2020-2021学年上学期高二第二次月考备考金卷 文科数学(A卷)-教师版

2020-2021学年甘肃省嘉峪关一中高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|x2﹣6x+5＜0}，则A∩B＝（）A．（1，5）B．{2，3}C．{2，3，4}D．{3，4}2．复数z满足z（2+i）＝3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A．月收入的极差为60B．这一年的总利润超过400万元C．这12个月利润的中位数与众数均为30D．7月份的利润最大4．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足，，且，则m＝（）A．﹣2B．C．D．26．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a9＝（）A．﹣6B．﹣4C．﹣2D．27．设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l⊥α，l∥β，则α⊥βB．若l∥α，m⊥l，则m⊥αC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m8．函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若f（0）＝，则函数f（x）图象的对称轴方程为（）A．x＝kπ+（k∈Z）B．x＝+（k∈Z）C．x＝+（k∈Z）D．x＝kπ+（k∈Z）10．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2B．2+4C．4+2D．4+411．已知圆M的圆心为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）虚轴的一个端点，半径为a+b，若圆M截直线l：y＝kx所得的弦长的最小值为2b，则C的离心率为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，5）B．（1，5]C．（5，+∞）D．[5，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020—2021年学年度第一学期高二第二次月考数学试题参考答案一、选择题：（每小题5分，共50分）二、填空题：（每小题5分，共20分）11.C=32π 12.4n+2 13.-9 14.20三、解答题：（共80分）15.（12分）解：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ………………………………3分 ∵B=45︒<90︒ 即b <a∴A=60︒或120︒ ………………………………6分 当A=60︒时C=75︒22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c ………………………………9分 当A=120︒时C=15︒22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c ………………………………12分16.（12分）解：在△ABD 中， 设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222 ………………………………1分 即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x整理得：096102=--x x ………………………………5分 解之：161=x 62-=x （舍去） ……………………………… 6分 由正弦定理：BCDBD CDB BC ∠=∠sin sin ………………………………10分 ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ………………………………12分 17.(12分)如图，在广场上取两点C 、D …………………………1分 (1)量出CD 的长,测得∠ACB=α,∠ADB=β …………………………3分 (2)运算出∠DAC=β-α …………5分 (3)在∆ADC 中,由正弦定理得:αsin sin AD DAC CD =∠求出AD …………………8分(4)在Rt ∆ABD 中,由ADAB =βsin 求出旗杆18.(14分)(1)数列的前5项为: 11=a ,322=a ,213=a ,524=a ,315=a …5分 (2) 由221+=+n nn a a a 得21111=-+n n a a …………………8分 可知：}1{n a 是以11a 为首项,公差d=21的等差数列, ………………10分 由等差数列的通项公式得:n a 1=21+21)1(⨯-n =21+n , …………………13分因此12+=n a n …………………14分19.(14分)(1)据题意得:121=+x x ……………1分 )()(21x f x f +=22211+x x +22222+x x =22211+x x +2221111+--x x …… 2分=1 ……………5分BAn S =),()2()1(nn f nf nf +++即n S =)1()2()2()1()(nf nf nn f nn f nn f +++-+-+ ……………6分两式相加得:n S 2=(n-1)+2f(1)因此：n S =2223-+n ……………8分则)2)(2(11+++n n s s=)4)(3(1++n n =)4131(4+-+⨯n n ……………12分 因此n T =)413161515141(4+-+++-+-⨯n n=4+n n……………14分 20.(16分)（1）由已知5112-=+a a 又201-=a 得312-=a ………1分 由5431-=++n a a n n ①54)1(312-+=+++n a a n n ②②-①得32=-+n n a a因此{n a }的奇数项和偶数项分别成公差为3的等差数列 ……………4分当n 为奇数时，24333)121(20-=⋅-++-=n n a n 当n 为偶数时，26833)12(31-=⋅-+-=n n a n因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=）（n n ）n n a n 为偶数为奇数2683(2433 ……………8分（2）当n 为偶数时]54)1(3[)5433()5413()()()(14321--++-⨯+-⨯=+++++=-n a a a a a a s n n nn n 27432-= ……………10分当n=18时，243)(min -=n s ……………11分 当n 为奇数时)()()(154321n n n a a a a a a a s +++++++=-]54)1(3[)5443()5423(1--++-⨯+-⨯+=n a 121410527435421)]1(42[3a n n n n a ++-=⨯---++++= …………12分 因此当n=17或n=19时，n S 取得最小值为2161-a …………13分 当271->a 时，2432161->+-a综上可知：当n=18时243)(min -=n s ……………14分 又|n n a a ++1|=|3n-54|现在当n=18时，|n n a a ++1|取得最小值为0 ……………15分 因此存在自然n=18时n S 与|n n a a ++1|取得最小值 …………16分。

1（新教材）2020-2021学年上学期高一第二次月考备考金卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1()lg(3)2f x x x =++-的定义域是（ ） A ．[)3,2- B ．[)3,-+∞C ．()2,+∞D ．()()3,22,-+∞【答案】D【解析】由题意3020x x +>⎧⎨-≠⎩，解得3x >-且2x ≠，故选D ．2．已知1sin(π)3α+=，则3πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3 【答案】B 【解析】()1sin πsin 3αα+=-=，3π1cos()sin 23αα∴-=-=，故选B ． 3．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<，故选A ．4．函数()22()log 4f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞ B ．[4,)+∞C ．(2,4]-D ．(2,4]【答案】C【解析】设24t x ax a =-+，则2log y t =，函数2log y t =为增函数，若函数f x （）在[)2,+∞上为增函数，则函数24t x ax a =-+在[)2,+∞上为增函数，且240t x ax a =-+>在[)2,+∞上恒成立，即22420a a ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩，解之得24a -<≤，故选C ． 5．已知π1sin 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．3 C ．13-D ．12-【答案】A【解析】因为π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以π1cos cos sin 3266ππ3πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--==-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 6．已知,(1)()42,(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,8) B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,4]【答案】B【解析】因为函数,(1)()42,(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩在R 上单调递增， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。

2021-2021学年高二数学上学期第二次月考精编仿真金卷 文制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．以下语句中不是命题的有〔 〕①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->．A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④2．命题“假设p 不正确，那么q 不正确〞的逆命题的等价命题是〔 〕A ．假设q 不正确，那么p 不正确B ．假设q 不正确，那么p 正确C ．假设p 正确，那么q 不正确D ．假设p 正确，那么q 正确3．设a ，b ，c 是实数，那么“a b >〞是“22ac bc >〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．“12m =〞是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直〞的〔 〕 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是〔 〕A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对6．假设直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，那么a =〔 〕A ．9B ．9-C ．1D ．1-7．椭圆221x ky +=，那么k 的值是〔 〕A ．2B ．2或者23C ．23D ．1或者238．椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为()1,0，那么C 的离心率为〔 〕A ．13B ．12CD 9．与椭圆221248x y +=的焦点坐标一样的是〔 〕 A ．221515x y += B ．221259x y += C ．2212012x y += D ．221925x y += 10．美学四大构件是：史诗、音乐、造型〔绘画、建筑等〕和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和构造素描，而学习几何体构造素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体〞〔用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的局部叫做切面圆柱体〕的过程中，发现“切面〞是一个椭圆，假设“切面〞所在平面与底面成60°角，那么该椭圆的离心率为〔 〕A ．12B 22C 32D ．1311．椭圆221259x y +=，1F 、2F 是其左右焦点，过1F 作一条斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，那么2ABF △的周长为〔 〕A ．5B ．10C ．20D ．4012．1F ，2F 分别为椭圆2214x y +=的左右焦点，点P 在椭圆上，当时1260F PF ∠>︒，那么点P 横坐标的取值范围是〔 〕A ．4242(2,(,2)33-B ．2626(33C ．4242(33D ．2626[2,(,2]33-第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．圆2124470:C x y x y ++-+=与圆222410130:x y x C y +--+=有_____条公切线．14．给出以下结论：①命题“假设2340x x --=，那么4x =〞的逆否命题为“假设4x ≠，那么2340x x --≠〞； ②“4x =〞是“2340x x --=〞的充分条件；③命题“假设0m >，那么方程20x x m +-=有实根〞的逆命题为真命题；④命题“假设220m n +=，那么0m =且0n =〞的否命题是真命题．那么其中错误的选项是__________．〔填序号〕15．命题[:1,2]p x ∃∈-，20x a -<，命题:q x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，假设命题“()p q ⌝∨〞是假命题，那么实数a 的取值范围是__________．16．过圆228x y +=上一点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，那么线段PH 的中点M 的轨迹方程为__________．三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔10分〕命题:p 方程2210x ax ++=有两个大于1-的实数根，命题:q 关于x 的不等式210ax ax -+>的解集是R ，假设“p 或者q 〞与“q ⌝〞同时为真命题，务实数a 的取值范围．18．〔12分〕求离心率为23且与椭圆221259x y +=有一样焦点的椭圆的HY 方程．19．〔12分〕平面内的动点P 到两定点()2,0M -，()1,0N 的间隔 之比为2:1．〔1〕求P 点的轨迹方程；〔2〕过点M 且斜率为12的直线l 与P 点的轨迹交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点，求OAB △的面积．20．〔12分〕椭圆的中心在原点，其中一个焦点为()11,0F -，离心率为12e =，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕假设直线AB 的倾斜角为135度，求AB ．21．〔12分〕设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩． 〔1〕假设1a =且p q ∧为真，务实数x 的取值范围；〔2〕假设p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，务实数a 的取值范围．22．〔12分〕圆221:140F x y ++-=和定点)2F ，其中点1F 是该圆的圆心，P 是圆1F 上任意一点，线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点E ，设动点E 的轨迹为C ．〔1〕求动点E 的轨迹方程C ；〔2〕设曲线C 与x 轴交于,A B 两点，点M 是曲线C 上异于,A B 的任意一点，记直线MA ，MB 的斜率分别为MA k ，MB k ．证明：MA MB k k ⋅是定值；〔3〕设点N 是曲线C 上另一个异于,,M A B 的点，且直线NB 与MA 的斜率满足2NB MA k k =，试探究：直线MN 是否经过定点？假如是，求出该定点，假如不是，请说明理由．2021-2021学年上学期高二第二次月考精编仿真金卷文科数学答案第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由题，②是疑问句，故不是命题；①④是陈述句，但无法判断真假，故不是命题；③是陈述句，且可以得到315+≠，该语句不正确，即可以判断真假，故是命题；应选C ．2．【答案】D【解析】命题“假设p 不正确，那么q 不正确〞的逆命题是：“假设q 不正确，那么p 不正确〞， 其等价命题是它的逆否命题，即“假设p 正确，那么q 正确〞．3．【答案】B【解析】当a b >，0c 时，22ac bc >不成立，即充分性不成立；当22ac bc >时，那么0c ≠，故a b >，即必要性成立．即“a b >〞是“22ac bc >〞的必要不充分条件，应选B ．4．【答案】B【解析】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直，那么(2)(2)3(2)0m m m m +-++=，即(2)(42)0m m +-=，解得2m =-或者12m =， 因此由“12m =〞能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直〞，反之所以“12m =〞是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直〞的充分不必要条件． 5．【答案】C【解析】由题意，方程22()(1)0x y xy -+-=，可得010x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或者11x y =-⎧⎨=-⎩，所以方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是两个点(1,1)或者(1,1)--，应选C ． 6．【答案】B【解析】因为直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长， 所以直线250x y a -+=经过该圆的圆心()2,1-， 那么()22510a ⨯-⨯-+=，即9a =-，应选B ． 7．【答案】B【解析】椭圆化为HY 方程2211y x k+=，2122c c =⇒=， 当焦点在x 轴时，21a =，21b k =，那么21112c k=-=，2k ∴=； 当焦点在y 轴时，21a k =，21b =，那么21112c k=-=，23k ∴=， 2k ∴=或者23．8．【答案】B【解析】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0)，可得231a -=，解得2a =，所以椭圆的离心率为12c e a ==，应选B ．【解析】椭圆221248x y +=的焦点在x 轴上，且224a =，28b =， 所以22224816c a b =-=-=，所以椭圆的焦点坐标为(4,0)±．对A 选项，221515x y +=，22115x y +=，215114c =-=，其焦点坐标为(14,0)±； 对B 选项，方程221259x y +=，其焦点在x 轴上，且225916c =-=，故其焦点坐标为(4,0)±，与椭圆的焦点坐标一样；对C 选项，其焦点在x 轴上，且220128c =-=，故其焦点坐标为(22,0)±； 对D 选项，其焦点在y 轴上． 应选B ． 10．【答案】C【解析】椭圆的长轴为2a ，短轴的长为2b ，“切面〞是一个椭圆，假设“切面〞所在平面与底面成60︒角，可得2cos 602b a =︒，即2a b =，所以22232c a b e aa -===，应选C ． 11．【答案】C【解析】由椭圆221259x y +=，得5a =，如图：由椭圆定义可得，12||||210AF AF a +==，12||||210BF BF a +==，2ABF ∴△的周长为222||||||ABF C AB AF BF =++△1212||||||||420AF AF BF BF a =+++==．12．【答案】C【解析】当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠逐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠最大， 由此可得：∵存在点P 为椭圆上两点，使得1260F PF ∠=︒，如图，设点P 的坐标为(2cos ,sin )θθ，∴根据椭圆的定义可得4m n +=，令m n >，由余弦定理可得22212(2)21cos 22m n c mn F PF mn mn +--∠===，所以43mn =，222840()21633m n m n mn +=+-=-=， ∵222222240(2cos 3)sin(2cos 3)sin 6cos 83m n θθθθθ+=+++-+=+=， 解得22cos 3θ=±，得到P 点的活动范围应是4242,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 故答案为C ．第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．【答案】3【解析】圆2124470:C x y x y ++-+=，化为22221x y ++-=（）（），圆心坐标2,2-（），半径为1； 圆222410130:x y x C y +--+=化为222516x y -+-=（）（）．圆心坐标2,5（），半径为4．5=等于两个半径的和，所以两个圆外切，两个圆的公切线数量为3条． 14．【答案】③【解析】①命题“假设2340x x --=，那么4x =〞的逆否命题为“假设4x ≠，那么2340x x --≠〞，故①正确；②4x =⇒2340x x --=；由2340x x --=，解得1x =-或者4x =． ∴“x ＝4〞是“x 2﹣3x ﹣4＝0”的充分条件，故②正确；③命题“假设m ＞0，那么方程x 2+x ﹣m ＝0有实根〞的逆命题为“假设方程x 2+x ﹣m ＝0有实根，那么m ＞0”，是假命题，如m ＝0时，方程x 2+x ﹣m ＝0有实根；④命题“假设m 2+n 2＝0，那么m ＝0且n ＝0”的否命题是“假设m 2+n 2≠0．那么m ≠0或者n ≠0”，是真命题，故④正确， 故答案为③． 15．【答案】(0,1)【解析】由命题“()p q ⌝∨〞是假命题，可知命题p 为真、命题q 为假， 命题2:p y x =在[]1,2x ∈-最小值为0，[] 1,2x ∴∃∈-，20x a -<为真，即0a >； 命题q ：方程2220x ax a ++-=，当2(2)4(2)0Δa a =--<，即21a -<<时无解，x ∴∃∈R ，2220x ax a ++-=为假，即21a -<<，∴命题“()p q ⌝∨〞是假命题，实数a 的取值范围(0,1)．故答案为(0,1)．16．【答案】22182x y +=【解析】设(,)M x y ，(,0)H x ，那么(,2)P x y ，P 在圆228x y +=上，2248x y ∴+=，整理得22182x y +=，∴故答案为22182x y +=．三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．【答案】1a ≤-．【解析】∵方程2210x ax ++=有两个大于1-的实数根，∴()()121202110Δx x x x ⎧≥⎪+>-⎨⎪++>⎩，解得1a ≤-，即:1p a ≤-． ∵关于x 的不等式210ax ax -+>的解集是R ，∴0a =或者0a Δ>⎧⎨<⎩，解得04a ≤<，即:04q a ≤<，∵“p 或者q 〞与“q ⌝〞同时为真命题，∴p 真q 假．∴104a a a ≤-⎧⎨<≥⎩或，∴解得1a ≤-．18．【答案】2213620x y +=．【解析】由221259x y +=，得225a =，29b =，22216c a b ∴=-=，解得4c =，又23c e a ==，6a ∴=，22220b a c ∴=-=，∴椭圆的HY 方程为2213620x y +=． 19．【答案】〔1〕22(2)4x y -+=；〔2〕45． 【解析】〔1〕设(,)P x y ，那么由题设知2PM PN =，=22(2)4x y -+=． 故P 点的轨迹方程为22(2)4x y -+=． 〔2〕易知直线l 方程为1(2)2y x =+，即1102x y -+=， 那么圆心(2,0)到直线l 的间隔为d ==，那么||AB ===又原点O 到直线l 的间隔为h ==所以OAB △的面积为114||225S AB h =⋅⋅==． 20．【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕247． 【解析】〔1〕由条件知，1c =， 又由离心率12e =，知2a =，b ∴==， ∴椭圆的方程为22143x y +=． 〔2〕由条件知，直线l 的方程为1y x =-+，联立椭圆方程2234120x y +-=，得到27880x x +-=， 易知Δ>0，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么由韦达定理，1287x x +=-，1287x x =-，故2247AB x =-===． 21．【答案】〔1〕()2,3；〔2〕(]1,2．【解析】〔1〕当1a =时，{}:13p x x <<，{}:23q x x <≤， 又p q ∧为真，所以p 真且q 真，由1323x x <<⎧⎨<≤⎩，得23x <<，所以实数x 的取值范围为()2,3．〔2〕因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，又{}:3p x a x a <<，{}:23q x x <≤，所以0233a a a >⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围为(]1,2．22．【答案】〔1〕22142x y +=；〔2〕证明见解析；〔3〕是，2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】〔1〕依题意可知圆1F 的HY 方程为(2216x y +=，因为线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点E ，所以2EP EF =，动点E始终满足12124EF EF r F F +==>=E 满足椭圆的定义，因此24,2a c ==2,a b c ===，∴椭圆C 的方程为22142x y +=．〔2〕()2,0A -，()2,0B ，设()00,M x y ，那么22000220000*********MA MBx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---． 〔3〕2NB MA k k =，由〔2〕中的结论12MA MB k k ⋅=-，可知1122NB MB k k ⋅=-，所以1NB MB k k ⋅=-，即NB MB ⊥，故0BN BM ⋅=．当直线MN 的斜率存在时，可设MN 的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 由2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得()()222124220k x kmx m +++-=， 那么212122242(2),1212km m x x x x k k --+=⋅=++〔*〕，()()()()()()112212122,2,22BN x y x y x x B kx m kx m M ∴=-⋅-=-⋅-++⋅+⋅()()()2212121240k x x km x x m =++-⋅+++=，将〔*〕式代入可得223480m k km ++=，即()()2230k m k m ++=， 亦即20k m +=或者230k m +=．当2m k =-时，()22y kx k k x =-=-，此时直线MN 恒过定点()2,0〔舍〕； 当23m k =-时，2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时直线MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线MN 的斜率不存在时，经检验，可知直线MN 也恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，直线MN 恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2021年高二上学期第二次月考数学（文）试卷含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题“”的否定是A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. 不存在，使得2、已知命题“若成等比数列，则”在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个 数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33. 已知双曲线的实轴长为，离心率为，则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）A. B. C. D.4．若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.235．双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为，则 双曲线的方程为( )A ．B ．C ．D ．6．以下有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B ．“”是“”的充分不必要条件C ．若为假命题，则、均为假命题D ．对于命题：，使得，则：，则7、F1，F2是椭圆C ： +=1的两个焦点，在C 上满足PF1⊥PF2的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．48．已知方程和（其中），它们所表示的曲线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的( )A.充分而不必条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=()A. B . C D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

.11、．若椭圆x2+my2=1的离心率为，则它的长半轴长为．12、．①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件．以上说法中，判断错误的有．13. 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足。

2020-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）第二次月考数学试卷（A卷）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|y= √8−4x }，B={x|（3x+5）（2x-7）≤0}，则A∩B=（）A.[ 53，2]B.（-∞，- 53]C.[2，72]D.[- 53，2]2.（单选题，5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=bcosA，则△ABC形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3.（单选题，5分）已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π+α)=2，则tanα=（）A.-5B.- 23C. 12D. 154.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，1），b⃗⃗ =（m，-1），且b⃗⃗⊥（2 a⃗−b⃗⃗），则m的值为（）A.1B.3C.1或3D.45.（单选题，5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)=log2(x+1)+2x−a，则满足f（x2-3x-1）+2＜0的实数x的取值范围是（）A.（-3，0）B.（-1，0）C.（0，3）D.（1，2）6.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m恒成立，则实数m的取值范围是（）)A. (−∞，17B.（1，+∞）C.（-∞，1）D. (1，+∞)77.（单选题，5分）若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数c为（）A.2B.6C.2或6D.-2或-68.（单选题，5分）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”．意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（）A. 700127B. 2800127C. 5600127D. 448001279.（多选题，5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（）A.a1=22B.d=-2C.当n=10或n=11时，S n取得最大值D.当S n＞0时，n的最大值为2010.（多选题，5分）设向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1，且| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √5 ，则以下结论正确的是（ ） A. a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ B.| a ⃗ + b⃗⃗ |=2 C.| a ⃗ - b⃗⃗ |= √2 D.＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞=60°11.（多选题，5分）下列命题正确的是（ ）A.“a ＞1”是“ 1a ＜1 ”的必要不充分条件B.命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x -1”C.若a ，b∈R ，则 b a +a b ≥2√b a •a b =2D.设a∈R ，“a=1”，是“函数 f (x )=a−e x 1+ae x 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 12.（多选题，5分）设函数 f (x )=√3cos2x −sin2x ，则下列选项正确的是（ ）A.f （x ）的最小正周期是πB.f （x ）在[a ，b]上单调递减，那么b-a 的最大值是 π2C.f （x ）满足 f (π6+x)=f (π6−x)D.y=f （x ）的图象可以由y=2cos2x 的图象向右平移 11π12 个单位得到13.（填空题，5分）计算：log 2 √2− log 3 19 +（ 827 ） −13 =___ ． 14.（填空题，5分）已知函数y=Msin （ωx+φ）（M ＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线 x =13 对称．该函数的部分图象如图所示，AC=BC= √22 ，C=90°，则f （ 12 ）的值为___ ． 15.（填空题，5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6=___ ．16.（填空题，5分）已知△AOB 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边的高．（Ⅰ）若P 为线段OC 的中点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． （Ⅱ）若P 为线段OC 上的动点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．17.（问答题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），点B 在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（Ⅰ）若点B （- 35 ， 45 ），求tan （θ+ π4 ）的值；（Ⅱ）若（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 95 ，求cos （ 2π3 -2θ）．18.（问答题，12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为2，且a 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求a 1，a 2，a 3；（2）设 b n =a n +2n ，求数列{b n }的前9项和．19.（问答题，12分）f （x ）=2lnx+ 1x -mx （m∈R ）． （1）当m=-1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若f （x ）在（0，+∞）上为单调递减，求m 的取值范围．20.（问答题，12分）设函数 f (x )=sinx(√3cosx +sinx)−12 ．（Ⅰ）求函数f （x ）的递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f（B）=1，b=2，且b（2-cosA）=a（cosB+1），求△ABC的面积．21.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足条件：cosA a +cosCc=1b．（1）求证：sin2B=sinAsinC；（2）在数列{a n}中，a n=2n-1，且数列{1a n a n+1}的前n项和为2ncosB2n+1，求角B．22.（问答题，12分）已知函数f(x)=12x2−x+alnx(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)＞−3−2ln24．2020-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）第二次月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|y= √8−4x }，B={x|（3x+5）（2x-7）≤0}，则A∩B=（）A.[ 53，2]B.（-∞，- 53]C.[2，72]D.[- 53，2]【正确答案】：D【解析】：可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|8-4x≥0}={x|x≤2}，B={x|−53≤x≤72}，A∩B=[−53，2]．故选：D．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=bcosA，则△ABC形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【正确答案】：A【解析】：利用正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（A-B）的值为0，由A和B都为三角形的内角，得出A-B的范围，进而利用特殊角的三角函数值得出A-B=0，即A=B，利用等角对等边可得a=b，即三角形为等腰三角形．【解答】：解：∵acosB=bcosA，由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，又-π＜A-B＜π，∴A-B=0，即A=B，∴a=b，则△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．【点评】：本题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，根据三角函数值求角的大小，推出sin（A-B）=0 是解题的关键．3.（单选题，5分）已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π+α)=2，则tanα=（）A.-5B.- 23C. 12D. 15【正确答案】：A【解析】：直接利用诱导公式的应用和同角三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答】：解：cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π+α)=sinα−3cosαsinα+cosα=2，所以tanα−3tanα+1=2，解得tanα=-5．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，1），b⃗⃗ =（m，-1），且b⃗⃗⊥（2 a⃗−b⃗⃗），则m的值为（）A.1B.3C.1或3D.4【正确答案】：C【解析】：可求出2a⃗−b⃗⃗=(4−m，3)，根据b⃗⃗⊥(2a⃗−b⃗⃗)即可得出b⃗⃗•(2a⃗−b⃗⃗)=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【解答】：解：2a⃗−b⃗⃗=(4−m，3)；∵ b⃗⃗⊥(2a⃗−b⃗⃗)；∴ b⃗⃗•(2a⃗−b⃗⃗)=m(4−m)−3=0；解得m=1或m=3．故选：C．【点评】：考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算．5.（单选题，5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)=log2(x+1)+2x−a，则满足f（x2-3x-1）+2＜0的实数x的取值范围是（）A.（-3，0）B.（-1，0）C.（0，3）D.（1，2）【正确答案】：C【解析】：根据题意，利用奇函数的性质可得f（0）=log2（1）+20-a=0，可得a=1，即可得函数f（x）的解析式，结合指数函数与对数函数的性质分析可得函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得函数f（x）在R上为增函数，由此可以将f（x2-3x-1）+2＜0转化为x2-3x＜0，即可求解．【解答】：解：函数f（x）是定义域为R的奇函数，则有f（0）=0，即f（0）=log21+20-a=0，解得a=1，则当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+2x-1，则有f（1）=log22+21-1=2，而函数y=log2（x+1）和函数y=2x-1都是增函数，则函数f（x）=log2（x+1）+2x-1在[0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义域为R的奇函数，则在区间（-∞，0]上也是增函数，故函数f（x）在R上为增函数，f（x2-3x-1）+2＜0⇒f（x2-3x-1）+f（1）＜0⇒f（x2-3x-1）＜-f（1）⇒f（x2-3x-1）＜f（-1）⇒x2-3x-1＜-1⇒x2-3x＜0，解得0＜x＜3，即x的取值范围为（0，3）；故选：C．【点评】：本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性求出a的值．6.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m恒成立，则实数m的取值范围是（）)A. (−∞，17B.（1，+∞）C.（-∞，1）D. (1，+∞)7【正确答案】：B【解析】：函数在区间上恒成立问题，可转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．【解答】：解：（1）当m=0时，f（x）=-1＞-m恒成立，解得m＞1，不合题意；，f（x）在x∈[1，3]上是单调函数．（2）当m≠0时，该函数的对称轴是x= 12① 当m＞0时，由于f（x）在[1，3]上单调递增，要使f（x）＞-m在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）=-1＞-m即可．解得m＞1，故m＞1；② 当m＜0时，由于函数f（x）在[1，3]上是单调递减，要使f（x）＞-m在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）=9m-3m-1＞-m即可，，不合题意．解得m＞17综上可知：实数m 的取值范围是（1，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查函数恒成立问题的解决思路和方法，考查函数与不等式的综合问题，考查学生的转化与化归的思想和方法，考查学生分析问题解决问题的能力．7.（单选题，5分）若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数c为（）A.2B.6C.2或6D.-2或-6【正确答案】：B【解析】：求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c值舍去．【解答】：解：∵函数f（x）=x（x-c）2=x3-2cx2+c2x，它的导数为f′（x）=3x2-4cx+c2，由题意知，在x=2处的导数值为 12-8c+c2=0，∴c=6，或 c=2，又函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．）（x-2），不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧当c=2时，f′（x）=3x2-8x+4=3（x- 23为负数．当c=6时，f′（x）=3x2-24x+36=3（x2-8x+12）=3（x-2）（x-6），满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．故选：B．【点评】：本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数．8.（单选题，5分）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”．意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（）A. 700127B. 2800127C. 5600127D. 44800127【正确答案】：C【解析】：由题意可知，每天走的里数是以 12 为公比的等比数列，S 7=700，结合等比数列的求和公式及通项公式可求．【解答】：解：由题意可知，每天走的里数是以 12 为公比的等比数列， 由题意可得，S 7= a 1(1−127)1−12=700，故a 1=350×128127， ∴ a 4=a 1×q 3 = 350×128127 × 18 = 5600127 ． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式在实际问题中的应用，属于基础试题．9.（多选题，5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n （n∈N *），公差d≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A.a 1=22 B.d=-2C.当n=10或n=11时，S n 取得最大值D.当S n ＞0时，n 的最大值为20 【正确答案】：BCD【解析】：由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项a n 和S n ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值．【解答】：解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d≠0， 由S 6=90，可得6a 1+15d=90，即2a 1+5d=30， ①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72=a 3a 9，即（a 1+6d ）2=（a 1+2d ）（a 1+8d ）， 化为a 1+10d=0， ② 由 ① ② 解得a 1=20，d=-2，则a n =20-2（n-1）=22-2n ，S n = 12 n （20+22-2n ）=21n-n 2， 由S n =-（n- 212 ）2+4414，可得n=10或11时，S n 取得最大值110；由S n ＞0，可得0＜n ＜21，即n 的最大值为20． 故选：BCD ．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.（多选题，5分）设向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1，且| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √5 ，则以下结论正确的是（ ） A. a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ B.| a ⃗ + b ⃗⃗ |=2 C.| a ⃗ - b ⃗⃗ |= √2 D.＜ a ⃗ ， b ⃗⃗ ＞=60° 【正确答案】：AC【解析】：由已知结合向量数量积的性质对各选项进行检验即可．【解答】：解：因为| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1，且| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √5 ， 所以 b ⃗⃗2−4a ⃗•b ⃗⃗+4a ⃗2 =5，所以 a ⃗•b ⃗⃗ =0，故 a ⃗⊥b ⃗⃗ ，选项A 正确； 因为 (a ⃗+b ⃗⃗)2= a ⃗2+2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 =2， 所以| a ⃗+b⃗⃗ |= √2 ，B 错误； 因为（ a ⃗−b ⃗⃗ ）2= a ⃗2−2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 =2， 所以| a ⃗−b ⃗⃗ |= √2 ，C 正确； 因为 a ⃗⊥b⃗⃗ ， 所以 ＜a ⃗，b⃗⃗＞ = π2 ，D 错误； 故选：AC ．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 11.（多选题，5分）下列命题正确的是（ ） A.“a ＞1”是“ 1a＜1 ”的必要不充分条件B.命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x -1”C.若a ，b∈R ，则 ba +ab ≥2√ba •ab =2D.设a∈R ，“a=1”，是“函数 f (x )=a−e x1+ae x 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 【正确答案】：BD【解析】：对于A：直接利用不等式的解法求出解集，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．对于B：直接利用命题的否定的应用判定结果；对于C：直接利用基本不等式的应用和不等式的成立的条件的应用判定结果；对于D：直接利用奇函数的性质的应用判定结果．【解答】：解：对于选项A：1a ＜1，整理得1−aa＜0，即a（a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“ 1a＜1”的充分不必要条件，故A错误；对于B：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”故B正确；对于C：当ab＞0时，ba +ab≥2√ba•ab=2，故C错误．对于D：设a∈R，“a=1”时“函数f(x)=a−e x1+ae x =1−e x1+e x在定义域上是奇函数”，当函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数，利用f（-x）=-f（x），则a=±1，故“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的解法和应用，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.（多选题，5分）设函数f(x)=√3cos2x−sin2x，则下列选项正确的是（）A.f（x）的最小正周期是πB.f（x）在[a，b]上单调递减，那么b-a的最大值是π2C.f（x）满足f(π6+x)=f(π6−x)D.y=f（x）的图象可以由y=2cos2x的图象向右平移11π12个单位得到【正确答案】：ABD【解析】：首先利用关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的周期，函数的对称轴方程，确定ABC选项，最后利用函数的图象的平移变换的应用确定选项D．【解答】：解：函数f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6），对于选项A：函数的最小正周期为T=2π2=π．故选项A正确．对于选项B：f（x）在[a，b]上单调递减，所以b-a的最大值为T2=π2，故选项B正确．对于选项C：函数f（x）满足f(π6+x)=f(π6−x)，即函数的对称轴方程为x=π6+x+π6−x2=π6，当x= π6时，函数f（π6）=2cos π2=0，故选项C错误．对于选项D：函数y=2cos2x的图象向右平移11π12个单位，得到f（x）=2cos（2x- 11π6）=2cos（2x+ π6），故选项D正确．故选：ABD．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.（填空题，5分）计算：log2√2− log319 +（827）−13 =___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用指数与对数运算性质即可得出．【解答】：解：原式= 12 log22- log33−2 + (32)−3×(−13)= 12 -（-2）+ 32=4．故答案为：4．【点评】：本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知函数y=Msin（ωx+φ）（M＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x=13对称．该函数的部分图象如图所示，AC=BC= √22，C=90°，则f（12）的值为___ ．【正确答案】：[1] √34【解析】：AC=BC= √22，C=90°，故AB=1，所以T=2，ω= 2πT= 2π2=π，M=|AC|sin π4=√2 2×√22= 12，又图象关干直线x=13对称，所以π×13+φ= π2+kπ，即φ= π6+kπ，（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ= π6 ，进而可以求f （ 12 ）的值．【解答】：解：依题意，AC=BC= √22 ，C=90°，故AB=1，所以T=2，ω= 2πT = 2π2 =π， M=|AC|sin π4=√22×√22 = 12 ， 又图象关干直线 x =13 对称，所以 π×13+ φ= π2+kπ ，即φ= π6+kπ ，（k∈Z ），又0＜φ＜π，所以φ= π6 ，所以f （x ）= 12sin (πx +π6) ，所以f （ 12 ）= 12sin (π×12+π6) = 12 sin 2π3 = √34 ． 故答案为： √34 ．【点评】：本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及利用函数的解析式求函数的值，主要考查学生的应用能力．15.（填空题，5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6=___ ． 【正确答案】：[1]-63【解析】：先根据数列的递推公式可得{a n }是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】：解：S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n +1， ① 当n=1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=-1， 当n≥2时，S n-1=2a n-1+1， ② ， 由 ① - ② 可得a n =2a n -2a n-1， ∴a n =2a n-1，∴{a n }是以-1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S 6=−1×(1−26)1−2=-63，故答案为：-63【点评】：本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题． 16.（填空题，5分）已知△AOB 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边的高． （Ⅰ）若P 为线段OC 的中点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． （Ⅱ）若P 为线段OC 上的动点，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] −18; [2] [−18，0]【解析】：（Ⅰ）可以点O 为原点，直线OB ，OA 分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，从而可求出向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；（Ⅱ）可设P （x ，x ），并得出 x ∈[0，12] ，然后可得出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x −1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x) ，从而可得出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x 2−x ，然后配方即可求出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值域，进而得出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）如图，以O 为原点，边OB ，OA 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：O （0，0），A （0，1），B （1，0），C （ 12，12 ）， P (14，14) ，∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(14，−34)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(14，14) ， ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=116−316=−18；（Ⅱ）∵P 是OC 上的动点，∴设P （x ，x ），x∈ [0，12] ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x −1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x ，x) ， ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2x 2−x =2(x −14)2−18 ，∴ x =14时， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值 −18 ；x=0时， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值0，∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 [−18，0] ． 故答案为：（Ⅰ） −18 ；（Ⅱ） [−18，0] ．【点评】：本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，中点坐标公式，向量坐标的数量积的运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题． 17.（问答题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），点B 在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（Ⅰ）若点B （- 35， 45），求tan （θ+ π4）的值； （Ⅱ）若（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 95，求cos （ 2π3-2θ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值，再利用两角和的正切公式求得tan （θ+ π4）的值；（Ⅱ）由题意利用两个向量的数量积的运算，以及二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式求得cos （ 2π3 -2θ）的值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义可得tanθ= 45−35=- 43 ，∴tan （θ+ π4 ）= tanθ+11−tanθ =- 17 ．（Ⅱ）∵（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =cosθ+1= 95 ，∴cosθ= 45，∴sinθ= √1−cos 2θ = 35， ∴sin2θ=2sinθcosθ= 2425 ，cos2θ=2cos 2θ-1= 725，∴cos （ 2π3 -2θ）=cos 2π3 cos2θ+sin 2π3 sin2θ=- 12 • 725 + √32 • 2425 = 24√3−750．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，两个向量的数量积的运算，以及二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．18.（问答题，12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为2，且a 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求a 1，a 2，a 3；（2）设 b n =a n +2n ，求数列{b n }的前9项和．【正确答案】：【解析】：（1）先由题设求出等差数列{a n }的首项a 1，进而求得a 2，a 3；（2）先利用（1）求得a n ，进而求得b n ，再利用分组求和的办法求得数列{b n }的前9项和．【解答】：解：（1）由a 1，S 2，S 4成等比数列得 S 22=a 1S 4 ，化简得 (2a 1+d )2=a 1(4a 1+6d ) ，又d=2，解得a 1=1，所以a 2=3，a 3=5；（2）由（1）可知数列{a n }的通项公式a n =1+2（n-1）=2n-1， 所以 b n =2n −1+2n ， 设{2n }的前n 项和为T n ，则 T n =2×(1−2n )1−2=2n+1−2 ，又 S n =n (1+2n−1)2=n 2 ，所以{b n }的前9项和为S 9+T 9=81+1024-2=1103．【点评】：本题主要考查等差、等比数列基本量的计算及分组求和法在数列求和中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）f（x）=2lnx+ 1x-mx（m∈R）．（1）当m=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得m=-1时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）由题意可得f′(x)=2x −1x2−m≤0在x∈（0，+∞）恒成立，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．【解答】：解：（1）当m=-1时，f(x)=2lnx+1x+x，∴ f′(x)=2x −1x2+1，∴f（1）=2，f'（1）=2，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是：y-2=2（x-1），即2x-y=0；（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，则f′(x)=2x −1x2−m≤0在x∈（0，+∞）恒成立，即m≥2x −1x2在（0，+∞）恒成立，令g(x)=2x −1x2，（x＞0），则m≥g（x）max，∵ g(x)=−(1x −1)2+1，∴当1x=1，即x=1时，有g（x）max=1，故m≥1．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．20.（问答题，12分）设函数f(x)=sinx(√3cosx+sinx)−12．（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f（B）=1，b=2，且b（2-cosA）=a（cosB+1），求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x- π6），利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由f（B）=1，可得sin(2B−π6)=1，进而解得B的值，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2b=a+c，由余弦定理可得ac=b2=4，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）函数的解析式可化为：f(x)=√32sin2x+1−cos2x2−12= √32sin2x−1 2cos2x=sin(2x−π6)．由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2⇒kπ−π6≤x≤kπ+π3，得函数f（x）的递增区间为[kπ−π6，kπ+π3](k∈Z)．（Ⅱ）因为f（B）=1，即sin(2B−π6)=1，所以2B−π6=2kπ+π2⇒B=kπ+π3，因为B是三角形的内角，所以B=π3，又因为b（2-cosA）=a（cosB+1），由正弦定理得sinB（2-cosA）=sinA（cosB+1），所以2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sin（A+B）=sinA+sinC，所以2b=a+c，因为b=2，B=π3，由余弦定理得b2=a2+c2-ac⇒b2=（a+c）2-3ac⇒ac=b2=4．所以，S=12acsinB=12•4•sinπ3=2•√32=√3，故△ABC的面积为√3．【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足条件：cosA a +cosCc=1b．（1）求证：sin2B=sinAsinC；（2）在数列{a n}中，a n=2n-1，且数列{1a n a n+1}的前n项和为2ncosB2n+1，求角B．【正确答案】：【解析】：（1）在已知等式中利用正弦定理化边为角得答案；（2）利用裂项相消法求出数列{1a n a n+1}的前n项和，再由其前n项和等于2ncosB2n+1求角B．【解答】：（1）证明：在等式cosAa +cosCc=1b中，由正弦定理得cosAsinA +cosCsinC=1sinB，即sinCcosA+sinAcosCsinAsinC =1sinB，∴ sin(A+C) sinAsinC =1sinB，得sin2B=sinAsinC；（2）解：由a n=2n-1，则1a1a2+1a2a3+1a4a3+ (1)a n a n+1= 11×3+13×5+… +1(2n−1)(2n+1)= 12(11−13+13−15+… +12n−1−12n+1) = 12(1−12n+1)=n2n+1．由已知得n(2n+1)=2ncosB2n+1⇒cosB=12，在△ABC中，∵0＜B＜π，∴ B=π3．【点评】：本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了正弦定理在解三角形中的应用，是中档题．22.（问答题，12分）已知函数f(x)=12x2−x+alnx(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)＞−3−2ln24．【正确答案】：【解析】：（1）求导得f′（x），由f′（x）＞0分别对a进行的讨论，从而得到f（x）的单调区间；（2）由极点的概念得到x1，x2是方程x2-x+a=0的两根，故由根与系数的关系，得到f（x1）+f（x2）关系式，最后利用单调性求得其最小值【解答】：解：（1）f′(x)=x−1+ax =x2−x+ax(a＞0)，① 若a≥14，x2−x+a≥0，f′(x)≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；② 若0＜a＜14，解x2-x+a＞0，得0＜x＜1−√1−4a2，或x＞1+√1−4a2，解x2-x+a＜0，得1−√1−4a2＜x＜1+√1−4a2，此时f（x）在(1−√1−4a2，1+√1−4a2)上单调递减．在(0，1−√1−4a2)上单调递增，在(1+√1−4a2，+∞)上单调递增．综上，当a≥14时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当0＜a＜14时，f（x）在(1−√1−4a2，1+√1−4a2)上单调递减，在(0，1−√1−4a2)上单调递增，在(1+√1−4a2，+∞)上单调递增．（2）由（1）知0＜a＜14时，f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1，x2是方程x2-x+a=0的两根，所以x1+x2=1，x1•x2=a，所以f(x1)+f(x2)=12x12−x1+alnx1+12x22−x2+alnx2=12(x1+x2)2−x1x2−(x1+x2)+aln(x1x2) = 12−a−1+alna=alna−a−12，令g(x)=xlnx−x−12(0＜x＜14)，g′(x)=lnx＜0，所以g（x）在(0，14)上单调递减，所以g(x)＞g(14)=−3−2ln24，所以f(x1)+f(x2)＞−3−2ln24【点评】：本题主要考查导数研究函数单调性，导数研究函数极值的知识点，运用了求导法，参数讨论法，根与系数关系，及转化的数学思想。

新场中学2020学年度高二第一学期阶段数学试卷（完卷时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分. 1. 直线210x +=的一个方向向量d =______________；()0,1（答案不唯一）在直线210x +=上取点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,12B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得出直线210x +=的一个方向向量d AB =.在直线210x +=上取点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,12B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线210x +=的一个方向向量()0,1d AB ==. 故答案为：()0,1（答案不唯一）.2. 已知斜率为3的直线过点(1,1)和(,4)x ，则实数x 的值为_____________； 2由斜率公式求解即可4131k x -==-，可得2x = 故答案为：23. 若{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则7a =________. 15利用等差数列的性质：若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，即可求解. 因为数列{}n a 是等差数列， 则351718a a a a +=+=，又13a =，715a ∴=，故答案为：15.4. 直线l 经过点(2,3)P ，且与向量(8,4)n =-垂直的直线方程为_____________________；210x y --=设直线l 上的任意一点(,)A x y ，根据垂直，利用向量的数量积为0，得到关于x ，y 的关系即为直线l 的方程．设直线l 上的任意一点(,)A x y ，(2,3)PA x y =-- 直线l 与向量(8,4)n =-垂直，(2x ∴-，3)(8y -⋅-，4)0=即8(2)4(3)0x y --+-=整理得：8440210x y x y -++=⇒--=． 故答案为：210x y --=．5. 点(2,3)P -到直线:3410l x y -=的距离为______________；285直接利用点到直线距离公式求解即可. 点(2,3)P -到直线:3410l x y -=的距离为：285d ==， 故答案为：2856. 行列式101213131---中元素3的代数余子式的值为________. 3写出行列式的3的代数余子式，再计算，即可得出结果．由题意，行列式101213131---中3的代数余子式为()()()231011301313+-⨯=-⨯--⨯-=⎡⎤⎣⎦--故答案为：3.7. 已知直线1y kx =+与曲线22y x =只有一个交点，则实数k 的值为______________； 0或12联立直线方程与抛物线方程得到关于x 一元二次方程，分类讨论，求解方程只有一个解时k 的值.联立直线方程与抛物线方程可得：22(22)10k x k x +-+=， ①若0k =，则11,2y x ==，满足题意； ②若0k ≠，则22(22)40k k ∆=--=，解得12k =. 综上所述，k =0或 12. 故答案为：0或128. 已知()222220a x a y ax a +++-=表示圆，则实数a 的值为______________；2将方程化为一般方程，利用方程表示的曲线为圆可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，然后代值检验即可得解. 由题意可得0a ≠，方程2222210a x y x a a a+++-=. 所以，221a a+=，即220a a --=，解得1a =-或2a =. 当1a =-时，方程为22210x y x +-+=，化为标准方程得()2210x y -+=，不合乎题意；当2a =时，方程为22102x y x ++-=，化为标准方程得221324x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，合乎题意. 综上所述，2a =. 故答案为：2.9. 若方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上椭圆，则实数m 的取值范围是_______________；)2方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，可得220m m >->，解不等式即可得答案． 方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆， 220m m ∴>->，2m <．m ∴的取值范围是)2．故答案为：)2．10. 在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是________112(0,)(,)333先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到1q <且0q ≠，1113=-a q ，分别讨论10q -<<，和01q <<，即可得出结果.设等比数列{}n a 的公比为q ，则其前n 项和为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，若1q =时，1211lim()lim 3→∞→∞++⋅⋅⋅+=≠n n n a a a na ， 若1q ≠时，112(1)1lim()lim 13→∞→∞-++⋅⋅⋅+==-n n n n a q a a a q ， 因此1q <且0q ≠，1113=-a q ，即()1113=-a q ， 所以当10q -<<时，()11121,333⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q ； 当01q <<时，()11110,33⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q . 因此，1a 的取值范围是112(0,)(,)333.故答案为：112(0,)(,)333本题主要考查由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法则，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.11. 椭圆22194x y +=的内接矩形面积的最大值是__________.12设出椭圆的内接矩形的一个顶点坐标，表示出面积的表达式，然后求出最大值．解：设椭圆内接矩形在第一象限内的点的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0,)2πθ∈所以椭圆22194x y +=的内接矩形面积43cos 2sin 12sin212S θθθ=⨯=．故答案为：12．12. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点 (,?0),?(,?0)(0)A m B m m ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是________．[3?7]，；由于A B 、两点在以原点为圆心，m 为半径的圆上，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有公共点，设圆心距为d ，5d =，则22d m d -≤≤+，则3m 7≤≤，则m 的取值范围是[3,7].二、选择题 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分. 13. 平面直角坐标系上动点(),M x y6=，则动点M 的轨迹是（ ） A .直线 B. 线段 C. 圆 D. 椭圆B由题意可知，动点M 到两个定点的距离的和为6, 又两个定点的距离为6，即得结论. 设点()()123,0,3,0F F -，动点(),M x y6=，∴126MF MF +=，又26FF =，1212MF MF F F ∴+=， 所以动点M 的轨迹是线段.故选：B .本题考查平面内两点间的距离公式，属于基础题. 14.设椭圆的一个焦点为)，且2a b =，则椭圆的标准方程为（ ）A. 2214x y +=B. 2212x y +=C. 2214y x +=D. 2212y x +=A由已知可设椭圆的标准方程为222214x y b b+=,根据a ,b ,c 之间的关系,可得椭圆的标准方程.∵2a b =,椭圆的一个焦点为),∴设椭圆的标准方程为222214x y b b+=,∴22233a b b -==,故椭圆的标准方程为2214x y +=,故选：A本题主要考查了椭圆的基本量求法,属于基础题型.15. 已知直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，若不论a 为何值时，直线l 总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. (2,1)- B. (1,0)-C. 21,77⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 12,77⎛⎫- ⎪⎝⎭C先变形解析式得到关于a 的不定方程(321)(2)0a y x x y --++=，由于a 有无数个解，则3210y x --=且20x y +=，然后求出x 和y 的值即可得到定点坐标．【详解】由直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，知(321)(2)0a y x x y --++=．不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，即a 有无数个解，3210y x ∴--=且20x y +=，27x ∴=-，17y =，∴这个定点的坐标是21(,)77-．故选：C ．16. 直线l ：34120x y +-=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，点P 是椭圆上的一点，若三角形PAB 的面积为12，则满足条件的点P 的个数为（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个B由题意可得5AB =，则由三角形PAB 的面积为12可得以AB 底的三角形的高245h =，作与AB平行的直线l ，使l 与椭圆221169x y +=相切，设直线l 的方程为43x y k +=，把l 的方程代入椭圆方程化简，由判别式等于0 解得k 值，从而得到直线l 的方程，求出直线l 与AB 间的距离，将此距离和h 作比较，从而得出结论． 由已知可得(4,0)A ，(0,3)B ，5AB =， 由1122AB h =⨯，可得P 到AB 的距离245h =． 作与AB 平行的直线l ，使l 与椭圆221169x y +=相切，设直线l 的方程为43x yk +=， 把l 的方程代入椭圆方程化简可得224880x kx k -+-=， 由△221632(1)0k k =--=k ∴，或k =故直线l的方程为43x y +43x y+=因为43x y+=与AB245<，43x y+=-AB245>．故这样的点P 共有 2个，故选：B ．方法点睛：转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将点P 的个数为问题转化为直线与椭圆的交点个数问题是解题的关键. 三、解答题.本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17. 已知直线1:240l mx y ++=和2:240l x my ++=. （1）当m 为何值时两直线平行；（2）当1m =时，求直线1l 与2l 所成夹角的大小.（用反三角表示）（1）12m =-；（2）3arctan 4（1）根据两直线平行的等价条件2211m m ⨯=⨯且 1442m ⨯≠⨯即可求解；（2）分别求出直线1l ，2l 的斜率，设直线1l 与2l 所成夹角为α，再利用公式2112tan 1k k k k α-=+⋅即可求夹角的正切值，即可求解.（1）若直线1:240l mx y ++=和2:240l x my ++=平行.则2211m m ⨯=⨯且 1442m ⨯≠⨯，解得：12m =-，（2）当1m =时，直线1:240l x y ++=和2:240l x y ++=.直线1l 的斜率为12k =-，直线2l 的斜率为212k =-，设直线1l 与2l 所成夹角为α，则()()21121232tan 114122k k k k α----===+⋅⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭，可得3arctan4α=， 所以直线1l 与2l 所成夹角为3arctan 4.18. 已知向量a 和b 的夹角为60°，且||3a =，||4b =. （1）求向量b 在a 方向上的投影；（2）若||13ka b -≥，求实数k 的取值范围.（1）2；（2）13k ≤或1k.（1）根据投影的定义计算；（2）把模用数量积表示出来后解不等式可得．由题意1cos603462a b a b ⋅=︒=⨯⨯=，（1）向量b 在a 方向上的投影是623a b a ⋅==； （2）由||13ka b -≥得2||13ka b -≥，即222213k a ka b b -⋅+≥，∴29121613k k -+≥，解得13k ≤或1k．本题考查向量的投影，考查向量模与数量积的关系．向量的模与数量积的关系是：2a a =．19. 已知动直线10kx y ++=和圆221x y +=相交于,A B 点. （1）当1k =时，求||AB 的值； （2）求弦AB 的中点的轨迹方程.（1，（2）220(1)x y y y +=≠-+（1）求出圆心到直线的距离，结合圆的半径为1r =，利用勾股定理求解即可；（2）由直线系方程判断出直线过圆上的定点，设出弦中点的坐标，由中点坐标公式得到弦与圆的另一交点坐标，代入圆的方程即可得到答案． （1）1k =时，直线方程为10x y ++=，圆心()0,0到直线10x y ++=距离d == 又因为圆的半径为1r =，所以||AB === （2）动直线10kx y ++=经过定点(0,1)-， 而点(0,1)-在圆221x y +=上，设为(0,1)A -．设弦AB 的中点坐标为(,)x y ，则点B 的坐标为(2,21)x y +， 把B 点代入圆方程：22(2)(21)1x y ++= 化简，得220x y y ++=．因为直线与圆相交，所以,A B 不重合，则1y ≠-， 所以弦AB 的中点的轨迹方程为220(1)x y y y +=≠-+．方法点睛：求轨迹方程常见方法：定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等.20. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()114n n S a n *=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b ，且21n n b a -=，求证：{}n b 是等比数列；（3）求()12lim n n b b b →∞++⋅⋅⋅+的值.（1）14133n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭（2）证明见解析（3）32（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）根据（1）的结论，求得数列{}n b 的通项公式，由此证得数列{}n b 是等比数列. （3）先求得{}n b 的前n 项和，由此求得极限的值. （1）143a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1111144n n a a -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，得13n n a a -=-，即113n n a a -=-，数列{}n a 成等比数列，14133n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.当1n =时上式也符合.（2）由（1）可知14139n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 是首项为43，公比为19的等比数列.（3）()12441333lim lim 111921199n n n n b b b →∞→∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=-== ⎪⎝⎭--. 本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，考查极限的计算，属于中档题.21. 椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ． （1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出12k k +的取值范围.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2.（1）根据椭圆过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，得到2,1a c ==求解.（2）设直线l 的方程为1y x =-+,联立221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，然后利用韦达定理和斜率公式求解.（3）分直线AB 的斜率不存在和直线AB 的斜率存在讨论，当直线AB 的斜率不存在时求得A ，B 的坐标，利用斜率公式求解；当直线AB 的斜率存在时，设()1y k x =-，联立 ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，然后利用韦达定理和斜率公式求解.（1）因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ， 所以2,1a c ==，所以 23b =，所以椭圆C 的方程是22143x y +=； （2）设直线l 的方程为1y x =-+，()()1122,,,A x y B x y ， 由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=， 由根与系数的关系得121288,77x x x x +=⋅=-， 所以1212123344y y k k x x --=⋅--， 12122244x x x x ----=⋅--， ()()121212122214162x x x x x x x x ⋅+++==⋅-++． （3）当直线AB 的斜率不存在时，331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则1233332221414k k ---+=⋅=--， 当直线AB 的斜率存在时，设()1y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()()22224384120k x k x k +-+-=，由根与系数的关系得221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++， 所以1212123344y y k k x x --+=+--， ()()()()1212121225383416kx x k x x k x x x x ⋅-++++=⋅-++． ()()()()22222222224128253837214343241283614164343k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭===⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭.。