弹塑性理论习题课-答案

弹塑性理论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 弹塑性理论中，材料的屈服准则通常用以下哪个参数表示？A. 应力B. 应变C. 弹性模量D. 屈服应力答案：D2. 弹塑性材料在循环加载下，其行为主要受哪个参数的影响？A. 最大应力B. 最大应变C. 应力幅值D. 应变幅值答案：C3. 根据弹塑性理论，材料的硬化指数n通常用来描述什么？A. 材料的弹性B. 材料的塑性C. 材料的断裂特性D. 材料的疲劳特性答案：B4. 在弹塑性理论中，哪个参数用来描述材料在塑性变形后能否恢复原状？A. 弹性模量B. 屈服应力C. 塑性应变D. 弹性应变答案：D5. 弹塑性材料在受到拉伸应力作用时，其应力-应变曲线通常呈现哪种形状？A. 线性B. 非线性C. 抛物线D. 指数曲线答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）6. 弹塑性理论中，材料的屈服准则可以由以下哪些因素确定？A. 应力状态B. 应变状态C. 温度D. 材料的微观结构答案：A|B|C|D7. 弹塑性材料在循环加载下，其疲劳寿命主要受哪些因素的影响？A. 应力幅值B. 材料的屈服应力C. 循环加载频率D. 材料的微观缺陷答案：A|B|C|D8. 在弹塑性理论中，材料的硬化行为可以通过以下哪些方式来描述？A. 硬化指数B. 硬化模量C. 应力-应变曲线D. 屈服应力答案：A|B|C9. 弹塑性材料在受到压缩应力作用时，其应力-应变曲线通常呈现以下哪些特点？A. 初始阶段为弹性B. 达到屈服点后进入塑性变形C. 塑性变形后材料体积不变D. 卸载后材料能够完全恢复原状答案：A|B|C10. 弹塑性理论中，材料的断裂特性可以通过以下哪些参数来描述？A. 断裂韧性B. 应力集中系数C. 材料的硬度D. 材料的塑性应变答案：A|B|C|D三、简答题（每题5分，共20分）11. 简述弹塑性理论中材料的屈服现象。

答：在弹塑性理论中，材料的屈服现象是指材料在受到一定的应力作用后，从弹性变形转变为塑性变形的过程。

1 εij = (ui, j +uj,i ) 2
σji, j
(i, j =12,3) ,
E 1 ν = 2(uj,ij +ui, jj ) +1−2νuk,kjδij (1+ν)
5Байду номын сангаас
20112011-2-17
题1-3
E 1 ν (uj,ij +ui,jj ) + σji, j = uk,ki 2 (1+ν) 1−2ν
3
2c
l
y
解： 1、将 Φ 代入
∇ 4Φ =0 满足, 为应力函数。 满足, Φ 为应力函数。
2、求应力（无体力） 求应力（无体力）
20112011-2-17 20
题1-13 3 3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
2
o
x
2c
l
y
2
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
z l y
F = −ρg bz
x
x
20112011-2-17
8
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 等截面直杆（无体力作用），杆轴 ）， 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u =−kyz v =kxz
w=k ( x, y) ψ
为待定常数， 其中 k 为待定常数，ψ(x‚y)为待定函数， 为待定函数 试写出应力分量的表达式和位移法方程。 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2

.本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。

（需证明）2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

ε x = a 0 + a1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , ε y = b0 + b1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , γ xy = c 0 + c1 xy ( x 2 + y 2 + c 2 ), ε z = γ zx = γ yz = 0.
试求式中各系数之间应满足的关系式。 2—38* 试求对应于零应变状态（ ε ij = 0 ）的位移分量。
(2) J 3 = I 3 + (4) J 2 = (6)
1 2 3 I1 I 2 + I1 ; 3 27
1 S ij S ij ; 2
∂J 2 = S ij . ∂σ ij
1 S ik S km S mi 。 3 2—22* 试证在坐标变换时， I 1 为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用 张量计算证明。 5 3 8 2—23 已知下列应力状态： σ ij = 3 0 3 MPa ，试求八面体单元的正应力 σ 8 与剪 8 3 11
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变

第二章应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ，τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x=γ1y ；T y =0 则σx =-γ1y ；τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0得：b=-γ1；a=0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cossinx xy yxy………………………………（a ）将己知条件：σx=-γ1y ；τxy =-dx ；σy =cx+dy-γy代入（a ）式得：1cossin 0cossin0y dx bdx cxdyy cL L L L L L L L L L L L L L L L L L化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为312606100100Pa试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：222231.2333312101210610222217.0831011371011 6.0828104.9172410xyxyxyPa则显然：3312317.08310 4.917100Pa Paσ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）22612sin 22612102cos2xy xytg 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°δy题图1-3τxyx 30°10n24xO10yTτ30°δ30°xO γyβBA n βγ1y则：θ=+40.2688B 40°16＇或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

e kk
2019/8/31
4
题1-3
e kk
ij (1 E )( ij 1 2 e ij) (i,j 1 ,2 ,3 )
j,i j (1 E )( j,i j 1 2 k,jk ij ) (i,j 1 ,2 ,3 )
i1 2ui,j
j
Guj,jiGi,ju j
代入 j,ij F b i0 (i,j 1 ,2 ,3 )
得
G 2 u i G u j,j iF b i0在 V 上
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7
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
，且设 ur 表达式为
ur C1rC r2(18 E 2)2r3
b
ra
x
试由边界条件确定 C1 和 C2 。
y
解： 边界条件为： (r）r=a=0, (r）r=b=0
应力r（平面
应力问题）：
r 1E2(ddrururr)
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32
题1-16 由边界条件确定 C1 和 C2 ：
v g l x y E
y
l
式中 E、 为弹性模量和泊松系数。
试（1）求应力分量和体积力分量；
hh
（2）确定各边界上的面力。
x
解： 1、求应变
x u x E g l x , y y v E g (l x )
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15
x
x=ax、y=ax、xy= -ax
3、求应变
x=ax、y=a(2x+y-l-h)、 xy= -ax

工程弹塑性力学课后答案【篇一：弹塑性力学思考题答案】一点的应力状态？答：通过一点p 的各个面上应力状况的集合⒉一点应变状态？答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。

]代表一点 p 的邻域内线段与线段间夹角的改变⒊应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量j2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。

答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合??x?xy?xz???????????yxyyz???zx?zy?z???。

其中：?=?，?=?，?=?。

xzzxxyyxyzzy应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即j1,j2,j3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。

所以j1,j2,j3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。

应力张量可分解为两个分量0???x-?m?xy?xz???m0??+???ij??0?0????mymyz?，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应???yx?0?m??zy?z??m??0????zx?力偏张量。

应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。

应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力11平均应力：?m?(?x??y??z)?(?1??2??3)，?m为不变量,与坐标无关。

33偏应力第二不变量j2的物理意义：形状变形比能。

单向应力状态：两个主应力为零的应力状态。

纯剪应力状态的应力张量:给出应力分分量，计算第一，第二不变量。

（带公式）⒋应变张量？应变张量的不变量？应变球张量？体积应变？平均应变？应变偏张量？应变张量：几何方程给出的应变通常称为工程应变，这些应变分量的整体，构成一个二阶的对称张版权所有，翻版必究量，称为应变张量，记为：即。

第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。

综合1）～4），。

q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。

2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。

3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。

2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。

弹塑性力学课程作业1 参考答案一．问答题1. 答：请参见教材第一章。

2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。

导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。

3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。

这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。

5. 答：请参见本章教材。

6. 答：略（参见本章教材）7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。

8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。

根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。

研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。

9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料的塑性变形行为。

12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。

13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。

它们的区别请参见教材。

14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。

第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。

◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
x j xk
（I-25）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 ai的j 分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij称为对称张量。 如果 的分ai量j 满足
aij a ji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11 a22 。a33 0
弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：
(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件）
(2) 变形的几何相容条件 (几何分析)
材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续 的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠 ”， 此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相 容条件）
建立起普 遍适用的理 论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解
法的严密性和普遍适用性为特点；
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
四、 弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。

（I-4） （I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2a121a222a323
（I-12）
(ai) i2(a 1 1a22 a3)3 2 （I-13）
aibjk cijk
（I-21）
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
( a i j b i) c j k a i c k j b i c k j； 或 ( a i b k j ) c m a i( b j k c m )
（I-22）
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需
三个分量来确定。
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维
空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：
Mrn （Ⅰ—1）
◆ 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M=1，标量； 当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；
（I-25 ）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 aij的分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij 称为对称张量。 如果 的分aij量满足
aij aji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11a22。a330
第二章 应力理论
七应变莫尔圆41弹性变形与塑性变形的特点塑性力学的附加假设42常用简化力学模型43弹性本构方程弹性应变能函数44屈服函数主应力空间常用屈服条件47塑性本构方程简介静不定问题的解答1静力平衡分析平衡微分方程2几何变形分析几何方程3物理关系分析物理方程表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变以及应力率与应变率之间关系的物性方程称为本构方程关系

附录Ⅱ习题解答提示与参考答案第二章应力理论2-1 ζn=ζ1l2+ζ2m2,；式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。

2-2 p=111.5A；ζn=26A；ηn=108.5A2-3 提示：平面Ax+By+C z+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C)答案：2-4 略2-5 (a)ζ1=738.5；ζ2=600；ζ3=-338.5；ηmax=538.5；应力单位为MPa。

(b)ζ1=700；ζ2=600；ζ3=-600；ηmax=650；应力单位为MPa。

2-6 ζ1=3.732η0；ζ2=-0.268η0；α=15º。

2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。

(弹塑性力学解) 应力单位为MPa。

2-8 ζ1=107.3a；ζ2=44.1a；ζ3=-91.4a；ζ1主方向：(±0.314，0.900，0.305)；ζ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)；ζ3主方向：(0.048，±0.337，0.940)。

2-9；ζ2=0；ζ3=-ζ1。

2-10、2-11 略2-12 (1)略；(2)ζ8=ζm=5.333MPa；η8=8.654MPa。

2-13 p8=59.5；ζ8=25.0a；η8=54.1a。

2-14上式中S为静矩。

材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。

2-15，Q为梁横截面上的剪力。

提示：利用平衡微分方程求解。

2-16 ζ1=17.083×103Pa；ζ2=4.917×103Pa；ζ3=0,∂=40º16′。

2-17 略2-18 2。

2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。

2-20 。

2-21 在AA′上：ζx=-γy，ηxy=0；在AB上：ηxy=0，ζy=-γh；在BB′上：l1=cosα，l2=-sinα，l3=0；则应力分量满足关系式：2-22 。

第二章 应力理论和应变理论2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。

己求得 力解 ：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。

解：首先列出OA 、 OB 两 的 力 界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0得 ： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化 （ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点 的 力 量6 10 00 0δ y求 点的最大主 力及其主方向。

x题1-3 图解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。

解
根据梁的弯曲变形公式，y = Fx/L(L - x)，其中y为挠度，F 为力，L为梁的长度。代入题目给定的数据，得y = (frac{300 times (4 - x)}{8})。当x = 2时，y = (frac{300 times (4 - 2)}{8}) = 75mm。
习题三答案及解析
解析
和变形情况。
04
弹塑性力学弹塑性力学的基本假设。
答案
弹塑性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设和非线性假设。连 续性假设认为物质是连续的，没有空隙；均匀性假设认为物质的性质在各个位置都是相 同的；各向同性假设认为物质的性质在不同方向上都是相同的；非线性假设认为弹塑性
习题二答案及解析
01 02 03 04
解析
选择题主要考察基本概念的理解，如能量守恒定律、牛顿第二定律等 。
填空题涉及简单的力学计算，如力的合成与分解、牛顿第二定律的应 用等。
计算题要求应用能量守恒定律和牛顿第二定律进行计算，需要掌握基 本的力学原理和公式。
习题三答案及解析
01
答案
02
选择题
03
1. A
2. 解
根据牛顿第二定律，F = ma，其中F为力，m为质量，a 为加速度。代入题目给定的数据，得a = (frac{400}{5}) = 80m/s(}^{2})。再根据运动学公式s = ut + (frac{1}{2})at(}^{2})，得s = 10 × 2 + (frac{1}{2} times 80 times (2)^2) = 108m。
04
计算题要求应用胡克定律和动量守恒定律进行计算，需要掌握基本的 力学原理和公式。
习题二答案及解析

应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案 (2)第三章习题答案 (6)第四章习题答案 (9)第五章习题答案 (27)第六章习题答案 (38)第七章习题答案 (50)第八章习题答案 (55)第九章习题答案 (59)第十章习题答案 (60)第十一章习题答案 (63)第二章习题答案2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。

解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后，可求出及，再利用关系可求得。

最终的结果为2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。

如设法作变换，把该方程变为形式，求以及及的关系。

解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，2.9已知应力分量中，求三个主应力。

解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记2.10已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。

解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。

由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。

解特征方程为记，则其解为，，。

对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得2.12当时，证明成立。

解由，移项之得证得第三章习题答案3.5取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得，由，得3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。

解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。