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线性代数向量空间与线性变换线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换的性质和特征。
向量空间是线性代数的核心概念之一，而线性变换则是在向量空间内进行变换的关键操作。
本文将介绍向量空间和线性变换的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、向量空间向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的代数运算规律。
具体来说，一个向量空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该向量空间。
即对于任意向量u和v以及任意标量c和d，cu+dv仍然属于该向量空间。
2. 加法运算的结合性：对于向量空间中的任意三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法运算的交换性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，满足u+v = v+u。
4. 存在零向量：向量空间中存在一个零向量0，满足对于任意向量u，u+0 = u。
5. 存在负向量：对于向量空间中的任意向量u，存在一个负向量-v，满足u+(-v) = 0。
6. 标量乘法的结合性：对于标量的乘法运算，满足c(du) = (cd)u。
7. 标量乘法的分配性：对于标量的乘法运算和向量的加法运算，满足(c+d)u = cu+du，以及c(u+v) = cu+cv。
满足以上条件的集合即为向量空间。
在向量空间中，向量可以按照一定的线性关系进行运算和转换。
二、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，该映射满足以下两个性质：1. 保持线性关系：对于向量空间V中的任意两个向量u和v以及标量c，线性变换T必须满足T(cu+dv) = cT(u)+dT(v)。
2. 保持零向量：线性变换T必须满足T(0) = 0，即将零向量映射为零向量。
线性变换可以通过矩阵的乘法来表示。
设向量空间V和W分别为n 维和m维的向量空间，线性变换T:V→W可以表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)的坐标表示，ei为向量空间V的基向量。
第2讲线性变换第2讲线性变换第2讲线性变换第2谈线性变换内容：1.线性变换2.线性变换的矩阵则表示，特征值与特征向量3.线性变换的值域、核及维持不变子空间线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，线性空间v中自身到自身的一种线性映射称为v的一个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1线性变换1线性变换t是v到自身v的定义1.1设v是数域p上的线性空间，一个态射，即为对于v中的任一元素x均存有唯一的y∈v与之对应，则表示t为v 的一个转换或算子，记作t(x)=y,表示y为x在转换t下的象，x为y的原象．若态射t 还满足用户:t(kx+ly)=kt(x)+lt(y)，∀x,y∈v,k,l∈p,表示t为v的线性变换．1.1二维实向量空间r=⎨⎨⎨ξi∈r,i=1,2⎨，将其绕原点转动θ角的操作方式就是一个线性变换．证明：x=⎨⎨ξ1⎨⎨η1⎨⎨η1=ξ1cosθ-ξ2sinθy=t(x)=，,⎨⎨⎨η⎨⎨ξ2⎨⎨2⎨⎨η2=ξ1sinθ+ξ2cosθ⎨η1⎨⎨cosθ⎨η2⎨⎨sinθ-sinθ⎨⎨ξ1⎨∈r2。
可见该操作t⎨⎨⎨cosθ⎨⎨ξ2⎨证明其为线性变换．⎨x⎨⎨z⎨⎨kx⎨⎨lz⎨⎨kx+lz1⎨∀x=⎨1⎨,z=⎨1⎨∈r2,k,l∈r,kx+lz=⎨1⎨+⎨1⎨=⎨1⎨，xzkxlzkx+lz2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨cosθ-sinθ⎨⎨kx1+lz1⎨t(kx+ly)=⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨kx2+lz2⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨x1⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨z1⎨，=k⎨+l⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨x2⎨⎨sinθcosθ⎨⎨z2⎨=kt(x)+lt(z)所以,t是线性变换．2几种常用的线性变换把线性空间v的任一向量都变成其自身的转换称作单位转换或并集转换，记作te，即为：te(x)=x,把线性空间v中的任一向量都变为零向量的变换称为零变换，记为t0，即t0(x)=0,∀x∈v．如果t1,t2就是v的两个转换，∀x∈v，均存有t1(x)=t2(x)，则表示转换t1与t2成正比，记作t1=t2．4）满秩（线性）变换若（线性）转换t将所有的线性毫无关系元素组仍转换为线性毫无关系的元素组，则称作八十秩（线性）转换．5）变换的和t1+t2，∀x∈v，(t1+t2)(x)=t1(x)+t2(x)，则t=t1+t2．6）变换的数乘kt：∀x∈v，(kt)(x)=kt(x)．7）负变换：(-t)(x)=-t(x)．8）转换的乘积t1t2：∀x∈v，(t1t2)(x)=t1(t2(x))．9）连分数t-1：∀x∈v，若存有转换s使(st)(x)≡x，则表示s为t的连分数s=t-1．10）变换的多项式：tn=ttt，并规定t0=te;f(t)=∑ant→f(t)=∑ant→f(t)(x)=∑antn(x)．说明：变换的乘积不满足交换律；只有满秩变换才有逆变换，st=te．3线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变成零元素2）正数元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．特别注意，线性毫无关系的元素组经过线性变换不一定就是线性并无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关．§2线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量非常有限佩线性空间的任一元素（向量）都可以由基元素（向量）唯一线性则表示，元素（向量）可以用座标则表示出，通过座标把线性变换用矩阵则表示出，从而可以把比较抽象化的线性变换转变为具体内容的矩阵去处置．1线性变换的矩阵则表示设t是线性空间vn的一个线性变换，且{x1,x2,,xn}是vn的一个基，x=∑ξixi=[x1，则存在唯一的坐标表示⎨ξ1⎨⎨ξ⎨xn]⎨2⎨,有⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨t(x)=t(ξ1x1+ξ2x2++ξnxn)⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨2=[t(x1)t(x2)t(xn)]⎨⎨=t(x1x2xn)⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξ⎨n⎨⎨ξn⎨要确定线性变换t，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．2.1设t(xi)=[x1x2xn]⎨2i⎨，⎨⎨⎨⎨⎨ani⎨⎨a11⎨axn]⎨21⎨⎨⎨an1a12a22an2a1n⎨a2n⎨⎨=[xxx]a，12n⎨t(x1,x2,,xn)=[x1对于任意元素x，在该基下，变换后t(x)的坐标表示为⎨η1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨η⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨t(x)=[x1x2xn]⎨2⎨，即t(x)=t(x1,x2,,xn)⎨2⎨=[x1,x2,,xn]a⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ηξ⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨⎨η1⎨可知：⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,即为：x⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨2⎨，t(x)⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,把a称作t⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨{x1,x2,,xn}下的矩阵表示．定理2.1设{x1,x2,,xn}就是vn的一个基为，t1、t2在该基下的矩阵分别为a、b．则存有（1）(t1+t2)[x1（2）(kt1)[x1（3）(t1t2)[x1（4）t-1[x1x2xn]=[x1x2xn](a+b)x2xn]=[x1x2xn](ka)x2xn]=[x1x2xn](ab)x2xn]=[x1x2xn]a-1推断2.1设f(t)=∑aiti为纯量t的m次多项式，t为线性空间vn的一个线性变换，且在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，则f(t)[x1x2xn]=[x1x2xn]f(a)，其中f(a)=∑aiai，推论2.2设线性变换t在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，元素x在该基下的坐标为(ξ1,ξ2,,ξn)，则t(x)在该基⎨η1⎨⎨η⎨下的坐标(η1,η2,,ηn)满足⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨．⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨定理2.2设t在vn的两个基为{x1,x2,,xn}及{y1,y2,,yn}的矩阵分别为a和b，且[y1则b=c-1ac.y2yn]=[x1x2xn]c，即a和b相近，记作a~b．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理2.3n阶方阵a和b相近的充要条件就是a和b为同一线性变换在相同基下的矩阵则表示．2特征值与特征向量定义2.2设t是数域p上线性空间v中的线性变换．如果对于数域p中某一数λ,存在非零向量α，使得t(α)=λα则称λ为t的一个特征值，而α称为t的对应于特征值λ的一个特征向量．式(1)说明，在几何上，特征向量α的方位，经过线性变换后维持维持不变．特征向量不是被特征值惟一确认；但是，特征值却被特征向量惟一确认．设x1,x2,,xn是线性空间vn的基，线性变换t在该基下的矩阵表示是a=(aij)．令λ0是t的特征值，属于λ0的特征向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn,则由式(1)知t(x)及λ0x的坐标分别是⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,λ0⎨2⎨，有a⎨2⎨=λ0⎨2⎨，即⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξξξ⎨n⎨⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨(λ0e-a)⎨2⎨=0,（2）⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨由于x≠0，因此，ξ1,ξ2,,ξn不全系列为零，从而就存有det(λ0e-a)=-a21-an1-a12-an2-a1n-a2n定义2.3设a=(aij)是数域p上的n阶矩阵，λ是参数，称-a12-an2det(λe-a)=为矩阵的特征多项式．它是p上的一个n次多项式．ϕ(λ)的根(或零点)λ0，即ϕ(λ)=0，称作a的特征值(根)；而适当于方程组（2）的非零解向量(ξ1,ξ2,,ξn)t称为a的属于特征值λ0的特征向量．表明：如果λ0就是线性变换的特征值，那么λ0必定就是矩阵a的特征多项式ϕ(λ)=det(λe-a)的一个根；反之，如果λ0就是ϕ(λ)在数域p中的一个根，即为存有ϕ(λ0)=det(λ0e-a)=0,那么齐次线性方程组（2）就存有非零求解．于是非零向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn就满足用户式(1)，从而λ0就是t的特征值，所x就是t的属λ0的特征向量．以，欲求线性变换t的特征值和特征向量，只要求出t的矩阵a的特征值和特征向量就行了．换言之，t的特征值与a的特征值相一致，而t的特征向量在vn的基下的坐标(列向量)与a的特征向量相一致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第一步：挑定数域p上的线性空间vn的一个基为，写下线性变换t在该基下的矩阵a；第二步：算出a的特征多项式ϕ(λ)在数域p上的全部根，它们就是t的全部特征值；第三步：把求出的特征值逐个代入方程组(2)，求解出来矩阵a属每个特征值的全部线性毫无关系的特征向量．第四步：以a的属每个特征值的特征向量为vn中德博瓦桑县基下的座标，即为得t的适当特征向量．例2.1设线性变换t在v3的基x1,x2,x3下的矩阵是a=212⎨，谋t的特征值和特征向量．求解难求出a的特征多项式就是-2=(λ+1)(λ-5).ϕ(λ)=det(λe-a)=-2因此，t的特征值是λ1=一1(二重特征值)和λ2=5．特征方程(λ1e-a)x=0的一个基础解系为:(1,0,-1)t，(0,1,-1)t,t的属于λ1的t的属λ1的两个线性毫无关系的特征向量为y1=x1-x3，y2=x2-x3，全体特征向量为:k1y1+k2y2,(k1,k2∈p不同时为零)；特征方程(λ2e-a)x=0的一个基础卢播为(1,1,1)t，记y3=x1+x2+x3，则t的属于λ2的全体特征向量为：k3y3，(k3∈p不等于零)．定理2.4对于线性空间vn的线性变换t的任一特征值的属于λ0的全部特征向量，再添上零向量所构成的集={x(x)=λ0x,x∈vn}就是vn的一个线性子空间．事实上，设x,y∈vλ，则有t(x)=λ0x，t(y)=λ0y；于是：t(x+y)=t(x)+t(y)=λ0x+λ0y=λ0(x+y)，t(kx)=k(tx)=k(λ0x)=λ0(kx)，这就是说明x+y与kx均属于vλ．§3线性变换的值域、核及维持不变子空间1线性变换的值域和核定义3.1设数域p上的线性空间vn和vm，t是vn到vm的一个线性态射，t的全体像是共同组成的子集称作t的值域，用r(t)表示，也称为t的像是空间，记作tvn，即为r(t)=tvn=t(α)∈vn⊂vm；所有被t变为零元素（零向量）的元素（向量）形成的子集称作t的核，记作ker(t)或t-1(0)，有时也表示ker(t)为t的零空间，记作n(t)，即为n(t)=ker(t)=α(α)=0,α∈vn⊂vn．当t就是线性变换时，表示r(t)和n(t)分别为线性变换t的值域和核．可以证明，r(t)和n(t)分别是vm和vn的线性子空间．定义3.2称r(t)的维数dimr(t)为线性变换t的秩，记为r(t)；表示n(t)null(t)．的维数dimn(t)称为线性变换t的零度，记为⎨110⎨⎨3.1设t(x)=ax,a=110⎨，求t解令a={a1,a2,a3},x=(x1,x2,x3)t，其中a1=(1,1,0);a3=(0,0,1)r(t)={x1a1+x2a2+x3a3}=span(a1,a3)，ax=0的x=(1,-1,0)t=kα，故n(t)=span{α}.2线性变换的不变子空间定义3.3如果t就是线性空间v的线性变换，v1就是v的子空间，并且对于任一一个x∈v1，都存有t(x)∈v1，则表示v1就是t的维持不变子空间．定义3.4以cm表示全体m维复向量在复数域c上构成的线性空间，a为m⨯n复矩阵，其列(向量)为α1,α2,,αn．显然，αi∈cm，i=1,2,,n．子空间span(α1,α2,,αn)称为矩阵a的列空间(值域)，记作r(a)，即r(a)=s pan(α1,α2,,αn)．a=(α1,α2,,αn)y=(y1,y2,,yn)∈cnr(a)=ayy∈cn似乎，a的秩等同于a的值域的维数，即rank(a)=dimr(a)．定义3.5设a为m⨯n为丛藓科扭口藓矩阵，表示线性方程组ax=0在复数域上的求解空间为n(a)={xax=0}.的化零空间(核)，记作n(a)，即为显然，n(a)是cn的一个子空间，称n(a)的维数为a的零度，即null(a)=dimn(a).定理3.1（1）dimr(t)+dimn(t)=dimvn（2）dimr(a)=rank(a)（3）dimr(a)+dimn(a)=n，n为a的列数．基准3.2设a=⎨⎨⎨,求null(a)．1-13⎨⎨求解由ax=0Champsaurx=k(-5,1,2)t，故null(a)=1．定理3.2设a为m⨯n矩阵，则rank(a)+null(a)=n．证明因为齐次线性方程组ax=0的求解空间的维数(基础卢播涵盖的线性毫无关系向量的个数)为n-rank(a)，故上式设立．下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵．假设s={α1,α2,,αk}就是t的维持不变子空间w的一个基为，可以将s扩充为v的一个基s={α1,α2,,αk,αk+1,,αn}．t是v上的一个线性转换．对s中的每个基为向量αj,t(αj)∈w，可以则表示成t(α1)=a11α1++ak1αkt(αk)=a1kkα1++akkαkt(αk+1)=a1k+1α1++akk+1αk+ak+1k+1αk+1++ank+1αnt(αn)=a1nα1++aknαk+ak+1nαk+1++annαn⎨a11⎨⎨⎨ak1线性变换t在基s下的矩阵就是a=⎨⎨0⎨⎨⎨⎨0a可以分块译成a=0a12⎨⎨.a22⎨⎨akk+1ak+1k+1ank+1⎨，ak+1n⎨⎨⎨ann⎨⎨定理3.3如果v1⊕v2=v，并且v1，v2就是t的两个维持不变子空间，即t(v1)⊆v1，t(v2)⊆v2．则线性变换t的矩阵为依据对角形0⎨⎨.⎨a22⎨特别地，若所有vi都就是一维子空间时，则矩阵a精简为对角矩阵a=diag(a1,a2,,an)=⎨⎨⎨.⎨⎨an⎨⎨定理3.4设t是线性空间vn的线性变换,λ1,λ2,,λn是t的全部不同的特征值,则t在某一基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是dimvλ1+dimvλ2++dimvλn=n.可知，线性变换t的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角矩阵)与线性空间vn可分解为若干个不变子空间的直和是相当的．。
线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。
线性变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射：(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。
2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质：(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。
