古典概型

古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。

所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。

具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。

以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。

古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。

1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。

比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。

2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。

比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。

3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。

在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。

按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。

所有的基本事件发生
概率之和为1。

应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。

比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。

总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。

通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。

古典概型定义及公式好的，以下是为您生成的文章：咱今儿就来唠唠古典概型，这玩意儿在咱数学里头可是挺重要的角儿。

话说我之前教过一个学生，叫小李。

这小李啊，平时看着挺机灵，但一碰到古典概型的问题，就跟那霜打的茄子——蔫儿了。

有一次课堂测验，有道题是这样的：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

这小李可好，抓耳挠腮半天，愣是没整明白。

咱先来说说古典概型的定义哈。

简单来讲，古典概型就是那种试验结果有限，而且每个结果出现的可能性相等的概率模型。

比如说掷骰子，骰子就六个面，1 点到 6 点，每次掷出的结果就那么几种，而且出现每个点数的可能性都一样，这就是典型的古典概型。

再比如抽奖，假设箱子里有 100 张奖券，其中 10 张有奖，你随机抽一张，这也是古典概型。

为啥呢？因为结果就那么 100 种，而且每张奖券被抽到的机会均等。

那古典概型的公式是啥呢？就是P(A) = n(A) / n(Ω) 。

这里的 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 表示样本空间Ω包含的基本事件总数。

还是拿前面说的盒子里取球的例子来说。

总共有 8 个球，取出红球这个事件 A 包含 5 个基本事件（也就是 5 个红球），样本空间Ω包含的基本事件总数是 8 个球，所以取出红球的概率 P(取出红球) = 5 / 8 。

咱再举个例子，抛硬币。

抛一次硬币，结果不是正面就是反面，这就是有限的结果，而且出现正面和反面的可能性相等。

假设我们关心的事件 A 是抛出正面，那 n(A) 就是 1 ，n(Ω) 就是 2 ，所以抛出正面的概率 P(抛出正面) = 1 / 2 。

我后来给小李单独辅导的时候，就拿这些例子反复跟他讲。

我让他自己动手多做几道类似的题目，慢慢地，小李好像开了窍。

其实啊，古典概型在生活中也挺常见的。

像买彩票，虽然中奖概率低得可怜，但从概率的角度来看，也能算是古典概型。

古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。

每个基本结果出现的可能性相等。

111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。

112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。

12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。

互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。

121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。

122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。

13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。

确定事件 A 包含的基本事件数 m 。

代入公式计算 P(A) 。

132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。

确保对基本事件的界定清晰无误。

14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。

141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。

完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。

15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。

明确性：能够清晰地定义和区分。

151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。

152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。

16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。

抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。

摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。

161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。

古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。

它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。

接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。

一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。

例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。

二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。

三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。

2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。

四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。

2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。

3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。

例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。

五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。

2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。

3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。

4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。

六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。

2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。

第四讲古典概型概率的一般加法公式[新知初探]1．古典概型的概念(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性是均等的．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.注意事项：基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．求解古典概型的概率“四步”法2．概率的一般加法公式(1)事件A与B的交(或积)：由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．(2)概率的一般加法公式：设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[小试身手]1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝k n .A．②④B．①③④C．①④D．③④解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2．下列试验是古典概型的是( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B.13C.23D．1解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23.4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( )A.12B.1536C.1936D.56解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝1936.典型例题[典例] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件； ②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．[答案] C(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的基本事件的总数是8；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[活学活用]将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解：(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).[典例] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球1个是白球，1个是红球的概率为P(B)＝8 15 .[活学活用]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝315＝15.[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位 由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13. [活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36种．由方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎨⎧2a －b x ＝6－2b ，2a －by ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎨⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎨⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选D 由题意(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为336＝112，故选D. 2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 3．设a 是从集合{}1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合{}1，2，3中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足log b a≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是5 12 .4．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为3 16 .5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3. 事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310. [层级二 应试能力达标]1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13.故选B.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有3种，其概率为327＝19；无红球的情况有8种，其概率为827，故选B.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180 B.1288 C.1360 D.1480解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故选C. 4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35 解析：选 C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－16＝56.答案：5 66．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝1 10.答案：1 107．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得3a2＋b2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为5 9 .答案：5 98．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝1225＝0.48.9．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3 10 .(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8 15 .。

3.2 古典概型一、知识方法1+11.基本事件在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件，基本事件有如下特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件都可以表示成基本事件的和.如抛掷一枚骰子获取点数的试验中，基本事件共有6个，分别是出现1点，2点，……，6点.2.古典概型如果一个概率模型具有以下两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；(2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.则称这个概率模型为古典概率模型，简称古典概型.如扔硬币试验、摸球试验等.3.古典概型的概率对于古典概型，任何事件A的概率为()AP A 包含的基本事件个数基本事件的总数.4.古典概型解题步骤：⑴阅读题目，搜集信息；⑵用字母表示事件；⑶求出基本事件总数和事件A所包含的结果数；⑷利用古典概型的概率公式求出概率并下结论.5.产生随机数的方法有哪些？有何优点和缺点？在随机模拟中，往往需要大量的随机数．(1)由试验产生随机数：比如产生1～25之间的随机整数，可以将10个完全相同的小球分别标上1，2，…，25，放入袋中，充分搅拌后从中摸出一个球，这个球上的数就是随机数.优点：产生的数是真正的随机数，一般当需要的随机数不是很多时采用缺点：当需要的随机数的量很大时，速度太慢(2)用计算器(计算机)产生随机数：由计算器(计算机)根据确定的算法产生随机数优点：速度较快，适用于产生大量的随机数缺点：并不是真正的随机数，称为伪随机数二、经典例题1+1[例1]：一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？[解析]：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此，共有10个基本事件．（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A ），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故所求的概率为310. ∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为310； [感悟]：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．体现了古典概型中的基本事件只有有限个的特点；1．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的,D d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎）．[例2] 在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（ ） A.31 B.61C.91 D.121[解析]：基本事件数为36，两数之和等于4的事件含有基本事件数为6.所以，所求的概率为61. 答案:B[感悟]：问题属古典概型. 可直接求出概率.．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为____________.[例3] 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数和是3的倍数的概率是多少？[解析]：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果.先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有6636⨯=种不同的结果；(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6212⨯=种不同的结果．(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A ，则事件A 的结果有12种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为13. 答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有12种；点数和是3的倍数的概率为13； 说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：[感悟]：用图表法，数形结合，直观，快捷，准确.3. 用不同的颜色给3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求 (1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．[例4] 分别利用计算器和计算机产生40个100～100之间的取整数值的随机数. [解析]： (1)利用计算器. 具体操作如下：键入反复按键操作40次即可得之.(2)利用计算机.以Excel 软件为例，具体操作如下：1.选定 A1格，键入“=RANDBETWEEN （1，100）”，按Enter 键，则在此格中的数是随机产生的1~100间的整数.2.选定A1格，按Ctrl+C 快捷键，然后选定要随机产生的格A2至A40，按Ctrl+V 快捷键，则在A2至A40的数均为随机产生的整数，这样我们便得到了40个1~100之间的取整数值的随机数.[感悟]：当需要的随机数个数不太多时，可以直接做试验,如果需要的随机数个数较多时，一般选择随机模拟方法（也叫蒙特卡罗方法），即利用计算器或者计算机进行随机模拟试验, 这样可大大节省时间.利用计算器产生10个1到20之间的取整数值的随机数.例5 某种心脏手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，试求： （1）恰好成功1例的概率； （2）恰好成功2例的概率.[解析] 手术的可能结果是有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型求概率的公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟手术的成功概率是0.6.利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3代表不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，这样可以体现成功的概率为0.6.因为做3例手术，所以每3个随机数作为一组.例如产生907，966，191，925，271，932，812，458，569，683 431，…，730，113，537，989共100组随机数.（1）数出0，1，2，3中出现2个的数组个数为N 1=28，则恰好成功1例的概率近似为1001N =28%. （2）数出0，1，2，3中出现1个数的数组个数为N 2=43，则恰好成功2例的概率近似为1002N =43%.. [感悟] 结果不等可能的事件不能用古典概型概率公式求解，一般用随机模拟方法解决.值得注意的是，随机摸拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，即答案不唯一，但非常接近.某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？ 三、探究创新１＋１[例1]设甲袋装有m 个白球，n 个黑球，乙袋装有m 个黑球，n 个白球，从甲、乙袋中各摸一球.设事件A ：“两球相同”，事件B ：“两球异色”，试比较P(A) 与P(B)的大小.解析：基本事件总数为(m+n)2，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”，则“两球同色”的概率为P(A)=222)(2)()(n m mnn m mn n m mn +=+++，“两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”，则“两球异色” 的概率为P(B)=2222222)()()(n m n m n m n n m m ++=+++.∵P(B)-P(A)=22)()(n m n m +-≥0，∴P(A)≤P(B)，当且仅当“m=n ”时取等号.[感悟]：本题考查了对随机事件的概率事件的分析与实际应用, 以及对概率与不等式思想相交汇的综合考查.有利于认识可能发生的基本事件以及它们的内在联系与区别.有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t 无关，统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤∙=),4(0),31)(0()21()(n n P n P n那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率是___________.四、误区警示1+1[题1]掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．[解]掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111. [这样做对吗?]当然不对，错在未找准基本事件.[为什么错了？]以上11种基本事件出现的可能性不相等，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536． [感悟]: 上例错误的原因忽略了古典概型的特点：在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的（等可能性）.1．将骰子先后抛掷2次，计算：出现“向上的数之和为5的倍数”其概率是多少？ 五、同步测试1+1（一）基础训练（满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题 （每小题3分，共30分）1.从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ） A.95B.94C.2111D.2110 2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X的概率为（ ） A ．61B ．365 C ．121 D ．213.下列说法中正确的是( )A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件4.甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是A.256 B.2521 C.338 D.33255.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．17B ．27 C ．37D ．476.从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A.12513 B.12516 C.12518 D.125197.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )A.21 B.32 C.53 D.52 8.甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 9.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为 （ ） A.75 B.107 C.3524 D.704710.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率为（ ）A. 1954B. 3554C. 3854 D. 4160二．填空题（每小题3分，共18分）11.将扑克牌（52张）反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为 . 12.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率是 ．13.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为________.14.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________.（结果用分数表示）15.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 .16.有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所得的三条线段不能拼成三角形的概率是 . 三.解答题（本大题共52分）17．(8分)猪八戒说：“我与孙悟空、沙和尚三人中恰有两人是同一天生的”，一年按365天计算，求这一事件的概率18. 随机模拟法（蒙特卡罗法）的具体步骤是什么？19．(8分) (07·湖北八校联考)箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为n 的卡片反面标的数字是21240nn -+．（卡片正反面用颜色区分） （1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率； （2）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．20．(8分) (06·盐城二模)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的个人，任何人的血都可以输给AB 型的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若小明需要输血，问：任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？21．(8分) 一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球， （1）共有多少种不同的结果？（2）摸出2个黑球多少种不同的结果？ （3）摸出2个黑球的概率是多少？22.(10分) 甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白，三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球，（1）求取出的两个球是不同颜色的概率.（2）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同颜色的概率（写出模拟的步骤）.（二）能力激活（满分：60分 时间：70分钟） 一．选择题(每小题3分，共15分）1.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:则取到的号码为奇数的频率是（ ） A. 0.53B. 0.5C. 0.47D. 0.372.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g 范围内的概率是A.0.62B.0.38C.0.7D.0.683.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于A.72 B.83 C.73 D.2894.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为A.51B.52C.103D.107 5.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次4点向上的概率是（ ）A.2165 B.21625 C.21631 D.21691 二．填空题（每小题4分，共12分）6.在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________7. (07·北京四中)已知A 箱内有1个红球和5个白球，B 箱内有3个白球，现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放入A 箱，共有___种不同的取法，又红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱的概率等于_____8.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）.三．解答题（本大题共33分）9．(8分)储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可以在0至9这10个数字中选出， （1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对着张储蓄卡的密码的概率是多少？ （2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？10.(8分)同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.11.(8分)某人玩射击游戏，每次击中目标的概率都是0.8，他射击4次，求至少击中3次的概率.12.(9分) 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.答案提示和解析 二．经典例题1+1．解析：Dd 与Dd 的搭配方式共有４中：,,,DD Dd dD dd ，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.754=答：第二子代为高茎的概率为0.75．．解析：将3人排序共包含6个基本事件，由古典概型得P=61.答案：1．解析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）基本事件共有27个；(1)记事件A ＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A 包含的基本事件有133⨯=个，故“3个矩形涂同一种颜色”的概率为31279=(2)记事件B ＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B 包含的基本事件有236⨯=个，故“3个矩形颜色都不同” 的概率为62279=答：3个矩形颜色都相同的概率为19；3个矩形颜色都不同的概率为29．．解析：具体操作如下键入反复按 键10次即可得到.5. 其投篮的可能结果是有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数.我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组. 例如：产生20组随机数：812，932，569，683，271，989，730，537，925，657, 907，113，966，191，431，257，393，027，556，889.这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为205=25%. 三、探究创新1+1158.解析：公用电话亭里一个人也没有的概率 P(0)=1-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-… =1-21P(0)-41P(0)-81P(0)-0-0-…，解得P(0)=158.四．误区警示1+11．解析：由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，其中向上的数之和是5的倍数结果（记为事件A ）有4+3＝7种，因此，所求概率736五．同步测试1+1(一) 基础训练 一．选择题1.C 解析：基本事件总数为98784321⨯⨯=⨯⨯种，设抽取3个数,和为偶数为事件A ,则A 事件数包括两类：抽取3个数全为偶数,或抽取3数中2个奇数1个偶数,前者4种,后者10×4种.∴A 中基本事件数为4＋40＝44种. ∴符合要求的概率为4084= 2111. 2. C 解析:满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以所求概率313612=，故选C ． 3.D 解析：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件,应选D. 4.C 解析：甲、乙二人依次抽一题有1211⨯种方法, 而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有48⨯种. 所求概率488121133⨯=⨯. 5.C 解析: 解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得56个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得2456，故C.ABC DE F G H6.D 解析：从数字1、2、3、4、5中，允许重复地随机抽取3个数字，这三个数字和为9的情况为5、2、2；5、3、1；4、3、2；4、4、1；3、3、3.∴概率为3366315++++=12519. 7.D;解析：根据题意，基本事件分别是第1、3、4、5、8路公共汽车到站，显然共有5个，而“乘客所需乘的汽车”包括4路和8路两个，故概率P =52. 8.B 解析：解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立.故选 B 9.D 解析: 从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有210种， 它可分为两类：4点共面与不共面． 如图1，4点共面的情形有三种：①取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC 在面ACD 内），这样的取法有60种；②取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH 与AC 、BD 平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC 与BD 、BC 与AD 、AB 与CD ）；③取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG ），这样的取法共6种． 综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为()2106036141-++=种．故所求的概率为7047210141=，答案选D ． 10.B 解析：0到9这10个数字中任取3个数字能组成的所有三位数有998648⨯⨯=个.事件“不能被3整除”的对立事件为“能被3整除”.将0到9这10个数字分为以下三组.A 组: 0, 3,6,9(被3整除) ; B 组: 1, 4, 7 (被3整除余1) ; C 组: 2, 5, 8 (被3整除余2)能被三整除的数可分为四类: 第一类在A 组中取三个数组成三位数有18个; 第二类在B 中取三个数组成三位数均有33A =6个; 第三类在C 中取三个数组成三位数均有6个;第四类分别在ABC 中各取一个数组成三位数有36个(含0)+162个(不含0)=198个 , ∴这个数不能被3整除的概率186619835164854p +++=-=, 故应选B. 二．填空题11.14解析: 解：把“抽到红心”记为事件B ，那么事件B 相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K ”这13中情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52中情况的可能性是相等的.所以，当出现红心是“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K ”这13中情形之一时，事件B 就发生，于是所求概率为131524=； 12.49解析:两面漆有油漆的小正方体共有2761812---=个， 所以，所求概率为124279=． 13. 50%解析:P=90%-40%=50%.14.145解析：总的排法有87654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种. 最先和最后排试点学校的排法有54654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种. 概率为5465432187654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=145. 答案：14515. 1225解析:此为有放回的摸球, 摸两次球, 可得摸得球的所有方法为25种方法, 两次摸出的球颜色不同的可能情况共有223⨯⨯ , 其概率为222312525P ⨯⨯==. 16.107.解析：能拼成三角形的三条线段仅有3，5，7；5，7，9；3，7，9这三种可能，故所求概率为1－310=107三．解答题17.解析：三人的生日都有365种情况，∴共有3365种不同结果， 三人中恰有两人同一天生，共有3365364⨯⨯种不同结果， ∴记事件A =“三人中恰有两人同一天生”，于是所求概率为33365364365⨯⨯.18.解析： 用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； （2）统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ； （3）计算频率()n Mf A N=作为所求概率的近似值． 19．解析：（1）由不等式21240n n n >-+，得58n <<.由题意知6,7n=，即共有2张卡片正面数字大于反面数字，故所求的概率为215． 答：所求的概率为215. （2）同时取出两张卡片的基本事件为105，设取出的是第m 号卡片和n 号卡片（m n ≠），则有2212401240m m n n -+=-+.即2212()n m nm -=-，由m n ≠得12m n +=.故符合条件的取法为1，11；2，10；3，9；4，8；5，7．故所求的概率为5110521=． 答：故所求的概率为121．20.解析：对于任一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型的事件分别记为////,,,D C B A ，它们是互斥的，由已知，有28.0)(/=AP ，29.0)(/=B P 08.0)(/=C P 35.0)(/=D P因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件//D B +根据互斥事件的加法公式，有//()P BD ==+35.029.064.0.所以任何一人,其血可以输给小明的概率64.021.解析：（1）从袋中摸出2个球，共有6种不同结果； （2）从3个黑球中摸出2个球，共有3种不同结果；（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的，又因为在这6种结果中，摸出2个黑球的结果有3种，所以，从中摸出2个黑球的概率3162=． 22.解析：（1）设A ＝“取出的两球是相同颜色”，B ＝“取出的两球是不同颜色”. 则事件A 的概率为：692323⨯⨯⨯＋＝92.由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为： P （B ）＝1－P （A ）＝1－92＝97（2）随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N 个随机数.用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球.第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n. 第3步：计算N n 的值.则Nn 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. (二) 能力激活 一．选择题1.A 解析:号码为奇数的频率13561811100++++=0.53 .故应选A.2.B 解析：设一个羽毛球的质量为ξ g ，则P （ξ<4.8）+P （4.8≤ξ＜4.85）+P （ξ≥4.85）=1.∴P （4.8≤ξ＜4.85）=1－0.3－0.32=0.38. 答案：B3.A 解析:在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出3个球，至少摸到2个黑球有两种情况：2个黑球一个白球3515⨯=或3个黑球1种，至少摸到2个黑球的概率等于15156P +==27，选A. 4.B 解析: 基本事件数为10，可能发生的基本事件数为4，P =410=52. 5.D 解析：质地均匀的骰子先后抛掷3次,共有6×6×6种结果.3次均不出现4点向上的掷法有5×5×5种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现4点向上的概率为666555⨯⨯⨯⨯=216125,由对立事件概率公式,知3次至少出现一次4点向上的概率是1－216125= 21691.二．填空题 6.91解析：基本事件数为6×6＝36种，可能发生的基本事件数为（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）4种，故41369P ==7. 0.25解析：从A 箱中取出3个球有20种取法,再从B 箱中取出3个球有20种取法, 故共有2020400⨯=种不同的取法.红球由A 箱中取出的概率为101202=,再从B 箱中取回红球的概率为101202=.则红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱的概率等于10100.252020p ⨯==⨯.8.3314解析：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者的基本事件为1211662⨯=种，那么选到的两名都是女同学的基本事件为87282⨯=种概率是2866P ==3314. 三．解答题9.解析：（1）由分步计数原理，这种四位数字号码共410个，又由于随意按下一个四位数字号码，按下其中哪一个号码的可能性都相等，∴正好按对密码的概率是14110P =；（2）按最后一位数字，有10种按法，且按下每个数字的可能性相等，∴正好按对密码的概率是2110P =． 10. 解析:同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率为P =3620＝95. 11.解析：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1代表没击中目标，用2，3，4，5，6，7，8，9代表击中目标，这样可以体现击中目标的概率是0.8.因为射击4次，所以每4个随机数作为一组.例如产生5727，0293，7144，9857，…，2646，7848，6372，1748共100组这样的随机数，数出没有0，1和只有一个0或1的数组数N ，则至少击中3次的概率为100N.（参考答案：0.82）。

古典概型的例子
- 投掷一个质地均匀、形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是1/2。

这是因为硬币的质地均匀，形状规范，所以每一面出现的概率都是相等的。

- 袋中有5个球，其中3个为白球，2个为黄球，设取到每一球的可能性相等。

从袋中随机取一球，取到白球的概率为3/5；从袋中不放回取两球，两个都是白球的概率为3/10。

- 足球场内23个人（双方队员11人加1名主裁），至少有两人生日相同的概率为多大。

总样本空间有365的23次方个样本个数，而任何两人生日不同的事件样本数位365×364×…×（365-22）。

这些例子都具有有限的可能性，并且每个基本结果发生的概率是相同的，这就是古典概型的特点。

古典概型a公式
古典概型是概率论中的一种基本概念，它描述的是在一定条件下，某个事件发生的可能性。

在古典概型中，所有可能的结果都是等可能的。

古典概型的概率计算公式如下：
P(A) = A发生的次数/ 所有可能发生的次数
其中，P(A)表示事件A发生的概率，A发生的次数表示在一定条件下，事件A发生的次数，所有可能发生的次数表示在所有可能的结果中，总共有多少种结果。

举个例子，抛一枚公平的硬币，正面朝上和反面朝上的概率各占1/2。

这里，抛硬币的结果有两种：正面和反面，这两种结果是等可能的。

因此，抛硬币正面朝上的概率为1/2。

古典概型的概率计算在许多实际场景中具有广泛的应用。

例如，在抽奖活动中，如果奖品分为一等奖、二等奖和三等奖，那么每个参与者获奖的概率分别为一等奖1/100，二等奖1/50和三等奖1/25。

通过计算概率，主办方可以预测活动的参与者在各种奖项中的分布情况，从而为活动的组织和策划提供数据支持。

此外，在考试中，随机抽查学生的知识点掌握情况也可以用古典概型概率来描述。

假设老师想要了解学生对某一知识点的掌握情况，他可以从学生中随机抽查10人。

如果在这10人中，有3人掌握了这个知识点，那么这个知识点的掌握率为3/10。

通过这种方法，老师可以了解学生在整个班级中的知识水平，从而调整教学策略。

总之，古典概型概率在实际生活中具有广泛的应用，掌握其概率计算方法有助于我们更好地理解和分析各种现象。