湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三6月联考数学(文)试题与答案

2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知a 是实数，z =a−i1+i是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．已知集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＜0}，集合B ={x|1x＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{x |x ＜1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |﹣2＜x ＜0}3．“lnx ＞lny ”是“（13）x ＜（12）y ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N ），随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ） A ．20厘米B ．19厘米C ．18厘米D ．17厘米5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2S 4=13，则S 3S 6等于（ ）A ．316B ．13C ．516D ．7166．函数f （x ）＝e x ﹣x 2﹣2x 的图象大致为（ ）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝|sin x|（x≥0），方程f（x）＝kx恰有三个根，记最大的根为θ，则(1+θ2)sin2θθ=（）A．﹣2B．12C．1D．28．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．27B．37C．821D．20219．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|=32，则|AF||BF|=（）A．32B．2C．3D．410．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A．16πB．12πC．9πD．8π11．已知函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）＝1+lnx，f（e）=1e，当x＞0时，下列说法正确的是（）①f（x）只有一个零点；②f（x）有两个零点；③f（x）有一个极小值点；④f（x）有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④12．已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C 两点．若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（）A．3√24B．3√34C．3√54D．3+√54二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在三角形ABC中，|AB→|＝5，AB→⋅AC→=8，则AB→⋅BC→=．14．若（3√x−1√x）n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为．15．在数列{a n}，{b n}中，a n+1＝2（a n+b n）+2√a n2+b n2，b n+1＝2（a n+b n﹣2√a n2+b n2，a1＝b1＝1，设数列{c n}满足c n=1a n+1bn，则数列{c n}的前10项和S10＝．16．四面体P﹣ABC中，PA=√2，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2√2，动点Q在△ABC的内部（含边界），设∠PAQ ＝α，二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角的大小为β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为S 1和S 2，且满足S 1S 2=√3sinα4sinβ，则S 2的最大值为 ． 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，2c cos A ＝2b ﹣a ． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）如图，若点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，且DE =√2，求BD 的长．18．如图，在矩形ABCD 中，将△ACD 沿对角线AC 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面ABP ⊥平面ABC ． （Ⅰ）求证：AP ⊥PB ；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值为34，求二面角P ﹣AC ﹣B 的余弦值．19．已知圆O ：x 2+y 2＝3，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且|PB |＝2|PA |．（Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在定点D ，使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由．20．某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态．若机器处于故障状态，则停机检修．为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图．由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x，σ2近似为这1000个产品的质量指标值的方差s2（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）．若产品的质量指标值全部在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态．（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：294555636773788793113请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元；现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i（i＝1，2，…，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率．已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：√188≈13.71，√208≈14.42，√228≈15.10． 21．已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2﹣alnx （a ＜0）． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且关于x 的方程f （x ）＝b （b ∈R ）恰有三个实数根x 3，x 4，x 5（x 3＜x 4＜x 5），求证：2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +ty =√3t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ．（Ⅰ）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 上的点P （m ，0）为曲线C 内的点，且直线l 与曲线C 交于A ，B ，且|PA |•|PB |＝2，求m 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．若对于实数x ，y 有|1﹣2x |≤4，|3y +1|≤3． （Ⅰ）求|x +y −16|的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足1a +2b=M ，证明：(a +1)(b +2)≥509．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．） 1．已知a 是实数，z =a−i1+i是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a ，进一步求得z 得答案．解：∵z =a−i1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−a+12i 是纯虚数，∴{a−12=0−a+12≠0，即a ＝1， ∴z ＝﹣i ． 则z 的虚部为﹣1． 故选：B ．2．已知集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＜0}，集合B ={x|1x＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{x |x ＜1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |﹣2＜x ＜0}【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：因为集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＜0}＝{x |﹣2＜x ＜1}， 集合B ={x|1x ＜1}={x |x ＜0或x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜0}， 故选：D ．3．“lnx ＞lny ”是“（13）x ＜（12）y ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】由lnx ＞lny ，结合对数式与指数式的性质可得（13）x ＜（12）y ，反之，举例说明不成立，再由充分必要条件的判断得答案．解：由lnx ＞lny ，得x ＞y ＞0，此时(13)x ＜(13)y ＜(12)y ，反之，由(13)x ＜(12)y 成立，可以取x ＝﹣1，y ＝﹣2，不能推出lnx ＞lny ，∴“lnx ＞lny ”是“（13）x ＜（12）y ”的充分不必要条件．故选：A ．4．斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N ），随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ） A ．20厘米B ．19厘米C ．18厘米D ．17厘米【分析】因为由已知有a na n+1=√5−12≈0.618，又a n •a n +1＝200，得0.618a n +12≈200，进而解得a n +1． 解：由已知有a na n+1=√5−12≈0.618， 得：a n ≈0.618a n +1， 由a n •a n +1＝200， 得0.618a n +12≈200，即a n +12≈323.62， 由于172＝289，182＝324， 所以a n +1≈18（厘米）， 故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2S 4=13，则S 3S 6等于（ ）A ．316B ．13C ．516D ．716【分析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 2S 4=13得到首项与公差的关系，再把S 3，S 6用含有d 的代数式表示，则答案可求． 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 2S 4=13，得3（2a 1+d ）＝4a 1+6d ，即a 1=32d ．∴S 3=3a 1+3d =92d +3d =152d ，S 6=6a 1+6×5d 2=182d +302d =48d2． ∴S 3S 6=152d 482d =516．故选：C ．6．函数f （x ）＝e x ﹣x 2﹣2x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】通过图象，判断函数y ＝e x 与函数y ＝x 2+2x 的图象交点个数，进而求得函数f （x ）的零点个数，结合选项即可得解．解：作出函数y ＝e x 与函数y ＝x 2+2x 的图象如下图所示，由图象可知，函数y ＝e x 与函数y ＝x 2+2x 的图象有3个交点，则函数f （x ）＝e x ﹣x 2﹣2x 有3个零点，观察选项可知，只有选项B 符合题意． 故选：B ．7．已知函数f （x ）＝|sin x |（x ≥0），方程f （x ）＝kx 恰有三个根，记最大的根为θ，则(1+θ2)sin2θθ=（ ）A ．﹣2B ．12C ．1D ．2【分析】依题意，函数f （x ）在x ＝θ处的切线为y ＝kx ，且θ∈(π，3π2)，利用导数的几何意义可得{k =−cosθkθ=−sinθ，再化简所求式子即可得解．解：如图，要使方程f （x ）＝kx 恰有三个根，且最大的根为θ，则函数f （x ）在x ＝θ处的切线为y ＝kx ，显然θ∈(π，3π2)，而x ∈(π，3π2)，f(x)=−sinx ，f′(x)=−cosx ，∴{k =−cosθkθ=−sinθ， ∴(1+θ2)sin2θθ=(1+θ2)⋅2sinθcosθθ=(1+θ2)⋅2(−kθ)⋅(−k)θ=(1+θ2)⋅2k 2=2k 2+2（k θ）2＝2（cos 2θ+sin 2θ）＝2． 故选：D ．8．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．27B ．37C ．821D ．2021【分析】基本事件总数n =C 95=126，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m =C 31C 21C 21C 21C 52=120，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾． 某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学． 现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C95=126，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m=C31C21C21C21C52=120，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P=mn=120126=2021．故选：D．9．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|=32，则|AF||BF|=（）A．32B．2C．3D．4【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值．解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|=32可得|AF|=32+m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，所以BFAB=DFAC，即m32+2m=2−m32，解得：m=32，所以AFBF =32+3232=2，故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A．16πB．12πC．9πD．8π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱锥体的外接球的半径，进一步求出球的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体．如图所示：所以该三棱锥体的外接球的球心为O，外接球的半径为OA＝r，则：r2=(2−r)2+(√2)2，解得r2=94．故S=4π×94=9π．故选：C．11．已知函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）＝1+lnx，f（e）=1e，当x＞0时，下列说法正确的是（）①f（x）只有一个零点；②f（x）有两个零点；③f（x）有一个极小值点；④f（x）有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】令g（x）＝x2f（x），则g'（x）＝1+lnx，所以g（x）＝x•lnx+C，即f(x)=xlnx+C x2，由f（e）=e+Ce2=1e，解得C＝0，所以f(x)=lnxx，求导得f′(x)=1−lnxx2，利用导数可求出函数f（x）的单调区间，进而得f（x）在x＝e处取得极大值f（e）=1e，而这也是最大值，从而可对③和④作出判断；又f（1）＝0，且当x＞e时，f（x）＞0恒成立，所以f（x）只有一个零点为x＝1，从而可对①和②作出判断．解：令g（x）＝x2f（x），则g'（x）＝x2f′（x）+2xf（x）＝1+lnx，∴g（x）＝x•lnx+C，即x2f（x）＝x•lnx+C，∴f(x)=xlnx+C x2，∵f（e）=e+Ce2=1e，∴C＝0，∴f(x)=lnxx，f′(x)=1−lnxx2，当0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）在x＝e处取得极大值f（e）=1e，而这也是最大值，即③错误，④正确；又∵f（1）＝0，且当x＞e时，f（x）＞0恒成立，∴f（x）只有一个零点为x＝1，即①正确，②错误．∴正确的有①④，故选：B．12．已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点．若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（）A．3√24B．3√34C．3√54D．3+√54【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论．解：如图：连接AC，BD；设双曲线的焦距AD＝2c；实轴长为2a；则BD﹣AB＝AC﹣AD＝2a；设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，依题意，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2√2mc；在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14√2mc；整理得：√2（c2﹣a2）＝m（√2a+c）；√2（c2﹣a2）＝7m（√2a﹣c）；两式相结合得：√2a+c＝7（√2a﹣c）⇒6√2a＝8c；∴双曲线Γ的离心率为e=ca=3√24；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在三角形ABC中，|AB→|＝5，AB→⋅AC→=8，则AB→⋅BC→=﹣17．【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可．解：在三角形ABC中，|AB→|＝5，AB→⋅AC→=8，可得AB→⋅(AB→+BC→)=AB→2+AB→⋅BC→=25+AB→⋅BC→=8，则AB→⋅BC→=−17．故答案为：﹣17．14．若（3√x−1√x）n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为﹣540．【分析】依据各项系数之和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．解：若(3√x√x)n的展开式中各项系数之和为2n＝64，解得n＝6，则展开式的常数项为C63(3√x)3⋅1√x)3=−540，故答案为：﹣540．15．在数列{a n}，{b n}中，a n+1＝2（a n+b n）+2√a n2+b n2，b n+1＝2（a n+b n﹣2√a n2+b n2，a1＝b1＝1，设数列{c n}满足c n=1a n+1bn，则数列{c n}的前10项和S10＝1023256．【分析】首先求出a n+b n=2×4n−1=22n−1和a n b n=1×8n−1=8n−1，进一步求出数列{c n}的通项公式，最后求出数列的和．解：数列{a n}，{b n}中，a n+1＝2（a n+b n）+2√a n2+b n2，①，b n+1＝2（a n+b n）﹣2√a n2+b n2，②所以①+②得：a n +1+b n +1＝4（a n +b n ），整理得a n+1+b n+1a n +b n=4（常数），所以数列{a n +b n }是以a 1+b 1＝2为首项，4为公比的等比数列． 所以a n +b n =2×4n−1=22n−1．①×②得：a n+1b n+1=4(a n +b n )2−4(a n 2+b n 2)=8a n b n ， 所以a n+1b n+1a n b n=8（常数），故数列{a n b n }是以a 1b 1＝1为首项，8为公比的等比数列，所以a n b n =1×8n−1=8n−1，由于数列{c n }满足c n =1a n +1b n =22n−18n−1=22﹣n ，所以S 10=2(1−1210)1−12=1023256，故答案为：1023256．16．四面体P ﹣ABC 中，PA =√2，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝2√2，动点Q 在△ABC 的内部（含边界），设∠PAQ ＝α，二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角的大小为β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为S 1和S 2，且满足S 1S 2=√3sinα4sinβ，则S 2的最大值为 4﹣2√2 ． 【分析】取BC 的中点M ，由题意可得AM ＝PM ＝PA =√2，所以β＝∠PMA ＝60°，作QH ⊥BC 于M ，所以S 1S 2=12AP⋅AQ⋅sinα12BC⋅QH =√3sinα4sinβ=√3sinα4⋅√32=12sin α，而BC ＝2PA＝2√2，可得AQ ＝QH ，即Q 为三角形ABC 内的一条抛物线，当Q 在AB 或AC 上时，S 2最大，求出S 2的最大值．解：取BC 的中点M ，连接AM ，PM ，因为PB ＝PC ＝AB ＝AC 可得AM ⊥BC ，PM ⊥BC ，且PA =√2，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝2√2，所以AM ＝PM ＝PA =√2，所以β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于M，所以S1S2=12AP⋅AQ⋅sinα12BC⋅QH=√3sinα4sinβ=√3sinα4⋅√32=12sinα，而BC＝2PA＝2√2，所以可得AQ＝QH，所以Q的轨迹是△ABC内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，S2最大，此时AQ＝QH＝2（√2−1），S2＝4﹣2√2．故答案为：4﹣2√2三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，2c cos A＝2b﹣a．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）如图，若点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，且DE=√2，求BD 的长．【分析】（I）由正弦定理结合和差角公式进行化简可求cos C，进而可求C；（II ）由已知结合正弦定理可求AB ，然后结合勾股定理即可求解． 解：（I ）∵2c cos A ＝2b ﹣a ．由正弦定理可得，2sin C cos A ＝2sin B ﹣sin A ，所以2sin C cos A ＝2sin （A +C ）﹣sin A ＝2sin A cos C +2sin C cos A ﹣sin A ， 因为sin A ≠0，故cos C =12，C ∈（0，π），故C =13π；（II ）设BD ＝AD ＝x ，在△ABC 中，由正弦定理可得，2sinA=AB sinC，所以AB =√62x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理可得，x 2=(√64)2+√22，解可得x ＝BD =4√55．18．如图，在矩形ABCD 中，将△ACD 沿对角线AC 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面ABP ⊥平面ABC ． （Ⅰ）求证：AP ⊥PB ；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值为34，求二面角P ﹣AC ﹣B 的余弦值．【分析】（Ⅰ）由四边形ABCD 是矩形，得AB ⊥BC ，推导出BC ⊥平面ABP ，BC ⊥AP ，从而AP ⊥PC ，进而AP ⊥平面PBC ，由此能证明AP ⊥PB ．（Ⅱ）过P 作PO ⊥AB 于点O ，则PO ⊥平面ABC ，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣AC ﹣B 的余弦值．解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 是矩形，得AB ⊥BC ， 根据平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP ∩平面ABC ＝AB ， 得BC ⊥平面ABP ，则BC ⊥AP ，又AP ⊥PC ，根据BC ∩PC ＝C ，是AP ⊥平面PBC ， ∵PB ⊂平面PBC ，∴AP ⊥PB ．（Ⅱ）解：过P 作PO ⊥AB 于点O ，∵平面ABP ⊥平面ABC ， ∴PO ⊥平面ABC ，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ， OP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（Ⅰ）知CB ⊥平面ABP ，∴∠CPB 是直线PC 与平面ABP 所成角，即sin ∠CPB =34，在△PBC 中，sin ∠CBP =CB CP =34， 设CB ＝3，则CP ＝4，PB =√42−32=√7，∵PO ⊥平面ABC ，∴可取平面ABC 的一个法向量m →=（0，0，1），由（Ⅰ）知，AP ⊥PB ，∴在直角三角形APB 中，PO ⊥AB ，AP ＝3，AB ＝4，PB =√7，∴AO =94，BO =74，PO =3√74，∴P （0，0，3√74），A （−94，0，0），C （74，3，0），AC →=（4，3，0），AP →=（94，0，3√74），设平面PAC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则由{n →⋅AC →=4x +3y =0n →⋅AP →=94x +3√74z =0，取x ＝﹣3，则n ＝（﹣3，4，√7）， 则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=97√9+16+817=916， ∵二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角是锐角，∴二面角P ﹣AC ﹣B 的余弦值为916．19．已知圆O ：x 2+y 2＝3，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且|PB |＝2|PA |．（Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在定点D ，使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设P （x ，y ），则|PA |2＝x 2+y 2﹣3，|PB |2＝x 2，代入|PB |＝2|PA |即可得到点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为：x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1⋅y 2=−94+3m 2，代入k PD +k QD ＝0，化简整理得2my 1y 2+(1−x 0)(y 1+y 2)=−18m4+3m 2−6m(1−x 0)4+3m 2=0，解得：x 0＝4，所以存在定点D （4，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线．解：（Ⅰ）设P （x ，y ），则|PA |2＝|PO |2﹣3＝x 2+y 2﹣3，|PB |2＝x 2， 由|PB |＝2|PA |得：x 2＝4（x 2+y 2﹣3），化简得x 24+y 23=1(x ≠0)，∴点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(x ≠0)；（Ⅱ）设直线l 的方程为：x ＝my +1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程{x 24+y 23=1x =my +1，整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，∴y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1⋅y 2=−94+3m 2， 假设存在定点D （x 0，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，则k PD +k QD ＝0， ∴y 1x 1−x 0+y 2x 2−x 0=0，∴y 1my 1+1−x 0+y 2my 2+1−x 0=0，∴y 1(my 2+1−x 0)+y 2(my 1+1−x 0)(my 1+1−x 0)(my 2+1−x 0)=0，∴2my 1y 2+(1−x 0)(y 1+y 2)(my 1+1−x 0)(my 2+1−x 0)=0，即2my 1y 2+(1−x 0)(y 1+y 2)=−18m4+3m 2−6m(1−x 0)4+3m 2=0，解得：x 0＝4，所以存在定点D （4，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线．20．某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态．若机器处于故障状态，则停机检修．为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图．由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x ，σ2近似为这1000个产品的质量指标值的方差s 2（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）．若产品的质量指标值全部在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态．（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：294555636773788793113请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元；现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i（i＝1，2，…，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率．已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：√188≈13.71，√208≈14.42，√228≈15.10．【分析】（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数x=70和方差s2＝188，所以μ＝70，σ=√188≈13.71，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故机器处于故障状态；（2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700+200＝900元；方案二：设损失收益为X元，则X的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，然后由图2可得出每个X的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和为200+732＝932元，由于900＜932，故若机器出现故障，该选择加急检修方案．解：（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数x和方差s2分别为x=40×0.04+50×0.08+60×0.24+70×0.30+80×0.20+90×0.10+100×0.04＝70，s2＝（﹣30）2×0.04+（﹣20）2×0.08+（﹣10）2×0.24+02×0.30+102×0.20+202×0.10+302×0.04＝188，∴μ＝70，σ=√188≈13.71，∴μ﹣3σ≈28.87，μ+3σ≈111.13，∴产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），又抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故可判断该机器处于故障状态．（2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700+200＝900元；方案二：设损失收益为X元，则X的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，∴X的分布列为：X200400600800100012001400 P0.070.180.250.200.150.120.03数学期望E（X）＝200×0.07+400×0.18+600×0.25+800×0.20+1000×0.15+1200×0.12+1400×0.03＝732元，故工厂需要支付检修费和损失收益之和为200+732＝932元，∵900＜932，∴当机器出现故障时，选择加急检修更为适合．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）2﹣alnx（a＜0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且关于x 的方程f （x ）＝b （b ∈R ）恰有三个实数根x 3，x 4，x 5（x 3＜x 4＜x 5），求证：2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3．【分析】（Ⅰ）求导得f ′（x ）=2x 2−2x−a x，令f ′（x ）＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，△＝4+8a ，分两种情况①△≤0，②△＞0，讨论f （x ）单调性．（Ⅱ）证明：由题意得−12＜a ＜0，画出草图，知0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，要证：2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3，即证：2（x 2﹣x 1）＞（x 5+x 4）﹣（x 3+x 4）；只需证：{x 5+x 4＜2x 2x 3+x 4＞2x 1，先证：x 3+x 4＞2x 1．法一：即证x 4＞2x 1﹣x 3，由（1）f （x ）单调递减，只需证f （x 4）＜f （2x 1﹣x 3），即证：f （x 3）＜f （2x 1﹣x 3），令g （x ）＝f （x ）﹣f （2x 1﹣x ），0＜x ＜x 1，求导数，分析单调性，最值得g （x ）＜g （x 1）＝0，故f （x ）＜f （2x 1﹣x ），在（0，x 1）恒成立，f （x 3）＜f （2x 1﹣x 3）得证，同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2，综上，2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3，得证．法二：由题可得{(x 3−1)2−alnx 3=b(x 4−1)2−alnx 4=b (x 5−1)2−alnx 5=b，即{(x 4−x 3)(x 4+x 3−2)=a(lnx 4−lnx 3)①(x 5−x 4)(x 5+x 4−2)=a(lnx 5−lnx 4)②，由①式得a x 4+x 3−2=x 4−x 3lnx 4−lnx 3，先证x 4−x 3lnx 4−lnx 3＜x 4+x 32，令h （t ）＝lnt −2(t−1)t+1，（t ＞1），先求导得h （t ）在（1，+∞）上单调递增，从而h （t ）＞h （1）＝0，取t =x4x 5＞1，故ax 4+x 3−2＜x 4+x 32，即x 4+x 3＞1−√2a +1=2x 1，同理可得a x 5+x 4−2=x 5−x 4lnx 5−lnx 4＜x 5+x 42，即x 5+x 4＜1+√2a +1=2x 2，综上，2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3，得证．解：（Ⅰ）由题意得f ′（x ）＝2（x ﹣1）−a x =2x 2−2x−a x，令f ′（x ）＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，△＝4+8a ，①当a ≤−12时，△≤0，f ′（x ）≥0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，②当−12＜a ＜0时，△＞0，2x 2﹣2x ﹣a ＝0的两根为x 1=1−√2a+12，x 2=1+√2a+12且0＜x 1=1−√2a+12＜x 2，当x ∈（0，1−√2a+12），（1+√2a+12，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（1−√2a+12，1+√2a+12）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上，当a ≤−12时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当−12＜a ＜0时，当x ∈（0，1−√2a+12），（1+√2a+12，+∞）时，f （x ）单调递增， 当x ∈（1−√2a+12，1+√2a+12）时，f （x ）单调递减，（Ⅱ）证明：由题意得−12＜a ＜0，0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，要证：2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3，即证：2（x 2﹣x 1）＞（x 5+x 4）﹣（x 3+x 4）；只需证：{x 5+x 4＜2x 2x 3+x 4＞2x 1先证：x 3+x 4＞2x 1． 法一：即证x 4＞2x 1﹣x 3，又由（1）知f （x ）在（x 1，x 2）上单调递减， 只需证f （x 4）＜f （2x 1﹣x 3），而f （x 4）＝f （x 3），即证：f （x 3）＜f （2x 1﹣x 3）， 令g （x ）＝f （x ）﹣f （2x 1﹣x ），0＜x ＜x 1，g ′（x ）＝f ′（x ）+f ′（2x 1﹣x ）＝2x ﹣2−ax +2（2x 1﹣x ）﹣2−a2x 1−x ，＝4（x 1﹣1）−a x −a2x 1−x=4(x 1−1)(2x 1x−x 2)−2ax 1x(2x 1−x)又2（x 1﹣1）−a x 1=0，即x 1﹣1=a2x 1，那么，g ′（x ）=2a x 1(2x 1x−x 2−x 12)x(2x 1−x)=−2a x 1(x−x 1)2x(2x 1−x)，而0＜x ＜x 1，且−12＜a ＜0， 则g ′（x ）＞0，故g （x ）在（0，x 1）单调递增，则g （x ）＜g （x 1）＝0， 故f （x ）＜f （2x 1﹣x ），在（0，x 1）恒成立， 又0＜x 3＜x 1，则f （x 3）＜f （2x 1﹣x 3）得证， 同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2， 综上，2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3，得证．法二：由方程f （x ）＝b 恰有三个实数根x 3，x 4，x 5（x 3＜x 4＜x 5），可得{(x 3−1)2−alnx 3=b(x 4−1)2−alnx 4=b (x 5−1)2−alnx 5=b ，即{(x 4−x 3)(x 4+x 3−2)=a(lnx 4−lnx 3)①(x 5−x 4)(x 5+x 4−2)=a(lnx 5−lnx 4)②，由①式得a x 4+x 3−2=x 4−x 3lnx 4−lnx 3，先证x 4−x 3lnx 4−lnx 3＜x 4+x 32，令h （t ）＝lnt −2(t−1)t+1，（t ＞1）， h ′（t ）=(t−1)2t(t+1)2＞0，所以h （t ）在（1，+∞）上单调递增，从而h （t ）＞h （1）＝0，取t =x4x 5＞1，则有x 4−x 3lnx 4−lnx 3＜x 4+x 32，故ax 4+x 3−2＜x 4+x 32，从而（x 4+x 3）2﹣2（x 4+x 3）＜2a ，即（x 4+x 3﹣1）2＜2a +1， 即x 4+x 3＞1−√2a +1=2x 1， 同理可得ax 5+x 4−2=x 5−x 4lnx 5−lnx 4＜x 5+x 42，即x 5+x 4＜1+√2a +1=2x 2，综上，2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3，得证． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +ty =√3t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ．（Ⅰ）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 上的点P （m ，0）为曲线C 内的点，且直线l 与曲线C 交于A ，B ，且|PA |•|PB |＝2，求m 的值．【分析】（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程； （Ⅱ）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数t 的几何意义求解m 值． 【解答】（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为ρ2=42，∴ρ2+ρ2sin 2θ＝4， 即x 2+2y 2＝4，得x 24+y 22=1．∴曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 22=1．直线l 的参数方程为{x =m +ty =√3t （t 为参数），消去参数t ，可得直线l 的普通方程为√3x −y −√3m =0；（Ⅱ）设直线l 的参数方程为{x =m +12t′y =√32t′，代入椭圆方程，得74(t′)2+mt′+m 2−4=0．再设A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2，则t′1t′2=4(m 2−4)7．又点P （m ，0）为曲线C 内的点，∴m 2＜4，即﹣2＜m ＜2．由|PA |•|PB |＝|t ′1t ′2|=4|m 2−4|7=2，解得m =±√22．[选修4-5：不等式选讲]23．若对于实数x ，y 有|1﹣2x |≤4，|3y +1|≤3． （Ⅰ）求|x +y −16|的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足1a+2b=M ，证明：(a +1)(b +2)≥509． 【分析】（Ⅰ）由|x +y −16|=|12(2x −1)+13(3y +1)|，利用绝对值的不等式放缩即可求得最大值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a +2b=3，得2a +b =3ab ≥2√2ab ，求解ab 的最小值，即可证明(a +1)(b +2)≥509． 【解答】（Ⅰ）解：|x +y −16|=|12(2x −1)+13(3y +1)|≤12|2x −1|+13|3y +1|≤12×4+13×3=3， 当{x =52y =23或{x =−32y =−43时等号成立， ∴|x +y −16|的最大值M 为3．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，1a+2b=3，∴2a +b =3ab ≥2√2ab ，得ab ≥89．∴(a +1)(b +2)=2a +b +ab +2=4ab +2≥4×89+2=509．。

“龙泉中学、宜昌一中”高三6月联考理科综合试题本试卷共16页、38题（含选考题）。

满分300分，考试用时150分钟。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Mg-24 Al-27第Ⅰ卷（选择题共21小题，每小题6分，共126分）一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。

共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.细胞既是生物体结构的基本单位，也是生物体代谢和遗传的基本单位。

下列事实或证据不支持该观点的是A.草履虫是单细胞生物，能进行运动和分裂B.离体的叶绿体在一定的条件下能释放氧气C.用手抓握物体需要一系列神经细胞和肌肉细胞的协调配合D.生物圈的碳循环与地球上所有生物细胞的生命活动都有关系2.在T2噬菌体侵染大肠杆菌并增殖的过程中，需要借助细胞器完成的是A.噬菌体特异性吸附在细菌细胞上B.噬菌体遗传物质整合到细菌DNA上C.噬菌体DNA在细菌细胞中转录D.噬菌体的蛋白质在细菌细胞中合成3.为研究Cu2+和Cl-对唾液淀粉酶活性的影响，某小组设计了如下操作顺序的实验方案：甲组：CuSO4溶液－缓冲液－淀粉酶溶液－淀粉溶液－保温－检测乙组：NaCl溶液－缓冲液－淀粉酶溶液－淀粉溶液－保温－检测丙组：蒸馏水－缓冲液－淀粉酶溶液－淀粉溶液－保温－检测各组试剂量均适宜，下列对该实验方案的评价，不合理的是A.缓冲液的pH应控制为最适pHB.保温的温度应控制在37℃左右C.设置的对照实验能达成实验目的D.宜选用碘液来检测淀粉的剩余量4.现有两瓶世代连续的果蝇，甲瓶中个体全为灰身，乙瓶中的个体既有灰身也有黑身。

让乙瓶中的全部灰身个体与异性黑身果蝇交配，观察子代表现型及比例。

下列说法错误的是A.若后代出现两种表现型，则甲为乙的亲本B.若后代出现两种表现型，则乙中灰身果蝇与甲基因型相同的概率为2/3C.若后代只出现一种表现型，则乙为甲的亲本，甲中灰身果蝇为杂合子D.子代是否出现两种表现型是判断显隐性性状的重要依据5. 某人长期失眠，出现了心慌、易怒、体重减轻等症状，去医院抽血检查后，部分指标化验结果异常（如下表所示）。

“龙泉中学、宜昌一中”高三6月联考文科数学答案一、选择题：CDBCCCADCC DA1．C00y ≥⇒≥，得集合[0,)A =+∞，由2933x x ≤⇒-≤≤，得[3,3]B =-，∴[0,3]A B = ．3．【答案】B【解析】抛物线212y x =中，准线方程为18y =-，由题意知11384A y +=，得258A y =，则54A x =．4.【答案】C【详解】取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为122x x -+≥=，当且仅当12x =时等号成立，故命题q 为真；故p q ∧为真，故选：C ．5．【答案】C 【解析】11111131()22242444BP BA BD BA BC AB AC AB AB AC =+=+=-+-=-+ ，∴311442λμ+=-+=-7【答案】A【详解】因为2,3C ABC π=∆的面积为1534，所以1sin 14253ab C =，解得15ab =.由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，又因为7c =，所以1sin 142ab C =，解得15ab =.由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，所以ABC ∆的周长为15.故选：A8．【答案】D【解析】根据01x <<，得到201x x <<<，而2ln ()x f x x '=，所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以2()()(1)0f x f x f <<=，而222ln ()()0x f x x =>，所以有22()()()f x f x f x <<，故选D ．9.【解析】开区间)1,0(的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，∵精确度为0.01，∴12n <0.01，又n ∈N *，∴n ≥7，故所需二分区间的次数最少为7.选C.10．【答案】C【解析】取AD 的中点N ，11A D 的中点M ，连结MN ，NE ，ME ，则NE BD ∥，1MN DD ∥，∴平面MNE ∥平面11BDD B ，∴当F 在线段MN 上时，EF 始终与平面11BB D D 平行，故EF 的最小值为NE =ME ==．12．【答案】A 【解析】由222:(25cos )(5sin )1()C x y θθθ--+-=∈R 可得，圆2C 的圆心在圆22(2)25x y -+=的圆周上运动，设(2,0)A ，则[4,6]PA d =∈，设θ=∠EPA ，d 2sin =θ，22228cos 2(4)(12sin )(4)(1)PE PF PE d d d θθ2⋅==--=-- 223212d d=+-，由22232()12f d d d =+-在[16,36]上为增函数可知，当216d =时，PE PF ⋅ 取最小值6，故选A ．二、填空题：13.20y ±=14.72015.{0,2,5}16.214(,33e e13.20y ±=【详解】由题意得，双曲线的离心率c e a ===b a =所以双曲线的渐近线方程为22y x =±20y ±=.14.【答案】720.【解析】由随机数表可知,共有20个随机事件,其中该运动员射击4次至少击中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7个随机事件,因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为720.15．【答案】{0,2,5}【解析】令()t f x =，由()0f t =，得0t =或2t =，再由()0f x =，解得0x =，2x =，由()2f x =，解得5x =，即函数(())y f f x =的所有零点所构成的集合为{0,2,5}．16．【答案】214(,]33e e 【解析】令224)0(2x x f x e e e ++-==，解得2x e e =或22e -（舍），所以2x =，即{}{}()02A x f x ===，若存在1x A ∈，2x B ∈，使得121x x -<，即221x -<，得2(1,3)x ∈，即20()3xg x x ae =-=在(1,3)上有解，等价于23x x a e=在(1,3)上有解，令2()3x x h x e=，(1,3)x ∈，(2)()3x x x h x e -'=，当(1,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(2,3)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减．1(1)3h e =，24(2)3h e =，33(3)(1)h h e =>，所以214()(,]33h x e e ∈，即有a 的取值范围为214(,33e e ．三、解答题：17.解析：（1）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得125010.40.260.1=---，所以语文成绩为一等奖的考生()5010.3820.164⨯-⨯-=人（2）设数学和语文两科的平均数和方差分别为1x ，2x ，21s ，22s 18184939092885x ++++==,27989848687855x ++++==222222174524225s ++++==22222226421111.65s ++++==,因为8885>,11.622<，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（3）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人----9分设两科成绩都是一等奖的3人分别为123,,A A A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是12,B B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为121311121232122{,,,,,,,,A A A A AB A B AC A A A B A B Ω=23132312,,,,,A C A B A B A C B B 12,}B C B C ,共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件{}1121323,,A A A A A A Ω=共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率31155P ==.18.【解析】（1）数列{}n a 中，12a =，1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++，则21226a a =+=，322321221a a +=+=+．……………6分（2）由数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，和26a =得到数列{}n a 的通项公式为2(1)n a n n n n =+=+，所以1111n a n n =-+，则12111111111(1)(()122311n a a a n n n +++=-+-++-=-++ ，所以111n S n =-+，.....................8分由于2132111()()()n n n a a a a a a a a ++-+-++-=- ，(1)n a n n =+，所以21321()()()(3)n n a a a a a a n n +-+-++-=+ ，即23n T n n =+，.............10分由360n nT S >，整理得243570n n +->，解得17n >或21n <-，...................11分故n 的取值范围是17n >，且为正整数．. (12)分20.解：依据题意得1)3(342222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛b b a ，得22=a ，又)0,(),,0(c F b P ，则),(b c PF -=，)3,34(b c FQ -=，FQ FP ⊥ ,033422=--=⋅∴b c c FQ FP 又222c b a +=，1==∴c b ，∴椭圆的方程为1222=+y x ............4分（2）假设在直线2=x 上存在一点D 使得ABD ∆为等边三角形，设直线)1(:-=x k y l 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 得，0224)12(2222=-+-+k x k x k 0)1(8)22)(12(4162224>+=-+-=∆k k k k ,设),(),,(2211y x B y x A ，AB 的中点为),(00y x M 则1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x ，................6分12)1(,122200220+-=-=+=k k x k y k k x ...............7分12)1(2222++=∴k k AB .......................8分DBA ∆ 为等边三角形，所以MD 的斜率为k 1-，又D 点的横坐标为2，1222111222202++⋅+=-+=∴k k k k x x k MD D ...............9分DBA ∆ 为等边三角形,AB DM 23=∴.................10分即12)1(222312*********++⋅=++⋅+k k k k k k ，得22=k ..............11分526=∴AB ，DBA ∆∴的面积为25318.......................12分21.（1）)1(12)1(212)1(2)(2-≠+-+=+-+='x x n x m x n x m x f ，由0)0(='f 得，n m =，则xx mx x f ++='1)2(2)(..................2分由于0=x 是函数)(x f 的一个极小值点，因此，当)0,1(-∈x 时，0)(<'x f ；当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；从而得0>=n m ..................3分所以当)2,5(--∈x 时，()0f x '<；当)1,2(--∈x 时，()0f x '>；所以2x =-是函数)(x f 的一个极小值点。

这首诗歌所写的是中国古代历史一个常见的现象，那就是“飞鸟尽，良弓藏；狡兔死，走狗烹”。

据《五代史》载，先主王建晚年“多忌好杀，诸将有功名者，多因事诛之。

”后主王衍继位后，对那些老臣也都采取弃而不用的政策。

张蠙唐末曾避乱于蜀，王建立蜀，任过膳部员外郎、金堂令等职，因此，这首诗所写的内容，是有一定历史依据的。

本诗首联“百战功成翻爱静，侯门渐欲似仙家”，概括点出老将心境的寂寞及其门第的冷落。

一个“翻”字，甚妙。

老将有别于隐士，不应“爱静”，却“翻爱静”；“侯门”与仙人的洞府有异，不应相似，偏“渐欲似”，这就把这位老将不同于一般的性格揭示出来。

颔联、颈联四句，作了具体刻画。

“墙头雨细垂纤草”，“侯门”的围墙，经斜风细雨侵蚀，无人问津，年久失修，已是“纤草”丛生，斑剥陆离。

状“纤草”着一“垂”字，见毫无生气的样子，荒凉冷落之意，自在言外。

“水面风回聚落花”，写园内湖面上，阵阵轻微的旋风，打着圈儿，把那零零落落浮在水面上的花瓣，卷聚在一起。

这里只用了七个字，却勾画出一幅风自吹拂、花自飘零、湖面凄清、寂寞萧条的景象。

园林冷落如许，主人心境可知。

这是诗人寓情于物之笔。

“井放辘轳闲浸酒”，老将取井水之凉，使酒清凉爽口，写其闲适生活。

“笼开鹦鹉报煎茶”，打开鹦鹉笼子，任其自由往来，好让它在有客光临时报告主人，督请煎茶待客。

这两句从侧面借助物情来反映人情，不仅使画面的形象鲜明生动，构成一个清幽深邃的意境，而且深刻细腻地揭示出老将的生活情趣和精神状态，手法相当高明。

尾联“几人图在凌烟阁，曾不交锋向塞沙”，用反诘的句式对老将进行规劝与慰勉，揭出诗的主旨。

据《新五代史》载：蜀王建五年曾起寿昌殿于龙兴宫，“画建像于壁”，并且还起“扶天阁，画诸功臣像”。

这两句是说：在凌烟阁画像留名的人，又有谁不曾在战场上立过功呢？功劳是不可抹煞的，感到寂寞与萧条是大可不必的。

这诗在艺术上也很有特色。

前六句铺写老将寂寞闲适的“仙家”生活，后二句笔锋一转，点明旨意，文势波澜曲折。

2020届湖北省宜昌一中、龙泉中学高三下学期6月联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{A y y ==，{}29B x x =≤，则A B =（ ）A ．[]3,1-B ．[]1,3C ．[]0,3D ．[]3,3-【答案】C【解析】通过解不等式，把集合,A B 化简，然后求出A B .【详解】00y ≥⇒≥，得集合[)0,A =+∞，由2933x x ≤⇒-≤≤，得[]3,3B =-，[]0,3A B ∴⋂=.故选：C 【点睛】本题考查了集合的运算、正确求解不等式是本题的关键.2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x = B ．1y =C ．0x =D ．0y =【答案】D 【解析】【详解】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ． 3．抛物线22y x =上一点A 到抛物线焦点F 的距离为134，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．1 B ．54C ．32D ．2【答案】B【解析】抛物线上一点到焦点的距离就等于到准线的距离，即可得到. 【详解】抛物线212x y =中，准线方程为18y =-，由题意知11384A y +=，得258A y =，代入22y x =得54A x =， 故选：B. 【点晴】此题利用焦点在y 轴正半轴的抛物线的性质2A pAF y =+ 即可得出，属于基础题.4．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>．则下列命题中是真命题的为（ ） A ．q ⌝ B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】C【解析】分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案. 【详解】取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为122x x -+≥=，当且仅当12x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真， 故选：C ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.5．在ABC 中，BD DC =，AP PD =，且BP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．12C ．12-D ．-1【答案】C【解析】根据向量的线性运算法则，化简得3144BP AB AC =-+，再结合BP AB AC λμ=+，求得以,λμ的值，即可求解.【详解】由题意在ABC 中，BD DC =，AP PD =， 根据向量的线性运算法则，可得：11112224BP BA BD BA BC =+=+()11312444AB AC AB AB AC =-+-=-+，又由BP AB AC λμ=+，所以31,44λμ=-=，所以311442λμ+=-+=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理得应用，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的运算法则，结合平面向量的基本定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（ ）A ．五寸B ．二尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =，利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】解：设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =， 则1451225d +=，解得10d =-． 1014510955a ∴=-⨯=∴夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,7,3C c ABC π==∆的面积为4，则ABC ∆的周长为（ ） A．8 B ．12C ．15D ．7【答案】C【解析】根据142,3ABC C S π∆==，解得15ab =，再由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，求得+a b 即可.【详解】因为2,3C ABC π=∆的面积为4，所以1sin 2ab C =，解得15ab =. 由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=， 所以8a b +=， 又因为7c =，所以1sin 2ab C =，解得15ab =. 由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=， 所以8a b +=， 所以ABC ∆的周长为15. 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f xf x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f xf x f x <<【答案】D【解析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果.【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->， 从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f xf x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9．用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n，由10.012n ≤可得结果. 【详解】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， 经过n 此操作后,区间长度变为12n ， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解, 要求精确度为0.01 ,10.012n ∴≤，解得7n ≥，故选C. 【点睛】本题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.10．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C【解析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD平面11BDD B BD =，GE平面ABCD //GE BD ∴E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max AF AH ===min EF ∴=max EF =则线段EF 长度的取值范围为：本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.11．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确，由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．12．已知圆221(2)4C x y -+=：，()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：，过圆2C 上一点P 作圆1C 的两条切线，切点分别是E 、F ，则PE PF ⋅的最小值是( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】本题首先可以通过圆2C 的方程得出圆2C 的圆心轨迹，然后画出圆2C 的圆心轨迹图像以及圆1C 的图像，通过图像可以得出线段PA 的取值范围以及PE PF ⋅的解析式，最后通过函数性质即可得出结果． 【详解】由()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：可得： 圆2C 的圆心在圆22(2)25x y -+=的圆周上运动，设()20A ，，则[]46PA d =∈，，由图可知：()()222cos2412sin PE PF PE d θθ⋅==--，()22228324112d d d d ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由()2223212f ddd=+-在[]1636，上为增函数可知， 当216d =时，PE PF ⋅取最小值6，故选A ． 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．二、填空题13．己知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>3为________.220x y ±=【解析】利用双曲线的离心率，推出a ，c 关系，转化为a ，b 关系，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】由题意得，双曲线的离心率2213c b e a a==+=2b a =， 因为双曲线焦点在纵轴上， 所以双曲线的渐近线方程为2a y x y xb =±⇒=220x y =. 220x y ±= 【点睛】本题考查双曲线的方程与简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题.14．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________.【答案】720.【解析】由数据可知，该运动员射击4次至少击中3次有：9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424，共有7个随机事件，根据古典概型概率公式计算即可.【详解】由随机数表可知，共有20个随机事件，其中该运动员射击4次至少击中3次有：9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424，共有7个随机事件，因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为720.故答案为：720.【点睛】本题主要考查了古典概型求概率问题，属于基础题.15．已知函数()()2,1log1,1x xf xx x≤⎧=⎨->⎩，则函数()()y f f x=的所有零点所构成的集合为________.【答案】{}0,2,5【解析】令()t f x=，根据()0f t=，求得0t=或2t=，再根据0f x和()2f x =，结合分段函数的解析式，即可求解.【详解】令()t f x=，由()0f t=，即0x=或2log(1)0x-=，解得0t=或2t=，当0f x时，解得0x=或2x=；当由()2f x=，解得5x=，即函数()()y f f x=的所有零点所构成的集合为{}0,2,5.故答案为：{}0,2,5.本题主要考查了分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法和分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查换元思想，以及推理与运算能力. 16．已知()2242xx f x e ee +=+-，()23x g x x ae =-，(){}0A x f x ==，()()0B x g x ==，若存在1x A ∈，2x B ∈，使得121x x -<，则实数a 的取值范围为________. 【答案】214,33e e ⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】先求得(){}{}02A x f x ===，根据题意，得到()21,3x ∈，转化为即()0g x =在()1,3上有解，即23x x a e=在()1,3上有解，令()23x x h x e =，()1,3x ∈，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【详解】由题意，函数()2242xx f x e ee +=+-，令()22420xx f x e ee +=+-=，解得2x e e =或22e -（舍），所以2x =，即(){}{}02A x f x ===，若存在1x A ∈，2x B ∈，使得121x x -<，即221x -<，得()21,3x ∈，即()230xg x x ae =-=在()1,3上有解，等价于23x x a e=在()1,3上有解，令()23x x h x e =，()1,3x ∈，则()()23xx x h x e -'=，当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()2,3x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减. 又由()113h e =，()2423h e =，()()3331h h e =>，所以()214,33h x e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 即有a 的取值范围为214,33e e ⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：214,33e e ⎛⎤⎥⎝⎦.本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中转化为23xxae=在()1,3上有解，利用导数求得函数()2 3x xh xe=的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．【答案】（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（3）15 P=【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共3个，利用古典概型概率公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得125010.40.260.1=---，所以语文成绩为一等奖的考生()5010.3820.164⨯-⨯-=人 （Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为1x ，2x ，21s ，22s18184939092885x ++++==, 27989848687855x ++++==222222174524225s ++++== 22222226421111.65s ++++==,因为8885>,11.622<，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人----9分 设两科成绩都是一等奖的3人分别为123,,A A A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是12,B B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为121311121232122{,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B Ω= 23132312,,,,,A C A B A B A C B B 12,}B C B C ,共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件{}1121323,,A A A A A A Ω=共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率31155P ==. 18．数列{}n a 中，12a =，1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++. （1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，设数列1{}na 的前n 项和为n S ，1{}n n a a +-的前n 项和为n T ，若360n n T S >，求n 的取值范围．【答案】（1）26a =，312a =（2）17n >，且n 是正整数【解析】（1）根据已知条件，分别令1n =和2n =，求得23,a a 的值.（2）根据26a =判断出数列的通项公式为()21n a n n n n =+=+，利用裂项求和法求得n S 的值，利用累加法求得n T 的值，根据360nnT S >列不等式，解不等式求得n 的取值范围.【详解】（1）∵()()()1121n n n n a a a n ++-=++，∴1321n n n a a n ++=++ ∴21132611a a +=+=+ 322321221a a +=+=+（2）由数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，和26a =得数列{}n a 的通项公式是()21n a n n n n =+=+由()1n a n n =+可得()111111n a n n n n ==-++ ∴121111111111122311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴111n S n =-+ ∵()()()2132111n n n a a a a a a a a ++-+-++-=-，()1n a n n =+ ∴()()()2213213n n a a a a a a n n +-+-++-=+即23n T n n =+由360nnT S >，得243570n n +->，解得17n >或21n <- ∵n 是正整数，∴所求n 的取值范围为17n >，且n 是正整数 【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题. 19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90APB ACB ∠=∠=︒，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是BCE ∆的重心.（1）证明：PE ⊥平面ABC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60︒，且2GF =，求三棱锥P ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】（1）根据等腰三角形三线合一可证PE AB ⊥，再证PEC PEA ∆∆≌得到PE EC ⊥即可得证PE ⊥平面ABC .（2）连接CG 并延长交BE 于点O ，则点O 为BE 的中点，连接OF ，可得OF ⊥平面ABC ，即FGO ∠为GF 与平面ABC 所成的角，由勾股定理可计算出OF 、PE 的值，根据13ABC V S PE ∆=⋅求出锥体的体积. 【详解】（1）∵PA PB =，E 是AB 的中点，∴PE AB ⊥. ∵90ACB ∠=︒，E 是AB 的中点，∴EC EA =， 又PC PA =，PE PE =，∴PEC PEA ∆∆≌. ∴90PEC PEA ∠=∠=︒，即PE EC ⊥.AB ⊂平面ABC ，EC ⊂平面ABC ，且AB EC E =，∴PE ⊥平面ABC .（2）连接CG 并延长交BE 于点O ，则点O 为BE 的中点，连接OF ，则OFPE .由（1）得OF ⊥平面ABC ，∴FGO ∠为GF 与平面ABC 所成的角，即60FGO ∠=︒. 又在Rt FGO ∆中，2GF =，∴1OG =，3OF =.∵G 是BCE ∆的重心，O ，F 分别是BE ，BP 的中点，∴3OC =，23PE =. ∵PA PB =，90APB ACB ∠=∠=︒，E ，O 分别是AB ，BE 中点，∴43AB =，23CE =，3OE =，则在CEO ∆中，()()222222331223OE OC CE +=+===，∴OC AB ⊥.所以三棱锥P ABC -的体积111332ABC V S PE AB OC PE ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅143323126=⋅⋅⋅=.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及三棱锥的体积的计算，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上顶点为P ，4,33b Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上的一点，以PQ 为直径的圆经过椭圆E 的右焦点F . （1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，在直线2x =上是否存在一点D ，使得ABD △为等边三角形？若存在，求出等边三角形ABD △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在；25. 【解析】（1）由点在椭圆上，PF QF ⊥及基本量关系列方程即可； （2）直线代入椭圆方程得一元二次方程，求弦长，再由弦长关系得面积. 【详解】解：依据题意得22224331b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得22a =，()0,P b ，(),0F c又2220a b c PF QF ⎧=+⎨⋅=⎩， 22224033b c b c c ⎧=+⎪⎨⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎩， 1b c ∴==， ∴椭圆的方程为2212x y +=.（2）假设在直线2x =上存在一点D 使得ABD ∆为等边三角形，设直线():1l y k x =-由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得，()2222214220k x k x k +-+-= ()()()42221642122810k k k k ∆=-+-=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,M x y 则2122421k x x k ，21222221k x x k -=+ 202221k x k =+，()002121k y k x k -=-=+)22121k AB k +∴=+.DBA △为等边三角形，所以MD 的斜率为1k-，又D 点的横坐标为2，2022221D k x k MD +∴=-=+DBA △为等边三角形，DM B ∴=)22221222121k k k k ++=++，得22k =.AB ∴=DBA ∴△的面积为25【点睛】直线与椭圆相交弦长公式：12x -==， 利用韦达定理整体求解是常用方法.21．已知函数()()()221ln 1f x m x n x =+-+.（1）若0x =是函数()f x 的一个极小值点，试间函数()f x 在区间()5,1--上是否存在极大值？若存在，求出极大值，若不存在，请说明理由； （2）若函数()()212x f x nx ϕ=-在区间[]2,4上单调递增，且m ，n 均为正数，求mn 的取值范围.【答案】（1）不存在，答案见解析；（2）4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）根据0x =是函数()f x 的一个极小值点得到0m n =>，再求出函数在区间()5,1--上的单调性，即得解；（2）由题得()()21112121m n x x ≥-+++在区间[]2,4上恒成立，令11t x =+，求出函数()21122t t h t =-+，11,53t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦最大值即得解.【详解】（1）()()()()2212221111m x nn f x m x x x x+-'=+-=≠-++，由()00f '=得，m n =，则()()221mx x f x x+'=+.由于0x =是函数()f x 的一个极小值点，因此，当()1,0x ∈-时，0f x：当()0,1∈x 时，0fx从而得0m n => 所以当()5,2x ∈--时，0fx：当()2,1x ∈--时，0fx ；所以2x =-是函数()f x 的一个极小值点. 所以函数()f x 在区间()5,1--上不存在极大值. （2）()()212x f x nx ϕ=-， 则()()()2211nx f x nx m x nx xϕ''=-=+--+ 由于()ϕx 在区间[]2,4上单调递增，得()0x ϕ'≥在区间[]2,4上恒成立， 即()22101nm x nx x+--≥+在区间[]2,4上恒成立， 即()()21112121m n x x ≥-+++在区间[]2,4上恒成立， 令11t x =+，24x ≤≤，1153t ∴≤≤ ()()2211111212221t t x x -+=-+++；令()21122t t h t =-+，11,53t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()max 49h t =，所以m n 的取值范围是4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．在直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0ϕπ≤≤）. （1）求曲线C 的普通方程；（2）直线1y kx =+与曲线C 只有一个公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）曲线C 的普通方程为()[]()22110,1x y y -+=∈；（2）12k <-或0k =. 【解析】（1）消除参数ϕ，即可求出结果；（2）作出直线1y kx =+与曲线C 的草图，利用属性结合即可求出结果. 【详解】（1）由题意可知，()22221cos sin 1x y ϕϕ-+=+=，即()2211x y -+=； 又0ϕπ≤≤，所以[]0,1y ∈；所以曲线C 的普通方程为()[]()22110,1x y y -+=∈ .（2）直线1y kx =+与曲线C 只有一个公共点， 又直线1y kx =+必过点()0,1， 当直线1y kx =+与曲线C 相切时，所以2111k k+=+，所以0k =；当直线1y kx =+与曲线C 相交时，如下图所示：由图象可知，101022k -<=--; 综上，若直线1y kx =+与曲线C 只有一个公共点，则12k <-或0k =. 【点睛】本题主要考查了圆的参数方程，以及直线与圆的位置关系，同时考查了学生数形结合能力，属于基础题.23．设函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()5f x ≥；（2）若关于x 的不等式()12tf x x ≥+的解集为R ，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）5,35,3⎛⎤⎡⎫-⋃∞-+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭∞；（2）[]4,2t ∈-.【解析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数的形式，然后分1x ≤-、112x -<<、12x ≥三段,解不等式()5f x ≥，综合可得出该不等式的解集； （2）画出函数()y f x =和12ty x =+的图象,结合图象计算即可得解. 【详解】（1）()3,1121+12,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪∴=-+=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩.当1x ≤-时，由()5f x ≥，得35x -≥，此时53x ≤-；当112x -<<时，由()5f x ≥，得25x -≥，解得3x ≤-，此时x ∈∅； 当12x ≥时，由()5f x ≥，得35x ≥，此时53x ≥.综上所述，不等式()5f x ≥的解集为5,35,3⎛⎤⎡⎫-⋃∞-+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭∞； （2）画出函数()y f x =和12ty x =+的图象，如图所示：由已知可求得()1,3A -，13,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AC 的斜率第 1 页 共 6 页 31210AC k -==---,3121102BC k -==-， 即22t =-或1，解得：4t =或2. x 的不等式()12t f x x ≥+的解集为R , []4,2t ∴∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数形结合的能力和计算能力，属于中档题.。

2020年湖北省宜昌一中、龙泉中学高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知a是实数，是纯虚数，则z的虚部为A. 1B.C. iD.2.已知集合，集合，则A. B.C. D.3.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波拉契数列定义如下：，，随着n的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是A. 20厘米B. 19厘米C. 18厘米D. 17厘米5.设是等差数列的前n项和，若，则等于A. B. C. D.6.函数的图象大致为A. B.C. D.7.已知函数，方程恰有三个根，记最大的根为，则A. B. C. 1 D. 28.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为A. B. C. D.9.设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且，则A. B. 2 C. 3 D. 410.某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为A.B.C.D.11.已知函数满足，，当时，下列说法正确的是只有一个零点；有两个零点；有一个极小值点；有一个极大值点A. B. C. D.12.已知梯形ABCD满足，，以A，D为焦点的双曲线经过B，C两点．若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在三角形ABC中，，，则______．14.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为______．15.在数列，中，，，设数列满足，则数列的前10项和______．16.四面体中，，，，动点Q在的内部含边界，设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为和，且满足，则的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．Ⅰ求角C；Ⅱ如图，若点D在边AC上，，，E为垂足，且，求BD的长．18.如图，在矩形ABCD中，将沿对角线AC折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABC．Ⅰ求证：；Ⅱ若直线PC与平面ABP所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．19.已知圆O：，直线PA与圆O相切于点A，直线PB垂直y轴于点B，且．Ⅰ求点P的轨迹E的方程；Ⅱ过点且与x轴不重合的直线与轨迹E相交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点D，使得x轴是的角平分线，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．20.某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态．若机器处于故障状态，则停机检修．为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图．由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为这1000个产品的质量指标值的平均数，近似为这1000个产品的质量指标值的方差同一组中的数据用该组区间中点值为代表若产品的质量指标值全部在之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态．下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：请判断该机器是否出现故障？若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元；现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第2，，天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率．已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：．21.已知函数．Ⅰ讨论的单调性；Ⅱ若存在两个极值点，，且关于x的方程恰有三个实数根，，，求证：．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求l的普通方程和C的直角坐标方程；Ⅱ直线l上的点为曲线C内的点，且直线l与曲线C交于A，B，且，求m的值．23.若对于实数x，y有，．Ⅰ求的最大值M；Ⅱ在Ⅰ的条件下，若正实数a，b满足，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：是纯虚数，，即，．则z的虚部为．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a，进一步求得z得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：因为集合，集合或，所以，故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：由，得，此时，反之，由成立，可以取，，不能推出，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．由，结合对数式与指数式的性质可得，反之，举例说明不成立，再由充分必要条件的判断得答案．本题考查指数式与对数式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4.答案：C解析：解：由已知有，得：，由，得，即，由于，，所以厘米，故选：C．因为由已知有，又，得，进而解得．本题考查递推数列的应用，属于中档题．5.答案：C解析：解：设等差数列的首项为，公差为d，由，得，即．，．．故选：C．设等差数列的首项为，公差为d，由得到首项与公差的关系，再把，用含有d的代数式表示，则答案可求．本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．6.答案：B解析：解：作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，函数与函数的图象有3个交点，则函数有3个零点，观察选项可知，只有选项B符合题意．故选：B．通过图象，判断函数与函数的图象交点个数，进而求得函数的零点个数，结合选项即可得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：如图，要使方程恰有三个根，且最大的根为，则函数在处的切线为，显然，而，，．故选：D．依题意，函数在处的切线为，且，利用导数的几何意义可得，再化简所求式子即可得解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查导数几何意义的运用，同时也涉及了二倍角公式的运用，考查数形结合思想，以及化简运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：，则每个宣传小组至少选派1人的概率为．故选：D．基本事件总数，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，是基础题．9.答案：B解析：解：设，则由可得，由抛物线的方程可得：，过A，B分别作准线的垂线交于，，过B作的垂线交，OF分别于C，D点，则∽，所以，即，解得：，所以，故选：B．过A，B分别作准线的垂线，再过B作的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出，的值，进而求出比值．本题考查抛物线的性质及三角形相似的性质，属于中档题．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体．如图所示：所以该三棱锥体的外接球的球心为O，外接球的半径为，则：，解得．故．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱锥体的外接球的半径，进一步求出球的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的外接球的半径的求法和应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：令，则，，即，，，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，在处取得极大值，而这也是最大值，即错误，正确；又，且当时，恒成立，只有一个零点为，即正确，错误．正确的有，故选：B．令，则，所以，即，由，解得，所以，求导得，利用导数可求出函数的单调区间，进而得在处取得极大值，而这也是最大值，从而可对和作出判断；又，且当时，恒成立，所以只有一个零点为，从而可对和作出判断．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点问题，还需要构造新函数、求积分，有一定的综合性，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：如图：连接AC，BD；设双曲线的焦距；实轴长为2a；则；设，则，，，依题意，，，在中，由余弦定理及题设可得：；在中，由余弦定理及题设可得：；整理得：；；两式相结合得：；双曲线的离心率为；故选：A．先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论．本题主要考查余弦定理得运用以及双曲线离心率的求解，属于中档题目．13.答案：解析：解：在三角形ABC中，，，可得，则．故答案为：．直接利用向量的数量积转化求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算法则的应用，是基本知识的考查，基础题．14.答案：解析：解：若的展开式中各项系数之和为，解得，则展开式的常数项为，故答案为：．依据各项系数之和为，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15.答案：解析：解：数列，中，，，，所以得：，整理得常数，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列．所以．得：，所以常数，故数列是以为首项，8为公比的等比数列，所以，由于数列满足，所以，故答案为：．首先求出和，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．16.答案：解析：解：取BC的中点M，连接AM，PM，因为可得，，且，，，所以，所以，作于M，所以，而，所以可得，所以Q的轨迹是内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，最大，此时，．故答案为：取BC的中点M，由题意可得，所以，作于M，所以，而，可得，即Q为三角形ABC内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，最大，求出的最大值．本题考查轨迹方程及面积之比的表达式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，所以，因为，故，，故C；设，在中，由正弦定理可得，，所以，在中，由勾股定理可得，，解可得．解析：由正弦定理结合和差角公式进行化简可求cos C，进而可求C；由已知结合正弦定理可求AB，然后结合勾股定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．18.答案：解：Ⅰ证明：由四边形ABCD是矩形，得，根据平面平面ABC，平面平面，得平面ABP，则，又，根据，是平面PBC，平面PBC，．Ⅱ解：过P作于点O，平面平面ABC，平面ABC，以OB所在直线为x轴，过O作y轴平行于BC，OP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，由Ⅰ知平面ABP，是直线PC与平面ABP所成角，即，在中，，设，则，，平面ABC，可取平面ABC的一个法向量0，，由Ⅰ知，，在直角三角形APB中，，，，，，，，0，，0，，3，，3，，，设平面PAC的法向量y，，则由，取，则4，，则，二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为．解析：Ⅰ由四边形ABCD是矩形，得，推导出平面ABP，，从而，进而平面PBC，由此能证明．Ⅱ过P作于点O，则平面ABC，以OB所在直线为x轴，过O作y轴平行于BC，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ设，则，，由得：，化简得，点P的轨迹E的方程为：；Ⅱ设直线l的方程为：，，，联立方程，整理得：，，，假设存在定点，使得x轴是的角平分线，则，，，，，即，解得：，所以存在定点，使得x轴是的角平分线．解析：Ⅰ设，则，，代入即可得到点P的轨迹E的方程；Ⅱ设直线l的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，代入，化简整理得，解得：，所以存在定点，使得x轴是的角平分线．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数和方差分别为，，，，，，产品的质量指标值允许落在的范围为，又抽取产品质量指标值出现了113，不在之内，故可判断该机器处于故障状态．方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为元；方案二：设损失收益为X元，则X的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，的分布列为：X 200 400 600 800 1000 1200 1400P数学期望元，故工厂需要支付检修费和损失收益之和为元，，当机器出现故障时，选择加急检修更为适合．解析：由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数和方差，所以，，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为，由于抽取产品质量指标值出现了113，不在之内，故机器处于故障状态；方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为元；方案二：设损失收益为X 元，则X的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，然后由图2可得出每个X的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和为元，由于，故若机器出现故障，该选择加急检修方案．本题考查频率分布直方图中的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望，及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．21.答案：解：Ⅰ由题意得，令，即，，当时，，，函数在上单调递增，当时，，的两根为，且，当，时，，单调递增，当时，，单调递减，综上，当时，函数在上单调递增，当时，当，时，单调递增，当时，单调递减，Ⅱ证明：由题意得，，，要证：，即证：；只需证：先证：．法一：即证，又由知在上单调递减，只需证，而，即证：，令，，，又，即，那么，，而，且，则，故在单调递增，则，故，在恒成立，又，则得证，同理可以证明：，综上，，得证．法二：由方程恰有三个实数根，，，可得，即，由式得，先证，令，，，所以在上单调递增，从而，取，则有，故，从而，即，即，同理可得，即，综上，，得证．解析：Ⅰ求导得，令，即，，分两种情况，，讨论单调性．Ⅱ证明：由题意得，画出草图，知，，要证：，即证：；只需证：，先证：．法一：即证，由单调递减，只需证，即证：，令，，求导数，分析单调性，最值得，故，在恒成立，得证，同理可以证明：，综上，，得证．法二：由题可得，即，由式得，先证，令，，先求导得在上单调递增，从而，取，故，即，同理可得，即，综上，，得证．本题考查导数的综合应用，属于中档题．22.答案：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，，即，得．曲线C的直角坐标方程为．直线l的参数方程为为参数，消去参数t，可得直线l的普通方程为；Ⅱ设直线l的参数方程为，代入椭圆方程，得．再设A，B对应的参数分别为，，则．又点为曲线C内的点，，即．由，解得．解析：Ⅰ把曲线C的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程；Ⅱ化直线的参数方程为标准形式，代入曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数t的几何意义求解m值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.答案：Ⅰ解：，当或时等号成立，的最大值M为3．Ⅱ证明：由Ⅰ知，，，得．．解析：Ⅰ由，利用绝对值的不等式放缩即可求得最大值；Ⅱ由Ⅰ知，，得，求解ab的最小值，即可证明．本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式在证明中的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．。

7.化学与社会、科技、生活密切相关，下列有关说法正确的是A.太阳能电池能把太阳能直接转化为化学能，可减少化石能源的使用B.吸水性植物纤维可用作食品干燥剂C.建筑材料“碳纳米泡沫”与石墨烯互为同分异构体D.硅橡胶是无机非金属材料8.葡萄糖可发生如下转化：2CH3CH(OH)COOH(乳酸)C6H12O6(葡萄糖)2CH3CH2OH+2CO2↑ ，设N A为阿伏伽德罗常数的值，下列说法正确的是A.常温常压下，6.0g葡萄糖和乳酸混合物中氧原子数0.2N AB.1mol葡萄糖中含有6.0N A个羟基C.1mol乳酸与足量乙醇反应可生成N A个乳酸乙酯分子D.相同条件下，相同物质的量的乳酸分别与足量的Na和NaHCO3溶液反应，产生气体的分子数均为N A9.目前认为酸催化乙烯水合制乙醇的反应机理及能量与反应进程的关系如图所示。

下列说法正确的是：A.①、②、③三步反应均释放能量B.该反应进程中有两个过渡态C.第③步反应原子利用率为100%D.总反应速率由第①步反应决定10．短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加，仅X、Y处于同周期，Y是地壳中含量最高的元素，Z的原子序数是X的两倍，X与Y 形成的化合物可与Z的单质反应生成X的单质。

下列说法正确的是A.简单离子的半径：Y<ZB.简单氢化物的热稳定性：X<YC.W与Y形成的化合物只含有极性共价键D.Z的最高价氧化物对应的水化物为强碱11.某小组同学通过实验研究FeCl3溶液与Cu发生的氧化还原反应，实验记录如下表所示，下列说法错误的是序号ⅠⅡⅢ实验步骤充分振荡，加入2mL蒸馏水充分振荡，加入2mL蒸馏水充分振荡，加入2mL蒸馏水实验现象铜粉消失，溶液黄色变浅，加入蒸馏水后无明显现象铜有剩余，溶液黄色褪去，加入蒸馏水后生成白色沉淀铜有剩余，溶液黄色褪去，变成蓝色加入蒸馏水后无白色沉淀A.实验Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中均涉及Fe3+被还原B.对比实验Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ说明白色沉淀的产生可能与铜粉的量及溶液中阴离子种类有关C.实验Ⅱ、Ⅲ中加水后c(Cu2+)相同D.向实验Ⅲ反应后的溶液中加入饱和NaCl溶液可能出现白色沉淀12.利用固体氧化物电解池(SOEC)可实现乙烷电化学脱氢制乙烯，原理示意图如下。

()()()()()222111*********a x x x x x x a x g x x x x x x x x ---'==---，而10x x <<，且102a -<<， 则()0g x '>，故()g x 在()10,x 单调递增，则()()10g x g x <=，故()()12f x f x x <-在()10,x 恒成立，又310x x <<，则()()3132f x f x x <-得证；………………………………………………11分 同理可以证明：5422x x x +<，综上：()21532x x x x ->-，得证．…………………………………………………………12分 法二：由方程()f x b =恰有三个实数根()345345,,x x x x x x <<可得()()()2332442551ln 1ln 1ln x a x b x a x b x a x b ⎧--=⎪⎪--=⎨⎪--=⎪⎩，即()()()()()()4343435454542ln ln 2ln ln x x x x a x x x x x x a x x -+-=-⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩①② 由①式得4343432ln ln a x x x x x x -=+--， …………………………………………………8分 先证434343ln ln 2x x x x x x -+<-，令()()()21ln ,11t h t t t t -=->+，则()()()22101t h t t t -'=>+， 所以()h t 在()1,+∞上单增，从而()()10h t h >=，取431x t x =>， 则有434343ln ln 2x x x x x x -+<-，故434322a x x x x +<+-，………………………………10分 从而()()2434322x x x x a +-+<，即()243121x x a +-<+，即43112x x x +>=，…………………………………………………………11分 同理可得545454542ln ln 2a x x x x x x x x -+=<+--，即54212x x x +<+=， 综上：()21532x x x x ->-，得证．…………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=， 化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=．.……………………………3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0y -=．.…………………………5分 （Ⅱ）设l参数方程为12x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入到椭圆方程中得227404t mt m ++-=，………7分 ,A B 对应的参数分别为12,t t ，2124427m PA PB t t -⋅===．.…………………………8分又点(),0P m 为曲线C 内的点，则24m <，解得2m =±．.…………………………10分23.解：（Ⅰ）因为111(21)(31)623x y x y +-=-++ 1111|21||31|4332323x y ≤-++≤⨯+⨯=，……………………………………………………3分 当5223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3243x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立，所以16x y +-的最大值M 为3；………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，所以23a b ab +=≥，所以89ab ≥．……………7分 所以850(1)(2)22424299a b a b ab ab ++=+++=+≥⨯+=．…………………………10分。