弹塑性力学习题解答讲课教案

第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。

综合1）～4），。

q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。

2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。

3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。

2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。

应用弹塑性力学第二版教学设计一、课程介绍本课程为大学本科专业课，适用于工程力学相关专业。

课程旨在介绍应用弹塑性力学的基础理论和应用技巧，探究材料的强度和变形性能，并且涵盖了数值模拟、结构分析等内容。

通过学习本课程，学生能够理解弹塑性力学的基本原理，掌握有限元分析的方法，从而为实际工程问题提供合理的解决方案。

二、课程目标1.理解弹塑性力学的基本概念和理论基础。

2.掌握有限元分析的方法，应用于实际工程问题的解决。

3.培养学生的实际应用能力和解决问题的能力。

4.启发学生的批判性思维和创新能力。

三、课程安排第一章弹塑性力学的基本概念和理论本章将介绍弹塑性力学的基本概念和理论基础，包括应力、应变、弹性模量、塑性流动理论以及材料的应力-应变曲线等内容。

第二章有限元分析的基本思想和方法本章将介绍有限元分析的基本思想和方法，包括网格划分、单元类型、位移插值函数、边界条件和材料属性等内容。

第三章弹性结构分析本章将介绍基于弹性力学原理的结构分析方法，包括应力分析、应变能原理、虚功原理等内容。

第四章弹塑性结构分析本章将介绍基于弹塑性力学原理的结构分析方法，包括受力分析、变形分析、屈曲分析等内容。

第五章有限元分析在结构工程中的应用本章将介绍有限元分析在结构工程中的应用，包括工程应用的实例，在分析过程中的注意事项等内容。

四、教学方法1.讲授法：针对课程理论知识部分，采用讲课的形式。

2.实践教学：针对课程应用和分析部分，采用上机实践教学的形式。

3.课堂讨论：重点讨论难点和疑问，并引导学生批判性思考和创新思维。

五、考核方式1.平时成绩：包括课堂表现、作业、实验报告等。

2.期中考试：占总评成绩的30%。

3.期末考试：占总评成绩的50%。

4.实践考核：占总评成绩的20%。

六、参考教材1.。

弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材《弹性与塑性力学》陈惠发1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。

）（每小题2分）（1）物体内某点应变为0值，则该点的位移也必为0值。

（） （2）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。

（ ） （3）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。

（ ） （4）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。

（）（5）对于常体力平面问题，若应力函数()y x ,ϕ满足双调和方程022=∇∇ϕ，那么， 由()y x ,ϕ确定的应力分量必然满足平衡微分方程。

（） （6）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。

（ ） （7）Drucker 假设适合于任何性质的材料。

（ ） （8）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。

（ ） （9）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。

（ ） （10）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。

P107；226 （ ）2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。

）（每小题2分）（1）设()4322241,y a y x a x a y x ++=ϕ，当321,,a a a 满足_______________________关系时()y x ,ϕ能作为应力函数。

（2）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的______________________的一门学科。

（3）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料______________________。

（4）π平面上的一点对应于应力的失量的______________________。

P65 （5）随动强化后继屈服面的主要特征为：___________________________________________。

应用弹塑性力学习题解答Revised on November 25, 2020应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。

解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后，可求出及，再利用关系可求得。

最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。

如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。

解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。

解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。

解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。

由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。

解特征方程为记，则其解为，，。

对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。

解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。

解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。

如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。

塑性：弹性：2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y x xy yy x y yxxx f f τστσ （a ） 0)1())((2222=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂）（y f x f yx y x y x μσσ （b ）显然（a ）、（b ）是满足的（2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)()()()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。

（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形变分量q E x )1(-=με，q Ey )1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得q Ex u )1(-=∂∂μ，q E y v )1(-=∂∂μ，0=∂∂+∂∂y u x v （e ）前而式的积分得到 )()1(1y f qxE u +-=μ，)()1(2x f qy Ev +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dxx df dy y df )()(21=-等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。

弹性与塑性力学简明教程教学设计一、教学目标本课程旨在让学生了解弹性和塑性材料的特性，并掌握弹性和塑性材料的应力应变关系和材料变形行为，以及如何设计满足特定工程需求的结构。

二、教学大纲1. 弹性力学•弹性材料的特性•应力应变关系•弹性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•弹性力学应用2. 塑性力学•塑性材料的特性•应力应变关系•塑性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•塑性力学应用3. 弹塑性力学•弹塑性材料的特性•应力应变关系•应力和应变的平面状态方程•弹塑性力学应用4. 结构设计•弹性和塑性材料的应用•结构设计原则•结构优化设计三、教学方法1. 经验教学课程采用传统经验教学法，通过讲解理论知识，结合经典实例分析弹性和塑性材料的应用，让学生加深对弹性和塑性材料的理解。

2. 实验教学为了更好地帮助学生掌握课程内容，课程还配有实验教学环节，让学生通过实验了解材料的应力应变和变形行为，帮助他们更好地理解弹性和塑性材料。

四、教学评估课程评估将采用项目作业和期末论文的形式。

期末论文要求学生根据所学内容设计一个满足特定工程需求的结构，并对设计过程进行描述和分析。

项目作业要求学生应用所学知识，对一些常见的弹性和塑性材料进行实验，然后编写实验报告并进行展示。

五、教学资源教学资源将主要通过网络进行。

课程资料将以Markdown文本格式发布在学院的在线教学平台上，供学生在线阅读和下载。

此外，学生还可通过网络获取相关的资料和资源，加深对课程内容的理解。

六、教学进度安排课程内容授课时间弹性力学第1周-第2周塑性力学第3周-第4周弹塑性力学第5周-第6周结构设计第7周-第8周七、教学过程第1周-第2周弹性力学•弹性材料的特性•应力应变关系•弹性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•弹性力学应用第3周-第4周塑性力学•塑性材料的特性•应力应变关系•塑性模量计算方法•应力和应变的平面状态方程•塑性力学应用第5周-第6周弹塑性力学•弹塑性材料的特性•应力应变关系•应力和应变的平面状态方程•弹塑性力学应用第7周-第8周结构设计•弹性和塑性材料的应用•结构设计原则•结构优化设计八、教学反馈为了检验课程的实用性和教学效果，我们将收集学生的反馈，包括对课程内容和教学方法的评价，以及对涉及实验的反馈。

§7.3 Mises 流动理论（2J 流动理论）1．各向同性硬化1.4 屈服面的形状在应力偏张量空间中讨论屈服面的形状为球体，随着硬化参数()p Y Y ε=的变化屈服面为不断均匀膨胀的球体。

在一般应力空间中讨论屈服面的形状比较复杂，下边我们讨论在在主应力空间中初始屈服面的形状。

在主应力空间中，Mises 屈服条件(7.57)可以表示为()()()2222232Y σσσσσσ1231−+−+−=习题已经证明：塑性变形无体积变化（即0p ii ε=&）的充分必要条件为在屈服条件0),,,(1=n Y Y f L σ中与应力张量的第一不变量1()J σ无关，即对于任意参数a ，都有：11(,,,)(,,,)n n f a Y Y f Y Y +=σI σL L 。

这意味着如果σ在屈服面上，对于任意参数a ，a σ也在屈服面上。

所以在主应力空间()123,,σσσ中Mises 屈服条件为一个柱面。

柱面的中心线通过应力零点，方向为(1,1,1)，其方程为123σσσ==，通常称作等倾线。

通过应力零点与等倾线垂直的平面称作π平面，其方程为1230σσσ++=，三个主应力轴在该面上投影互相成120o 角。

根据上述分析，屈服面与π平面的交线为圆，圆的半径为Y ，见图7.11。

图7.11 π平面上的屈服条件所以在主应力空间中，Mises 屈服条件所表示的屈服面为以等倾线为中心线半径为Y 的圆柱面,随着硬化参数()p Y Y ε=的变化该圆柱面不断均匀向外膨胀。

2．混合硬化在初始状态为各向同性材料中，材料的拉伸曲线与压缩曲线形状相同。

拉伸屈服极限与压缩屈服极限的数值是相同的，记作s σ，见图7.12所示的单向拉伸（压缩）曲线的A 与A 点。

如果材料属于各向同性硬化，当拉伸到达屈服后的B 点（应力为B σ）时开始卸载并反向加压应力，在图7.12中表示应力与应变对应的点从B 沿一斜率为杨氏模量E 的直线BC 变化；当B σσ=−时出现反向屈服，这时材料的屈服限由初始值s σ增大至B σ，屈服面的大小由初始的2s σ增大为2B σ。