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周培源力学竞赛辅导—材料力学—基本变形1

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周培源力学 竞赛资料

周培源力学 竞赛资料

全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）Ⅰ.理论力学(一)静力学(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。

掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。

能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。

掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。

能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。

能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。

会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。

(二)运动学(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。

能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。

能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(三)动力学(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。

了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2)掌握刚体转动惯量的计算。

了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。

了解其两类动力学基本问题的求解方法。

(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。

全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题

全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题

B A
二力矩式
F F F x 0 , M A () 0 , M B () 0
FR x
（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）
是否存在三投影式？
三力矩式
F x1 0
M A ( F ) 0 , M B ( F ) 0 , M C ( F ) 0 Fra bibliotekFx2
0
（A、B、C 三点不得共线）
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题
理论力学(专题部分)
专题1： 虚位移原理
掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、 广义坐标的概念；会应用质点系虚位移原理。
专题2： 碰撞问题
(1) 掌握碰撞问题的特征及其简化条件。掌握恢复因 数概念
(2) 会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面 运动刚体的碰撞问题。
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题
§2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
n
F xi 0
i1
｝ FR′ =0
Mo=0
n
F yi 0
i1
n
M O (F i) 0
i1
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴
上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代
公理2 二力平衡条件
★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
B A
F2
F1= F2
F1
注意： 公理对于刚体的平衡是充要条件，而对变形体仅为
平衡的必要条件；
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题
公理3 加减平衡力系原理
★ 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系

材料力学之四大基本变形

材料力学之四大基本变形
内径d＝15mm，承受轴向载荷F＝20kN作用， 材料旳屈服应力σs＝235MPa，安全因数ns＝ 1.5。试校核杆旳强度。
解：杆件横截面上旳正应力为
N
A
4F
(D2 d2)
4(20103 N ) [(0.020m)2 (0.015m)2
]
1.45108 Pa 145MPa
材料旳许用压力为
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力旳合力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算措施以为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布旳。
2、挤压强度旳工程计算
由挤压力引起旳应力称为挤压应力 bs
与剪切应力旳分布一样，挤压应力旳分布
也非常复杂，工程上往往采用实用计算旳
方法，一般假设挤压应力平均分布在挤压
面上
首先计算各杆旳内力：
需要分析B点旳受力
X 0
F1 cos 30 F2 0
Y 0
F1 cos 60 Q 0
F1 2Q 20KN
30 B
A
y
F1
F2
x
Q
1 F2 2 3F1 17.32KN
F1 2Q 20KN
F2

周培源力学竞赛辅导1

周培源力学竞赛辅导1

作用在
相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论
Fiij Fj ji
广义力 Fi 在广义力 Fj 引起的位移上所做的功，等于广义力
Fj 在广义力 Fi 引起的位移上所做的功，若
ij ji
Fi Fj
广义力 Fj 在点 i引起的与 Fi 相对应的广义位移，在数值上等
于广义力 Fi 在点 j引起的与 Fj 相对应的广义位移
应变能增量，即
弹性体平衡 We E
• 可以是某一部分或某些部分真实位移的增量，而不是全 部真实位移的增量（见图）
• 可以是另一个与之相关系统的真实位移（见图）
注意：以上讨论的虚位移原理不涉及材料的应力应变关系
能量原理
1-5 虚位移原理的应用 例4 EI为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线
例5 用虚移原理导出卡式第一定理
调方程
1
E FX 1
M y l FX 1
M y dx EI y
M z l FX 1
M z dx T T dx 0
EI z
l FX1 GI p
2
E FX 2
n
E FXn
M y l FX 2
M y l FXn
M y dx M z M z dx T T dx 0
EI y
l FX 2 EI z
l FX 2 GI p
.............................
M y dx M z M z dx T T dx 0
EI y
l FXn EI z
l FXn GI p
能量原理
1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用
应用卡式第二定理求解超静定问题
1
E FX 1

第十一届全国周培源大学生力学竞赛考试范围 .doc

第十一届全国周培源大学生力学竞赛考试范围 .doc

第十一届全国周培源大学生力学竞赛考试范围理论力学一、基本部分(一) 静力学(1) 掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2) 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3) 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。

掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。

能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。

掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4) 掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。

能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5) 掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。

能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6) 掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。

会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。

(二)运动学(1) 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2) 掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。

能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3) 掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4) 掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。

能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(三)动力学(1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。

了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2) 掌握刚体转动惯量的计算。

了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。

了解其两类动力学基本问题的求解方法。

周培源大学生力学竞赛辅导材料

周培源大学生力学竞赛辅导材料

t 2H / g
e=1时，根据落下与反弹的轨迹对称性，设小球与地面碰撞N次，于是有
S=2NvBt，
S 2N 2gR(1 cos ) 2H / g
（3）假设小球击中CD杆上的E点，为了使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确 定小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？ 根据碰撞的理论，当冲量IE与杆垂直，且
解：1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，圆环一跳 一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。
2.（1）圆环能自己滚回的条件：圆环初瞬时环心速度为v0，角速度大小为ω0，以后 为v 和ω。圆环与地面接触点的速度大小为 u=v+rω (1) 第一阶段，u>0，圆环与地面有相对滑动，摩擦力F=fsFN，式中FN=mg 。 由质心运动定理 解得 由 解得 由于摩擦力存在，v 和ω都随时间而减小。 第二阶段，由（1），（3），（5）式解得 u = (v 0 + r ω 0) −2 f s gt v=v0－fsgt
S 2 gR(1 cos )t 1 1 2 H H gt 2 2
把参数带入小球的位移表达式，有
S的限制为
S 2HR
（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为了使E点尽可能远离D点，试确 定小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？ 直观上看，当e=1（小球的号码为9）时反弹得最高，有可能击中C点。 此时E点离D点最远，距离为CE=0。 根据运动方程，在竖直方向，小球离开B点后与地面碰撞的时间为
不失一般性，设乘员的前脚向左蹬板，蹬板时前脚掌必自然倾斜使左侧略高于右 侧，并带动前板绕x轴逆时针偏转φ1角，前轮平面随同前板相对垂直平面偏转φ1角.此 时地面在P1点处作用的法向约束力N1必偏离前轮平面，其沿前轮平面法线方向的投影 为N1 sinφ1，仅保留φ1的一次项时，简化为N1φ1.此分量以a cosβ为力臂，产生绕前轮架 转轴z1;负方向的力矩M1，力矩的模为

第五届全国周培源大学生力学竞赛试题解答

第五届全国周培源大学生力学竞赛试题解答

ａａ ｓ ａｌ 石ｌ ｌ２ ｌ ｉ功 ＝０ ｉ ｎ ｓ ｎ
其中
ｉｆ 尸 １ ／尸 ＼ ２ ｋ １
口ｌ
－－
｝
ｎ
ｓ 功石ｌ ｓ ａｌ ｉ ｎ ｌ ｉ ｎ
ｃｓ ｌ ｏ ａ ｌ
ｃｓ ｏ沪石ｌ
。＝２Ｅ ＋ ＼ ４Ｉ ‘ ［ Ｖ Ｉ Ｉ Ｅ）一 Ｅ］
给定 ０ 即可求出ｖ 即问题有多解．当给定 ｖ０时，可用速 ， ， ，
度合成定理求相对速度 ｖ 及方向 ａ ｏ ．
ｖ ｗｒ ＝ ｌ，
ｗ ＝亏ｏ １ ｗ
１
。＝ ２ ， ｗ ｃ ０ ｔ ａ 若 ｖ ｒ ２ ｖ ， ａ ｖ＋ ２２ ｒ ｏ ｗ一 、 ｓ ｎ
‘ｕ １－ ｏｋ ２ 一 ．１ １ ｗ ／ ｖ１
Ｍ（） ｐ
答３ ．
－Ｒ ｎ ｓ ｃ ｉｐ
（） １ 一般公式
浦 。｛ 、
△ ７ｄ 一ｇＯ ｆ（ ｘ ）
Ｍ）一）＋ （１ ｄ 击 ｘ “ｘ （ Ｔ
．／ 儿
劣
Ｍ（） 二ｄ ｘＭ（）ｘ
（ 求解静不定 （ ２ ） 图司
Ｔｌ
＿ 、。 １ 一 １ ） ｘ＋ 确二 ２ｄ 二 Ｆ． ，户
（ ＋ ） ４丰 ２ ３ ａ （） 梅 ｇ 答１（ Ｗ ． Ａ １ ） ２ ＥＩ ４
ＦＡ Ｂ ，
（一２ （ ２ ＝ ） ） ａ ） ３， Ｗｇ Ａ Ｅ Ｉ ４
答２ ．
１求二Ｂ ） （ ）
＋ － ０得 由ｂｅ ＝ｂ Ｊ ８ ． （） １ ２ １
二Ｂ ＝ （ ）
Ｔ Ｍ
。ＪＪ ｏ
伪ｃ 了 ｌ ｏ功 ￡ 石 ｏ ｓ ｓ ａｘ 仇ｃ ＋
（） ｂ
１ Ｊ Ｆｉ ｏ
２ 。ｐ ｑｓ， ｆ一 ３ Ｒｉ＋ ＇ ｃ ｃ ３ ［Ｒｓ ＋ ｎ ｉ ｎ ｅ Ｗ

全国周培源大学生力学竞赛考试范围

全国周培源大学生力学竞赛考试范围

全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）理论力学一、基本部分(一) 静力学(1) 掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2) 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3) 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。

掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。

能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。

掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4) 掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。

能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5) 掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。

能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6) 掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。

会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。

(二)运动学(1) 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2) 掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。

能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3) 掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4) 掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。

能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(三)动力学(1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。

了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2) 掌握刚体转动惯量的计算。

了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。

了解其两类动力学基本问题的求解方法。

11周培源力学竞赛辅导材料力学

11周培源力学竞赛辅导材料力学
3. 理论力学研究的是质点系和刚体系统的平衡和运动, 基本的思考路径为, 受力分析, 运动分析, 建立方程求解. 材料力学研究的是变形体结构在静力作用下的应力分布 和变形.基本思考路径为, 静力平衡或有条件的静力等效分析, 几何变形分析, 材料的 力—形变关系的确立.其中, 几何变形分析的难易往往决定整个问题的难易.
例1. 在图示简单的杆系中, 设AB和AC分别为直径为20cm 和40cm的圆截面杆,
E = 200GPa, F = 5kN. l = 2m. 试求A点的位移.
B l
解: 取A点分析受力
Fx 0 :
F1 F2
30º A
30º
l
C
F
y
F1
30º A
30º
F2
Fx 0 : F1 sin300 F2 sin300 F
材料力学
◆材料力学与理论力学研究方法的异同
1. 理论力学的研究对象是刚体, 材料力学的研究对象是变形体. 所以, 理论力学中有 关静力等效的概念不能随意运用到材料力学中. 如力和力偶的作用位置一般不能随 便移动. 分布载荷不能用合力随便代替等.
2. 刚化原理是刚体受力平衡过渡到变形体受力平衡的桥梁, 即: 已知变形体在力系 作用下处于平衡, 如果把变形体 “刚化”, 则平衡状态不变. 从道理上讲, 构件在 受力时是同时发生形变的, 所以应是对变形后的结构应用刚化原理, 从而列出静力 平衡方程. 但是如果材料是小变形的条件下(即结构的改变量相对与结构的原始尺 寸是很小的量),变形前后的尺寸变化对用静力平衡方程求的结果影响非常小, 则一 般就用变形前的尺寸求解平衡方程.
2
B
2
F
MPa
100
E2
E1

周培源力学竞赛范围

周培源力学竞赛范围

周培源力学竞赛范围全周培源大生力竞竞考竞范竞;考,国学学参理竞力学一、基本部分(一) 静学力(1) 掌握力、力矩和力系的基本念及其性竞。

能熟竞地竞算力的投概影、力竞点的矩和力竞竞的矩。

(2) 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本念及其性竞。

能熟竞地竞算概力偶矩及其投影。

(3) 掌握力系的主矢和主矩的基本念及其性竞。

掌握竞交力系、平概行力系一般力系的竞化方法、熟悉竞化竞果。

能熟竞地竞算各竞力系的与主矢和主矩。

掌握重心的念及其位置竞算的方法。

概(4) 掌握竞束的念及各竞常竞理想竞束力的性竞。

能熟竞地出竞竞竞概画个体及竞系受力竞。

体(5) 掌握各竞力系的平衡件和平衡方程。

能熟竞地求解竞竞竞和竞竞条个体竞系的平衡竞竞。

体(6) 掌握滑竞摩擦力和摩擦角的念。

求解考竞滑竞摩擦竞竞竞竞和概会个体竞竞平面竞系的平衡竞竞。

体(二)运学竞竞(1) 掌握描述点竞的矢量法、直角坐竞法和自然坐竞法～求点的运会运并竞竞迹～能熟竞地求解点的速度和加速度。

(2) 掌握竞平移和定竞竞竞的念及其竞特征、定竞竞竞竞上各点速体概运体度和加速度的矢量表示法。

能熟竞求解定竞竞竞竞的角速度、角加速度体以及竞上各点的速度和加速度。

体(3) 掌握点的竞合竞的基本念～掌握能竞用点的速度合成定理运概并和加速度合成定理。

(4) 掌握竞平面竞的念及其描述～掌握平面竞竞竞速度瞬心的体运概运体概运体与体念。

能熟竞求解平面竞竞的角速度角加速度以及竞竞上各点的速度和加速度。

(三)竞力学(1) 掌握建立竞点的竞微分方程的方法。

了解竞竞力基本竞竞的求运两学解方法。

(2) 掌握竞竞竞竞量的竞算。

了解竞竞性竞和竞性主竞的念。

体体概(3) 能熟竞竞算竞点系竞的竞量、竞量矩和竞能～能熟竞竞算力的竞与体并冲量;矩,～力的功和竞能。

(4) 掌握竞力普遍定理学(包括竞量定理、竞心竞定理、竞固定点和竞运心的竞量矩定理、竞能定理)及相竞的守恒定理～竞合竞用。

并会(5) 掌握建立竞平面竞竞力方程的方法。

全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题详细版.ppt

全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题详细版.ppt

Fy 0, FBy FCy P 0 (2)
Fx 0, FBx FCx 0
(3)
2a
aa a a A
2a D
解得： FBy FCy 0.5P
(2)取AB杆为研究对象
Fy 0, FAy FBy P 0
M B (F ) 0, FAx 2a FAy 2a Pa 0
Fx 0, FAx FBx 0
(3)
C D
2m
500N G
FAx
B
FB
E
2m 2m
2m
解上述方程，得
FDy 1000N, FEy 500N (2)取整体为研究对象
M A(F) 0, FB 4 500 2 5006 0
解得: FB1000N
.精品课件.
H
500N
FDy
FEy
C
D
500N
FDx E FEx
15
2m 2m
.精品课件.
4
理论力学(基本部分)
(三)动力学
(1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动 力学基本问题的求解方法。
(2) 掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主 轴的概念。
(3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并 能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。
(4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、 对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定 理，并会综合应用。
★ 截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其 中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截 割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多 于3。
.精品课件.
22
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弯曲正应力
F
F
a
l
FS
F Fa
M
梁的正应力 强度条件为
a
F
y
O z
x dA
dA z
x
y
My
t,max [ t ]
或
Iz M max
c,max [ c ]
Wz
弯曲切应力
t1max
tmax
tmax
z
z tmax O
y1 y
y
梁的切应力 强度条件为
dA
t
FS
S
* z
Izb
y tmin
t F S * S,max z,max
Izb
横力弯曲梁的强度条件：
max 强度 t max t 足够
设计截面时 max
确定截面尺寸
验 证
t max t
弯曲位移——积分法
q(转角)
A
q
C1 w(挠度)
y
1 M (x)
r EIz
对等直梁： EIw M x
B x
EIw M xd x C1
l
l 0
dx
l 0
x
d
x=
l FN (x) d x ql2
0 EA
2EA
Vε W
l FN2 ( x) d x 0 2EA(x)
扭转
Me
Me j
g
j Tl
GI p
Vε
T 2l 2GI p
T
r
tmax
T
tr
tmax
tmax
O
tr
O
tmax r
d
d
t max
Tmax Wp
[t ]
D
jm ax
基本变形回顾
•四种基本变形：
• 两类问题：强度与刚度
轴向拉（压）、圆轴扭 转、对称弯曲、剪切
轴向拉伸或压缩：
F
FF
F
F
m FN
m
x
max
FN,max A
[ ]
FN m
m
F
l FNl
EA
Vε
W
FN 2l 2EA
ql A
FN(x) +d FN(x)
q
FN(x)
l x
dx
dx
q
FN(x)
B
B
杆纵向的总伸长量
2 钢板孔壁和铆钉杆挤压破坏
挤压力 Fb P
挤压力 Fb P
挤压面面积
Abs dt 名义挤压应力
bs
Fb Abs
3 钢板被拉断破坏
FNmax P A (b d )t
钢板的拉伸正应力
FN
P
FN
+
x
A
求解超静定问题的步骤：
(1) 根据分离体的平衡条件，建立独立的静力 平衡方程；
EIw [ M xd x]d x C1x D1
弯曲位移——叠加法
1）小变形，轴向位移可忽略；
2）线弹性范围工作。
因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。
重点关注外伸梁的叠加法以及对称性反对称 性的运用技巧。
梁的刚度校核
wmax l
w l
qmax q
Me
Me
纯弯梁的弯曲应变能为：
Vε
W
1 2
M eq
M e2l 2EI
F
A
B
横弯梁的弯曲应变能为：
Vε
l
0 dVε
l M 2 x dx
0 2EI
剪切变形
1 铆钉剪切破坏
剪力 FS P 剪切面积 A πd 2
4
名义切应力
FS
t FS
A
可见，该实用计算方法认为剪切切应力在剪切 面上是均匀分布的。
My
Iz
弯曲变形的线应变
应力
根据矩形截面的对称性以及
FN
dA0
A
确定水
平对称轴是中性轴。
则
矩形截面梁切应力公式的推导
F1
F2
q(x)
mn
mn
x
dx
m' n'
h
z M(x) m FS(x) O
n M(x)+d M(x)
z
x FS(x)
y1
m' y m n
b dx
b
h
z
y m' n'
mn
r ——中性层的曲率半径
物理方面——单轴应力状态下的胡克定律
不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状
态。当 <p，且拉、压弹性模量相同时，有
y r
E
E
y
r
O z
dA dA
z y
y
即直梁的横截面 上的正应力沿垂 直于中性轴的方 向按直线规律变 化。
静力学方面
O
dA dA
y
FN
dA0
A
E
E
A1
y
dA A B
ym n
z
横截面上纵向力不平
衡意味着纵截面上有水平 剪力，即有水平切应力分
y1 y A1 O B1 d F S x
布。
d
F
S
FN*2
FN*1
而横截面上纵向力的大小为
FN*1
dA A B
m' b
y mdx

n FN*2
FN*1
A* 1 d A
My1 d A M
I A* z
F
ac a' c'
F
b' d'
bd
FN
d A A
A
FN
A
圆轴扭转切应力公式的推导
a
b
T
T
r E O1 gr G O2
Ag
D
dj
G'
D'
a
dx
b
gr
r
dj
dx
d
r
E O1
dx
gr G
O2
Ag
D
dj
G'
D'
gr r
物理方面
剪切胡克定律 t Gg
静力学方面
gr
r
dj
dx
tr
Gr
dj
dx
rt A
d
2 2
d1d2
d
d3 3
21
d12
Vε
l T 2(x) d x 0 2GIp (x)
弯曲内力（没单独考过）
Me
Me
F
A
B
剪力和弯矩的符号规则
几种常见荷载下FS 图和M 图的特征
q c 0 (向上） q c 0 (向下） q 0
FS (x) 0 时，弯矩M(x)为极值。
集中力作用处 集中力偶作用处
Tmax GI p
180 π
[j]
j dj l T d x
l
0 GI p
d ( x)
d 1
d2
l
d1
x
j
l
Tdx
0
G
π[d1
d2
l
d1
x]4
32
j
l
Tdx
0
G
π[d1
d2
l
d1
x]4
32
32Tl 4 3Gπ(d2
d1 )
[
1 (d2l)3
1 (d1l )3
]
32Tl 3Gπ
Iz
A*
y1 d A
M Iz
S
* z
面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩
y
r
E
r
A
yd
A
ESz
r
0
z 得 Sz 0 即中性轴 z是形心轴。
z y
M y
z d A 0
A
E
r
A
yz d
A
EI yz
r
0
I yz 0
对称弯曲时此条件将自动满足。
y
O z
dA dA
z y
弯曲正应力计算公式
M z
y d A M
A
E
E
y
r
E
r
A
y2 d A
EI z
r
M
得
1 M
r EIz
(2) 根据变形协调条件，建立补充方程
(3) 利用胡克定律或其他的力与变形的关系， 得到力的补充方程；
(4) 联立求解。
轴向拉压正应力公式的推导
从平面假设判断： （1）所有纵向纤维伸长相等 （2）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
r
d
A
T
G dj r 2 d A T
dx A
tr r
得
dj T
d x GIp
tr
Gr
T GI
p
Tr
Ip
r
T
r trdA O r
trdA
弯曲正应力公式的推导
Me
Me
y
}
C
r
dq
O1 dx O2
mn aa bb mn
O1O2 d x r dq AB (r y) dq
A
B1 B
B1B B1B y AB1 O1O2 r