=350 （唯一驻点）. 故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为/?（350） = 10890（元）.求函数的最大值最小值例11敌人乘汽车从河的北岸A 处以1米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从 河的南岸B 处向正东追击，速度为2千米/分钟，问我军摩托车何吋射击最好（相距最近射击 最好）?解（1）建立敌我相距函数关系 设t 为我军从B 处发起追击至射击的事件（分）.敌我相距函数5（/）5(f) = J(0.5 + r)2+(4-2r)2⑵求5 = 5(r)的最小值点5/-7.5 7(0.5 + z)2+(4-2r)2令= o,得唯一驻点（ = 1.5.故得我军从B 处发起追击后1.5分钟设计最好. 实际问题求最值应注意：（1） 建立目标函数； （2） 求最值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最人（或最小）值.R(x) = U - 20) 50- x-180、10 )X = (x-20) 68——,I 10丿 + (“20)卜茁2 2例12求内接于椭圆与+务=1而面积最大的矩形的各边之长. a~ b~ 解 设M(x,y)为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为S(x) = 2x- 2y = — x^a 1 -x 2,0 <x<a,a且 S(0) = S(d) = 0.Qyla 2-x 2是S(x)的最人值,最大值仏=乎诗卜倍!=切课堂练习1. 下列命题正确吗？若兀()为/(X )的极小值点，则必存在旳的某邻域，在此邻域内，/(兀)在兀()的左侧下降，而 在兀()的右侧上升.2. 若/(d)是/(兀)在［d,切上的最大值或最小值，且广⑺)存在，是否一定有f(a) = 0?4b a 2 -2x 2 万需2“由 S3 = o,求得驻点尤0 =为唯一的极值可疑点.依题意，S(x)存在最大值，故对应的y 值为即当矩形的边长分别为血a, Qb 时面积最大.。
高数极值与最值
定理
要点二
求解方法
若多元函数f(x1,x2,...,xn)在有界闭区域D上连续，则 f(x1,x2,...,xn)在D上必有最大值和最小值。
对于多元函数的最值问题，通常需要先求出函数的一阶偏 导数，并令其为0得到驻点。然后计算这些驻点及区域边界 上的函数值，比较大小即可得到最大值和最小值。需要注 意的是，对于多元函数而言，驻点不一定是最值点，还需 结合函数的二阶偏导数或Hessian矩阵来判断驻点是否为 极值点。同时，由于多元函数可能存在多个极值点，因此 需要通过比较所有极值点和边界点处的函数值来确定最值 。
02 极值概念及性质
极值定义
极值是一个函数的局部性质，在一个点的附近（邻域）内， 该点的函数值比其他点的函数值都要大（或小），则称该点 的函数值为极大值（或极小值）。
极值点不一定是函数的最值点，但最值点一定是极值点或函 数定义域的端点。
极值存在条件
一阶导数等于零的点可能是极值点（驻点）。
一阶导数不存在的点也可能是极值点。
数学作为一门基础学科，将在更多领域发 挥重要作用，跨学科应用将成为未来数学 发展的另一重要趋势。
复杂性与不确定性研究
人工智能与数学结合
随着现代科学的发展，复杂性与不确定性 问题日益突出，数学将在解决这些问题中 发挥越来越重要的作用。
人工智能的发展离不开数学的支持，未来数 学将与人工智能更加紧密地结合，共同推动 科技进步和社会发展。
求解方法
首先求出函数f(x)在(a,b)内的驻点（即 导数为0的点）和不可导点，然后计算 这些点及区间端点a,b处的函数值，比 较大小即可得到最大值和最小值。
开区间上可导函数最值问题
定理
若函数f(x)在开区间(a,b)内可导，则f(x) 在(a,b)内的极值点只可能是驻点或不可 导点。
要点二
求解方法
若多元函数f(x1,x2,...,xn)在有界闭区域D上连续，则 f(x1,x2,...,xn)在D上必有最大值和最小值。
对于多元函数的最值问题，通常需要先求出函数的一阶偏 导数，并令其为0得到驻点。然后计算这些驻点及区域边界 上的函数值，比较大小即可得到最大值和最小值。需要注 意的是，对于多元函数而言，驻点不一定是最值点，还需 结合函数的二阶偏导数或Hessian矩阵来判断驻点是否为 极值点。同时，由于多元函数可能存在多个极值点，因此 需要通过比较所有极值点和边界点处的函数值来确定最值 。
02 极值概念及性质
极值定义
极值是一个函数的局部性质，在一个点的附近（邻域）内， 该点的函数值比其他点的函数值都要大（或小），则称该点 的函数值为极大值（或极小值）。
极值点不一定是函数的最值点，但最值点一定是极值点或函 数定义域的端点。
极值存在条件
一阶导数等于零的点可能是极值点（驻点）。
一阶导数不存在的点也可能是极值点。
数学作为一门基础学科，将在更多领域发 挥重要作用，跨学科应用将成为未来数学 发展的另一重要趋势。
复杂性与不确定性研究
人工智能与数学结合
随着现代科学的发展，复杂性与不确定性 问题日益突出，数学将在解决这些问题中 发挥越来越重要的作用。
人工智能的发展离不开数学的支持，未来数 学将与人工智能更加紧密地结合，共同推动 科技进步和社会发展。
求解方法
首先求出函数f(x)在(a,b)内的驻点（即 导数为0的点）和不可导点，然后计算 这些点及区间端点a,b处的函数值，比 较大小即可得到最大值和最小值。
开区间上可导函数最值问题
定理
若函数f(x)在开区间(a,b)内可导，则f(x) 在(a,b)内的极值点只可能是驻点或不可 导点。
高等数学(微积分)课件86多元函数极值与最值
在，即二重积分必存在.
(3)在直角f 坐x,y标d系中,若f用x,y平d行xd于;y面 坐标积 轴的元 直d线素 网d划xd
二分重,则积分D 的几何意义D
y
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体D积．
当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值． 一般,D上的二重积分等于部分区域o上的柱体体积 x 的代数和。
面的“曲顶柱体”体积。
z
应用计算“平行截
zf(x,y)
面面积为已知的立
体求体积”的方法, y
A( x)
垂直x轴作平行截面。
A(x)
2(x)
y2(x)
f(x,y)dy
1(x)
b
ax
D f(x,y)dx dayA(x)dx
bx
y1(x)
14 得
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.y
fi,ii
fx,y 叫做被积函数,
fx,yd叫做被积表达式,
d叫做面积元素,
7
D 叫做积分区域，
x与 y 叫做积分变量， n
f i,i 叫i 做积分和。
i1
关于二重积分定义的说明
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意 的.
(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存
X-型积分区域D： axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
y2(x)
D
y1(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
其中函数1(x) 、2(x) 在区间[a,b] 上连续.
13
X-型积分区域上计算二重积
分
将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲
高等数学 第五节 函数的极值与最大最小值
∴ f ′( x0 ) = 0 .
2
同理可证极大值的情形 .
根据定理 1 , 函数 f ( x ) 的极值点只可能是 : 1 ) . f ′( x ) = 0 的实根 , (驻 ) 2) . 不可导的点. 点 这些点统称临界点 , 但临界点并不一定都是 极值点 . 因此 , 求极值的步骤 : 1. 找出 f ( x ) 的全部临界点 , + － 2 . 对每一个临界点进行判 别 , 判别 方法如下 : 设 x0 是 f ( x ) 的一个临界点 , A ) . 当 x 由 x0 的左侧变到右侧时 , － + 1 ) . f ( x ) 由单调增变为单调减 , 或 f ′( x ) 由正变负 , 则 f ( x0 ) 为极大值 . 2) . f ( x ) 由单调减变为单调增 , + 或 f ′( x ) 由负变正 , 则 f ( x0 ) 为极小值 . 3) . f ( x ) 的增减性不变 , 或 f ′( x ) 的符号不变 , 结合图形使用 . 则 x0 不是极值点 .
M = f 3 =5, 4 4
( )
m = f ( −5) = −5 + 6 .
11
例 7 . 问函数 y = x 2 − 54 ( x < 0) 在何处取最小值 ? x
解 . y 在 ( −∞ , 0 ) 连续 , y′ = 2 x + 54 . x2 由 y′ = 0 得驻点 x = −3 .
解 . f ′( x ) = a cos x + cos 3 x , f ( x ) 在 ( − ∞ , + ∞ ) 可导 .
f ′ π = a cos π + cos π = a − 1 = 0 , 3 3 2
高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值
极值的必要条件
必要条件一
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极 值，则该点的导数$f'(x_0)$必定为零 。
必要条件二
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值 ，则该点的二阶导数$f''(x_0)$必定存 在且不为零。
极值的充分条件
第一充分条件
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的，则函数在点$x_0$处取得极 小值。
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件转化为无约束条件，再利用 无约束条件的求解方法求得极值点。
惩罚函数法
通过构造一个惩罚函数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无 约束条件的求解方法求得极值点。
序列二次规划法
将原问题转化为一系列二次规划问题，利用二次规划的求解方法逐 一求解，最终得到极值点。
数。
答案与解析
计算下列函数的极值 点
$f(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 10$的极值点为 $(0,0)$和$(2,-2)$。
$g(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6$的极值 点为$(1,2)$和$(1,2)$。
求函数$f(x,y) = x^2 + y^2$在点$(1,1)$ 处的梯度：$nabla f(1,1) = (2,2)$。
高等数学(微积分)课件-86多元函 数极值与最值
目录
• 引言 • 多元函数极值的基本概念 • 多元函数的最值 • 多元函数的极值与最值的求解方法 • 习题与答案
01 引言
主题简介
01
多元函数极值与最值是高等数 学中的一个重要主题，主要研 究多元函数在某个区域内的最 大值和最小值问题。
高等数学-2.2.3 函数的极值与最值
C(Q) 1 Q2 6Q 7（千元），需求规律为Q 30 P ， 2
求产量为多少时总利润最大？
又因为 L(Q) 3 0 ，
解 由Q 30 P 得出 P 30 Q ，则
即 L(8) 3 0
L ( Q ) R ( Q ) C ( Q ) ( 3 0 Q Q 2 ) (1 2 Q 2 6 Q 7 )所以，当产量 Q 8 （件）
（1）确定函数 f (x) 的定义域； （2）求 f (x) ，并求出 f (x) 的驻点及 f (x) 不存在的点；
（3）用步骤（2）中求出的点将函数的定义区间划分为若干个
子区间，确定 f (x) 在各个子区间的符号，确定极值点和极值.
《高等数学》(经管类专业适用） 高等教育出版社
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>>y= exp(-x)+(x+1)^2 &求相应的y值
y=
1.8395
&函数在区间 [-3,3]上的最小值1.8395
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*
分析 但是，使 L(Q) 0 得产量水平未必就是利润最大化的产出水平，
也可能是利润最小时的产量水平.因此，还需要满足 L(Q) 0 ，
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*
归纳 定理2对驻点和导数不存在问的题点引均导适用，定理3只对二阶导数 存在且不为零两的个驻定点适理用都，是下判列定两极种值情的形充，分定理3不适用：
(1) f (x0 ) 不条存在件的，点它；们(在2) 应f用(x时0 )有什0 ,么f区(x0 ) 0 的点.
别呢？
这时， x0 可能是极值点，也可能不是极值点.
大学高等数学_15方向导数与梯度_极值与最值_二元泰勒公式_最小二乘法和习题讲解
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证
y
o
P
x 2 1
60 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
cos
f l M l grad f M l
6 arccos 130
2. P73 题 16
u n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 2 2 y0 2 2 z0 2 a b c x0 2 y0 2 z0 2 2 4 4 4 a b c
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证
y
o
P
x 2 1
60 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
cos
f l M l grad f M l
6 arccos 130
2. P73 题 16
u n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 2 2 y0 2 2 z0 2 a b c x0 2 y0 2 z0 2 2 4 4 4 a b c
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17
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的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
(x, y, z) 0下的极值.
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
π 60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
分析：如方法 1 所述, 设 (x, y) 0 可确定隐函数
y (x), 则问题等价于一元函数 z f (x, (x))的极
值问题, 故极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dxLeabharlann x y,故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
A
B
C
例3.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
z
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
O
x
y
0
当 x2 y2 0 时, z (x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
条件极值的求法:
还有其他条件限制
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 从条件(x, y) 0中解出 y (x)
化
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
类似于一元函
函数 f 在闭域上可达到最值
驻点，可能是极值点，也可能不是 最值可疑点 边界上的最值点，要与驻点上的极值
点比较，最后得到最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小值
(大)
f (P)为最小值
(大)
例4. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
证:
取得极值 , 故
取得极值 分别将y和 取得极值 x看作常量
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
1 (24 2x 2x cos
2
) x sin 梯形面
24xsin 2x2 sin x2 cos sin
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
例2. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
x 24
x
24 2x
A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
令
Ax 24sin 4xsin 2xsin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
第八节
第八章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值;
zz
在点 (0,0) 有极大值; x O y
在点 (0,0) 无极值.
O yy xO
x
例1. 已知函数
则( A )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.
(2003 考研)
提示: 由题设
定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
f x(x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
(x, y, z) 0下的极值.
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
π 60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
分析：如方法 1 所述, 设 (x, y) 0 可确定隐函数
y (x), 则问题等价于一元函数 z f (x, (x))的极
值问题, 故极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dxLeabharlann x y,故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
A
B
C
例3.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
z
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
O
x
y
0
当 x2 y2 0 时, z (x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
条件极值的求法:
还有其他条件限制
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 从条件(x, y) 0中解出 y (x)
化
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
类似于一元函
函数 f 在闭域上可达到最值
驻点，可能是极值点，也可能不是 最值可疑点 边界上的最值点，要与驻点上的极值
点比较，最后得到最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小值
(大)
f (P)为最小值
(大)
例4. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
证:
取得极值 , 故
取得极值 分别将y和 取得极值 x看作常量
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
1 (24 2x 2x cos
2
) x sin 梯形面
24xsin 2x2 sin x2 cos sin
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
例2. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
x 24
x
24 2x
A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
令
Ax 24sin 4xsin 2xsin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
第八节
第八章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值;
zz
在点 (0,0) 有极大值; x O y
在点 (0,0) 无极值.
O yy xO
x
例1. 已知函数
则( A )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.
(2003 考研)
提示: 由题设
定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
f x(x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0