新湘教版八年级数学上册 导学案：第五章 二次根式(无答案)

5.2 二次根式乘法和除法第2课时 二次根式的除法一、学习目标1. 掌握二次根式根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2. 能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

重点：运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简。

二、自主学习学一学：预习教材P162、163、164的内容.说一说：实数b a ,互为倒数是什么意思？有何条件？一个非零实数有几个倒数？填一填：由于=⨯313______ ，=⨯313______，所以_______和_______都是3的倒数，因此_______=_________. 一般地，如果a >0，则=a 1a1 三、合作探究学一学：设a >0，≥b 0，则 =⋅=a b a b 1__________=⋅b ______=a b ，即a b a b =（a >0,≥b 0）.议一议：上式中为什么规定0,0≥>b a ?如何用文字语言描述商的算术平方根的性质？ 选一选：当0,0≥>b a 时，a b=_________(①b a ②ab ) 填一填：=510____________;=330_____________;=72218________________;表示为____________________)0,0(≥>b a .注意：二次根式的运算结果一定要进行化简，化成最简二次根式。

四、基础演练1.计算：⑴1045 ⑵ 52607 ⑶ 152842.设,0,0>>y x 计算：⑴xy y x 262 ⑵ x y x 323÷3.已知直角三角形的两条直角边分别是AC=32，BC=23, 求斜边上的高CD 的长。

4.求下列各式当4,3==b a 时的值：⑴23ab b a ⑵ 5520a ab。

第5章二次根式5．1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1．了解二次根式的定义；2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)一、情境导入前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中：①3，②33，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一定是二次根式的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的定义判断.33的根指数是3，不是二次根式；－15的被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．(1)x＋2；(2)x－1x－2；(3)x2＋1；(4)－x2.解析：(1)要使x＋2有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使x－1x－2有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使x2＋1有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使－x2有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0.解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≠2，所以x ≥1且x ≠2； (3)x 2＋1≥0，所以x 为全体实数；(4)－x 2≥0，所以x ＝0.方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．探究点三：二次根式的性质－323)2. 解：(3)(【类型二】已知y ＝x －2－2－x ＋5，则y＝________．解析：由已知条件y ＝x －2－2－x ＋5可知x －2与2－x 都有意义，所以存在隐含条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2－x ≥0，故x ＝2.把x ＝2代入y ＝x －2－2－x ＋5，求得y ＝5，所以x y ＝25.方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．【类型三】 (1)22；(2)（－23）2； (3)－（－π）2.解析：利用a 2＝|a |进行计算． 解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．【类型四】 如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1， 则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b . 方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件：被开方数大于或等于零性质⎩⎨⎧（a ）2＝a （a ≥0）a 2＝a （a ≥0）本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．第2课时 二次根式的化简1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点)2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)4×9，4×9； (2)16×25，16×25.观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质【类型一】利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简化简： (1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481）；(3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b . 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ≥1D ．0≤a ≤1解析：a 2－a 3＝a 2（1－a ）＝a 2·1－a ＝|a |·1－a ，又a 2－a 3＝a 1－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，1－a ≥0.解得0≤a ≤1，故选D. 方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．【类型三】解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．解：∵35＝32×5＝45，53＝52×3＝75， ∵75＞45，∴35＜5 3.方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．探究点二：最简二次根式【类型一】 最简二次根式的判定下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a 2＋a 2b解析：A 选项中8a 含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得：a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式；故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【类型二】二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式．(1)500；(2)3a 2b 3；(3)2512；(4)23ab2.解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a 2b 2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a ，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．解：(1)500＝100×5＝105；(2)3a 2b 3＝3b ·a 2b 2＝|a |b 3b ； (3)2512＝25×312×3＝563； (4)23ab 2＝2×3a 3ab 2·3a ＝6a3ab. 方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．三、板书设计1．积的算术平方根的性质 2．最简二次根式通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练．5．2二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点，难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是( ) A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋1≥0，2－x≥0.解得－1≤x≤2，故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．探究点二：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125；(2)918×(－1654)；(3)135·23·(－3416)；(4)2a 8ab ·(－236a 2b )·3a (a ≥0，b ≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法运算法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35； (2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273；(3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355； (4)原式＝－2a ×238ab ·6a 2b ·3a ＝－16a 3b .方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．【类型二】 ，宽为48πcm 的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径．解析：根据矩形的面积等于“长×宽”、圆的面积等于“π×半径的平方”进行计算． 解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2.所以πr 2＝168π，r ＝242(cm)(r ＝－242舍去)．方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a≥0，b ≥0)在学习了积的算术平方根的基础上，这一节课学习了二次根式的乘法．这两个性质法则是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算．第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点) 2．掌握二次根式的除法法则并会运用进行计算．(重点，难点)一、情境导入一个长方形的面积为15，长为5，那么这个长方形的宽是多少？ 二、合作探究探究点一：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a2－a＝a2－a，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0.解得0≤a ＜2，故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179；(2)3c34a 4b2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点二：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算：(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b312ab2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)318×32÷(－512)； (2)166÷23412×12112. 解析：把系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后结果化为最简二次根式． 解：(1)318×32÷(－512)＝(－3×12×15)18×312＝－31092＝－3109×22×2＝－310×322＝－9202； (2)166÷23412×12112＝(16÷23×12)6÷92×112＝(16×32×12)6×29×112＝319＝1. 方法总结：二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．【类型三】 ，长为20cm ，宽为15cm ，求长方体的高．解析：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以高＝长方体的体积÷(长×宽)，代入计算即可．解：长方体的高为：3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计1．商的算术平方根的性质：b a ＝ba (a ＞0，b ≥0) 2．二次根式的除法：b a＝ba(a ＞0，b ≥0)本节课的学习中要注意拓展知识间的相互联系：商的算术平方根的性质与二次根式的除法的联系，二次根式的乘法与二次根式的除法的联系，类比单项式的乘除法运算进行二次根式的乘除法运算，让学生顺利实现知识的迁移．5．3 二次根式的加法和减法第1课时 二次根式的加减运算1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B.32C.23D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项B 中，32＝62与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．探究点二：二次根式的加减【类型一】 (1)8 (3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3； (4)原式＝1866－32×46＝36－66＝－3 6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(2)324x －3x9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝23－3－3＝0； (2)原式＝3x－x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5； (4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．【类型三】 ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是：(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝(42－23)(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．三、板书设计二次根式的加减：合并同类二次根式通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质．第2课时 二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点，难点)一、情境导入 计算：(1)x (x ＋1)；(2)(3x 2y 2－2x 2y ＋xy 2)÷xy ； (3)(2x ＋3y )(2x －3y )；(4)(x －y )2＋(x －2y )2.在上述运算中，如果把x ，y 换成二次根式，以上运算怎样进行？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】二次根式的混合运算计算： (1)48÷3－12×12＋24； (2)12÷43×23－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6； (2)12÷43×23－50＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)先分别用完全平方公式计算，最后再合并．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝18－126＋12－(18＋126＋12)＝－24 6. 方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －yx －xy，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算． 解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋yxy.∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2， ∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．【类型四】 33－2，求这个三角形的面积． 解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为：12×(63＋22)×(33－2)＝12×2×(33＋2)×(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：列出解决实际问题的关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．探究点二：二次根式的分母有理化 【类型一】 分母有理化计算：(1)215＋122；(2)3－23＋2＋3＋23－2.解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6；(2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成a ×a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .解析：，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13，∵15＋14＞14＋13＞0，方法总结：两个正分数比较大小时可把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计1．二次根式的混合运算 2．分母有理化二次根式的混合运算可类比整式的混合运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯．第5章 二次根式【教学目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【教学重点】含二次根式的式子的混合运算．【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 【教学方法】典例解析法 【教学准备】小黑板、三角尺 【教学过程】 【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

广西北海市八年级数学上册5．1 二次根式(第1课时）导学案(无答案）（新版)湘教版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(广西北海市八年级数学上册５．1 二次根式（第1课时）导学案（无答案)（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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５.1二次根式(第１课时)一、新课导入(一)复习导入 １、４的平方根是 ；4的算术平方根是 ；２、２的平方根是 ;2的算术平方根是 ;3、０的平方根是 ;0的算术平方根是 ；4、16的算术平方根是 ;5、23= ;=2)4( 。

(二)、教学目标：(1）能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围。

（2）掌握并运用二次根式的两个基本性质：a a a a a =≥=22),0()(。

（3)培养学生由特殊到一般的数学思维能力.重点、难点1、重点:二次根式的概念以及二次根式的基本性质．2、难点:根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围。

二、预习导学预习课本Ｐ１5５说一说、例1、例2、做一做、例3、议一议,解答下列问题1、形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作2、二次根式在实数范围内有意义的条件:被开方数是 实数.3二次根式的性质： (1)=2)(a )0(≥a（２）==a a 2三、合作探究(一）二次根式的概念例1、判断下列各式:1,5,4,16,323+--x 哪些是二次根式?哪些不是?为什么?(二）确定被开方数中字母的取值范围例2、求下列二次根式中字母x 的取值范围:(1）1+x （2）x -3 (3）12+x（三)二次根式的性质例3、计算：=-2)5( =2)32(=27 =2)21(=-2)43( =-+22)5(2四、解法指导五、堂上练习:课本P157——练习1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义?(1)x -1 (2)32-x2、计算：（１）2)3(- （2）2)25(3、计算:(1)27 （２）2)3(-(3）2)43(- (4)2)01.0(-六、课堂小结七、作业(新课程P96页)１、有下列各式：①21，②x 2,③22y x +,④ 5-，⑤35。

新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的混合运算教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍二次根式的混合运算。

本章内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行讲解的，目的是让学生能够灵活运用二次根式的性质和运算法则进行混合运算，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，但对于二次根式的混合运算，可能会存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次根式知识运用到实际问题中，通过具体例子的讲解，让学生理解并掌握二次根式的混合运算方法。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的混合运算方法。

2.培养学生将二次根式知识运用到实际问题中的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。

2.难点：将二次根式知识运用到实际问题中。

五. 教学方法采用讲解法、例题解析法、练习法、小组合作法等教学方法，通过具体例子的讲解，让学生理解并掌握二次根式的混合运算方法，再通过练习和小组合作，巩固所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.教学素材（例题、练习题等）。

3.粉笔、黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次根式的混合运算，激发学生的学习兴趣。

示例：某工厂生产一批产品，其中正品率为90%，次品率为10%。

现在有一批产品中有3个次品，问这批产品共有多少个？2.呈现（10分钟）讲解二次根式的混合运算方法，让学生理解并掌握。

示例：计算以下二次根式的混合运算：（1）( + 2)（2）( - 3 + 4)（3）( )3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的混合运算练习，巩固所学知识。

（1）计算以下二次根式的混合运算：( + 2 - 3 + 4)( 2)（2）某学校进行一次数学竞赛，共有100名学生参加。

其中八年级学生占60%，九年级学生占40%。

新湘教版八年级数学上册导学案：《二次根式》小结与复习学习目标：1.通过对本章知识的回顾与小结，形成系统的知识结构。

2.熟练掌握二次根式的化简及二次根式的概念和性质的应用。

重点：二次根式性质的应用及其混合运算。

教学过程：学一学：阅读教材P151小结与复习，补全知识结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=⎩⎨⎧<≥==≥=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥乘法公式仍适用，多项式的运算法则及混合运算：实数运算律相加减，再把被开方数相同的加减：先除法：乘法：运算（二次根式的性质的式子形如二次根式的概念二次根式_______)0,0_______()0,0_________(________)(_______,)0,0_________()0______()0______()0())0(0)0______(22b a b a b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a a 补充：1.最简二次根式必须满足的两个条件是：⑴________________________________________________;⑵______________________________________________.2.在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：移到根号外的数必须是__________).3.一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_______.3.二次根式的和相乘，类似于____的乘法运算，注意利用乘法公式。

课堂展示：一、填空：1.式子：21、42-x 、39、4、a 6、2x 中，是二次根式的有_ .2.要使二次根式42-x 有意义，那么x 的取值范围是_______.3.化简：48=_____；321=_______， 38x =_____。

新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的除法教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。

其中，课题二次根式的除法是本章的重要内容。

通过本节课的学习，学生需要掌握二次根式除法的运算方法，并能灵活运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的概念、性质和加减法运算。

但学生在进行二次根式除法运算时，容易混淆概念和运算规则，对分母中含有未知数的情况处理不够灵活。

因此，在教学过程中，需要引导学生清晰地理解二次根式除法的运算规则，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式除法的运算规则，并能熟练进行二次根式除法运算。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：二次根式除法的运算规则。

2.难点：分母中含有未知数时的二次根式除法运算。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次根式除法的实际意义。

2.小组合作学习：学生分组讨论，共同探究二次根式除法的运算规则。

3.引导发现法：教师引导学生发现二次根式除法的运算规律，培养学生独立思考的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式除法的运算过程。

2.练习题：准备相应的练习题，巩固学生对二次根式除法的掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，如计算一个物体在空气中上升的高度，引入二次根式除法的学习。

提问：如何计算这个物体上升的高度？引发学生思考，引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师展示课件，介绍二次根式除法的运算规则。

通过举例，讲解二次根式除法的运算过程，让学生直观地理解二次根式除法。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探究二次根式除法的运算规则。

教师巡回指导，解答学生的问题。

第5章二次根式【知识与技能】1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值X围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.【过程与方法】经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.【情感态度】通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值X围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数X围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m m能取的最小整数值是（B）31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.。

课题二次根式的除法【学习目标】1．掌握二次根式除法法则．2．理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b>0)，能熟练进行二次根式的除法运算及化简．【学习重点】二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的探究．【学习难点】运用二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：1．积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则分别是什么？积的算术平方根的性质；a·b＝a·b(a≥0，b≥0)．二次根式的乘法法则：a·b＝a·b(a≥0，b≥0)．2．计算：(1)3×15；(2)6×12.解：(1)原式＝3×15＝45＝35；(2)原式＝6×12＝72＝6 2.自学互研生成能力知识模块一探究商的算术平方根的性质(一)合作探究教材P162“动脑筋”．(1)49＝23，49＝23；(2)1649＝47，1649＝47．观察上面的式子，将得的结论用字母表示为ba＝ba(a>0，b≥0)．利用这个等式可以化简二次根式．知识链接：最简二次根式的条件是：(1)被开方数中不含开得尽方的因数；(2)被开方数中不含分母．行为提示：这一类题可以让学生展示时多出几个仿例进行巩固．方法指导：从两个方面考虑x 的取值范围．一是被开方数是非负数；二是分母不能为零．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．(二)自主学习教材P 163例4. 化简下列二次根式 (1)2516；(2)92；(3)162169. 解：(1)原式＝2516＝54； (2)原式＝92＝322； (3)原式＝162169＝9213. 知识模块二二次根式的除法法则的探究与运用(一)自主学习认真阅读教材P 164例5，注意计算过程(二)合作探究通过例5的计算理解由b a ＝b a (a>0，b ≥0)反过来可得：b a ＝b a(a>0，b ≥0)． 结论：二次根式相除，先把被开方数相除，再把所得的商化简．1．计算下列各题(1)273；(2)315÷5；(3)24×12÷2. 解：(1)原式＝273＝9＝3； (2)原式＝3155＝3155＝33； (3)原式＝24×12÷2＝12×2×12÷2＝122＝12.2．若x x －2＝x x －2成立，则x 的取值范围是x>2． 知识模块三二次根式除法的应用自主学习阅读教材P164例6，进一步理解二次根式的除法运算．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究商的算术平方根的性质知识模块二二次根式的除法法则的探究与运用知识模块三二次根式除法的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

课题二次根式的混合运算学习目标1．理解二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在根式的运算中仍然适用．2．会进行二次根式的混合运算．学习重点二次根式的运算顺序．学习难点二次根式的混合运算在实际中的运用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．知识链接：(1)实数、整式混合运算的顺序；(2)整式的乘法公式．情景导入生成问题知识回顾：计算下列各题 (1)48＝43；(2)5×10＝52；(3)46÷23＝22；(4)27＋12＝53；(5)27－12＝3．自学互研生成能力知识模块一仿照多项式乘法运算法则进行二次根式的计算(一)合作探究教材P 169“动脑筋”．归纳：二次根式的混合运算是根据有理数的运算律进行的．(二)自主学习1．自主教材P 170例3.2．计算下列各题．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋1412÷27； (2)8－2(2＋2)；(3)(2＋3)(2＋5)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋123÷33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋123÷33＝32； (2)原式＝22－2－22＝－2；(3)原式＝2＋52＋32＋15＝17＋8 2.注意：(1)利用乘法分配律进行计算；(2)计算过程要注意符号的变化；(3)最后结果要化成最简二次根式．注意：最后的结果分母中不能含有二次根式．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．知识模块二仿照乘法公式进行二次根式的计算(一)自主学习阅读教材P170例4并与有理数的乘法公式运算进行比较．(二)合作探究已知：a＝3－1，求a3＋2a2＋a的值．解：a3＋2a2＋a＝a(a2＋2a＋1)＝a(a＋1)2当a＝3－1时，原式＝(3－1)(3－1＋1)2＝(3－1)·3＝33－3.知识模块三仿照多项式除法法则和分式运算法则进行计算自主学习阅读教材P171例5进一步理解二次根式的运算．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一仿照多项式乘法运算法则进行二次根式的计算知识模块二仿照乘法公式进行二次根式的计算知识模块三仿照多项式除法法则和分式运算法则进行计算课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________。

新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的概念及性质教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的概念及性质。

这一章节的内容是学生学习二次根式的基础，对于后续学习二次根式的运算和应用具有重要意义。

教材从实际问题出发，引导学生认识二次根式，并探究其性质，使学生能够在理解的基础上掌握二次根式的基本概念和性质。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、代数式等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和推理能力。

但对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体实例和实际问题来引导学生理解和掌握。

同时，学生对于数学概念的理解往往需要从具体到抽象的过程，因此在教学过程中，需要注重从实际问题出发，引导学生逐步抽象出二次根式的概念和性质。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.能够运用二次根式的性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念的理解。

2.二次根式的性质的掌握和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引出二次根式，使学生能够在具体的情境中理解和掌握二次根式。

2.引导发现法：引导学生通过观察、分析和归纳，自主发现二次根式的性质。

3.巩固练习法：通过大量的练习，使学生熟练掌握二次根式的概念和性质。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示二次根式的概念和性质。

2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如：一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。

引导学生思考如何表示这个对角线的长度，从而引出二次根式的概念。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，并用PPT展示一些二次根式的例子。

引导学生观察和分析这些例子，发现二次根式的共同特点，从而归纳出二次根式的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，互相出题，运用二次根式的性质进行解答。