高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式

数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。

数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。

设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。

以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。

以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。

数值分析常用公式及示例数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。

在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。

1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。

常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)其中li(x) = Π(j≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。

2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。

常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。

梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。

辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))。

3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。

常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。

二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。

二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。

具体步骤为：1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；2)否则，计算c=(a+b)/2；3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。

现代数值计算方法公式总结现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。

普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

数值积分的插值求积公式数值积分的插值求积公式是一种常见的数值计算方法，它通过建立一个插值多项式来逼近被积函数，在一定的积分区间内进行积分近似计算。

插值多项式通过给定的数据点来拟合函数曲线，从而实现对被积函数的逼近。

下面将介绍几种常用的数值积分的插值求积公式。

1. 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是最简单的插值方法之一，它通过已知的数据点构造一个一维Lagrange插值多项式，从而得到近似积分值。

对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中Li(x)是关于x的n次多项式，满足Li(xj) = δij，即在第i 个点处取值为1，其它点处取值为0。

对于有限积分问题，可以通过计算插值多项式的积分来近似求解。

2. 牛顿插值公式牛顿插值公式是一种高效的插值方法，其基本思想是通过差商来递推计算插值多项式。

对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值多项式N(x)可以表示为：N(x) = y0 + (x - x0) * f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1) * f[x0, x1, x2] + ... + (x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) * f[x0, x1, ..., xn]其中f[xi, xj, ..., xk]表示差商的计算，它可以递归地定义为：f[xi, xj] = (f[xj] - f[xi]) / (xj - xi)f[xi, xj, ..., xk] = (f[xj, ..., xk] - f[xi, ..., xj-1]) / (xk - xi)通过计算牛顿插值多项式的积分，可以得到数值积分的近似解。

3. 辛普森插值公式辛普森插值公式是一种基于二次多项式拟合的插值方法，在区间[a, b]上将被积函数近似表示为三个节点上的二次多项式。

数值计算考题五1. 分别用复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分I=⎰102x e sinx dx 的近似值，要求误差不超过ε=0.5⨯10-5.解：方法一： 复合梯形求积公式复合梯形求积公式是将积分区间划分为n 个很小的区间，然后将各个小区间的面积相加而得到在整个积分区间上的积分，当分成的小区间数n →∞时，求得的面积就等于积分的精确值。

由复合梯形求积公式的余项R n T 可得满足精度要求≤ε0.5⨯10-5时区间()b a ,被分成的区间数n 的最小值为700，所以在编程时循环次数应大于等于这个值，方可满足精度要求。

以下是编写的C 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x,f=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x=a+i*h;f=f+exp(pow(x,c))*sin(x);}t=(h/2)*(2*f+sin(1)*exp(1));printf("T=%f\n",t);}输出结果为T=0.778746.方法二：复合辛普森求积公式：复合辛普森求积法是将积分区间分割之后，在每个小区间[x i ,x i+1]上运用辛普森求积公式。

以下是编写的c 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x1,x2,f1=0.0,f2=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x1=a+i*h;x2=a+(i+0.5)*h;f1=f1+exp(pow(x1,c))*sin(x1);f2=f2+exp(pow(x2,c))*sin(x2); }t=(h/6)*(2*f1+sin(1)*exp(1)+4*f2); printf("T=%f\n",t);}程序输出结果为0.778745.2. 用高斯求积法求上述积分的近似值。

数值分析，第一章2，相对误差和绝对误差e*=x*-x;屮少-玖估计值(対_说・2, 误差限和相对误差限「纠h-x|3, 有效数字官方定义：若近似值丫的误差限是某一位的半个单位，该位到X 的第一位非零有效数字 共有n 位，就说x ■有n 位有效数字。

表示为:x*=± 10mX (ai+a ：X 10~l +a>X 10-2+•••+a B X IO 」")=±ax. a,a$・・・a»。

其中型为0至9中之一,a,不为0, m, n 都是整数。

公式：z =|x-x B |^ix io m ~n+1 相对误差限公式，具有n 为有效数字，一W 舟Xl (m若£讥藹％ IO' “T,则，•至少具有n 为有效数字。

4, 病态问题的条件数，相对误差比值呻扰动“"・误差为字函数值f Z)的相对误差二号泸 相对误差比值为：f 卑-f/㈣刽字斗二Cp (也称为条件数)f (X >| X || /(X )第二章：插值法1. 多项式插值P (x)为 n 阶多项式,P (x) =a 0+a a x+a 2x 2+•••+a n x n ,街为实数。

1 %0…琦•a （yy解法：a 解方程组：Aa=y.其中A=1 %1 …xf ♦ 8 = ■ ■ ■ > y= yi • •• • • • 1耳…昭•%2, 拉格朗口插值[1]线性插值Ll=yJk +yk*Jk*l插值基函数^上沁，iM=q- 班一斗十1x k+1-x k【2】抛物线插值L2=y k l k +y M .1l k ^i+y k ^2lk*2【3】N 次插值多项式(通解)Ln=yol 0+yili+y 2l2+插值基函数叭鳥:::;工鳥,lk*l+丄一4+2)（X-斗）（X-X|c+J他+2 - 耳）他+2 -m+J(X-Xo )・・・(x_x/c-十J・・・(x-X n )(x k^x o)tut(x k^x k-l)(x k^x k^l)9,,(x k^x n)设U) «H(X)=(x —X0) ...(X — %k_i)(X — Xfc+1) ... (x — x n)有U) *(») =(x fc一%o) ••• g一x" (x k一X fc+1) ... (%k 一%n)wn+1 <x)(x-Xfc)w n+1 <xjc)余项公式N次插值多项式的余项形式R n=f (x) -Ln (x)』一_ (x) =K(x) 0)刊(x) , ( 6 (a, b)(H+A)'§的位宜耒知，但冇截断误差限：l^nWl < ^)j|wn+i(x)|, »U=max aSxSI,|f(n+1)(x)|3, 均差(差商)一阶均差;二阶均差：f[x0/，xl高阶均差：f[x“ xl.…，xj」®小••…机-d-g・・・・• 朴] x k~x k-l性质：1, k阶均差可表示为函数值f (x0), f(X]),…，f (x n)的线性组合2, 对称性，与节点次序无关3, 【前后项】f[x。

利用数值积分公式求解积分方程分别用复化求积公式和高斯
型求积公式
数值积分方法通常用于求解无法解析求解的定积分问题，其中复化求积公式和高斯型求积公式是两种常见的数值积分方法。

1. 复化求积公式：
复化求积公式是通过将积分区间等分成多个小区间，并在每个小区间上采用简单的数值积分公式来逼近原积分问题。

常见的复化求积公式包括梯形法则和Simpson法则。

梯形法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间
用梯形面积的方法求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。

Simpson法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区
间用Simpson公式求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。

2. 高斯型求积公式：
高斯型求积公式是通过将积分区间映射为[-1, 1]上的积分问题，然后通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。

常见的高斯型求积公式包括Gauss-Legendre公式和Gauss-Hermite公式。

Gauss-Legendre公式：适用于求解定义在[-1, 1]区间上的定积
分问题，根据节点个数的不同，可以得到不同阶数的Gauss-Legendre公式。

Gauss-Hermite公式：适用于求解定义在整个实数轴上的定积分问题，通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。

总结：复化求积公式适用于一般的定积分问题，可以通过合理选择划分区间和数值积分公式来提高数值积分的精度。

而高斯型求积公式通常适用于具有特殊形式或定义域的定积分问题，可以通过选取合适的节点和权重来获得较高的数值积分精度。

东莞理工学院《数值分析》实验报告实验名称：牛顿插值法系别：计算机学院专业：2013级信息与计算科学班级：1班姓名：学号：实验日期：1、实验内容用不同数值方法计算积分104ln 9x xdx =-⎰。

2、算法说明 梯形求积公式算法：将积分区间[,]a b 划分为n 等份，步长b ah n-=分点为 ,1,2,...,k x a kh k n =+=。

积分10()2nk k k h I x x +==+∑。

辛普森求积公式算法：5(4)012()(4)()390xx h h f x dx y y y f c =++-⎰其中h 为步长。

3、Matlab 软件程序清单梯形求积公式TiXing_quad(a,b,h)：function t = TiXing_quad(a,b,h) %a 为积分下界，b 为积分上界，h 为步长。

format long x = a:h:b;y = sqrt(x).*log(x); y(1) = 0;t = 0;for k=1:(b-a)/h,t=t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;辛普森求积公式Sinpson_quad(a,b,h)：function s=Sinpson_quad(a,b,h)format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;for k=1:(b-a)/h,s=s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;4、运行结果真值I=-4/9=-0.444444444444444次数I（梯形公式）I（辛普森公式）50 -0.441090226387332 -0.443793798301150100 -0.443117905322695 -0.444194********* 200 -0.443925359444891 -0.4443490454521025、分析与思考“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于通过已知数据点推导出未知数据点的近似值。

本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用，并比较它们的特点和优劣。

一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合。

具体而言，拉格朗日插值多项式的形式为：P(x) = Σ(yi * Li(x))其中，P(x)表示待求的多项式，yi表示已知数据点的函数值，Li(x)称为拉格朗日基函数，它代表了每个数据点的贡献度。

拉格朗日插值公式的优点在于其简单易懂，计算过程相对简单快速。

但是，该方法的缺点是对于较大规模的数据集合，计算量会变得很大，同时当数据点之间的间距不均匀时，插值结果可能出现较大误差。

二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿于17世纪提出的，它采用了多项式的差商形式进行插值。

具体而言，牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f[x0] + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1,x2] + ...其中，f[x0]表示已知数据点的函数值，f[x0, x1]表示x0和x1两个点之间的差商，以此类推。

牛顿插值公式的优点在于可以通过递推的方式计算差商，避免了重复计算，因此对于较大规模的数据集合，计算效率较高。

此外，牛顿插值公式对于不均匀间距的数据点也能够较好地逼近。

然而，牛顿插值公式的缺点在于其计算过程较为繁琐，需要额外计算差商。

三、比较与应用拉格朗日插值公式和牛顿插值公式都是常见的插值方法，它们在实际应用中各有优劣。

下面将对它们进行比较和应用分析。

1. 计算复杂度从计算复杂度的角度来看，牛顿插值公式在计算差商时需要递推计算，每次计算需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度为O(n^2)。

而拉格朗日插值公式直接计算每个基函数，每次计算都需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度也为O(n^2)。