2021高考数学一轮复习 课后限时集训3 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” 理 北师大版

2021年高考数学一轮复习专题1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（练）文（含解析）A基础巩固训练1. 【河南省安阳一中xx届高三第一次月考6】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否．定．是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D2. 【湖北省重点中学xx届高三上学期第三次月考试题，文2】下列选项叙述错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.若pq为真命题，则p，q均为真命题C.若命题p：xR，x2＋x十1≠0，则：R，D．“”是“”的充分不必要条件【答案】B.3. 【xx年9月河西三校高三第一次联考理科数学试卷，理2】已知命题命题,则下列命题中为真命题的是:（）A. B. C. D.【答案】B4. 【皖南八校xx届高三第一次联考，理11】命题“对任意”的否定是____【答案】存在使得.5. 下列命题的否定是真命题的有①②所有的正方形都是矩形③④至少有一个实数使（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】AB能力提升训练1. 【辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第一次模拟考试数学试题，文9】下列命题正确的个数是①“在三角形中，若,则”的否命题是真命题；②命题或，命题则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”.A.0B.1C.2D.3【答案】D2．已知：函数有两个零点，：，．若若为真，则实数的取值范围为（）A．B．C． D．【答案】C3．【xx届四川省泸州市高三上学期模拟】已知命题：，，命题：，，则下列说法中正确的是（）A、命题是假命题B、命题是真命题C、命题是真命题D、命题是假命题【答案】C4．【江西师大附中xx届高三年级10月测试试卷理】若“，使”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】5．【xx安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】已知命题：“是”的充分必要条件”；命题：“存在，使得”，下列命题正确的是（）(A)命题“”是真命题(B)命题“”是真命题(C)命题“”是真命题(D)命题“”是真命题【答案】BC 思维拓展训练1．【xx届广州市高三毕业班】已知命题：，，命题：，使，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】C2．【四川省成都七中高xx届高三“一诊”模拟考试数学（理）】已知命题；命题则下列命题中真命题是（）A B C D【答案】D3．【湖北省稳派教育xx届高三上学期强化训练（四）】下列命题是真命题的是（）A. B.C. 的充要条件是D. 若为假，则为假【答案】A4．【xx年学易第二次大联考】下列判断错误的是（）A．函数的值域为，则实数的取值范围为B．命题“”的否定是“ ”C．若均为假命题，则为假命题D．若，则【答案】D5．【xx届山东省文登市高三上学期第一次模拟】下列四个命题其中的真命题是（）A.，B.,C.,D.,【答案】C.>24358 5F26 弦38199 9537 锷L_22041 5619 嘙,38477 964D 降38561 96A1 隡35074 8902 褂WwG32757 7FF5 翵39985 9C31 鰱。

考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词此考点重点考查方向主要体现在： 1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义. （2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”； 用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”； 对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定： p q p ⌝q ⌝p q ∨ p q ∧ ()p q ⌝∨ ()p q ⌝∧ ()()p q ⌝∨⌝ ()()p q ⌝∧⌝真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假假真真假假真真真真3．必记结论含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ⌝真假性相反．注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词量词名称 常见量词符号表示全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.全称命题“()x A p x ∀∈，” 特称命题“()00x A q x ∃∈， ” 表述方法对所有的()x A p x ∈，成立 存在()00x A q x ∈，成立 对一切()x A p x ∈，成立至少有一个()00x A q x ∈，成立 对每一个()x A p x ∈，成立 对有些()00x A q x ∈，成立 任选一个()x A p x ∈，成立 对某个()00x A q x ∈，成立 凡x A ∈，都有()p x 成立有一个0x A ∈，使()0q x 成立3．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝考向一 判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >；q ：“4ab >”是“2a >，2b >”的充分不必要条件.下列命题p q ∧，p q ∨，p q ∧⌝，p q ⌝∧⌝中，假命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >，是假命题，例如取x =2时，2 2x x =；命题q :由2a >，2b >可以推出4ab >；反之不成立，例如a =2，b =4，所以“4ab >”是“2a >，2b >”的必要不充分条件，是假命题，所以是真命题的是p q ⌝∧⌝，其他均为假命题. 所以假命题的个数是3个，故选C.【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2＋y 2＝0是x ＝0且y ＝0.1．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1x ≥2；命题q ：∃x 0∈π[0,]2，使sin x 0+cos x 02，则下列命题中为真命题的是A ．p ∨(⌝q )B ．p ∧(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．(⌝p )∧q考向二 判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)m m f x m x-+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B【解析】对于选项A ，如当==0αβ时，sin()sin sin ,αβαβ+=+所以选项A 的命题为真命题； 对于选项B ，当2,2k k ϕπ=π+∈Z时，函数ππsin(22π)sin(2)22x k x =++=+ cos2x =是偶函数，因此选项B 中的命题为假命题；对于选项C ，如当2m =时，11()=f x x x-=，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以选项C 中的命题为真命题；对于选项D ，当()0f x =时，2ln ln 0x x a +-=，则22111ln ln (ln )244a x x x =+=+-≥-，所以0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点，所以选项D 中的命题为真命题.()sin(2)f x x ϕ=+【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．已知命题“x ∃∈R ，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________. 3．设a ∈R ，命题p ：∃x []1,2∈，满足()110a x -->,命题q ：∀x ∈R ，210x ax ++>. （1）若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；（2）()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围．考向三 含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3 命题“存在实数x 0,使x 0>1”的否定是 A ．对任意实数x,都有x >1 B ．不存在实数x 0,使x 0≤1 C ．对任意实数x,都有x ≤1 D ．存在实数x 0,使x 0≤1【答案】C【解析】“存在实数x 0”改成“对任意实数x ”；“x 0>1”改成“1x ≤”， 则命题“存在实数x 0,使x 0>1”的否定是：对任意实数x,都有x ≤1.故选C.4．已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p⌝为 A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x-< D ．00x ∀≤，10x x-≥1．若“()p q ⌝∧”为真命题，则 A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题2．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a x f x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是 A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧3．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是 A ．所有偶函数的图象不关于y 轴对称 B ．存在偶函数的图象关于y 轴对称 C ．存在一个偶函数的图象不关于y 轴对称 D ．不存在偶函数的图象不关于y 轴对称 4．已知集合{}228A x x x =-≤,2,0B ,下列命题为假命题的是A ．00,x A xB ∃∈∈ B ．00,x B x A ∃∈∈C ．,x A x B ∀∈∈D ．,x B x A ∀∈∈5．已知命题:p 0x ∃∈R ，002lg x x ->；命题:q π02x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，，1sin 2sin x x +>，则A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题6．已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝7．已知命题“x ∃∈R ，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-8．下列命题中的假命题是 A ．x ∀∈R ，120x -> B ．x ∀∈*N ，()210x -> C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =9．已知命题2000:,20p x x x a ∃∈++≤R ，命题1:0,q x x a x∀>+>，若p 假q 真，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．(,2]-∞C ．(1,2)D ．(1,2]-10．下列命题错误的是A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件11．命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为__________．12．能够说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题的一个x 值为__________．13．设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为π．命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称．则下列结论中真命题的序号是__________． ①p ；②q ；③p q ∧；④p q ∨；⑤q ⌝．1．【2016浙江理科】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <2．【2017年高考山东理数】已知命题p ：0,ln(1)0x x ∀>+>；命题q ：若a ＞b ，则22a b >，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝3．【2018北京理科】能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．4．【2015山东理科】若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤，”是真命题，则实数m 的最小值为__________________． 5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧ ②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝1．【答案】D【解析】对于命题p ：当x ≤0时，x+1x≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题； 对于命题q ：当x 0=4π时，sin x 0+cos x 02，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题． 故答案为D.【点睛】先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假.(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 2．【答案】14m ≥【解析】若命题“x ∃∈R ，210mx x -+<”是假命题，则“x ∀∈R ，210mx x -+≥”为真命题， 则只需满足0140m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得14m ≥.故答案为：14m ≥. 【点睛】本题考查命题的真假与参数的取值范围求解问题，较易，解答时只需要利用等价命题转化为二次不等式的恒成立问题即可.利用原命题的等价命题进行转化求解，即原命题为假，则其否定为真.3．【解析】(1)p 真，则()102110a a ->⎧⎨-->⎩或()101110a a -<⎧⎨⋅-->⎩得32a >；q 真，则240a -<，得22a -<<，p q ∴∧真，322a <<.(2)由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真p ⇒、q 同时为假或同时为真，变式拓展若p 假q 假，则3,222a a a ⎧≤-⎪⎨⎪≤-≥⎩或 得2a ≤-，若p 真q 真，则3222a a ⎧>⎪⎨⎪-<<⎩，所以，322a << 综上2a ≤-或322a <<．故a 的取值范围是(]3,2,22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．分别求出命题p ，q 成立的等价条件， （1）然后根据若p 、q 为真命题，列式计算，（2）由（￢p ）∧q 为假，（￢p ）∨q 为真⇒p 、q 同时为假或同时为真，分别求出实数m 的取值范围即可． 4．【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题， 故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<. 故选：A ．【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．1．【答案】D 【解析】 【分析】由“()p q ⌝∧”为真命题，可得p q ∧为假命题，进而可得结果. 【详解】考点冲关因为“()p q ⌝∧”为真命题，所以p q ∧为假命题，所以p 、q 中至多有一个为真命题.故选D.【点睛】本题主要考查复合命题的真假，属于基础题型.2．【答案】A【解析】【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a x a x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选A.【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 3．【答案】C【解析】【分析】首先对原命题补充全称量词，其否定再改写为特称命题即可.【详解】“偶函数的图象关于y 轴对称”等价于“所有的偶函数的图象关于y 轴对称”，根据全称命题进行否定规则，全称量词改写为存在量词，条件不变，否定结论.所以原命题否定是“存在一个偶函数的图象不关于y 轴对称”.故选C .【点睛】本题考查对命题进行否定.对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．4．【答案】C【解析】【分析】先求解集合A ,再根据集合间的关系以及全称与特称量词的性质辨析即可.【详解】{}()(){}{}228|420|24A x x x x x x x x =-≤=-+≤=-≤≤.又2,0B，故当x A ∈时不一定有x B ∈，故,x A x B ∀∈∈不正确.故选C .【点睛】 本题主要考查了二次不等式的求解以及集合间的基本关系,同时也考查了全称与特称量词的性质运用.属于基础题.5．【答案】B【解析】【分析】根据特殊值，判定p 是真命题；根据基本不等式，判定q 为真命题；【详解】若03x =，则32g3l ->，所以命题p 是真命题； 又π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()sin 0,1x ∈， 11sin 2sin 2sin sin x x x x+≥⋅=，当且仅当1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立， 因为()sin 0,1x ∈，所以1sin 2sin x x +>，即命题q 为真命题； 故选B.【点睛】本题主要考查判断复合命题的真假，属于基础题型.6．【答案】D【解析】【分析】先判断命题,p q 的真假，根据复合命题的真假判断法则可得正确的选项.【详解】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形，如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题.故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．7．【答案】B【解析】【分析】 原命题等价于212(1)02x a x +-+>恒成立，故2()114202a ∆=--⨯⨯<即可，解出不等式即可. 【详解】因为命题“x ∃∈R ，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.8．【答案】B当x =1时，（x -1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B ．9．【答案】C【解析】【分析】由命题p 为假命题，得2,20x x x a ∀∈++>R 为真命题，根据根的判别式可求得1a >；由命题q 为真命题，根据基本不等式得出1122x x x x+≥⋅=，从而求得实数a 的取值范围. 【详解】 命题0:p x ∃∈R ，20020x x a ++≤为假命题，则2,20x x x a ∀∈++>R 为真命题，满足2240a ∆=-<，解得1a >； 命题1:0,q x x a x ∀>+>为真命题，由112x x x x+≥⋅=，当且仅当1x =时等号成立，可知2a <， 故实数a 的取值范围为(1,2)，故选C.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围的问题，属于基础题.10．【答案】B【解析】【分析】由复合命题的真假结合充分条件，必要条件的概念可判断A ，B ，D ，由命题否定的概念可判断C.【详解】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确；【点睛】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.11．【答案】()1,x ∀∈+∞，22x x +>【解析】【分析】根据特称命题的否定形式及定义即可得解.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为“()1,x ∀∈+∞，22x x +>”.故答案为：()1,x ∀∈+∞，22x x +>.【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于基础题.12．【答案】3【解析】【分析】取3x =代入验证即可得到答案.【详解】因为*3x =∈N ，而3223<，∴说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题．故答案为：3.【点睛】本题考查命题与简易逻辑，属于基础题．13．【答案】①④⑤【解析】【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【详解】由于函数sin 2y x =的最小正周期为π，故命题p 是真命题；函数cos y x =的图象关于直线x k π=对称，k Z ∈，故q 是假命题．结合复合命题的判断规则知：p q ∧为假命题，p q ∨为是真命题，q ⌝为真命题．故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，属于基础题． 1．【答案】D 【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2．【答案】B【解析】由0x >时11,x +>得ln(1)0x +>，知p 是真命题.由12,->-但22(2)(1)->-可知q 是假命题，则p q ∧⌝是真命题.故选B.【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非的真值表，进一步作出判断.3．【答案】y =sin x （答案不唯一） 【解析】令()(]0,04,0,2x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.【名师点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使()0p x 不成立即直通高考可.通常举分段函数.4．【答案】1【解析】若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤，”是真命题，则max ()m f x ≥，其中()tan f x x ＝，[0,].4x π∈ ∵函数()tan f x x ＝，[0,]4x π∈的最大值为1，∴1m ≥，即m 的最小值为1.5．【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.。

第 3 讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词、知识梳理1 •简单的逻辑联结词(1) 常用的简单的逻辑联结词有“或”二'且”二昌’.⑵命题p A q、p V q、「p的真假判断(1) 全称量词和存在量词1 •含逻辑联结词命题真假的判断(1)p A q中一假则假，全真才真.(2) p V q中一真则真，全假才假.(3) p与「p真假性相反.2.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.(2) 否定结论：对原命题的结论进行否定.、习题改编1. (选修1-1P26A组. € , + WT3改编)命题“ ？ x€ R , x2+ x>0”的否定是() . € , + W解析：选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.故选B.2. (选修1-1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题「「q，p V q, p A q中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选B.p和q显然都是真命题，所以「p,「q都是假命题,p V q, p A q都是真命题.选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 命题p A q为假命题，则命题p、q都是假命题.()(2) 命题p和「p不可能都是真命题.()(3) 若命题p、q至少有一个是真命题，则p V q是真命题.()(4) 写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词. ()⑸？ x o€ M , p(x o)与？ x€ M ,「p(x)的真假性相反.()答案：(1)X (2) V (3) V (4) V (5) V二、易错纠偏常见误区(1)全称命题或特称命题的否定出错；(2)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误.1. 命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是_________________________________答案：存在两个全等三角形的面积不相等p ,2. 已知命题“若ab = 0,贝U a= 0或b = 0”，则其否命题为____________解析："a= 0或b = 0”的否定为"a丰0且b丰0”.答案：若ab工0,贝U a工0且0全称命题、特称命题（多维探究）角度一全称命题、特称命题的真假若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A . ? x€ R, f(- x)工f(x)B. ? x€ R, f( —x) = - f(x)C. ? x o €R, f(—x o)丰 f(x o)D . ? x o €R, f( —x o) = —f(x o)【解析】由题意知？ x€ R, f(—x)= f(x)是假命题，则其否定为真命题，即？ x o € R , f(—X O)M f(x o)是真命题，？ x o € R, f( —x o) = —f(x o)是假命题.【答案】C全称命题与特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x= x o,使得p(x o)不成立即可(这就是通常所说的“ 举出一个反例”)．(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x= x o,使p(x o)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题.角度二全称命题、特称命题的否定已知命题p：? m€ R, f(x) = 2x—mx 是增函数，则「p为()A . ? m€ R , f(x)= 2x—mx 是减函数B. ? m€ R, f(x)= 2x—mx 是减函数C. ? m€ R, f(x)= 2x—mx 不是增函数D. ? m€ R , f(x)= 2x—mx 不是增函数【解析】由特称命题的否定可得「p为“？ m€ R, f(x) = 2x—mx不是增函数”答案】D全称命题与特称命题的否定,再对量词进行确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定.角度三与全（特）称命题有关的参数问题（2020宁夏石嘴山期中）若命题“ ？ t €R, t2- 2t- a<0”是假命题，则实数a的取值范围是_________ .【解析】因为命题“ ? t € R, t2-2t - a<0 ”为假命题，所以命题“ ？t € R, t2-2t - a> 0” 为真命题，所以△= （- 2）2- 4X 1 x （—a）= 4a+ 4< 0,即a< - 1.【答案】（—3—1]将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题从而根据函数性质、不等式等内容解决.1. (2020甘肃静宁一中三模)下列命题正确的是()A . ? x o € R, x0 + 2x o + 3 = 0B. x>1是x2>1的充分不必要条件C. ? x€ N，x3>x2D. 若a>b,则a2>b2解析：选 B.对于x2+ 2x+ 3 = 0, A=- 8<0,故方程无实根，即？ x o € R , x o+ 2x o + 3 = 0错误，即A错误；x2>1 ? x< —1或x>1 ,故x>1是x2>1的充分不必要条件，故B正确；当x< 1时，x3< x2,故？x€ N , x3>x2错误，即C错误；若a = 1, b = —1,则a>b,但a2= b2,故D错误.故选B.2 . (2020河南商丘模拟)已知f(x) = sin x—x,命题p: ? x€ 0, n , f(x)<0,则()A . p是假命题，「p: ? x€n0, 2，f(x)》0B . p是假命题，「p: ? x€n0, 2，f(x) > 0C . p是真命题，—> p: ? x€n0, 2，f(x) > 0D . p是真命题，—p: ? x€n0, 2，f(x)》0解析：选C.易知『刈= cos x—1<0,所以f(x)在0, n上是减函数，因为f(0) = 0,所以f(x)<0, 所以命题p: ? x€n0, 2,f(x)<0是真命题，—p:n? x€ 0, - , f(x)>0,故选C.含有逻辑联结词的命题的真假判断（师生共研）（2020河北衡水中学3月大联考）已知命题p：? x€ R, |x + 1|>x;命题q："m W 1 ”是"函数f（x）= x2—（m+ 1）x—m2在区间（1, + m）内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为（）A . p A q B. （「p）A qC. （「p）V qD. p A （「q）【解析】因为x+ 1|>x,对x€ R成立，故p为真命题；因为函数f（x）= x2—（m+ 1）•m + 1—m2在区间（1, +s）内单调递增，所以—厂< 1,即m W 1,故应为充要条件，故q为假命题，所以p A q, （「p）A q, （「p）V q均为假命题,p A（「q）为真命题,故选D.【答案】D⑴“p V q”“ p A q”“「p”等形式命题真假的判断步骤①确定命题的构成形式；②判断其中命题p，q 的真假；③确定“p V q”“p A q”“「p”等形式命题的真假.（2）含逻辑联结词命题真假的等价关系①p V q真？ p, q至少一个真？（「p）A （「q）假；②p V q 假？ p, q 均假？（「p）A （「q）真；③p A q 真？ p, q 均真？（「p）V （「q）假；④p A q假？ p, q至少一个假？（「p）V （「q）真；⑤」p真? p 假; 「p假? p 真.1. （2020宁夏石嘴山三中一模）已知命题p：? x€ R, sin x>1，命题q：? x€ （0, 1）, In x<0,则下列命题中为真命题的是（）A . p A q B. p A （「q）C. P V （「q）D. （「P）A q解析：选D.因为—1< sin x< 1,故命题p是假命题，易知命题q是真命题,故p A q为假，pA（「q）为假，p q）为假，（「p）A q为真，故选D.2. 已知命题p："若x2—x>0，则x>1”；命题q：“若x, y€ R, x2+ y2= 0，则xy= 0”.下列命题是真命题的是（）A. p V （「q）B. p V qC. p A qD. （「p）A （「q）解析：选B.若x2—x>0，则x>1或x<0,故p是假命题；若x, y€ R , x2+ y2= 0,则x=0, y= 0, xy= 0,故q是真命题.则p V q是真命题，故选B.由命题的真假确定参数的取值范围（典例迁移）已知p :存在x o € R, mx2+ K 0, q : 任意x€ R, x2+ mx+ 1>0,若p或q为假命题，求实数m的取值范围.【解】依题意知p, q均为假命题，当p是假命题时，mx2+ 1>0恒成立，则有m》0;m > 0, 当q是真命题时，则有△= m2- 4<0,即—2<m<2.因此由p, q均为假命题得m< —2或m》2, 即m》2.所以实数m的取值范围为［2 , +R）.【迁移探究1】（变结论）本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________ .解析：依题意知p, q均为真命题,当p是真命题时，有m<0;当q是真命题时，有―2<m<2,m<0,由可得一2<m<0.—2<m<2,答案：（一2, 0）【迁移探究2】（变结论）本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为_______________ .解析：若p且q为假，p或q为真，则p, q 一真一假.m<0,当p真q假时所以m< —2;m》2 或m W—2, m》0,当p假q真时所以O W m<2.—2<m<2,所以实数m的取值范围是(—s,—2] U[0, 2).答案：(— s,—2] U [0 , 2)【迁移探究3】(变条件)本例中的条件q变为：存在x o€ R , x2+ mx o+ 1<0 ,其他不变, 则实数m的取值范围为 ______________ .解析：依题意，当q是真命题时，A= m2—4>0,所以m>2或m<—2•由题意知，p, q均为假命题,m> 0,所以得O w m W 2,—2W m W 2,所以实数m的取值范围是[0, 2].答案：[0, 2]根据命题真假求参数的步骤(1) 先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况).(2) 然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围.(3) 最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.[注意]要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2),由于p和q —真一假，因此需分p 真q假与p假q真两种情况讨论求解.(2020河南师范大学附属中学开学考) 已知命题p:“？ x€ [0,1], a>e x”，命题q：“？ x€ R, x2+ 4x+ a = 0”，若命题“ p A q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( )A. (4,+^ )B. [1 , 4]C. (—R, 1]D. [e, 4]解析：选D.命题p等价于In a>x对x€ [0, 1]恒成立，所以In a> 1,解得a>e;命题q等价于关于x的方程x2+ 4x+ a= 0有实根，则△= 16—4a> 0,所以a< 4•因为命题“p A q”是真命题,所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e, 4],故选D.[基础题组练]1 .已知命题p：? X0>1 , x0—1>0,那么「p是（）A. ? x>1 ，x2—1>0B. ? x>1, x2—1W 0C. ? X0>1 , x o—1 W 0D . ? x o W 1, x0—1W 0解析：选B.特称命题的否定为全称命题，所以「p：? x>1, x2—1W 0.2. 已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A .命题p是假命题B .命题p是特称命题C .命题p是全称命题D .命题p既不是全称命题也不是特称命题解析：选C•本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断.命题p：实数的平方是非负数，是真命题,命题p是全称命题,故选C.3. (2020吉林第三次调研测试)已知命题p, q，则"「p为假命题”是"p V q为真命题” 的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.若「p为假命题，则p为真命题，则p V q为真命题；若p V q为真命题,则p, q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定「p为假命题.即p为假命题”是“p V q为真命题”的充分不必要条件.故选 A.4. (2020 •宁五校协作体联考)已知命题“ ？ x€ R, 4x2+ (a—2)x+寸W0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(―汽0)B. [0, 4]C. [4 ,+s )D. (0, 4)1解析：选D•因为命题“？ x€ R,4x2+ (a—2)x +詐0”是假命题，所以其否定“？ x€ R,1 14x2+ (a —2)x+ 4>0” 是真命题，贝U A= (a—2)2— 4 x 4X 4= a2—4a<0,解得0<a<4 ,故选 D.5•命题p的否定是“对所有正数x, x>x+ 1”，则命题p可写为 _______________________ .解析：因为p是「p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可.答案：？ x o€ (0,+8 ), .x o W x o+ 16.已知命题p：x2+ 4x+ 3>0, q: x€ Z,且“ p A q”与“「q”同时为假命题，则x解析：若p为真，则x> —1或x W —3,。

课时分层训练(三) 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )【导学号：57962017】A ．p 为真B ．﹁p 为假C ．p 且q 为假D ．p 且q 为真C [p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．]2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )A ．p 或qB ．p 或(﹁q )C ．(﹁p )且(﹁q )D ．(﹁p )或(﹁q )D [“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p 且q ，而p 且q 的否定是(﹁p )或(﹁q )．]3．(2017·南昌二模)命题“对任意x ∈(1，＋∞)，都有x 3＞x 13”的否定是( )【导学号：57962018】A ．存在x ∈(－∞，1]，使x 3＜x 13B ．存在x ∈(1，＋∞)，使x 3＜x 13C ．存在x ∈(－∞，1]，使x 3≤x 13D ．存在x ∈(1，＋∞)，使x 3≤x 13D [根据全称命题的否定为特称命题，得命题的否定为“存在x ∈(1，＋∞)，使x 3≤x 13”，故选D.]4．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p 且qB ．(﹁p )且(﹁q )C ．(﹁p )且qD ．p 且(﹁q )D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p 且q ，﹁p 为假命题，﹁q 为真命题，(﹁p )且(﹁q )，(﹁p )且q 为假命题，p 且(﹁q )为真命题，故选D. ]5．下列命题中为假命题的是( )A ．任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x ＞sin x B ．存在x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．任意x ∈R,3x ＞0D ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0B [对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．]6．(2017·广州调研)命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若﹁p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题﹁p ：存在x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.] 7．(2017·邯郸市质检)已知命题p ：存在x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：任意x ∈R ，x 2＞0，则( )A ．命题p 或q 是假命题B ．命题p 且q 是真命题C ．命题p 或(﹁q )是假命题D ．命题p 且(﹁q )是真命题D [当x ＝3时，x －2＝1＞lg 3＝lg x ，所以命题p 为真命题，当x ＝0时，x 2＝0，所以命题q 是假命题，所以﹁q 为真命题，即命题p 且(﹁q )是真命题，其余3个命题为假命题．]二、填空题8．命题“存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sin x ”的否定是________． 任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 9．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且(﹁q )”是假命题；③命题“(﹁p )或q ”是真命题；④命题“(﹁p )或(﹁q )”是假命题．其中正确的是________(填序号)①②③④ [命题p ，q 均为真命题，则﹁p ，﹁q 为假命题．从而结论①②③④均正确．]10．已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________.【导学号：57962019】[e,4] [由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4，综上知e≤a≤4.]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：任意x∈R,2x＜3x；命题q：存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p且q B．﹁p且qC．p且﹁q D．﹁p且﹁qB[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：任意x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴q：存在x∈R，x3＝1－x2是真命题．∴p且q为假命题，排除A.∴﹁p为真命题，∴(﹁p)且q是真命题，选B.]2．(2016·浙江高考)命题“任意x∈R，存在n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．任意x∈R，存在n∈N*，使得n<x2B．任意x∈R，任意n∈N*，使得n<x2C．存在x∈R，存在n∈N*，使得n<x2D．存在x∈R，任意n∈N*，使得n<x2D[由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“任意x∈R，存在n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“存在x∈R，任意n∈N*，使得n<x2”．]3．(2017·长沙质检)已知下面四个命题：①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；③命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则﹁p：任意x∈R，都有x2＋x ＋1≥0；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中为真命题的是________．(填序号)①②③ [①正确．②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]4．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上递减，q ：设函数y ＝⎩⎨⎧ 2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，函数y ＞1恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，则a 的取值范围是________．【导学号：57962020】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1 [若p 是真命题，则0＜a ＜1，若q 是真命题，则y min ＞1，又y min ＝2a ，∴2a ＞1，∴q 为真命题时，a ＞12.又∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则0＜a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.故a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1.]。

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬p，(4)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断真值表p q ¬p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x).2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0). 3．含有一个量词的命题的否定(1)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬q).重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列判断正确的是(ABD)A．命题“2021≥2020”是真命题B．命题p和¬p不可能都是真命题C．“全等三角形的面积相等”是特称命题D．命题¬ (p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是(C)A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p ∧q中真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三考题再现4．(2019·全国卷Ⅲ，5分)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D ．命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②(¬p )∨q ③p ∧(¬q ) ④(¬p )∧(¬q ) 这四个命题中，所有真命题的编号是( A ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④[解析]方法一：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧(¬q )正确．故选A ．方法二：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7,0)，点(7,0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7,0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧(¬q )正确．故选A ．5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1.[解析] 由已知可得m ≥tan x (x ∈[0，π4])恒成立．设f (x )＝tan x (x ∈[0，π4])，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f (π4)＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m 的最小值为1.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示(D) A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米(2)若命题“p∨q”是真命题，“¬p”为真命题，则(B)A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(3)(多选题)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为假命题的是(ACD)A．p∧q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)(4)(2020·四川成都双流中学模拟)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(A)A．(¬p)∨(¬q)为真命题B．p∨(¬q)为真命题C．(¬p)∧(¬q)为真命题D．p∨q为真命题[解析](1)因为命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，所以命题p∨q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”，故选D．(2)“¬p”为真命题，所以p为假命题；又因为命题“p∨q”是真命题，所以q为真命题．(3)∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0，∴命题p为真命题．当a＝1，b＝－2时，a>b成立，但a2>b2不成立．∴命题q为假命题．∴命题p∧(¬q)为真命题，其余三个都是假命题．故选A 、C 、D ．(4)∵命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题¬p 是“第一次射击没击中目标”，命题¬q 是“第二次射击没击中目标”，∴命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”是(¬p )∨(¬q )，故选A ．名师点拨 ☞“p ∨q ”“p ∧q ”“ ¬p ”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式． (2)判断其中命题p 、q 的真假．(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“ ¬p ”等形式命题的真假．p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 中，p 、q 有一真为真，p 与¬p 必定是一真一假．考点二 含有一个量词的命题——多维探究角度1 全称命题、特称命题的真假例 2 (多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD )A ．∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1[解析] 对于A ，由同角三角函数和平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．角度2 含一个量词的命题的否定例 3 (1)(2020·湖北部分重点中学高三测试)已知p ：∃x 0∈R,3x 0<x 30，那么¬p 为( C )A ．∀x ∈R,3x <x 3B ．∃x 0∈R,3x 0>x 30C ．∀x ∈R,3x ≥x 3D ．∃x 0∈R,3x 0≥x 30。

高考数学一轮复习：课时作业3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[基础达标]一、选择题1．[2020·吉林长春模拟]设命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1，⌝p是( )A．∀x∈(0，＋∞)，ln x>x－1B．∀x∈(－∞，0]，ln x>x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1D．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≤x0－1解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1的否定⌝p：∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1.故选C项．答案：C2．[2020·芜湖、马鞍山联考]已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：∀x∈R，e x>x，则( )A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(⌝q)是真命题 D．命题p∨(⌝q)是假命题解析：显然，当x＝10时，x－2>lg x成立，所以命题p为真命题．设f(x)＝e x－x，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)≥f(0)＝1>0，所以∀x∈R，e x>x，所以命题q为真命题．故命题p∧q是真命题，故选B项．答案：B3．[2020·山东芮城检测]在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为( )A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q)C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为⌝p，“乙测试成绩不优秀”可表示为⌝q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为(⌝p )∨(⌝q )．故选A 项．答案：A4．[2020·西藏拉萨中学月考]下列命题中是真命题的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1” B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 C ．命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，则⌝p ：∀x ∈R ，sin x ≤1D ．“φ＝2k π＋π2(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件解析：对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1”，A 项错误；对于B ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，B 项错误；对于C ，命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1，则⌝p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，C 项正确；对于D ，φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，充分性成立．函数y ＝sin(2x＋φ)为偶函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )，必要性不成立，不是充要条件，D 项错误．故选C项．答案：C5．[2020·唐山考试]已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则( )A ．(⌝p )∨q 为真命题 B ．p ∨q 为真命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∧(⌝q )为假命题解析：由函数y ＝2x是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当x ＋1≥0，即x ≥－1时，|x ＋1|＝x ＋1>x ；当x ＋1<0，即x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，由－x －1≤x ，得x ≥－12，无解，因此命题q 是假命题．所以(⌝p )∨q 为假命题，A 项错误；p ∨q 为真命题，B 项正确；p ∧q 为假命题，C 项错误；p ∧(⌝q )为真命题，D 项错误．选择B 项．答案：B6．[2020·安徽芜湖两校联考]已知命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．⌝p解析：x ＝π3，y ＝5π6，则sin x >sin y ，但x <y ，所以命题p 是假命题；由(x －y )2≥0可知命题q 是真命题．所以⌝p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．故选B 项．答案：B7．[2020·荆州调研]已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨(⌝q )，则其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在方程x 2－2ax －1＝0中，由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题．所以p ∨q ，p ∧(⌝q )，(⌝p )∨(⌝q )是真命题，故选C 项．答案：C8．[2020·福建三校联考]若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R,3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.故选C 项．答案：C9．[2020·湖南湘东五校联考]已知命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞) D．(0,4)解析：因为命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以否定形式为“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.答案：D10．[2020·广东汕头模拟]已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x－a >0.若“⌝p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2,1] C ．(1,2) D ．(1，＋∞)解析：方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2；∀x >0,2x－a >0等价于a <2x在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“⌝p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C.答案：C 二、填空题11．[2020·石家庄高中毕业班模拟考试(一)]命题：∃x 0≥1，x 20－2x 0－3<0的否定为________．解析：特称命题的否定是全称命题，则命题的否定为∀x ≥1，x 2－2x －3≥0. 答案：∀x ≥1，x 2－2x －3≥012．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m <x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”) 解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，因此只需m 2－m <34，即－12<m <32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m <x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真13．[2020·陕西西安模拟]已知下列命题：①∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1； ③∀x ∈R,2x＋12x >2；④∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x 0>sin x 0. 其中真命题为________．解析：对于①，当x ＝π4时，sin x ＋cos x ＝2，所以此命题为真命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，所以此命题为真命题；对于③，因为2x>0，所以12x ＋2x≥212x ×2x ＝2，当且仅当12x ＝2x，即x ＝0时等号成立，所以此命题为假命题；对于④，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0<sin x ，所以此命题为假命题．综上，真命题为①②.答案：①②14．[2019·山东德州期中]已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：⌝p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，若⌝p 为真，则m ≥0，所以p 为真，则m <0.若q 为真，则m 2－4<0，－2<m <2.若p ∧q 为真命题，则{m |m <0}∩{m |－2<m <2}＝{m |－2<m <0}，即实数m 的取值范围是(－2,0)．答案：(－2,0)[能力挑战]15．[2020·贵州贵阳模拟]已知命题p ：∀x ∈R,2x<3x，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(⌝p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 解析：因为⌝p ：∃x ∈R,2x ≥3x，要使(⌝p )∧q 为真命题，所以⌝p 与q 同时为真命题．由2x ≥3x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ≥1，所以x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，所以x ＝1或x ＝－2.又x ≤0，所以x ＝－2.故选D 项．答案：D16．[2020·安徽定远重点中学月考]若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，所以Δ＝m 2－4(2m －3)≤0，解得2≤m ≤6，则实数m 的取值范围是[2,6]．答案：[2,6]17．[2020·湖南长沙质检]已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若p 为真命题，则由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集为{x |x <0}，知0<a <1； 若q 为真命题，则由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a ≥1或0<a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。

2021年新高考数学总复习第一章《集合与常用逻辑用语》第3节全称量词与存在量词、
逻辑联结词“且”“或”“非”
考试要求 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与
.
存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.
(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断
p q p且q p或q 非p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2.
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
3.全称命题和特称命题
名称全称命题特称命题
结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)
否定存在x0∈M，非p(x0)任意x∈M，非p(x)
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p
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联结词、全称量词与存在量词1．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p为假命题，綈q为真命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题．答案：D2．已知命题p1：∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0；p2：∀x∈[1,2]，x2－1≥0，以下命题为真命题的是( )A．(綈p1)∧(綈p2) B.p1∨(綈p2)C．(綈p1)∧p2 D.p1∧p2解析：∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x2＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．答案：C3．命题p ：若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题 B.“p 或q ”是假命题 C ．綈p 为假命题 D.綈q 为假命题 解析：∵当a·b ＞0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角， ∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，综上可知，“p 或q ”是假命题．答案：B4．[xx ·河北衡水中学期中]设命题p ：函数y ＝1x在定义域上为减函数；命题q ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b＝3，以下说法正确的是( )A ．p ∨q 为真 B.p ∧q 为真 C ．p 真q 假 D.p ，q 均假解析：y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在定义域上不是减函数，所以命题p 假；1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以1a ＋1b ＝3不成立，即命题q 假，故选D.答案：D5．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )A．a＝1或a≤－2 B.a≤－2或1≤a≤2C．a≥1 D.－2≤a≤1解析：若命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.若命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题，所以a＝1或a≤－2.答案：A6．已知命题p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p ∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2 B.m≤－2C．m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2解析：若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0与綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.答案：A7．已知命题：p：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；1p：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数；2则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )A．q1，q3 B.q2，q3C．q1，q4 D.q2，q4解析：∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R 上是增函数，p1为真，p2为假，故q1：p1∨p2为真，q2：p1∧p2为假，q3：(綈p1)∨p为假，q4：p1∧(綈p2)为真，故真命题是q1，q4，故选C.2答案：C8．已知命题p：“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是__________(用区间表示)．解析：若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解．由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.答案：(－∞，1]9．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1＜x ＜2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是__________．解析：因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是真命题，命题“(綈p )∨q ”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．答案：②④10．已知命题p ：复数a ＋i1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点在第二象限，命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)·x ＋1与x 轴没有交点．若“p ∨q ”为真，求实数a 的取值范围．解析：若命题p 为真，由a ＋i 1＋i＝a ＋i1－i2＝a ＋1＋1－a i2在复平面上对应的点在第二象限得⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，故a ＜－1.若命题q 为真，则(2a－3)2－4＜0，即12＜a ＜52.又“p ∨q ”为真，则p ，q 至少有一个为真，故a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.B 级 能力提升练11．下列命题中是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点解析：对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m－1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案：B12．设有两个命题p ：不等式e x 4＋1e x ＞a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．1≤a ＜2B.2＜a ≤73C ．2≤a ＜73D.1＜a ≤2解析：记A ＝{a |不等式e x4＋1ex ＞a 的解集为R }；B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}． 由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a ＜1}．又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数， 故7－3a ＞1，即a ＜2，所以B ＝{a |a ＜2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁RB )∩A ]，而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)， (∁R B )]∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅， 因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A. 答案：A13．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．解析：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1. ∵c ＞0且c ≠1，∴綈p ：c ＞1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12.∵c ＞0且c ≠1， ∴綈q ：c ＞12且c ≠1.又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩{c |c ＞12，且c ≠1}＝{c |12＜c ＜1}；②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩{c |0＜c ≤12}＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是{c |12＜c ＜1}．14．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0. 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，1＜x ＜3. 由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎨⎧ －2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，即2＜x ≤3.所以q 为真时，2＜x ≤3. 若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3⇔2＜x ＜3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x ＞3}， 因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0＜a ≤2且3a ＞3，即1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．X/21271 5317 北36899 9023 連n35475 8A93 誓33773 83ED 菭z26267 669B 暛 U31903 7C9F 粟22526 57FE 埾。