下载文档原格式
线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
线性代数之——线性变换及对应矩阵1. 线性变换的概念当⼀个矩阵A乘以⼀个向量\boldsymbol v时，它将\boldsymbol v变换到另⼀个向量A\boldsymbol v。
进来的是\boldsymbol v，出去的是T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v。
⼀个变换T就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字x，得到f(x)。
但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的\boldsymbol v，我们是将整个空间\boldsymbol V进⾏变换当我们⽤A乘以每⼀个向量\boldsymbol v时。
⼀个变换T，为空间\boldsymbol V中的每⼀个向量\boldsymbol v分配⼀个输出T( \boldsymbol v)。
这个变换是线性的，如果它满⾜：(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v)\space 对任意 \space c \space 成⽴我们可以将这两个条件结合成⼀个，T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)矩阵相乘满⾜线性变化，因为A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w始终成⽴。
线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。
在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓形。
这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。
但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合Av，零空间包含所有使得Av=0的输⼊。
§3 线性变换和矩阵一、线性变换在某组基下对应的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1)其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变， 因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211）=1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就 知道了，或者说1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与ℬ在这组基上的作用 相同，即A i ε=B i ε， ,,,2,1n i Λ=那么A= B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出， 基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个 线性变换 A , 使A i ε=i α .,,2,1n i Λ=定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i Λ=定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)）=A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵.例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下⎩⎨⎧+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A ii i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明A 2=A投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是]练习：7, 8, 9⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00111O O 这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射. 换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个 线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换组成的集合)(V L 对于线性变换的 加法与数量乘法构成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构.定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21Λ下的 坐标是),,,(21n x x x Λ,则A ξ在基n εεε,,,21Λ下的坐标),,,(21n y y y Λ可以按公式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y M M 2121 计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变， 同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚 线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,,,21Λ, (6) n ηηη,,,21Λ (7) 下的矩阵分别为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.定理4 告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系.定义3 设A ,B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ， 使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反身性：A A ~2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似， 那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么X A A X B B )(21121+=+-,X A A X B B )(21121-=由此可知，如果AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么X A f X B f )()(1-=利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的 矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0112计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2111),(),(2121εεηη练习： 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18。
