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第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案

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周培源力学 竞赛资料

周培源力学 竞赛资料

全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）Ⅰ.理论力学(一)静力学(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。

掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。

能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。

掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。

能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。

能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。

会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。

(二)运动学(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。

能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。

能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(三)动力学(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。

了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2)掌握刚体转动惯量的计算。

了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。

了解其两类动力学基本问题的求解方法。

(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。

全国周培源大学生力学竞赛辅导往届竞赛题研讨

全国周培源大学生力学竞赛辅导往届竞赛题研讨

A
O
假设系统在同一竖直平面内
Pi
(如图所示)，不考虑摩擦。圆弧 AB的半径为R，B点与地面的高度 为H。均质细杆CD的质量为M，
B
C
E
H
D
长为L=0.5H，悬挂点C与B 处于
同一水平位置，BC距离为S。小
S
球Pi 质量均为m，不计半径，小球Pi 与CD杆或地面碰撞的恢复 因数均为ei，且满足 ei i /9 (i=0,1,2,…,9)。
其中，然后小心地把贴有纸片的O1 球静止放在板上(接触点 为B点)，同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球O1竟然真 的可以一直稳稳地停留在板上B点。
在观众的掌声中，魔术师撤走了O1 球，把O2 球拿了起 来。“这个水晶球不太听话，
我的魔力只能管1分钟” 魔
术师说完把O2 球转了转，
O2
然后更加小心地把O2 球也
C
E
H
D
x
S
mg
mx0 mymg
x0 y g
小球P1 在 x 方向作匀速运动，在 y 方向作匀加(减)速运动。
x0 x vB
x vBt
y g y gt y H1 gt2
2
A
O
Pi
y BvB
C
E
H
D
小球P1 如何击中杆上的D点？ 直接撞击杆？
x
S
先与地面碰撞， 后回跳时撞击杆？
链接
P1直接与杆上D点碰撞
ei i /9
当 e9 1 时反弹最高，可击中C点。
此时点E（与点C重合）离D点最远，CE = 0。
设小球P9从离开B处到与地面 碰撞所需的时间为t2
yH12gt22 0
t2

全国周培源力学竞赛试题

全国周培源力学竞赛试题

全国周培源力学竞赛试题周培源力学竞赛是以力学为主题的全国性竞赛，旨在考察学生对力学基础知识的掌握和应用能力。

以下为相关参考内容，包括力学的基本概念、公式和解题思路等。

一、力学基本概念：1. 物体：具有一定质量和形状的实体。

2. 运动：物体在空间中的位置随时间的变化。

3. 弹力：弹性物体受到扭曲或拉伸后，恢复原状的能力。

4. 动力学：研究物体运动的动力学定律和力的作用规律等。

5. 静力学：研究物体在静止状态下的平衡条件与力的作用规律等。

6. 力：使物体发生变化或改变状态的推动或阻碍作用。

7. 质点：假设物体无限小且质量集中，只具有位置和质量两个性质。

8. 牛顿第一定律：质点在无外力作用下保持匀速直线运动或静止。

9. 牛顿第二定律：力是质点受到的推动或阻碍作用，与质点的加速度成正比。

10. 牛顿第三定律：相互作用的两个物体所受的力大小相等、方向相反。

二、力学公式：1. 速度公式：速度 = 位移 / 时间，单位为米每秒（m/s）。

2. 加速度公式：加速度 = （终速度 - 初始速度）/ 时间，单位为米每秒平方（m/s²）。

3. 牛顿第二定律公式：力 = 质量 ×加速度，单位为牛顿（N）。

4. 力矩公式：力矩 = 力 ×距离，单位为牛顿米（Nm）。

5. 动能公式：动能 = 1/2 ×质量 ×速度²，单位为焦耳（J）。

6. 力的合成公式：合成力大小= √（力₁² + 力₂² + ... + 力ₙ²）。

三、力学解题思路：1. 建立坐标系和力图。

对于空间力学问题，可以建立一个适当的坐标系，并根据问题所给的力的方向和大小，绘制力图。

2. 利用牛顿第二定律解题。

根据题目所要求的问题，建立合适的坐标系，并根据牛顿第二定律公式进行计算，求出所需的未知量。

3. 引入力矩和转动定律解题。

对于转动问题，除了考虑物体的质量和加速度外，还要考虑到力对物体的转动作用。

全国周培源力学竞赛试题

全国周培源力学竞赛试题

全国周培源力学竞赛试题关于全国周培源力学竞赛试题的参考内容，以下为一份相关内容供参考。

力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力的规律。

在全国周培源力学竞赛中，通常会涉及到力的作用、牛顿定律、动量守恒和能量守恒等基本概念和原理。

以下是一些可能出现的试题题目和对应的参考内容。

题目一：一个质量为2kg的物体在一个斜面上往下滑动，斜面与水平面的夹角为30°，摩擦系数为0.2。

求物体在斜面上的加速度。

参考内容：首先，我们需要将物体所受的合力分解成沿着斜面方向的分力和垂直斜面方向的分力。

根据牛顿第一定律，物体所受的合力等于物体的质量乘以加速度。

根据斜面上的受力分析，沿着斜面方向的分力为物体的质量乘以重力加速度的正弦值：F_∥ = m·g·sinθ，其中m是物体的质量，g是重力加速度，θ是斜面与水平面的夹角。

而垂直斜面方向的分力为物体的质量乘以重力加速度的余弦值和摩擦力的和：F_⊥ = m·g·cosθ + f，其中f是摩擦力，根据已知条件，摩擦力f = μ·N，其中μ是摩擦系数，N是物体在斜面上的法向压力。

根据几何关系，N = m·g·cosθ。

将上述两个分力代入合力等于质量乘以加速度的公式，我们可以得到物体在斜面上的加速度a：m·a = m·g·sinθ - μ·m·g·cosθ。

题目二：一个自由下落的物体质量为0.5kg，下落的高度为2m。

求物体落地时的动能和势能。

参考内容：首先，我们需要知道物体的动能和势能分别是什么。

动能是指由于物体的运动而具有的能量，它的大小等于物体的质量乘以速度的平方再乘以1/2。

势能是指与物体所处位置的高度有关的能量，它的大小等于物体的质量乘以重力加速度的大小再乘以物体的高度。

根据已知条件，物体下落的高度为2m，质量为0.5kg。

首先我们可以求出物体的势能：势能=质量×重力加速度×高度=0.5×9.8×2=9.8J。

第六届周培源力学竞赛试题

第六届周培源力学竞赛试题

自重影响 2 分 带入 x＝l 也可以
w2 ( x) = −
约束影响 2 分 带入 x＝l 也可以
由于 B 点位移为零，利用叠加法：
ql 4 N D l 3 3ql − = 0 ， ND = 8 EI 3EI 8
因此总的转角表达式为
求出约束反力 2 分
θ ( x) =
令 θ ( x ) = 0 ，解出
本小问 12 分
CE = l =
m( H ) J 1 = = H ma m( H ) 3
1 3 1 2 1 4
2
C
l
SI
a
E
E
距离 3 分 碰撞冲量 3 分
时， C 点的碰撞冲量 I C = 0 。 上述结论可以表示为：小球要在反弹最高点 碰撞，且碰撞点与地面的高度为
2 H。 3
由于水平方向速度与竖直方向速度独立，下 面只考虑竖直方向：
5
三、顾此失彼的挑战者（30 分）
（1）如果把滚轴 D 安装在 AB 板的 B 处，此时 AB 板由于自重所导致 的最大挠度在何处？ 板的自重影响为 本小问 9 分
w( x) =
约束的影响为
qx 2 ( x 2 + 6l 2 − 4lx) qx( x 2 + 3l 2 − 3lx) ， θ ( x) = 24 EI 6 EI N D x 2 (3l − x) N x(2l − x) , θ 2 ( x) = − D 6 EI 2 EI
一、声东击西的射击手（30 分）
（1）为使小球 P 1 击中杆上 D 点，试确定静止释放时的 θ ，距离 S 有何 限制？ 小球从初始位置运动到 B 点时，竖直速度为零，水平速度为 本小问 9 分
1 2 mvB ， vB = 2 gR(1 − cos θ ) 2 小球离开 B 点后作平抛运动，以 B 下方的地面为坐标系原点，有 mgR (1 − cos θ ) =

周培源力学竞赛试题(第六届—第十届)

周培源力学竞赛试题(第六届—第十届)

A Pi
O
θ
B H E C D
S
二、骄傲自满的大力士（35 分）
有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的 球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱 OA 垂直固定于水平地面上，沿 x 轴方 向，高为 H = 2.4m ，横梁 AB 平行于地面，沿 z 轴负方向，长为 L = H 。立柱和 横梁均为实心圆柱，直径均为 D = 0.06m 。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫 比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁 B 端中点的绳索，只能用 静力拉球门；绳索上有且只有 B 点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计， 长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力 σ s = 57MPa 。 大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是
r )的无弹性台阶后， 能不 2
3.演员又用细铁棍推动题 2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环
保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 ft ， 圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用 力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。
三、趣味单杠 (30 分 )
一半球形高脚玻璃杯， 半径 r =5cm， 其质量 m1=0.3 kg， 杯底座半径 R =5 cm， 厚度不计，杯脚高度 h =10 cm。如果有一个质量 m2 = 0.1 kg 的光滑小球自杯子的 边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 （1）高脚玻璃杯会不会 面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动过程中： 滑动； （2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起） 。
EI 。两均质水晶圆球的半径均为 r ，重量均为 P = ql 。

周培源力学竞赛试题与解答)

第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间 3 小时，满分 120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。

他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。

他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。

等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。

根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。

独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。

为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。

请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分）有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。

该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6 条等长的桌腿（图 2）。

每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。

该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。

如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。

图 2 模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分）魔术师要表演一个节目。

其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；另一个道具是长为L的均质刚性板 AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。

周培源力学竞赛试题 第六届—第十届

O2
O1
A
B
D
四、技高一筹的魔术师（25 分）
魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。
魔术师首先撤去了滚轴 D ，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放， 都会从板的 B 端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，
掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面
的拉杆。试定性分析该杆对上述两种情况的影响。
四、跳板跳水(30 分)
举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳 水队获得了跳水比赛 8 枚金牌中的 7 枚，囊括了 3m 跳板跳水的 4 枚金牌。Duraflex 的 Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使 用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为 b = 0.5m， h = 0.05m，跳 板的弹性模量 E = 70GPa ，比重 γ = 25kN/m3 ， a = 3.2m ，l = 1.6m 。运动员从跳 板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点 C，再从跳板上弹起至空中完成动作后 落水。若运动员体重 G = 700N ，最大弹跳高度 H = 0.6m ，取 g = 9.8m/s2 。 1. 根据所学知识，建立相应的力学分析模型。 2. 为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运
；初始角速度 ω0
≈
150g sinθB r
。
1
第七届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：西北工业大学
满分：120 分
时间：3 小时
一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分)
一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm，其质量 m1=0.3 kg，杯底座半径 R =5 cm， 厚度不计，杯脚高度 h =10 cm。如果有一个质量 m2 = 0.1 kg 的光滑小球自杯子的 边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会 滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。

第6届周培源全国大学生力学竞赛

第6届周培源全国大学生力学竞赛样题的出题思路及说明周培源全国大学生力学竞赛已经举办过5届。

今年将进行第6届竞赛。

与往届相比，本此竞赛的内容和风格将有较大的变化。

根本的变化是：竞赛内容不再是单纯考试型的题目，而是融趣味性、综合性与动手实践为一体。

本次竞赛计划分为两部分：首先进行选拔赛，然后进行决赛。

选拔赛面对全国各高校和研究所，可能将有上万人参加。

选拔赛采用笔试的形式，根据选拔赛的成绩，以学校或研究所为单位，在全国范围内邀请20只队伍参加决赛。

而决赛以动手试验为主。

具体出题的思路是：选拔赛样题的特点是：（1）考查力学的基础知识以及对知识的灵活应用，通过一些有趣的场景引出问题。

（2）每个样题的难度都分为3个层次，通常先考查学生是否了解该题目的性质；然后是过渡性的问题，比较简单；最后的问题一般有些难度。

希望这样可以让大部分学生得到基本分，同时又可以使分数拉开档次。

（3）样题中的问题既有客观题，也有主观题，希望从多个侧面了解学生的能力。

（4）改变传统力学题目的形式，有正问题，也有反问题，反问题使学生有更多发散思考的空间。

选拔赛各题的知识点是：第1题“奇怪的独木桥”考查不同载荷对梁的弯矩影响；第2题“模特儿与新型舞台”考查是力与力矩的平衡，同时考虑不同情况下的变形协调条件；第3题“魔术师的箱子”表面上是静力学问题，实际上箱子里有文章，是动力学平衡问题；第4题“出人意料的交线”考查点的运动学以及定轴转动的动量矩定理。

以上知识点都是教学中的基本要求，但是其中有些问题又有一定的灵活性和难度。

在决赛中，需要各队在给定时间、工具和材料的限制条件下，设计、制造出两种装置，以达到攻和防的目的。

其中的发射装置主要需要利用理论力学的知识，考虑抛射的轨道、摩擦、能量转换、碰撞等因素，而保护装置主要需要利用材料力学的知识，考虑结构的重量、强度、稳定性等因素。

在比赛中，攻和防都要强才能立于不败之地，各队需要进行综合考虑。

我们认为，学生在决赛中可能要经历理论分析、初步设计、试验，反馈、修改设计等环节，需要理论联系实际，还要有很好的分工协作、动手制作能力，相信将会给学生很好的全面锻炼的机会，而这也正是以前的力学竞赛所缺乏的。

全国周培源力学竞赛试题

全国周培源力学竞赛试题以下是全国周培源力学竞赛的部分试题一、单项选择题（共20分）1. 在以下哪个历史时期，力学的概念和理论开始形成并逐渐完善？（）A. 古希腊时期B. 中世纪C.文艺复兴D.工业革命2. 下列哪个物理量不是力的度量？（）A. 牛顿B. 千克C. 达因D. 扭矩3. 一个物体受到一个向上的拉力，它的加速度应该为（）A. 正值B. 负值C. 不确定D. 零4. 一根长度为L的均匀直杆，其质量分布均匀，求它的中心位置。

（）A. (L/2)B. (L/4)C. (3L/4)D. (5L/4)二、多项选择题（共30分）1. 下列哪些因素会影响一个物体的重量？（）A. 地理位置B. 海拔高度C. 物体的密度D. 重力加速度2. 以下哪些力学原理可以用来解释为什么一个旋转的物体具有旋转惯性？（）A. 牛顿第二定律B。

转动定理C。

角动量守恒定律D。

刚体定轴转动定律3. 一根直杆与水平地面成一定角度，其上端固定，下端自由。

杆上的一个质点受到的沿杆方向的力如下，哪些是正确的？（）A. 作用力与反作用力B。

重力C。

杆给予的支持力D。

杆给予的摩擦力4. 在以下哪些情况下，两个物体之间的作用力和反作用力会改变？（）A. 两个物体接触但无相对运动时B。

两个物体相互远离C。

两个物体之间的相互作用力平衡时D。

两个物体发生相对运动时三、解答题（共50分）1. 证明：一个刚体在重力场中静止时，其重心位置最低。

（10分）2. 一根长度为L的均匀直杆，其质量分布均匀。

如果将杆的一端悬挂起来，求杆的另一端点下降的距离。

（10分）3. 一块正方形截面匀质木板，边长为a，密度为p，放置在水平地面上。

将一个大小为F的力垂直作用于板的一个顶点上，求板的加速度和板的质点加速度。

（15分）4. 一根长度为L的均匀直杆，其质量分布均匀。

如果将杆放置在一个光滑的平面上，其左端点被固定，右端点受到一个垂直于杆的力F的作用而向右滑动，求右端点移动的距离。

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其中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
8
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
设飞轮转动惯量为 J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂
时设 B 处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
系统对 A 点取矩，有
M s = Joε
(M1
+
M
2
)g
⋅
1 2
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG 和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G 点）。
7
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（f）一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与 实践》小问题第 100 题，1985，No.4）
5
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
y
4
5
6
o
x
1
2
3
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
y
4 H
C5 六
o
E 四
6 三G
五D 四
B Fx
A(x,y)
1
2I
时，如果要求
P
点的速度和加速度，你如何考虑？取 a
= 1m
，l
=
4m ，β
=
1 6
π
，ω
= 1rad/s ，
速度和加速度是多少？
z
C
A
β
O
y
B
x
D
图 4 初始时刻的系统位置
3
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答
一、奇怪的独木桥 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ 关键词：梁的弯曲、弯矩。
端支座 x2 处，其弯矩如图所示。这时支座的反力为
弯矩极大值为
RA = P(L − x1 − x2 )/ L ， RB = P ( L + x1 + x2 ) / L M1 = Px1 ， M 2 = P(L − x1 − x2 )x2 L
欲要安全通过，要求 M1 ≤ [M ]， M 2 ≤ [M ]，代如数据得
3
设模特儿重量为 P，所在 A 点的坐标为 (x, y)。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压，
下面就分析桌腿的受力。
（a）设六条腿的受力分别是 Ni (i = 1,L,6) ，有平衡方程
6
∑Ni = P
(1)
i =1
(N1 + N 4 )a + Px = (N 3 + N 6 )a
(2)
(N1
+
N2
+
N
3
)
a 2
+
Py
=
(N 4
+
N5
+
N6
)a
2
(3)
由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出
N2 + N6 = N3 + N5
(4)
N1 + N5 = N2 + N4
(5)
N4 + N6 = 2N5
(6)
6
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令 Ni > 0(i = 1,L, 6) ，得到不等式 3x ± 4y < 2a
（2）根据上述介绍，你能否求出 AB 杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？
利用三力平衡条件，圆球受力如图。
RB
Bϕ
o
C RC
利用几何法，有
∠OBC
=
1 2
ϕ
，由于
RB
要在摩擦角θ
内，有
μ
=
tanθ
≥
tan (
) 1
2
ϕ
由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以 RB 要在摩擦角的边缘，因此
在纸上挖出某种形状的空隙让 AB 杆通过（这里只考虑 AB 杆）。
（1）如果 a = 0 ，求空隙的函数表达式 Γ0 ，并画出示意图。
（2）如果 a > 0 ，求空隙的函数表达式 Γa ，并画出示意图。 Γ0 与 Γa 有何关系？
（3）当 a > 0 时，设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点，当 P 点位于 AB 杆中点且 yP > 0
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？
1
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？ （3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
令 N1 = N4 = 0 ，再令 N2 > 0 ，得
−x − y + a > 0
即知三角形 BDF 为四腿(2，3，5，6)受力区（包含 BD，但不包含边界 DF），其中 F 点的坐
标为 (a, 0) 。
四腿受力的第二种情况是 3、4、5、6 受力。舍去方程(4)、(5)，且令 N1 = N2 = 0 ，令
魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是，
当圆球离开 AB 板后， AB 板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。
A
B
ϕ
o
图 3 魔术师的箱子
2
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（1）为什么在 AB 板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可
以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？
三、魔术师的表演
（1）为什么在 AB 板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可
以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？ 关键词：摩擦，自锁。
当 AB 板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和 B 处反力作用下平衡。这时圆球处
于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球 从受三个力变为受四个力。如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。
欲使上式恒成立，则需
x22 − (4 − x1 )x2 + 3 ≥ 0
(4 − )x1 2 − 12 ≤ 0
解得
0.536 ≤ x1 ≤ 7.46
考虑到 M1 ≤ [M ]，得
x1 ≤ 0.75m
所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为 (0.536 − 0.75)m 之间时，另一人可安
全通过独木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为 (0.536 − 0.75)m 之间，另
N4 > 0 ，得
−6x − 2 y + 5a > 0
即知三角形 CDE 为四腿(3,4,5,6)受力区（包含 CD，但不包含边界 DE），其中 E 点的坐标为
⎛ ⎜⎝
2 3
a,
1 2
a
⎞ ⎟⎠
。
（d）剩下的四边形 DEGF 为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界，CE 表示亮三盏 灯的区域（不含 E 点）。
得到解的区域为菱形
BCHI（不含边界），其中
B
点坐标为
⎛ ⎜⎝
2 3
a,
0
⎞ ⎟⎠
。
下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。
（b）五腿受力，设腿 1 不受力，令 N1 = 0 ，舍去方程(5)，求得 N3 ≥ 0, N5 ≥ 0, N6 ≥ 0
均自然满足，根据 N2 > 0, N4 > 0 得
a
a
a
a
图 2 模特儿的新舞台
三、魔术师的表演（25 分）
魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为 a 的不透明立方体箱子，质量为 M1 ； 另一个道具是长为 L 的均质刚性板 AB ，质量为 M 2 ，可绕光滑的 A 铰转动；最后一个道具 是半径为 R 的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板 AB 水平放 置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心 O 和接触点 B 的连线与垂线夹角为ϕ 。然 后魔术师又把箱子固定在 AB 板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图 3 所示。
图 1 奇怪的独木桥
二、模特儿与新型舞台（35 分）
有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子，长为 2a ，宽为 a ，
有 6 条等长的桌腿（图 2）。每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使 对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图 2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
（2）根据上述介绍，你能否求出 AB 板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ （3） AB 板只在 A 处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明 这时平板有且只有 A 点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？
请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6 米，如图 1 所示横跨在小河上（支撑点可 以 认 为 是 铰 链 约 束 ）。 独 木 桥 采 用 当 地 的 轻 质 木 材 做 成 ， 等 截 面 ， 允 许 最 大 弯 矩 为
[M ] = 600N ⋅ m 。
为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？ （3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？