2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}1<=x x A ，{}12<=x x B ，则AUB=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）2．已知：)23(i i z -=，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D ．133．已知平面向量,满足),3(),2,1(t -=-=，且)(+⊥=（ ）A ．3B ．10C ．32D ．54．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ） A ．22 B ．42 C ．22 D ．22- 5．函数22cos ln )(x x x x f +=的部分图象大致为（ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线经过圆04222=-++y x y x E ：的圆心，则双曲线的C 的离心率为（ ）A ．25 B ．5 C ．2 D ．27．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为a x y ˆ042.0ˆ-=．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；②若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α∥m ；③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；④若βα⊥，l =βαI ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对)0,(,21-∞∈∀x x ．且21x x ≠，有0)()(1212>--x x x f x f 成立，已知)(ln πf a =，)(21-=e f b ，)61(log 2f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b10．将函数)6sin()(π+=x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心为（ ）A ．)0,12(πB ．)0,4(πC ．)0,(πD ．)0,34(π 11．若n x x )1(3+的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ． 5612．若函数2)(mx e x f x -=有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．),4[2+∞e B ),4(2+∞e C ．)4,(2e -∞ D ．]4,(2e -∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省甘谷一中2020学年高三第一次检测考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1.已知集合,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出与中不等式的解集确定出，求出的补集，找出补集与的公共部分，能求出结果．【详解】则故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.已知命题：“，都有成立”，则命题为（）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】试题分析：全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，的否定为．考点：逻辑连接词．3.已知定义在上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，利用函数对称性，周期性和单调性之间的关系将函数值进行转化比较即可得到结论．【详解】：∵对任意的，都有；∴函数是4为周期的周期函数，∵函数的图象关于轴对称∴函数函数）的关于对称，∵且，都．∴此时函数在上为增函数，则函数在上为减函数，则，，，则，即，故选C．【点睛】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，根据条件判断函数的周期性和对称性，和单调性之间的关系是解决本题的关键．4.对于集合M、N,定义M-N={x|x∈M且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A={y|y=3x,x∈R},B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R},则A⊕B等于( )A. [0,2)B. (0,2]C. (-∞,0]∪(2,+∞)D. (-∞,0)∪[2,+∞)【答案】C【解析】由题可知,集合A={y|y>0},B={y|y≤2},所以A-B={y|y>2},B-A={y|y≤0},所以A⊕B=(-∞,0]∪(2,+∞).故选C.5.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数是奇函数，利用，即可得出结论．【详解】由题意，，函数是奇函数，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，比较基础．6.设集合，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝（）A. {2,3}B. {－1,2,5}C. {2,3,5}D. {－1,2,3,5}【答案】D【解析】【分析】根据A∩B＝{2，－1}，得或，求得代入集合B中检验，即可求得结果.【详解】A∩B＝{2，－1}，，或，解得或（1）当时，满足题意，（2）当时，不满足集合元素的特征，舍去综上故选D.【点睛】本题考查集合中元素的特征，根据题意由其中一个集合条件解出未知数，代入另一个集合检验是常用的解题思路，考查了分类讨论思想，属于基础题.7.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质，得时最小值为,或时，再结合函数图象关于对称，可以求出的取值范围.【详解】函数函数的对称轴，最小值为，在单调递减，在单调递增.时值域为，必在定义域内，即；又有或时综上，故选A.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，考查二次函数的值域问题，其中要特别注意二次函数的对称性及单调性的应用，考查计算能力和数形结合思想，属于基础题.8.若是R上的单调递增函数,则实数的取值范围为（）A. (1,+∞)B. [4,8)C. (4,8)D. (1,8)【答案】B【解析】由题意，逐段考查函数的单调性，结合函数处的性质，即可求得结果.【详解】是R上的单调递增函数，结合指数函数和一次函数的单调性，得解得故选B.【点睛】本题考查函数的单调性及其应用，重点考查对基础概念的理解和计算能力.9.已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反函数的定义，求出函数，又根据函数关于轴对称得，即可求出答案.【详解】函数与互为反函数，函数，函数的图象与的图象关于轴对称，函数，即故选D.【点睛】本题考查反函数的求法，考查函数对称关系以及函数求值，是基础计算题.10.已知函数且的最大值为,则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】对进行分类讨论，当时，和当时，．由最大值为1得到的取值范围．【详解】∵当时，，∵函数且的最大值为∴当时，．，解得故选：A．【点睛】本题考查分段函数的应用，注意分类讨论思想的合力应用．11.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可知，，时，，根据函数的图象和性质，求出和，构造关于的不等式，可得的取值范围.【详解】函数为对勾函数，当x时，函数单调递减时，又单调递增时，，，使得，，时，即，解得故选A.【点睛】本题考查指数函数以及对勾函数的图象与性质，考查恒成立和存在解问题，解题的关键是将题干不等式转化为关于的不等式.12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简的表达式，得到的图象关于点对称，由的周期性，画出，的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和．【详解】由题意知即的图象关于点对称，函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如图所示：由图形可知函数，在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为-，所以方程在区间上的所有实数根之和为．故选C.【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，20分。

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -22.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A. B. C. D.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 408.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.9.已知函数，若，则A. B. C. D.10.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C 交于A,B两点，若△FAB的面积为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.中，角的对边分别为若，，，则__________．14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为__________．16.已知则的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为]（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）21.已知函数．（1）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（2）判断函数在区间上零点的个数；（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．20172018C ．20182019D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A．3π B．3π C．3π D．4π9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008 B．2017 C．2018 D．302510.设p：实数x，y满足22(1)[(22)]x y-+-322≤-；q：实数x，y满足111x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=和点(5,)M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB⊥，则实数t 的取值范围是（）A．[2,6]- B．[3,5]- C．[2,6] D．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知'()f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0x f x x f x⋅+⋅<成立，则有（）A．()2()64fππ> B3()()63fππ> C．()3()63fππ> D．()3()64fππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2i ib a=-(1,2,,2018)i=⋅⋅⋅，那么数据1b，2b，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）的相关数据，如下表：x 11 9 8 5 2y 7 8 8 1012 （1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）. ①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->； （2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题 1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++， 所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++， 当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2： 以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r ，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u r u r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1n i i i x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+， 解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立； 令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x ex -=->，1x e x ->成立. （2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+， 由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. {x|-3≤x＜-2}B. {x|-3≤x＜2}C. {x|-2≤x≤1}D. {x|x≤1，或x≥2}3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C. 2D. 24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f（x）=e|x|•cos xB. f（x）=ln|x|•cos xC. f（x）=e|x|+cos xD. f（x）=ln|x|+cos x6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. [1，+∞）B. （-∞，-]C. [-，1]D. （-∞，-]∪[1，+∞）7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D. C C C9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B. 15C. 40D. 4010.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. （-∞，e）B. （1，+∞）C. （1，e）D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；120A B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，属于基础题．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的一条渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=a sin x+cos xf′（x）=a cos x-sin x，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则a cos x-sin x≥0在[-，]上恒成立，故a≥tan x在[-，]上恒成立，而y=tan x在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cos A，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6或-16（舍去），∴S△ABC=AB•AC•sin A==15．故选：B．10.【答案】D【解析】【分析】由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．【解答】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．准线与x轴交于点G，∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，∵M是棱PC的中点，∴EM∥CD，且EM=CD，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴EM∥AB，EM=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE，∵BM⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．解：（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（，-1，0），B（，1，0），C（0，4，0），M（0，2，1），=（0，2，0），=（-，1，1），=（-，3，0），设=（x，y，z）是平面ABM的一个法向量，由，即，令x=，得=（），设=（x，y，z）是平面CBM的法向量，由，即，令y=1，得=（，1，2），cos＜＞===，∵二面角A-BM-C的平面角为钝角，∴二面角A-BM-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，推导出四边形ABME是平行四边形，从而BM∥AE，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程+y2=1整理可得得（1+4k2）x2+8kx+4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5B ．5C ．13D ．133．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3B ．10C ．23D ．54．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．22B ．2C ．2D ．22-5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．27．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 11．（5分）若31()n x x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．5612．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 ．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 ．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．。

绝密★启用前甘肃省普通高中2020届高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2.已知()32z i i =-,则z z ⋅=（ ）A. 5B.C. 13D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选：C【点睛】考查复数的运算,是基础题.3.已知平面向量a ,b 满足()1,2a =-,()3,b t =-,且()a a b ⊥+,则b =（ ）A. 3B.C.D. 5 【答案】B【解析】【分析】先求出a b +,再利用()0a a b ⋅+=求出t ,再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+,所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=,1t =,()3,1b =-,10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ,焦点为F ,则直线MF 的斜率为（ ）A. B. 4 C. 2 D. -【答案】A【解析】。

2020年高考（理科）数学一诊试卷一、选择题.1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）2．已知：z＝i（3﹣2i），则z•z=（）A．5B．√5C．13D．√133．已知平面向量a→，b→满足a→=(1，−2)，b→=(−3，t)，且a→⊥(a→+b→)，则|b→|=（）A．3B．√10C．2√3D．54．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M(2，2√2)，焦点为F．则直线MF的斜率为（）A．2√2B．√24C．√22D．−2√25．函数f(x)=ln|x|+cos2xx2的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则双曲线的C的离心率为（）A．√52B．√5C．√2D．27．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α； ③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立，已知a ＝f （ln π），b ＝f (e −12)，c =f(log 216)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b10．将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝g （x ）图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12，0)B ．(π4，0)C ．（π，0）D ．(4π3，0)11．若(√x 3+1x )n 的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．5612．若函数f （x ）＝e |x |﹣mx 2有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．[e 24，+∞)B ．(e 24，+∞)C ．(−∞，e 24)D ．(−∞，e 24]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为 ．14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos B+√3sin B﹣2＝0，且b＝1，则△ABC周长的范围为．16．1611年，约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯（ThomasHales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共个，最上面球的球顶距离地面的高度约为cm （排球的直径约为21cm）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．数列{a n}满足a1＝1，a n是﹣1与a n+1的等差中项．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+2n}的前n项和S n．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E （ξ）；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额． 20．椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的右焦点F （√2，0），过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值． 21．已知函数f(x)=ax −(a +1)lnx −1x +2（a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）单调性；（2）当a ＝﹣2时，求证：f(x)＜e x −2x −1x．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为：{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx（k＞0）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取得最大值时直线l的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|，不等式f（x）+f（x﹣1）＜5的解集为{x|m＜x＜n}．（1）求实数m，n的值；（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m＝0，求证：x+y≥9xy．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】分别求出A，B即可求得结论．解：因为A＝{x||x|＜1}＝（﹣1，1），B＝{x|2x＜1}＝（﹣∞，0），则A∪B＝（﹣∞，1）．故选：D．2．已知：z＝i（3﹣2i），则z•z=（）A．5B．√5C．13D．√13【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z⋅z=|z|2求解．解：由z＝i（3﹣2i）＝2+3i，得z•z=|z|2=(√13)2=13．故选：C．3．已知平面向量a→，b→满足a→=(1，−2)，b→=(−3，t)，且a→⊥(a→+b→)，则|b→|=（）A．3B．√10C．2√3D．5【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据求向量的模的方法，求出|b→|．解：∵平面向量a→，b→满足a→=(1，−2)，b→=(−3，t)，且a→⊥(a→+b→)，∴a→•（a→+b→）＝（1，﹣2）•（﹣2，t﹣2）＝﹣2+（﹣2）•（t﹣2）＝0，求得t＝1，∴b→=（﹣3，1），则|b→|=√9+1=√10，故选：B．4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M(2，2√2)，焦点为F．则直线MF的斜率为（）A．2√2B．√24C．√22D．−2√2【分析】由点M在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点F的坐标，由两个点的坐标求出直线MF的斜率．解：由题意可得（2√2）2＝2p•2所以p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，所以焦点F（1，0），所以k MF=2√22−1=2√2，故选：A．5．函数f(x)=ln|x|+cos2x2的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】首先判断函数的奇偶性，可知函数为偶函数，即可排除BC；再利用f（1）＞0，可排除D，进而得出正确选项．解：函数的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=ln|−x|+cos(−2x)(−x)2=ln|x|+cos2xx2=f(x)，故f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除BC；又f(1)=ln1+cos21=cos2＜0，可排除D．故选：A．6．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则双曲线的C的离心率为（）A．√52B．√5C．√2D．2【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，求出圆E的圆心，分析可得双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，则有ba=2，即b＝2a，由双曲线的几何性质可得c=√5a，由离心率公式计算可得答案．解：根据题意，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y＝±bax x，圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），若双曲线的渐近线经过圆E的圆心，则双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，则有ba=2，即b＝2a，则c2＝a2+b2＝5a2，即c=√5a，则双曲线的离心率e=ca=√5．故选：B．7．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%（）（精确到月）A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月【分析】根据表中数据求出x，y，求出线性回归方程y＝0.042x﹣0.026，求出x＝13时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%．解：根据表中数据，得x=1+2+3+4+55=3，y=15（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）＝0.1，∴0.1＝0.042×3﹣a，a＝0.026，所以线性回归方程为y＝0.042x﹣0.026，由0.042x﹣0.026＞0.5，得x≥13，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%， 故选：C ．8．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α； ③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【分析】在①中，m 与n 相交、平行或异面；在②中，由线面垂直的性质定理得m ∥α；在③中，n 与β相交、平行或n ⊂β；在④中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β． 解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知： 在①中，若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由线面垂直的性质定理得m ∥α，故②正确； 在③中，若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n 与β平行或n ⊂β，故③错误；在④中，若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故④正确． 故选：C ．9．定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立，已知a ＝f （ln π），b ＝f (e −12)，c =f(log 216)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【分析】由定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立可得函数f （x ）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，再比较ln π，e−12，log 216的大小，可得a ，b ，c 的大小关系．解：定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立，可得f （x ）在x ∈（﹣∞，0）单调递增，所以f （x ）在（0，+∞）单调递减；因为1＜ln π＜2，0＜e−12＜1，所以a ＝f （ln π）＜b ＝f （e−12），∵﹣3＝log 218＜log 216＜log 214=−2，c ＝f （log 216）＝f （﹣log 216）∈（2，3），所以c ＜a ，故选：A ．10．将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝g （x ）图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12，0)B ．(π4，0)C ．（π，0）D ．(4π3，0)【分析】利用三角函数的伸缩和平移变换可将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f 1（x ）＝sin （12x +π6）．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）＝sin[12（x +π3）+π6]＝sin （12x +π3）的图象，令12x +π3=k π，k ∈Z ，则x ＝2k π−2π3，k ∈Z ，当k ＝1时，x =4π3，可得答案， 解：将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f 1（x ）＝sin （12x +π6）．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）＝sin[12（x +π3）+π6]＝sin （12x +π3）的图象，令12x +π3=k π，k ∈Z ，则x ＝2k π−2π3，k ∈Z ，当k ＝1时，x =4π3， 则函数y ＝g （x ）图象的一个对称中心为（4π3，0）故选：D ．11．若(√x 3+1x)n 的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．56【分析】根据二项式系数和求出n ＝8，结合二项式定理求出通项公式，结合有理数项进行求解即可．解：∵二项式系数和为256，∴2n ＝256，得n ＝8，则展开式的通项公式为T k +1＝C 8k （√x 3）n ﹣k （1x）k ＝C 8k （√x 3）8﹣k （1x）k ＝C 8k x8−k 3−k═C8k x 8−4k 3，当k ＝2时，对应的有理项为，C 82=28，当k ＝5时，对应的有理项为，C85x ﹣4＝56x ﹣4， 当k ＝8时，对应的有理项为，x ﹣8，则二项式展开式中有理项系数之和为28+56+1＝85， 故选：A ．12．若函数f （x ）＝e |x |﹣mx 2有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．[e 24，+∞)B ．(e 24，+∞)C ．(−∞，e 24)D ．(−∞，e 24]【分析】分析可得e x ＝mx 2有两个不同的正根，令h （x ）=e xx 2，利用导数即可求得实数m 的取值范围解：f （x ）有且只有4个不同的零点等价于偶函数y ＝e |x |与偶函数y ＝mx 2的图象有且只有4个不同的交点，即e x ＝mx 2有两个不同的正根， 令h （x ）=e x 2，则h ′（x ）=e x (x−2)x 3，x ∈（0，2）时，h ′（x ）＜0，x ∈（2，+∞）时，h ′（x ）＞0，∴函数h （x ）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，此时h （x ）min ＝h （2）=e 24；又∵当x →0时，h （x ）→+∞，当x →+∞时，h （x ）→+∞， ∴m ＞e 24．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为 10 ．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z ＝x ﹣2y 过点（6，2）时，z 最大值即可．解：实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0，画出可行域，如图：由z ＝x ﹣2y 可得y =12x −12z ，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大然后平移直线L ：0＝x ﹣2y ， 当直线z ＝x ﹣2y 过点A 时z 最大由{y +2=0x +2y −2=0可得A （6，﹣2）时，z 最大值为10 故答案为：10．14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．【分析】先排数学，然后根据不相邻问题排英语，结合排列组合的公式进行计算即可． 解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A 44，若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A 44， 若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A44， 若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A 44，则共有4（4×A 44+3×A44+3×A44+4×A44）＝4×14×A 44=4×14×24＝1344，故答案为：134415．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos B +√3sin B ﹣2＝0，且b ＝1，则△ABC 周长的范围为 （2，3） ．【分析】由已知结合辅助角公式进行化简可求B ，然后结合余弦定理及基本不等式可求a +c 的范围，再结合三角形的两边之和大于第三边可求． 解：因为cos B +√3sin B ﹣2＝0，所以2sin （B +π6）＝2即sin （B +π6）＝1，所以B=13π，因为b＝1，由余弦定理可得，1＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac≥(a+c)2−3×(a+c2)2，解可得，a+c≤2，当且仅当a＝c时取等号，所以a+b+c＝1+a+c≤3，又a+c＞b＝1，所以a+b+c＞2，故2＜a+b+c≤3，故答案为：（2，3]．16．1611年，约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯（ThomasHales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共20个，最上面球的球顶距离地面的高度约为21(√6+1) cm（排球的直径约为21cm）．【分析】（1）由堆积方式可以判断球的个数，（2）由连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4，求其高，再加21则为所求．解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4，如图：取O3O4的中点E，△O2O3O4的重心F，连接O1F，则O1F⊥平面O2O3O4，O2E=63√32，O2F=63√32×23=21√3，O1F=√612−(21√3)2=21√6，所以最上面球的球质距离地面的高度约为21(√6+1)故答家为：20，21(√6+1)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．数列{a n}满足a1＝1，a n是﹣1与a n+1的等差中项．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+2n}的前n项和S n．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得a n+2n＝2n+2n﹣1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简可得所求和．解：（1）证明：a n是﹣1与a n+1的等差中项，可得2a n＝a n+1﹣1，即a n+1＝2a n+1，可化为a n+1+1＝2（a n+1），又a1＝1，故数列{a n+1}是首项和公比均为2的等比数列，即有a n+1＝2•2n﹣1＝2n，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；（2）由（1）可得a n+2n＝2n+2n﹣1，则S n＝（2+4+8+…+2n）+（1+3+5+…+2n﹣1）=2(1−2n)1−2+12n（1+2n﹣1）＝2n+1+n2﹣2．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．【分析】（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，满足A 1C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面EFGHIJ 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）．可得n →•HI →=n →•HG →=0，利用向量夹角公式即可得出． 解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则A 1C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．则B （2，2，0），D 1（0，0，2），H （1，0，0），I （2，1，0），G （0，0，1）．∴BD 1→=（﹣2，﹣2，2），HI →=（1，1，0），HG →=（﹣1，0，1）．设平面EFGHIJ 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）．则n →•HI →=n →•HG →=0，∴x +y ＝0，﹣x +z ＝0．取n →=（1，﹣1，1），则cos ＜BD 1→，n →＞=12×3=13．∴BD 1与该平面所成角的正弦值为13．19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E （ξ）；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．【分析】（1）易得ξ可能取值为0，20，40，60，80，求出对应的概率，进而得到分布列，由此求得期望；（2）结合（1）可知营业额预计为40×300×12=6000（元）． 解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且P(ξ=0)=14×16=124，P(ξ=20)=14×23+16×12=14，P(ξ=40)=14×16+12×23+16×14=512，P(ξ=60)=12×16+14×23=14，P(ξ=80)=14×16=124， 故ξ的分布列为ξ 02040 60 80P1241451214124∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×124+20×14+40×512+60×14+80×124=40（元）； （2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为40×300×12=6000（元）． 20．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （√2，0），过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值． 【分析】（1）根据题意可求出参数，（2）设直线，联立与椭圆方程，可以知坐标的关系，转化面积，求最值．解：（1）由题意知，c =√2，a =2√2，b =√6， 所以椭圆的方程为x 28+y 26=1，（2）设直线MN 的方程为x ＝my +2，联立直线与椭圆得（3m 2+4）y 2+12my ﹣12＝0， 所以y 1+y 2=−12m 3m 2+4，y 1y 2=−123m 2+4， 所以S四边形OMAN＝S △OAM +S△OAN=12×2√2|y 1|+12×2√2|y 2|=√2|y 1−y 2|=√2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8√3√3m 2+23m 2+4． 令t =√3m 2+2，则t ≥√2， 所以S 四边形OMAN =8√3t t 2+2=8√3t+2t， 因t ≥√2，则t +2t≥2√2， 所以S 四边形OMAN ≤2√6，当且仅当t =√2，即m ＝0时取等号． 即四边形OMAN 面积的最大值2√6．21．已知函数f(x)=ax −(a +1)lnx −1x +2（a ∈一、选择题）．（1）讨论函数f （x ）单调性；（2）当a ＝﹣2时，求证：f(x)＜e x −2x −1x．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性；（2）问题可转化为要证lnx +2＜e x ，结合不等式的特点，可考虑构造函数，结合导数可证．解：（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=a −a+1x +1x 2=ax 2−(a+1)x+1x 2=(ax−1)(x−1)x 2， ①当a ≤0时，由f ′（x ）＜0可得x ＞1，由f ′（x ）＜0可得0＜x ＜1， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，②0＜a ＜1时，由f ′（x ）＜0可得1＜x ＜1a，由f ′（x ）＞0可得0＜x ＜1或x ＞1a， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，1a）上单调递减，（1a，+∞）上单调递增，③当a ＝1时，f′(x)=(x−1)2x≥0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增，④当a ＞1时，由f ′（x ）＜0可得1a＜x ＜1，由f ′（x ）＞0可得x ＞1或x ＜1a，所以f （x ）在（0，1a）上单调递增，在（1a，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，（2）证明：当a ＝﹣2时，要证：f(x)＜e x −2x −1x，只要证lnx +2＜e x ， 令g （x ）＝lnx ﹣e x +2，x ＞0，则g′(x)=1x−e x 在（0，+∞）上单调递减，且x →0时，g （x ）＞0，g ′（1）＝1﹣e ＜0 故存在x 0∈（0，1）使得1x 0=e x 0即x 0＝﹣lnx 0，使得g ′（x 0）＝0，当x ∈（0，x 0）时，g ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，故g （x ）max ＝g （x 0）＝lnx 0−e x 0+2＝﹣x 0−1x 0+2=2﹣（x 0+1x 0），因为x 0∈（0，1），x 0+1x 0＞2，所以g （x ）max ＜﹣2+2＝0，即g （x ）＜0 故当a ＝﹣2时，求证：f(x)＜e x −2x −1x成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为：{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ． （1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若直线l ：y ＝kx （k ＞0）与曲线C 1交于O ，A 两点，与曲线C 2交于O ，B 两点，求|OA |+|OB |取得最大值时直线l 的直角坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）曲线C 1的参数方程为：{x =1+cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2＝1，转换为极坐标方程为ρ＝2cos θ．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．转换为直角坐标方程为x 2+(y −√3)2=3． （2）直线l ：y ＝kx （k ＞0）转换为极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π2）与曲线C 1交于O ，A 两点， 所以{ρ=2cosθθ=α，得到|OA |＝2cos α，曲线C 2交于O ，B 两点，所以{ρ=2√3cosθθ=α，则|OB |＝2√3sinα，所以|OA |+|OB |=2cosα+2√3sinα=4sin(α+π6)，当α=π3时，|OA |+|OB 取得最大值． 此时l 的极坐标方程为θ=π3，即直角坐标方程为y =√3x ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|，不等式f （x ）+f （x ﹣1）＜5的解集为{x |m ＜x ＜n }． （1）求实数m ，n 的值；（2）若x ＞0，y ＞0，nx +y +m ＝0，求证：x +y ≥9xy ．【分析】（1）由题意可得|x ﹣1|+|x ﹣2|＜5，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，即可得到原不等式的解集，进而得到m ，n 的值； （2）由（1）可得4x +y ＝1，运用乘1法和基本不等式，证得1x +1y≥9，解：（1）f （x ）+f （x ﹣1）＜5即为|x ﹣1|+|x ﹣2|＜5，等价为{x ≤11−x +2−x ＜5或{1＜x ＜2x −1+2−x ＜5或{x ≥2x −1+x −2＜5，解得﹣1＜x ≤1或1＜x ＜2或2≤x ＜4， 所以原不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜4}， 由题意可得m ＝﹣1，n ＝4； （2）证明：由（1）可得4x +y ＝1， 由x ＞0，y ＞0，可得1x +1y =（4x +y ）（1x +1y ）＝5+yx +4xy ≥5+2√y x ⋅4xy =9， 当且仅当y ＝2x =13时等号成立， 故1x +1y≥9，即x +y ≥9xy ．。

2020年甘肃省第一次高考诊断考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}1<=x x A ，{}12<=x x B ，则AUB=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）2．已知：)23(i i z -=，则z z ⋅=（ ） A ．5 B ．5 C ．13 D ．133．已知平面向量b a ,满足),3(),2,1(t b a -=-=，且)(b a a +⊥=（ ）A ．3B ．10C ．32D ．54．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．42C ．22 D ．22- 5．函数22cos ln )(x x x x f +=的部分图象大致为（ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线经过圆04222=-++y x y x E ：的圆心，则双曲线的C 的离心率为（ ）A ．25 B ．5 C ．2 D ．2 7．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为a x y ˆ042.0ˆ-=．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；②若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α∥m ；③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；④若βα⊥，l =βαI ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对)0,(,21-∞∈∀x x ．且21x x ≠，有0)()(1212>--x x x f x f 成立，已知)(ln πf a =，)(21-=e f b ，)61(log 2f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b10．将函数)6sin()(π+=x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心为（ ）A ．)0,12(πB ．)0,4(πC ．)0,(πD ．)0,34(π 11．若nx x )1(3+的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84 C ．57 D ． 5612．若函数2)(mx e x f x-=有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．),4[2+∞e B ),4(2+∞e C ．)4,(2e -∞ D ．]4,(2e -∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。