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复合泊松过程模型的推广和在R语言环境下的随机模拟首先，让我们回顾一下泊松过程的定义。
一个泊松过程是一个随机过程，它满足以下性质：1. 非负增量：对于任意的$t\geq s$，随机变量$N(t)-N(s)$是一个非负整数。
2.马尔可夫性：对于任意的$s<t$，条件随机变量$N(t)-N(s)$的分布只依赖于时间间隔$t-s$，而不依赖于过去的历史状态。
复合泊松过程是一个在每个时间点发生数目服从泊松分布的事件，并且每个事件的强度也是一个随机变量的随机过程。
具体来说，设$\{N(t), t\geq 0\}$是一个泊松过程，$\{Y_i, i\geq 1\}$是一列独立同分布的随机变量，它们服从参数为$\lambda$的泊松分布。
令$\{\tau_i, i\geq0\}$是泊松过程$\{N(t)\}$的时间点集合，其中$\tau_0$为0，$\tau_i$为第$i$次事件发生的时间点。
那么复合泊松过程$\{X(t),t\geq 0\}$定义为：\[X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i \quad t\geq 0\]其中$N(t)$表示在时间点$t$之前发生的事件数目，$Y_i$表示第$i$次事件的强度。
1. 非负增量：对于任意的$t\geq s$，随机变量$X(t)-X(s)$是一个非负随机变量。
2.马尔可夫性：对于任意的$s<t$，条件随机变量$X(t)-X(s)$的分布只依赖于时间间隔$t-s$和时间点$s$。
现在让我们在R语言环境下进行复合泊松过程的随机模拟。
首先，我们需要生成泊松分布的随机数。
R语言中可以使用函数`rpois(`来生成泊松分布的随机数。
例如，`rpois(10, 2)`将生成个数为10，参数为2的泊松分布的随机数。
然后，我们需要确定复合泊松过程的参数，其中$\lambda$表示泊松过程的强度，$N(t)$表示在时间点$t$之前发生的事件数目，$Y_i$表示第$i$次事件的强度。
泊松融合原理和python代码泊松融合是一种图像处理技术，可以将两幅图像进行平滑过渡，使其看起来自然无缝地融合在一起。
本文将介绍泊松融合的原理，并给出使用Python实现泊松融合的代码示例。
1. 泊松融合的原理2. 泊松融合的步骤3. 使用Python实现泊松融合的代码示例【1. 泊松融合的原理】泊松融合的原理是基于在两幅图像之间进行局部亮度和颜色平滑的假设。
具体来说，泊松融合可以看作是将源图像的颜色和边缘信息与目标图像的结构进行融合的过程。
【2. 泊松融合的步骤】泊松融合一般包括以下几个步骤：1) 输入源图像和目标图像。
2) 确定源图像在目标图像中的位置，以及需要融合的区域。
3) 对源图像和目标图像进行预处理，包括调整图像大小、灰度化等。
4) 使用梯度域重建技术计算源图像的梯度场。
5) 根据源图像的梯度向量和目标图像的结构特征进行优化，生成泊松方程。
6) 使用泊松方程进行图像融合。
7) 输出泊松融合后的图像。
【3. 使用Python实现泊松融合的代码示例】下面是一个使用Python实现泊松融合的简单示例代码：```pythonimport cv2import numpy as npdef poisson_blend(source, target, mask):# 将原图像和目标图像转换为浮点型source = source.astype(np.float32)target = target.astype(np.float32)# 将图像转换为灰度图gray_source = cv2.cvtColor(source, cv2.COLOR_BGR2GRAY) gray_target = cv2.cvtColor(target, cv2.COLOR_BGR2GRAY) # 计算源图像的梯度场gradient = placian(gray_source, cv2.CV_64F)# 将源图像的梯度场与目标图像的结构特征进行融合result = target.copy()result[mask] = source[mask] - gradientreturn result.astype(np.uint8)# 读取源图像、目标图像和融合区域的掩码source = cv2.imread("source.jpg")target = cv2.imread("target.jpg")mask = cv2.imread("mask.jpg", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)# 进行泊松融合blended_image = poisson_blend(source, target, mask)# 显示融合结果cv2.imshow("Blended Image", blended_image)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()【4. 总结】泊松融合是一种常用的图像处理技术，可以实现图像的无缝融合。
应用随机过程实验2—泊松过程一.准备知识1.泊松过程2.非齐次泊松过程3. 复合泊松过程二.作业1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，（1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图；（2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图；（3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。
2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)iN μσ，1,2,3,i = ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ，（1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差；（2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。
3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数，（1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图；（2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。
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电子信息与通信工程学院实验报告实验名称非其次泊松过程课程名称随机信号分析姓名顾康学号U201413323 日期 6.13 地点南一楼成绩教师董燕1.题目Consider the nonhomogeneous Poisson process with its intensity function spectified in Example2.3.6. (a) Write a MATLAB program to generate (stimulate) the first eighty arrival times. (b) Given t=8(hours),write a Matlab program to generate N(8) and then the arrival times in the interval(0,8],draw the respective histograms showing hour5y arrival counts.(a)由定理设λ（ｔ）≤λ，其中λ为一常数，而ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ，…为参数λ的齐次泊松过程的事件发生的时刻，对每个ｓｉ，以概率λ（ｓｉ）／λ进行保留，以概率１－λ（ｓｉ）／λ舍弃，由此得到的序列ｓ（１），ｓ（２），…，ｓ（ｎ），…是强度为λ（ｔ）的非齐次泊松过程事件发生的时刻。
证明显然，ｓ（１），ｓ（２），…，ｓ（ｎ），…是ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ，…的稀疏。
设Ａ＝｛非齐次泊松过程Ｎ（ｔ）在（ｔ，ｔ＋ｈ］中有一个事件发生｝，Ｂ＝｛齐次泊松过程Ｎ（ｔ）在（ｔ，ｔ＋ｈ］中有一个事件发生｝，则有Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝（λｈ＋ｏ（ｈ））λ（ｔ）/λ= λ（ｔ）ｈ＋ｏ（ｈ），由此可知从ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ，…中选出的序列ｓ（１），ｓ（２），…，ｓ（ｎ），…．满足非其次泊松过程的性质。
根据定理，先产生齐次泊松过程事件发生的时刻，再按概率稀疏就得到非齐次泊松过程事件发生时刻，步骤如下．（１）产生参数λ的齐次泊松过程的Ｔ前事件发生的时刻ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ．( 2 )产生（０，１）上的随机数ｘｉ，若ｘｉ≤λ（ｓｉ）／λ，保留ｓｉ，否则舍弃ｓｉ．（３）将保留的ｓｉ，分别记为ｓ（１），ｓ（２），…，ｓ（ｋ）并输出即可．(a). CODEsyms tnamdanamda=8.924-1.584*cos(pi*t/1.51)+7.897*sin(pi*t/3.02)-10.434*cos(pi*t/4.53)+ 4.293*cos(pi*t/6.04);size=1000;%产生{s}的多少times=80; %到达次数y=zeros(1,size);z=zeros(1,times);T=zeros(1,times);mu=34;for i=1:1:sizex=rand(1);y(i)=-log(x)./mu;%产生{s}endfor i=1:1:timesfor j=1:1:sizex=rand(1);temp=subs(namda,'t',8+y(j));if x< temp/mu%筛选过程z(i)=y(j);Break;endendendT(1)=0;for k=1:1:timesfor i=2:kT(i)=T(i-1)+z(i);endendplot(T)X=1:1:80;(b)关于产生N（8），只需应用公式：P{N(t)=n}=exp（-λt)* (λt)^n/n!而关于在（0,8]内的到达次数，原理与（a）相同，只需修改代码的边界条件。
(b).code partⅠtimes=8;z=zeros(1,100);for j=1:1:80;mu=int(namda,0,j/10);z(j)=exp(-mu)*(mu)^times/factorial(times);endplot(z)set(handles,'xtick',0:0.1:10);(b).code part Ⅱsyms tnamdanamda=8.924-1.584*cos(pi*t/1.51)+7.897*sin(pi*t/3.02)-10.434*cos( pi*t/4.53)+4.293*cos(pi*t/6.04);size=1000;%产生{s}的多少times=300;%更改到达次数y=zeros(1,size);z=zeros(1,times);T=zeros(1,times);mu=20;for i=1:1:sizex=rand(1);y(i)=-log(x)./mu;%产生{s}endfor i=1:1:timesfor j=1:1:sizex=rand(1);temp=subs(namda,'t',8+y(j)); if x< temp/mu%筛选过程z(i)=y(j);breakendendendT(1)=0;for k=1:1:timesfor i=2:kT(i)=T(i-1)+z(i);endendplot(T)axis([0 200 0 8]);%限制时间[0,8]2.题目Consider the problem described in Example 2.3.9.Suppose mow that we have two identical HP computers to handle the incoming traffic.Assume that the service time of each computer is exponential with a rate of 3.5 per hour(so the aggregate total service rate is still 7 per hour ).Again we assume that there are 3 waiting spaces.A waiting customer will be served ny the first computer that becomes free on a first-come-first-served pute the loss probabilities as a function of time t over the interval (0,8].Plot your result s and compsre them agianst those shown inFigure 2.7.2.1基于之前的例题，可以确定解题思路是构造关于Pn(t)的隐式方程组。
注意到该题条件的特殊性在于有两台处理器同时工作。
例2.3.6的推导过程可以借鉴：Po(t+h)=P{X(t+h)=0}=∑P{X(t)=k,X(t+h)=0}. (1)随后将右式展开Po(t+h)=Po(t)[1-λ(t)+o(h)]+P1(t)[μh+o(h)]+o(h)=Po(t)[1-λ(t)]+P1(t)μh+o(h)随后等式两端同减Po(t)，并除以h得Po’(t)=- λ(t)Po(t)+ μP1(t) (2)注意到这里S=2,将1式推广至n:当1<n≤S,P n(t+h)=P{X(t+h)=n}=∑P{X(t)=k,X(t+h)=n} (3)展开3式P n(t+h)=P n-1(t)[λ(t)h+o(h)]+P n(t) [1-λ(t)h-nμh+o(h)]+P n+1(t) [(n+1)μh+o(h)]+o(h).再应用2式相同的方法P’n(t+h)=λ(t)P n-1(t)+(n+1)μhP n+1(t)- [λ(t)+nμ]P n(t) 1<n≤S,P’n(t+h)=λ(t)P n-1(t)+sμhP n+1(t)- [λ(t)+sμ]P n(t) n>S最终得到了我需要的用以构建隐式方程组的递推公式基于以上结论，我以矩阵形式构造了方程组，并利用matlab ode45 解出了{P}.2.2CODEfunction y=random3()%主函数y0=[1,0,0,0,0,0];[t,y]=ode45(@odefun,[0,8],y0);%四阶-五阶Runge-Kutta算法plot(t,y(:,6));%从矩阵中取得我关心的P5xlabel('t');ylabel('loss probability');title('P5');Endfunction dx=odefun(t,x)%构造隐式方程组，子函数namda=8.924-1.584*cos(pi*t/1.51)+7.897*sin(pi*t/3.02)-10.434*cos( pi*t/4.53)+4.293*cos(pi*t/6.04);mu=3.5;%exponetial rateB=[ x(1),x(2),x(3), x(4), x(5),x(6)];C=[-namda, mu , 0 , 0 , 0 ,0 ;namda,-(namda+mu),2*mu,0,0,0;0,namda,-(namda+2*mu),2*mu,0,0;0, 0 ,namda,-(namda+2*mu),2*mu,0;0, 0 , 0, namda,-(namda+2*mu),2*mu;0, 0 , 0, 0, namda,-2*mu ];dx=C*B';%复杂的方程组简化为矩阵运算end8am 4pm8pm 4pm对比λ(t) 与P5，峰值同样在相近的时间达到参考文献：1.《非齐次泊松过程的仿真方法》-宁如云。
