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函数的极值目的要求1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用．2．增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．内容分析1．本节课是从函数图象出发，向学生介绍函数极大值、极小值、极值、极值点的有关</PGN0132B.TXT/PGN>概念；在此基础上介绍利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法．2．本小节内容是导数在研究函数性质方面的应用的继续深入．它是上一节的继续并为下一节做准备，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点．通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别法，就为学生下一节学习函数最大、最小值的判定铺平了道路．3．本节的重点是正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．难点是正确掌握“点是极值点〞的充分条件及必要条件，使学生灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．4．在教学过程中，函数极值的有关概念和求解方法的讲授要注意与函数的图象相结合，养成学生数形结合思考问题的习惯．借助多媒体辅助教学去加深学生对它们的理解，提高教学效率．为使学生能清楚地掌握“点是极值点〞的充分条件或必要条件，适当地补充一些实例，包括导数不存在时的例题，加强练习以提高学生的解题能力．教学过程本节课学习“函数的极值〞．1．复习引入问题1 对于函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7，利用函数的导数讨论它在R上的单调性．(此题为上一节例2的变式．多媒体展示)同学解答并请上台板演，以帮助复习上节课的知识．老师讲评后，用多媒体展示老师自己的解答和函数图象(略)．</PGN0133A.TXT/PGN>2．新授观察函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7图象可知，函数值f(0)比临近x＝0点的其他函数值都要大；函数值f(2)比临近x＝2点的其它函数值都要小．由老师给出函数的定义．(略)(此时，多媒体画面上的问题1及其图形向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示定义)强调“临近点〞的含义，指出函数极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(多媒体画面上的图形与文字再次向上方适当缩小，在同一画面的下方显示如以下图形——图44－1．有f(x1)＜f(x2))问题2 观察图形，说出在极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有何关系．(多媒体画面中，极值的定义与图2消失，问题1的图形适当增大，并增加展示出图象上点(x0，f(x0))处的切线x0变化的动画．给出问题2)在老师的引导下，不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0(本例题中，极值点处的导数为0)；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．(此时，多媒体画面上的图形及问题2向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示出判别f(x0)是极大、极小值的方法(略))3．例题与练习讲解与展示解题过程与图象时，要使学生能够清楚老师的思维过程、求解的一般步骤与书写的格式．(结合例1展示利用导数求函数极值的步骤(略))练习1 教科书第136页练习第(1)、(2)题．请两名学生上讲台板演，其他同学在自己的座位上独立完成，老师巡回检查．讲解后，展示老师的解法、书写和图形．说明：导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．(展示此函数的图形)例2 求y＝(x2－1)3＋1的极值．(教科书上例2，解略)讲解时应阐述清楚老师的思路与解题的步骤，完整展示书写的格式与函数的图象．并着重说明：导数为0的点不一定是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要条件而非充分条件．</PGN0134A.TXT/PGN>练习2 教科书第136页练习第(3)、(4)题．补充例题1 函数f(x)＝|x|，在x＝0处函数极值的情况是[ ]A．没有极值B．有极大值C．有极小值D．极值情况不能确定解：当x＞0时，f(x)＝x，知f′(x)＝1＞0；当x＜0时，f(x)＝－x，知f′(x)＝－1＜0；当x＝0时，f(x)＝0，且f′(x)不存在．知x＝0是此函数的极小值点，应选C．展示函数的图象，着重说明：函数的不可导点也可能是极值点．可知x＝1时，f′(x)＝0；而x＝0和x＝2时，f′(x)不存在．由x＝0、x＝1、x＝2三点将定义域分成四个区间，列表：函数f(x)有极小值f(0)＝0，f(2)＝0，有极大值f(1)＝1．展示函数的图象．着重说明：函数的导数不存在的点也可能是极值点．4．归纳小结(1)可微函数的极值与其导数的关系．第一，函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．第二，点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．点是极值点的必要条件是在这点的导数为0．第三，函数的不可导点也可能是极值点．(2)求解函数极值的步骤是：第一，确定函数的定义域；第二，求方程f′(x)＝0的根；第三，用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个小开区间，并列成表格；第四，由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．课外研究题注：此题是上节“课外研究题2〞的变式，解题思路可作调整．f′(x)＜0，－1＜x＜0时f′(x)＞0，知f(0)＝0是此函数的极大值．知f(x)在x＞－1时f(x)≤0．同理可证g(x)＝ln(1＋x)－x在x＞－1时g(x)≤0．综上获证．。
人教版高中数学教材目录（全）第一册上第一章集合与简易逻辑一集合1．1集合1．2 子集、全集、补集1．3交集、并集1．4含绝对值的不等式解法1．5一元一次不等式解法阅读材料集合中元素的个数二简易逻辑1．6逻辑联结词1．7四种命题1．8充分条件与必要条件小结与复习复习参考题一第二章函数一函数2．1函数2．2函数的表示法2．3函数的单调性2．4反函数二指数与指数函数2．5指数2．6指数函数三对数与对数函数2．7对数阅读材料对数的发明2．8对数函数2．9函数的应用举例阅读材料自由落体运动的数学模型实习作业建立实际问题的函数模型小结与复习复习参考题二第三章数列3．1数列3．2等差数列3．3等差数列的前n项和阅读材料有关储蓄的计算3．4等比数列3．5等比数列的前n项和研究性学习课题：数列在分期付款中的应用小结与复习复习参考题三第一册下第四章三角函数一任意角的三角函数4．1角的概念的推广4．2弧度制4．3任意角的三角函数阅读材料三角函数与欧拉4．4同角三角函数的基本关系式4．5正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数4．6两角和与差的正弦、余弦、正切4．7二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质4．8正弦函数、余弦函数的图象和性质4．9函数y=Asin（ωx+φ）的图象4．10正切函数的图象和性质4．11已知三角函数值求角阅读材料潮汐与港口水深小结与复习复习参考题四第五章平面向量一向量及其运算5．1向量5．2向量的加法与减法5．3实数与向量的积5．4平面向量的坐标运算5．5线段的定比分点5．6平面向量的数量积及运算律5．7平面向量数量积的坐标表示5．8平移阅读材料向量的三种类型二解斜三角形5．9正弦定理、余弦定理5．10解斜三角形应用举例实习作业解三角形在测量中的应用阅读材料人们早期怎样测量地球的半径？研究性学习课题：向量在物理中的应用小结与复习复习参考题五第二册上第六章不等式6．1不等式的性质6．2算术平均数与几何平均数6．3不等式的证明6．4不等式的解法举例6．5含有绝对值的不等式阅读材料n个正数的算术平均数与几何平均数小结与复习复习参考题六第七章直线和圆的方程7．1直线的倾斜角和斜率7．2直线的方程7．3两条直线的位置关系阅读材料向量与直线7．4简单的线性规划研究性学习课题与实习作业：线性规划的实际应用7．5曲线和方程阅读材料笛卡儿和费马7．6圆的方程小结与复习复习参考题七第八章圆锥曲线方程8．1椭圆及其标准方程8．2椭圆的简单几何性质8．3双曲线及其标准方程8．4双曲线的简单几何性质8．5抛物线及其标准方程8．6抛物线的简单几何性质阅读材料圆锥曲线的光学性质及其应用小结与复习复习参考题八第二册下A第九章直线、平面、简单几何体9．1平面9．2空间直线9．3直线与平面平行的判定和性质9．4直线与平面垂直的判定和性质9．5两个平面平行的判定和性质9．6两个平面垂直的判定和性质9．7棱柱9．8棱锥阅读材料柱体和锥体的体积研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．9球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分步计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对个人公平吗？小结与复习复习参考题十一第二册下B第九章直线、平面、简单几何体9．1平面的基本性质9．2空间的平行直线与异面直线9．3直线和平面平行与平面和平面平行9．4直线和平面垂直9．5空间向量及其运算9．6空间向量的坐标运算9．7直线和平面所成的角与二面角9．8距离阅读材料向量概念的推广与应用9．9棱柱与棱锥研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．10球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分布计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对各人公平吗？小结与复习复习参考题十一第三册（理科）第一章概率与统计1．1离散型随机变量的分布列1．2离散型随机变量的期望与方差1．3抽样方法1．4总体分布的估计阅读材料累积频率分布1．5正态分布1．6线性回归阅读材料回归直线方程的推导实习作业通过抽样调查，研究实际问题小结与复习复习参考题一第二章极限2．1数学归纳法及其应用举例阅读材料不完全归纳法与完全归纳法研究性学习课题：杨辉三角2．2数列的极限2．3函数的极限2．4极限的四则运算阅读材料无穷等比数列的和2．5函数的连续性小结与复习复习参考题二第三章导数3．1导数的概念3．2几中常见函数的导数阅读材料变化率举例3．3函数的和、差、积、商的导数3．4复合函数的导数3．5对数函数与指数函数的导数阅读材料近似计算3．6函数的单调性3．7函数的极值3．8函数的最大值与最小值3．9微积分建立的时代背景和历史意义小结与复习复习参考题三第四章数系的扩充──复数4．1复数的概念4．2复数的运算4．3数系的扩充研究性学习课题：复数与平面向量、三角函数的联系小结与复习复习参考题四附录一部分中英文词汇对照表附录二导数公式表第三册（文科）第一章统计1．1抽样方法1．2总体分布的估计1．3总体期望值和方差的估计实习作业通过抽样调查研究实际问题小结与复习复习参考题一附录随机数表第二章导数2．1导数的背景2．2导数的概念2．3多项式函数的导数2．4函数的单调性与极值2．5函数的最大值与最小值2．6微积分建立的时代背景和历史意义研究性学习课题：杨辉三角小结与复习复习参考题二附录部分中英文词汇对照表附送教师精彩课堂用语（不需要可自行删除）（听说读问写）☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆听☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆1、谢谢大家听得这么专心。
函数的连续性一、教学目标：1．了解函数在一点处连续的定义及函数在点x x =处连续必须满足的三个条件。
2．理解闭区间上连续函数的性质。
二、教学重点： 三、教学过程： （一）主要知识：1．连续函数的定义： ； 2．初等函数的连续性： ； 3．连续函数具有以下性质（最大值最小值定理）： 。
（二）知识点详析1．连续函数的定义：如果函数y=f(x)在点x x =处及其附近有定义，而且)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 连续。
这个定义包含三层含义：⑴f(x)在点0x x =处及其附近有定义；⑵)(lim 0x f x x →存在；⑶)()(lim 00x f x f x x =→。
以上三个条件只要缺少其中的任意一个，f(x)在x x =处都不连续。
在函数于x x =处连续的定义的基础上，我们可以定义函数在区间上连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每一点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续；如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在x=a 处有)()(lim a f x f a x =+→，在x=b 处有)()(lim b f x f b x =-→，就说函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，这种环环相扣、层层推进的定义方式能很好地培养我们严谨的逻辑思维。
2．关于闭区间上的连续函数的性质，课本中借助于函数的几何图像只给出一个性质：最大值最小值定理。
因为闭区间[a ，b]上的连续函数f(x)的图像是坐标平面内的一条有始点(a ，f(a))和终点(b ，f(b))的连续曲线，所以函数f(x)在闭区间[a ，b]上的函数值必存在最大值和最小值。
（三）例题分析：例1.讨论下列函数在给定点或区间上的连续性：⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0)(x 1-0)(x 11)(11xxe e xf ，点x=0；⑵22)(2+--=x x x x f ，区间[0，2]；⑶⎩⎨⎧>+≤+=-1)(x 4x -1)(x 2)(2x x f ，点x=-1。
分析 对于函数f(x)在给定点x 处的连续性，关键是判断函数当x x →时的极限是否等于)(0x f ；对于函数f(x)在给定区间上的连续性，则要看它在给定区间上任一点是否都有定义，是否都连续，特别要注意端点处的情形。
解 ⑴当-→0x 时，-∞→x 1，则0lim 10=-→x x e ， ∴111lim 110-=+--→x xx e e ，又111lim 11lim 110110=+-=+---→→++xx x x xx ee e e ，从而f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。
⑵∵2)(x 1122)(2≠+=---=x x x x x f ，∴f(x)在x=2处无定义，从而f(x)在x=2处不连续，因此f(x)在[0，2]上不连续，（但f(x)在区间[0，2]内是连续的） ⑶∵3)2(lim )(lim 211=+=---→-→x x f x x ，3)4(lim )(lim 11=+=++-→-→x x f x x ，∴3)(lim 1=-→x f x ， 又32)1()1(2=+-=-f ，因此)1()(lim 1-=-→f x f x 。
所以函数f(x)在x=-1处连续。
说明 对于分段函数在分界点处的极限，一定要注意它的左、右极限是否存在，是否相等，对于分式函数，要注意如果分子、分母约去一个或几个因式后，所得函数与原来的函数是否是同一个函数。
例2．函数11)(2+-=xxxf，⑴求f(x)的定义域，并作出函数的图像；⑵求f(x)的不连续点0x；⑶对f(x)补充定义，使其在R上是连续函数。
分析函数f(x)是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围。
给函数f(x)补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求)(limxfxx→，再让)(lim)(xfxfxx→=即可。
解：⑴函数f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠-1}。
当x≠-1时，111)(2-=+-=xxxxf，图象如图2—5所示。
⑵由定义可知，函数f(x)的不连续点是1-=x。
⑶因为当x≠-1时，f(x)=x-1，所以2)1(lim)(lim11-=-=-→-→xxfxx。
因此，将函数f(x)的表达式改写为⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=-1)(x2--1)(x11)(2xxxf，则函数f(x)在R上连续。
说明要作分式函数图像，首先应对函数式进行化简，然后再作函数的图像，别要注意化简前后的函数定义域不能发生变化。
例3 求a 的值，使⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0)(x bx a 0)(x 11)(xxx f 处处连续。
分析：由函数解析式可以看出，f(x)在x<0及x>0时均连续。
因此只需要考虑x=0时的情形。
解： 21111lim 11lim )(lim 00=-+=--=---→→→x x x x f x x x 。
而abx a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00，要使f(x)在x=0处连续，必须取21=a ，则21)(lim )(lim )(lim 000===→→→+-x f x f x f x x x ，且此时21)0(==a f 。
∴21=a 时，f(x)处处连续。
说明：分段函数的连续性关键在于分断点处是否连续。
如果不连续，要补充定义的则补充定义；若是含参数的，使参数取适当的定值使得函数在此处连续。
例4．设y=f(x)是一个分段函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+<<≤≤++<+==4).(x x -44),x (1 24x -1),x (-1 g(x)-1),x (-324x -3),(x3)(22x x x x f y⑴找出一个函数g(x)使函数f(x)在点x=-1，x=1处都连续； ⑵函数f(x)在点x=-3，x=4处是否连续？若不连续，如何改变原来函数的部分表达式，使之连续？分析：在平面直角坐标系中画出已知函数的图像，可以发现在点x=-3，4处是间断的，在区间（-1，1）内是“空白的”。
为了使函数在R 上连续，可以求出当x=-3，-1，1，4时的函数值或函数的极限值，再构造函数使之满足函数连续的条件。
解：⑴当x=-1时，12)1(4)1(2-=+-⨯+-=y ，当x=1时，y=-1+4×1-2=1， 于是所求函数g(x)满足：当x ∈（-1，1）时，g （x ）∈（-1，1），且1)(lim 1-=-→x g x ，1)(lim 1=→x g x ，在x ∈（-1，1）上连续。
于是可设g(x)=x ，x ∈（-1，1）.⑵又由于x=-3时，y=-1；而对于y=x+3当x=-3时，y=0。
于是只要将y=x+3的图像向下平移一个单位长度，即可使函数在x=-3处连续。
由于x=4时，y=0；而对于242-+-=x x y ，当x=4时y=-2。
于是只要将y=4-x 的图像向下平移两个单位长度，即可使函数在点x=4处连续。
这样我们就得到R 上的连续函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+<<≤≤++<+=4)(x x-24)x (1 24x -1)x (-1 x -1)x (-3 24x -3)(x222x x x y说明：满足条件的g(x)不是惟一的，例如3)(x x g =，x ∈（-1，1）；x x g 2sin )(π=，x ∈（-1，1）都满足题意。
（四）巩固练习： 1．“函数f(x)在点0x 处有定义且极限存在”是“f(x)在点x 处连续”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设函数在区间[0，+∞]上连续，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．03．函数x x f cos 1)(=在x ∈（-3π，3π）上不连续点的个数有（ ）A ．1B ．2C ．6D ．54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=-1)(x b ax -1)(x )1(11)(2x x f 在（-∞，+∞）内连续，则a 、b 满足___________；5．⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0)(x k 0)(x cos 1)(2x xx f ，当k=____________时，f(x)在点x=0处连续？6．已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-+=>--+=0)(x )11(x b0),(x a 0),(x 111)(22x x x x f 在点x=0处连续，求a 、b 。
答案：1．B 2．B 3．C 4．b-a=1 5．126．1)111(lim )111(lim 20220=-++=--+++→→x x x x x ，211lim )]11([lim 00bx b x x bx x =++=-+--→→。
因为f(x)在x=0处连续，所以a f bx f x f x x =====-+→→)0(2)(lim 1)(lim 00，即有a=1，b=2。
